1) O documento discute problemas de contagem dupla em combinatória, como contar conjuntos de objetos de pelo menos duas maneiras diferentes.
2) Um problema examina se é possível ligar cada uma de 9 casas distantes a exatamente 7 outras casas através de estradas.
3) Outro problema prova que em uma festa com um número par de pessoas, o número de pessoas que conhecem um número par de outras também é par.
1º bimestre 1º bloco - 01-03-2021 a 26-03-2021 - 5º ano aNivea Neves
1. O documento apresenta informações sobre conteúdos ensinados e atividades realizadas em Língua Portuguesa e Matemática na EMEF Alzira Cardoso entre 1 e 26 de março de 2021 para alunos do 5o ano A.
2. Os conteúdos de Língua Portuguesa incluem regras gramaticais, contos, pontuação e polissemia. Em Matemática, são abordados sistema de numeração decimal, figuras geométricas e polígonos.
3. São listadas atividades como completar pal
Este documento contém vários exercícios de ortografia com palavras para preencher espaços vazios com determinadas letras. O objetivo é praticar a escrita correta de palavras com base nos sons das letras.
La compañía publicitaria Father se caracterizó por realizar anuncios que conmocionaron a Costa Rica y rompieron esquemas establecidos. Compañías poderosas como McDonald's denunciaron sus comerciales, posiblemente por intereses económicos. Mega Super también conmocionó a Wallmart con sus anuncios, los cuales generaron pérdidas a su competencia PALI, por lo que se prohibió mencionar el nombre de Wallmart. El autor cree que en Costa Rica no hay libertad de expresión completa y que los intereses van más allá
O documento lista os preços de diversas ferramentas de manutenção de computadores, incluindo chaves, alicates, multímetro, pasta térmica e outros itens, com preços variando de R$1,00 a R$700,00. O texto também descreve um kit de ferramentas organizado para profissionais de manutenção, contendo chaves de fenda, canhão, phillips, alicate e outros itens.
The document is titled "Widyalaya 04" and appears to be about a school or educational institution. However, no other details are provided in the very short single sentence document. The topic or key information discussed is not clear from the limited information given.
1º bimestre 1º bloco - 01-03-2021 a 26-03-2021 - 5º ano aNivea Neves
1. O documento apresenta informações sobre conteúdos ensinados e atividades realizadas em Língua Portuguesa e Matemática na EMEF Alzira Cardoso entre 1 e 26 de março de 2021 para alunos do 5o ano A.
2. Os conteúdos de Língua Portuguesa incluem regras gramaticais, contos, pontuação e polissemia. Em Matemática, são abordados sistema de numeração decimal, figuras geométricas e polígonos.
3. São listadas atividades como completar pal
Este documento contém vários exercícios de ortografia com palavras para preencher espaços vazios com determinadas letras. O objetivo é praticar a escrita correta de palavras com base nos sons das letras.
La compañía publicitaria Father se caracterizó por realizar anuncios que conmocionaron a Costa Rica y rompieron esquemas establecidos. Compañías poderosas como McDonald's denunciaron sus comerciales, posiblemente por intereses económicos. Mega Super también conmocionó a Wallmart con sus anuncios, los cuales generaron pérdidas a su competencia PALI, por lo que se prohibió mencionar el nombre de Wallmart. El autor cree que en Costa Rica no hay libertad de expresión completa y que los intereses van más allá
O documento lista os preços de diversas ferramentas de manutenção de computadores, incluindo chaves, alicates, multímetro, pasta térmica e outros itens, com preços variando de R$1,00 a R$700,00. O texto também descreve um kit de ferramentas organizado para profissionais de manutenção, contendo chaves de fenda, canhão, phillips, alicate e outros itens.
The document is titled "Widyalaya 04" and appears to be about a school or educational institution. However, no other details are provided in the very short single sentence document. The topic or key information discussed is not clear from the limited information given.
O projeto tem como objetivo tornar a leitura de histórias algo prazeroso para as crianças, desenvolver suas habilidades e ampliar seu vocabulário. As crianças participarão de atividades da Hora do Conto, ouvindo e interpretando histórias, além de outras atividades como teatro, música e dança.
O documento descreve o projeto arquitetônico de um prédio residencial. A forma inicial foi modificada a partir de um retângulo esculpido em esponja floral, dividindo e removendo volumes para chegar na forma final com a adição de uma cobertura para um terraço. Detalha também a evolução da malha externa e interna, plantas baixas, e vistas do prédio.
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las importaciones de productos rusos de alta tecnología y a las exportaciones de bienes de lujo a Rusia. Además, se congelarán los activos de varios oligarcas rusos y se prohibirá el acceso de los bancos rusos a los mercados financieros de la UE.
Este documento lista los ingredientes necesarios para elaborar embutidos, incluyendo moldes para masa, tripas para embutido, calabaza, patatas, rabo de cerdo, panceta y envasado al vacío.
