O documento discute equilíbrio e estabilidade de um disco com massa adicional colada, descrevendo: 1) A equação que relaciona o deslocamento angular de equilíbrio ao momento das massas; 2) A função energia potencial do sistema e seus extremos; 3) A equação diferencial do movimento do disco e simulações numéricas considerando oscilações ao redor do equilíbrio.

1. PROFESSOR HELANDERSON SOUSA
Equilíbrio e estabilidade
O equilíbrio é conseguido, quando o momento do peso que pende relativo ao
eixo de rotação do disco, é igual e de sentido contrário ao momento da
massa adicional m colada ao disco a uma distância r de seu eixo. O
deslocamento angular de equilíbrio θe da massa pontual é
MgR=mgr·senθe
A altura de equilíbrio do bloco é he=R·θe
O ângulo θe existe se é cumprido que MR≤mr
Estudaremos agora a situação do ponto de vista energético.
Consideremos a situação de quando a massa adicional m foi deslocada de um
ângulo θ, e o bloco de massa M tenha descido uma altura h=R·θ (veja a
primeira figura)
Ep(θ)=mgr(1-cosθ)-MgR·θ.
Calculamos seus extremos derivando a função energia potencial Ep(θ)
relativo ao ângulo θ, e igualando a zero.
Existem dois possíveis ângulos, θe e π-θe. Vamos comprovar que o primeiro
corresponde a um mínimo da energia potencial, enquanto que ao segundo

2. corresponde um máximo. Encontramos a derivada segunda da função
energia potencial
O coseno é positivo (mínimo) para θe, é negativo (máximo) para π-θe.
Na figura, vemos que a função Ep(θ) apresenta um mínimo para θe=41º, e um
máximo para 180- θe=139º
Quando mr=MR o máximo e o mínimo coincidem em θ=90º que é o ponto de
inflexão.
Quando MR>mr a função energia potencial é uma função decrescente de θ.

3. Equação do movimento
Na figura, é mostrada as forças que atuam sobre o disco e as
forças que atuam sobre o bloco de massa M. O disco gira no
sentido indicado com aceleração angular α, e o bloco tem uma
aceleração a. A relação entre ambas acelerações é a=α·R
Equação do movimento do bloco
Mg-T=Ma
Equação do movimento do disco e a massa pontual m
Iα=T·R-mgr·senθ
O momento de inércia do disco de massa md e da massa adicional m é
Eliminando a tensão T da corda, chegamos a equação diferencial do
movimento do disco
Resolvemos está equação diferencial por procedimentos numéricos com as
seguintes condições iniciais t=0, θ=0, dθ/dt=0.
Oscilações ao redor da posição de equilíbrio estável
Como caso particular, estudamos as oscilações de pequena amplitude, ao
redor da posição de equilíbrio θe
Colocando θ=θe+φ, na equação diferencial

4. Desenvolvendo o seno de uma soma, e aproximando senφ≈φ, cosφ≈1
Que é a equação diferencial de um MHS de freqüência angular
Exemplo:
Massa do disco, md=1 kg
Massa pontual colada ao disco, m=0.3 kg
Massa do bloco que pende, M=0.1 kg
Raio do disco R=1 m
Distância da massa pontual m ao centro do disco, r=0.5 m
Ângulos máximo e mínimo
A função energia potencial apresenta um mínimo para θe=41.8º, e um
máximo para 180- θe=138.2º
O período das oscilações de pequena amplitude ao redor da posição de
equilíbrio estável é

5. Na simulação, o sistema parte do repouso da posição θ=0. A energia inicial é
zero. Quando se encontra na posição θ=60º=π/3, a energia potencial vale
Ep=0.3·9.8·0.5(1-cos(π/3))-0.1·9.8·1.0·(π/3)=-0.29 J
A energia cinética é a soma da energia cinética de rotação do disco que se
move com velocidade angular ω, e a energia cinética do bloco que se move
com velocidade v. A relação entre ambas as velocidades é v= ω·R
Aplicando o princípio de conservação da energia
Ek+Ep=0,
0.3375ω2-0.29=0, ω=0.93 rad/s
A energia volta a ser zero na posição
Ep(θ)=mgr(1-cosθ)-MgR·θ=0. O ângulo θ, é obtido resolvendo a equação
transcendental
mr(1-cosθ)-MR·θ=0
1.5(1-cosθ)-θ=0
A raiz é θ=1.56 rad=89.2º, como podemos apreciar no primeiro gráfico.

6. O código na Linguagem Java para resolver uma equação transcendental pelo
procedimento do ponto médio, é encontrada na página titulada "Outros
máximos do tiro parabólico".
Duvidas e sugestões
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