Translation by omission refers to omitting parts of the source text that are not essential to conveying the overall meaning when translating into another language. Examples provided show omitting words like "a tailor", "its", "by", "who", and "it" when translating from English to Vietnamese as their meanings are implied or the sentences remain clear and natural without them in the target language. Omitting unnecessary words allows for more fluent translations.
Charlin Chaplin foi um ator, diretor e comediante britânico famoso da era do cinema mudo, notabilizado por seu uso de mímica e comédia em seus filmes. Ele foi um dos atores mais famosos da época e contribuiu significativamente para o desenvolvimento da arte do cinema mudo.
Uma casa de 800m2 localizada na Praia da Ferradura em Buzios, Brasil está à venda. A casa principal tem 4 suítes, 3 salas de jantar, sala de home theater, piscina, sauna e área gourmet com vista para o mar. Há também uma casa para hóspedes com 3 suítes e 2 salas. A propriedade tem jardim, garagem para 5 carros e localização privilegiada entre hotéis de luxo da região. Contato para mais informações sobre preço e aluguel temporada.
Introdução a Redes de Computadores - 2 - Nível de aplicação (HTTP)Andre Peres
Este documento lista vários livros e materiais sobre redes de computadores licenciados sob a Creative Commons, incluindo livros impressos e em formato e-book sobre Redes de Computadores I, II e III. A lista também contém termos relacionados como intra-rede, rede, transporte, aplicação, placa de rede, software, aplicativo, sistema operacional, cliente e servidor.
Este documento descreve um projeto de arte educação usando materiais reciclados. O projeto visa conscientizar estudantes sobre a importância de valorizar resíduos e aproveitar tudo o que é descartado. Os alunos serão divididos em grupos para criar máscaras, quadros, bonecos e outras artesanias usando jornais, garrafas PET, sapatos e outros itens recicláveis.
O documento descreve o que são sombras chinesas, como figuras recortadas tradicionalmente em couro ou atualmente em cartão ou acetato, e como elas são manipuladas por trás de uma tela usando varas ou fios para criar movimento.
Este documento presenta las secciones clave para un proyecto de investigación, incluyendo la introducción sobre el tema y su justificación, los objetivos generales y específicos, el marco teórico, la metodología, el análisis de resultados, las conclusiones, recomendaciones, bibliografía y anexos. El propósito general es explicar el proyecto de investigación y sus componentes.
O documento fornece estatísticas alarmantes sobre assassinatos e educação no Brasil e propõe uma solução baseada em educação, ecologia e empoderamento da sociedade civil através da criação de uma rede online e empresas sustentáveis.
El documento describe un viaje de fin de curso de 4 días a Sevilla para alumnos de 4o de la ESO. Incluye las fechas del viaje del 16 al 19 de junio, los detalles del transporte en tren AVE, el itinerario de las visitas a lugares como la Plaza de España, la Catedral, y el Museo de Bellas Artes, y la documentación necesaria como la autorización firmada y el justificante del pago de 250 euros antes del 2 de abril.
O documento apresenta exemplos de sentenças matemáticas e equações, incluindo: (1) exemplos de sentenças matemáticas envolvendo números; (2) definição de equação como uma sentença matemática expressa por uma igualdade com elementos desconhecidos; (3) exemplos de equações de 1o grau com uma incógnita.
O documento apresenta exemplos de sentenças matemáticas e equações de 1o grau com uma incógnita. Explica que sentenças matemáticas envolvem números e podem ser escritas em linguagem simbólica. Equações são igualdades que contêm incógnitas representadas por letras. Dois problemas são resolvidos através da tradução para equações e aplicação das propriedades de igualdade.
1) O documento discute estratégias para ensinar combinatória, incluindo começar com problemas simples em vez de fórmulas complexas e aprender com erros. 2) Apresenta exemplos de problemas de combinatória e suas soluções usando princípios como aditividade e multiplicatividade. 3) Explica que a abordagem deve dividir problemas em decisões mais simples e não adiar dificuldades.
1) O documento descreve uma situação em que Joana e André brincam com números racionais e fracções.
2) Explica os conceitos de fracções próprias, impróprias e unitárias.
3) Demonstra como comparar e converter fracções com diferentes denominadores e numeradores.
O projeto tem como objetivo tornar a leitura de histórias algo prazeroso para as crianças, desenvolver suas habilidades e ampliar seu vocabulário. As crianças participarão de atividades da Hora do Conto, ouvindo e interpretando histórias, além de outras atividades como teatro, música e dança.
O documento descreve o projeto arquitetônico de um prédio residencial. A forma inicial foi modificada a partir de um retângulo esculpido em esponja floral, dividindo e removendo volumes para chegar na forma final com a adição de uma cobertura para um terraço. Detalha também a evolução da malha externa e interna, plantas baixas, e vistas do prédio.
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las importaciones de productos rusos de alta tecnología y a las exportaciones de bienes de lujo a Rusia. Además, se congelarán los activos de varios oligarcas rusos y se prohibirá el acceso de los bancos rusos a los mercados financieros de la UE.
Este documento lista los ingredientes necesarios para elaborar embutidos, incluyendo moldes para masa, tripas para embutido, calabaza, patatas, rabo de cerdo, panceta y envasado al vacío.
Translation by omission refers to omitting parts of the source text that are not essential to conveying the overall meaning when translating into another language. Examples provided show omitting words like "a tailor", "its", "by", "who", and "it" when translating from English to Vietnamese as their meanings are implied or the sentences remain clear and natural without them in the target language. Omitting unnecessary words allows for more fluent translations.
Charlin Chaplin foi um ator, diretor e comediante britânico famoso da era do cinema mudo, notabilizado por seu uso de mímica e comédia em seus filmes. Ele foi um dos atores mais famosos da época e contribuiu significativamente para o desenvolvimento da arte do cinema mudo.
Uma casa de 800m2 localizada na Praia da Ferradura em Buzios, Brasil está à venda. A casa principal tem 4 suítes, 3 salas de jantar, sala de home theater, piscina, sauna e área gourmet com vista para o mar. Há também uma casa para hóspedes com 3 suítes e 2 salas. A propriedade tem jardim, garagem para 5 carros e localização privilegiada entre hotéis de luxo da região. Contato para mais informações sobre preço e aluguel temporada.
Introdução a Redes de Computadores - 2 - Nível de aplicação (HTTP)Andre Peres
Este documento lista vários livros e materiais sobre redes de computadores licenciados sob a Creative Commons, incluindo livros impressos e em formato e-book sobre Redes de Computadores I, II e III. A lista também contém termos relacionados como intra-rede, rede, transporte, aplicação, placa de rede, software, aplicativo, sistema operacional, cliente e servidor.
Este documento descreve um projeto de arte educação usando materiais reciclados. O projeto visa conscientizar estudantes sobre a importância de valorizar resíduos e aproveitar tudo o que é descartado. Os alunos serão divididos em grupos para criar máscaras, quadros, bonecos e outras artesanias usando jornais, garrafas PET, sapatos e outros itens recicláveis.
O documento descreve o que são sombras chinesas, como figuras recortadas tradicionalmente em couro ou atualmente em cartão ou acetato, e como elas são manipuladas por trás de uma tela usando varas ou fios para criar movimento.
Este documento presenta las secciones clave para un proyecto de investigación, incluyendo la introducción sobre el tema y su justificación, los objetivos generales y específicos, el marco teórico, la metodología, el análisis de resultados, las conclusiones, recomendaciones, bibliografía y anexos. El propósito general es explicar el proyecto de investigación y sus componentes.
O documento fornece estatísticas alarmantes sobre assassinatos e educação no Brasil e propõe uma solução baseada em educação, ecologia e empoderamento da sociedade civil através da criação de uma rede online e empresas sustentáveis.
El documento describe un viaje de fin de curso de 4 días a Sevilla para alumnos de 4o de la ESO. Incluye las fechas del viaje del 16 al 19 de junio, los detalles del transporte en tren AVE, el itinerario de las visitas a lugares como la Plaza de España, la Catedral, y el Museo de Bellas Artes, y la documentación necesaria como la autorización firmada y el justificante del pago de 250 euros antes del 2 de abril.
O documento apresenta exemplos de sentenças matemáticas e equações, incluindo: (1) exemplos de sentenças matemáticas envolvendo números; (2) definição de equação como uma sentença matemática expressa por uma igualdade com elementos desconhecidos; (3) exemplos de equações de 1o grau com uma incógnita.
O documento apresenta exemplos de sentenças matemáticas e equações de 1o grau com uma incógnita. Explica que sentenças matemáticas envolvem números e podem ser escritas em linguagem simbólica. Equações são igualdades que contêm incógnitas representadas por letras. Dois problemas são resolvidos através da tradução para equações e aplicação das propriedades de igualdade.
1) O documento discute estratégias para ensinar combinatória, incluindo começar com problemas simples em vez de fórmulas complexas e aprender com erros. 2) Apresenta exemplos de problemas de combinatória e suas soluções usando princípios como aditividade e multiplicatividade. 3) Explica que a abordagem deve dividir problemas em decisões mais simples e não adiar dificuldades.
1) O documento descreve uma situação em que Joana e André brincam com números racionais e fracções.
2) Explica os conceitos de fracções próprias, impróprias e unitárias.
3) Demonstra como comparar e converter fracções com diferentes denominadores e numeradores.
Fracções próprias,impróprias,decimais e equivalentesmariacferreira
1) O documento descreve uma situação em que Joana e André brincam com números racionais e fracções.
2) Explica os conceitos de fracções próprias, impróprias e unitárias.
3) Demonstra como comparar e converter fracções com diferentes denominadores e numeradores.
Geometriamar - Prof. Marcelo Lopes - Permutação e Combinaçãogeometriamar.com.br
O documento discute permutações e combinações. Explica que o número de permutações simples de n objetos distintos é n!. Também explica que o número de permutações circulares de n objetos é (n-1)!. Fornece exemplos de cálculos de anagramas e disposições de objetos.
1) O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, apresentando estratégias para resolver problemas e exemplos resolvidos.
2) São fornecidas dicas como dividir problemas em decisões mais simples e começar pelas decisões mais restritas.
3) A combinatória estuda formas de contar elementos de um conjunto sob certas condições.
1) O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, fornecendo exemplos e estratégias para resolver problemas.
2) É importante começar pelas decisões mais restritas e dividir os problemas em etapas mais simples.
3) A contagem de permutações e combinações aparece com frequência e vale a pena decorar as fórmulas.
1) O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, fornecendo exemplos e estratégias para resolver problemas.
2) É importante começar pelas decisões mais restritas e dividir os problemas em etapas mais simples.
3) A contagem de permutações e combinações aparece com frequência e vale a pena decorar as fórmulas.
1) O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, fornecendo exemplos e estratégias para resolver problemas.
2) É importante começar pelas decisões mais restritas e dividir os problemas em etapas mais simples.
3) A contagem de permutações e combinações aparece com frequência e vale a pena decorar as fórmulas.
1) O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, fornecendo exemplos e estratégias para resolver problemas.
2) É importante começar pelas decisões mais restritas e dividir os problemas em etapas mais simples.
3) A contagem de permutações e combinações aparece com frequência e vale a pena decorar as fórmulas.
1) O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, fornecendo exemplos e estratégias para resolver problemas. 2) É importante começar pelas decisões mais restritas e dividir os problemas em etapas mais simples. 3) A contagem de elementos em conjuntos utiliza princípios como o aditivo e o multiplicativo.
1) O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, fornecendo exemplos e estratégias para resolver problemas.
2) É importante começar pelas decisões mais restritas e dividir os problemas em etapas mais simples.
3) A contagem de permutações e combinações aparece com frequência e vale a pena decorar as fórmulas.
1) O documento discute conceitos de combinatória e probabilidade, fornecendo exemplos e estratégias para resolver problemas. 2) É importante começar pelas decisões mais restritas e dividir os problemas em etapas mais simples. 3) A contagem de elementos em conjuntos utiliza princípios como o aditivo e o multiplicativo.
O documento apresenta um simulado com 20 questões sobre diferentes textos. As questões abordam compreensão leitora e interpretação de texto, incluindo significado de palavras e expressões, objetivo dos textos, pontos de vista e sentimentos expressos. Os textos tratam de diversos assuntos como tirinhas, notícias, brincadeiras, poemas e instruções de jogos.
I. O documento apresenta uma aula sobre raciocínio lógico ministrada por Guilherme Neves para preparação de concurso do BNDES.
II. A aula contém explicações sobre lógica proposicional e resolução de exercícios de raciocínio lógico retirados de provas anteriores da banca CESGRANRIO.
III. O objetivo é fornecer aos estudantes uma amostra do curso que abordará raciocínio lógico de forma a contemplar todos os assuntos que podem cair
Formulas para numeros primos 1ed - Eric Campos Bastos Guedesericnalanhouse2
Este documento discute números primos e suas propriedades. Ele introduz conceitos como divisibilidade, números primos, a sequência de números primos, e apresenta uma primeira fórmula para gerar números primos, embora de forma computacionalmente ineficiente. O documento também descreve o crivo de Eratóstenes, um algoritmo eficiente para encontrar números primos menores que um valor dado.
O documento descreve conceitos matemáticos sobre números naturais, incluindo:
1) A definição do conjunto dos números naturais N e operações como adição, subtração, multiplicação e divisão nesse conjunto.
2) Exemplos de ideias básicas para cada operação como juntar quantidades iguais para adição e distribuir igualmente para divisão.
3) A noção de que o conjunto N é infinito pois todo número natural tem um sucessor.
Este documento apresenta uma série de problemas matemáticos de diferentes tipos para serem resolvidos, incluindo problemas com equações do 1o grau, problemas com euros, problemas sobre idades e problemas geométricos e clássicos. Os alunos devem resolver os problemas e registrar as respostas.
1) O documento contém 18 questões de matemática e física sobre trigonometria, probabilidade, cinemática e dinâmica. 2) As questões incluem simplificação de expressões trigonométricas, provas de identidades trigonométricas, cálculo de probabilidades e resolução de equações. 3) As questões de física envolvem movimento retilíneo uniforme, movimento circular uniforme, movimento projetil e corpos em queda livre.
O documento discute um experimento realizado por uma professora para identificar o mosquito Aedes aegypti usando lentes de aumento. Ao usar duas lentes diferentes, uma imagem foi reduzida ao invés de aumentada, indicando que uma das lentes era divergente.
Este documento apresenta dez problemas de combinatória e suas respectivas soluções. Os problemas envolvem temas como formação de placas de carros, números palíndromos, coloração de listras em bandeiras e escolha de senhas bancárias. As soluções utilizam raciocínio combinatório para quantificar as possibilidades em cada caso.
1. O documento contém 43 problemas de circuitos elétricos e eletrodinâmica para serem resolvidos.
2. É fornecido o email do professor Helanderson Sousa para envio das soluções ou tirar dúvidas.
3. Alguns problemas foram retirados de sites como o Gilson Resolve e fórum de Física e Matemática PIR2.
1. O documento apresenta uma série de problemas sobre funções em geral, incluindo determinação de valores de funções, análise de gráficos e propriedades de funções.
2. São abordados conceitos como função do primeiro grau, função afim, composição de funções, inversa de funções, máximos e mínimos, entre outros.
3. São propostos diversos exercícios para que o leitor teste seu entendimento sobre esses conceitos e resolva problemas envolvendo diferentes tipos de funções.
O documento discute equilíbrio e estabilidade de um disco com massa adicional colada, descrevendo: 1) A equação que relaciona o deslocamento angular de equilíbrio ao momento das massas; 2) A função energia potencial do sistema e seus extremos; 3) A equação diferencial do movimento do disco e simulações numéricas considerando oscilações ao redor do equilíbrio.
O documento discute o cálculo do momento de inércia para vários objetos geométricos. Primeiro, apresenta a fórmula geral para o cálculo do momento de inércia para distribuições contínuas e discretas de massa. Em seguida, aplica esta fórmula para calcular o momento de inércia de objetos como varinhas, discos, cilindros, placas retangulares e esferas.
Este documento contém 11 questões sobre óptica geométrica, incluindo leis de refração e reflexão, imagens formadas por lentes e espelhos. As questões abordam tópicos como índice de refração, ângulos de incidência e refração, distâncias focais, posições de imagem e objetos conjugados.
Este documento apresenta 15 problemas sobre gravitação e mecânica orbital. Os problemas cobrem tópicos como cálculo de trabalho realizado contra a gravidade, períodos de rotação planetária, velocidades em órbitas elípticas e relações geométricas nessas órbitas. As soluções para todos os problemas serão postadas futuramente.
O documento apresenta 12 problemas de matemática para uma olimpíada, incluindo sistemas de equações, geometria, números divisíveis e arranjos de letras em palavras.
Este documento contém 6 problemas sobre termodinâmica de gases ideais. Os problemas envolvem cálculos de massa de gás, trabalho realizado em processos isotérmicos e isobáricos, equilíbrio de pressões em sistemas conectados e variação de pressão com a altura em um campo gravitacional. As soluções utilizam equações como a lei dos gases ideais e a equação de Clapeyron.
Este documento apresenta 15 problemas sobre gravitação e mecânica orbital. Os problemas cobrem tópicos como cálculo de trabalho realizado contra a gravidade, períodos de rotação planetária, velocidades em órbitas elípticas e relações geométricas nessas órbitas. As soluções para todos os problemas serão postadas futuramente.
Este documento contém 6 problemas sobre termodinâmica de gases ideais. Os problemas envolvem cálculos de massa de gás, trabalho realizado em processos isotérmicos e isobáricos, equilíbrio de pressões em sistemas conectados e variação de pressão com a altura em um campo gravitacional. As soluções utilizam equações como a lei dos gases ideais e a equação de Clapeyron.
Este documento contém 6 problemas sobre termodinâmica de gases ideais. Os problemas envolvem cálculos de massa de gás, trabalho realizado em processos isotérmicos e isobáricos, equilíbrio de pressões em sistemas conectados e variação de pressão com a altura em um campo gravitacional. As soluções utilizam equações como a lei dos gases ideais e a equação de Clapeyron.
Este documento contém 6 problemas sobre termodinâmica de gases ideais. Os problemas envolvem cálculos de massa de gás, trabalho realizado em processos isotérmicos e isobáricos, equilíbrio de pressões em sistemas conectados e variação de pressão com a altura em um campo gravitacional. As soluções utilizam equações como a lei dos gases ideais e a equação de Clapeyron.
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
1. C ONTAGENS D UPLAS
S AMUEL F EITOSA
´ ´
Em um grande numero de problemas de combinatoria precisamos contar algum conjunto de pelo menos duas maneiras
´
diferentes. Nosso proposito ser´ estudar algumas formas de fazer tais contagens. O leitor deve PENSAR bastante em cada
a
¸˜ ¸˜ ´
problema antes de ver a solucao. As secoes est˜ o organizadas em ordem crescente de dificuldade, sendo a ultima bem mais
a
avancada que as demais.
¸
1 Grafos
a ´
Problema 1. Em Brasilˆ ndia existem apenas 9 casas muito distantes entre si. E poss´vel que cada casa esteja ligada a exata-
ı
mente 7 outras casas atrav´ s de estradas?
e
Solucao N˜ o e poss´vel. Some a quantidade de estradas que saem de cada casa. Bem, facilmente obtemos 7 × 9 = 63
¸˜ a ´ ı
´
estradas. Como cada estrada liga duas cidades, a contagem que fizemos contou cada estrada duas vezes. Logo o numero
obtido teria que ser par.
a ´
Ser´ que cada casa estar ligada a exatamente 7 outras foi crucial? E poss´vel revolvermos o problema anterior com um
ı
enunciado mais geral:
Problema 2. Prove que numa festa com n pessoas, o numero de pessoas que conhecem um numero ´mpar de outras pessoas
´ ´ ı
´
na festa e par.
Solucao Numere as pessoas de 1 at´ n e denote por di o numero de amigos da pessoa i. Imagine que existe um fio entre
¸˜ e ´
duas pessoas que se conhecem. Se E denota a quantidade de fios, temos
d1 + d2 + . . . + dn = 2E,
´ ´
pois cada fio e contado duas vezes, um para cada ponta. Como o lado direito e par, no lado esquerdo devemos ter uma
quantidade par de numeros ´mpares.
´ ı
´
Para professores. E recomend´ vel que, na sala de aula, o professor tente primeiro introduzir as ideias envolvidas na con-
a
¸˜ ´
tagem dupla anterior sem introduzir notacao desnecess´ ria, por exemplo, ao explicar o que e um grafo antes mesmo de
a
resolver alguns problemas. Enunciados envolvendo objetos completamente diferentes, pessoas e casas como nos exemplos
´
anteriores, podem ser uteis para levar o aluno a ituir que as ideias s˜ o mais gerais e abstratas.
a
Problema 3. Prove que numa festa com 2n, pessoas existem duas com um numero par de amigos em comum.
´
Solucao Suponha que quaisquer duas pessoas tenham um numero ´mpar de amigos em comum e seja A um dos partici-
¸˜ ´ ı
pantes da festa. Seja M = {F1 , F2 , . . . , Fk } o conjunto dos amigos de A. Considere uma nova festa restrita apenas ao conjunto
M . Como cada Fi tem um numero ´mpar de amigos em comum com A, na nova festa, cada Fi possui um numero ´mpar de
´ ı ´ ı
amigos. Pelo exemplo anterior, k deve ser par. O mesmo argumento vale para qualquer pessoa na festa e consequentemente
todos conhecem um numero par de pessoas. Peca para cada um dos amigos de A fazerem uma lista de seus amigos difer-
´ ¸
entes de A. A soma da quantidade de nomes listados e par, pois e uma soma de uma quantidade par (igual a k) de numeros
´ ´ ´
´mpares (cada Fi possui um numero ´mpar de amigos diferentes de A). Agora comparemos o numero de aparicoes de cada
ı ´ ı ´ ¸˜
uma das 2n−1 pessoas diferentes de A nessas listas. Se cada uma delas aparecer em um numero ´mpar de listas, a soma total
´ ı
de todos os nomes em todas as listas seria ´mpar (Lembre-se que a soma de uma quantidade ´mpar de numeros ´mpares e
ı ı ´ ı ´
ı ´ ¸˜ ´
´mpar!). Mas isso e uma contradicao. Logo, existem duas pessoas na festa com um numero par de amigos em comum.
a ´
Problema 4. (Lema de Sperner) Um triˆ ngulo e dividido em triˆ ngulos menores de modo que quaisquer dois dentre os
a
triˆ ngulos menores ou n˜ o tˆ m ponto em comum, ou tˆ m um v´ rtice em comum, ou tˆ m um lado (completo) em comum.
a a e e e e
Os v´ rtices do triˆ ngulo maior s˜ o numerados: 1, 2, 3. Os v´ rtices dos triˆ ngulos menores tamb´ m s˜ o numerados: 1, 2 ou 3.
e a a e a e a
A numeracao e arbitr´ ria, exceto que os v´ rtices sobre o lado do triˆ ngulo maior oposto ao v´ rtice i (i = 1, 2, 3) n˜ o podem
¸˜ ´ a e a e a
1
2. receber o numero i (veja a figura). Mostre que entre os triˆ ngulos menores existe um cujos v´ rtices s˜ o numerados 1, 2, 3.
´ a e a
(Colocar Figura)
¸˜
Solucao Uma boa estrat´ gia seria pensar numa vers˜ o particular do problema. Olhando para o bordo do triˆ ngulo, temos
e a a
¸˜
uma situacao semelhante ao problema inicial com uma dimens˜ o e uma cor a menos. Consideremos, por exemplo, o lado
a
dos v´ rtices 1 e 2, poder´amos provar que dentre os segmentos da divis˜ o deste lado, sempre existe um numero ´mpar de
e ı a ´ ı
segmentos com as cores 1 e 2. Imagine uma pessoa com uma bandeira abaixada no v´ rtice 1 caminhando em direcao ao
e ¸˜
v´ rtice 2. Ao passar por um v´ rtice vermelho, a pessoa deve levantar a bandeira e ao passar por um v´ rtice branco a pessoa
e e e
deve abaixar a bandeira. Ao final do trajeto, a bandeira estar´ abaixada e consequentemente a pessoa ter´ realizado um
a a
numero ´mpar de movimentos de abaixar e levantar a bandeira. Mas cada movimento de abaixar ou levantar a bandeira
´ ı
corresponde a um segmento com as cores 1 e 2. Outro modo de ver isso, e perceber que a adicao de um vertice de qualquer
´ ¸˜
uma das duas cores, n˜ o altera a paridade da quantidade de segmentos com v´ rtices de cores diferentes. Agora tentemos
a e
usar essa informacao para resolver o problema. Contaremos o numero de segmentos 12 (com algumas repeticoes). Eles
¸˜ ´ ¸˜
aparecem nos triˆ ngulos de v´ rtices 123, 122 e 112. Digamos que h´ x triˆ ngulos 123, y triˆ ngulos 122 e z triˆ ngulos 112.
a e a a a a
Observe que os segmentos internos ao triˆ ngulo grande s˜ o contados duas vezes (eles s˜ o comuns a dois triˆ ngulos) e os
a a a a
segmentos do lado do triˆ ngulo grande, somente uma vez. Notemos tamb´ m que os segmentos 12 aparecem duas vezes nos
a e
triˆ ngulos 122 e 112 e uma vez nos triˆ ngulos 123. Assim,
a a
2 × segmentos interiores 12 + segmentos nos lados 12 =
numero de segmentos 12 = x + 2y + 2z.
´
Como existe uma quantidade ´mpar de segmentos nos lados, conclu´mos que x e ´mpar.
ı ı ´ı
Exerc´cios Propostos
ı
1. Em uma festa com 23 pessoas, e poss´vel que cada um possua 1, 3 ou 5 amigos na festa?
´ ı
´
2. E poss´vel desenhar 9 segmentos de reta no plano de tal forma que cada um intersecta exatamente 3 outros?
ı
a a ´
3. Existem 1000 cidades em Brazilˆ ndia e alguns pares de cidades s˜ o ligadas por uma estrada de terra. E poss´vel viajar
ı
de uma cidade para qualquer outra atrav´ s das estradas de terra. Prove que o governo de Brazilˆ ndia pode pavimentar
e a
algumas estradas de modo que de cada cidade saia um numero ´mpar de estradas pavimentadas.
´ ı
2 Identidades Binomiais
´ ´ ´
Uma excelente maneira de valorizar o significado de um numero binomial e, logo apos defin´-lo, estudar propriedades deste
ı
a ¸ ´
objeto sem necessariamente calcul´ -lo explicitamente. Facamos o mesmo aqui: O numero de maneiras de selecionarmos
um subconjunto de r elementos distintos de um conjunto de n elementos distintos, onde a ordem da selecao n˜ o importa, e
¸˜ a ´
denotado por n .
r
¸˜
Problema 5. Prove as seguintes afirmacoes:
n n n+1
¸˜
1. (Relacao de Stifel) + = .
r r+1 r+1
2n + 2 2n 2n 2n
2. = +2 + .
n+1 n+1 n n−1
¸˜
Solucao
1. O lado direito conta o numero de maneiras de escolhermos r + 1 pessoas em um grupo de n + 1. Podemos dividir essas
´
escolhas em dois grupos: aquelas que cont´ m um certo indiv´duo ( n ) e aquelas que n˜ o o cont´ m ( r+1 ).
e ı r a e n
2. O lado esquerdo conta o numero de maneiras de escolhermos n + 1 pessoas no grupo da 2n + 2 pessoas que est˜ o
´ a
comemorando o aniver´ rio da Ana e do jo˜ o. Essas escolhas se dividem em trˆ s grupos, aquelas que n˜ o cont´ m Ana
a a e a e
e Jo˜ o ( n+1 ), aquelas que cont´ m apenas um dos dois (2 2n ) e aquelas que cont´ m ambos ( n−1 ).
a 2n
e n e 2n
Problema 6. (Teorema das Colunas) Mostre que:
k
n+i n+k+1
= .
i=0
n n+1
2
3. Solucao Suponha que exista uma fila de n + 1 + k pessoas. As primeiras k + 1 pessoas s˜ o c0 , c1 , . . . , ck e est˜ o ordenadas
¸˜ a a
pelas suas alturas. O lado direito conta o numero de maneiras de escolhermos n + 1 pessoas nesse grupo. Certamente
´
precisaremos escolher algu´ m do conjunto {c0 , c1 , . . . , ck } = C. Seja Ci o conjunto das escolhas em que o menor elemento de
e
C escolhido e ci . Qualquer escolha faz parte de algum desses Ci ’s. Para calcular o numero de elementos de Ci , veja que ci
´ ´
deve fazer parte dessa escolha e os outros n elementos devem ser escolhidos dentre os elementos posteriores a ci , i.e., temos
n + k + 1 − i candidatos. Logo,
k k
n+k+1 n+i
= |Ci | = .
n+1 i=0 i=0
n
n n n
Problema 7. Mostre que: 1 · +2· + ... + n · = n2n−1
1 2 n
¸˜ ´
Solucao Vamos contar o numero de maneiras de escolhermos algumas criancas para passearem e, al´ m disso, uma delas
¸ e
para ganhar um sorvete. Como a crianca que ganhar´ o sorvete certamente estar´ no passeio, podemos comecar escolhendo-
¸ a a ¸
a. Podemos fazer isso de n maneiras. Das criancas que restaram, devemos escolher algum subconjunto para acompanhar a
¸
primeira crianca, podemos fazer isso de 2n−1 maneiras, isso nos d´ o lado direito. Por outro lado, para cada k ≥ 1, podemos
¸ a
escolher k criancas ( n ) e, posteriormente, podemos escolher uma delas para ganhar o sorvete de k maneiras. A soma sobre
¸ k
todos os k, contar´ todos os conjuntos.
a
Problema 8. (Putnam 1962) Mostre que:
n
n
r2 = n(n + 1)2n−2 .
r=1
r
¸˜ ¸˜
Solucao Vamos construir uma situacao semelhante ao problema anterior, sendo que agora seremos mais bondosos, al´ m e
de escolher uma crianca para ganhar um sorvete tamb´ m escolheremos uma crianca para ganhar um caramelo (a crianca
¸ e ¸ ¸
´
pode ser a mesma). O lado esquerdo conta essas escolhas como no problema anterior. Agora queremos contar o numero de
maneiras de primeiro escolhermos as criancas que v˜ o receber as guloseimas e depois aquelas que ir˜ o acompanh´ -las. Se
¸ a a a
essas duas criancas s˜ o diferentes, temos n(n − 1)2n−2 escolhas. Se essas criancas s˜ o iguais, temos n2n−1 escolhas. Agora
¸ a ¸ a
basta ver que:
n(n − 1)2n−2 + n2n−1 = n(n + 1)2n−2 .
Exerc´cios Propostos
ı
1. Prove as seguntes identidades utilizando argumentos de contagens duplas:
n n n
(a) + + ... = 2n
0 1 n
n
n
(b) (−1)k =0
k
k=0
n m n n−r
(c) = .
m r r m−r
n n−1 n n!
(d) k · =n· e com isso conclua que = .
k k−1 k k!(n − k)!
k
n m n+m
(e) (Identidade de Vandermonde) = .
j=0
j k−j k
2. Considere a sequˆ ncia de Fibonacci definida por F0 = 0, F1 = 1 e Fn+2 = Fn+1 + Fn . Prove que:
e
(a) O numero de maneiras de cobrirmos um tabuleiro 2 × n, sem sobreposicao, com pecas 1 × 2 e Fn+1 .
´ ¸˜ ¸ ´
(b) Fn+m = Fn−1 Fm + Fn Fm+1 .
n n−k+1
(c) k=0 k = Fn+1 .
3. Definimos por Dn o numero de permutacoes de {1, 2 . . . , n} sem pontos fixos (um elemento i e um ponto fixo quando
´ ¸˜ ´
ele ocupa a posicao i na permutacao). Usando o princ´pio da inclus˜ o-exclus˜ o podemos obter:
¸˜ ¸˜ ı a a
1 1 1
Dn = n! 1 − + − . . . + (−1)n .
1! 2! n!
Mostre que:
n
n
n! = Dn−r .
r=0
r
3
4. ´
4. Encontre uma formula fechada para a soma
2 2 2
n n n
+ + ... + .
0 1 n
5. Seja n um inteiro n˜ o negativo. Mostre que:
a
n 2
n 2n − 1
k =n
k n−1
k=0
3 Tabuleiros
` ´
Se o que queremos contar est´ de alguma forma associado a numeros escritos em um tabuleiro, temos uma contagem dupla
a
´ ´ ` ´
extremamente natural: a soma dos numeros escritos nas linhas e igual a soma dos numeros escritos nas colunas.
ı ¸˜
Problema 9. (Olimp´ada Russa) Duzentos estudantes participaram de uma competicao matem´ tica. A prova possuia 6
a
problemas. Sabemos que cada problema foi resolvido corretamente por pelo menos 120 estudantes. Prove que existem dois
¸˜
participantes de modo que para qualquer problema, pelo menos um deles dois conseguiu uma solucao correta.
Solucao Facamos um tabuleiro 200 × 6 representando o resultado dos estudantes. Cada linha representar´ um estudante
¸˜ ¸ a
e cada problema resolvido pelo estudante i ser´ marcado com o numero 1 na tabela. Caso o problema n˜ o tenha sido re-
a ´ a
´
solvido, marcaremos o numero zero. Pensemos inicialmente em casos extremais. O que acontece se um estudante resolveu
os seis problemas? Basta escolhermos um estudante qualquer e a dupla desejada estar´ formada. Se um estudante resolveu
a
5 problemas, tamb´ m podemos obter facilmente nossa dupla. E se um estudante tiver resolvido exatamente 4 problemas?
e
Suponha, sem perda de generalidade, que ele n˜ o resolveu os problemas 5 e 6. Sabemos que pelo menos 120 pessoas re-
a
solveram o problema 5. Se nenhuma delas tiver resolvido o problema 6, saberemos que no m´ ximo 80 pessoas o resolveram.
a
Mas isso contradiz o enunciado e assim temos certeza que pelo menos uma pessoa resolveu ambos os problemas. Resta
mostrar que esse tipo de situacao sempre acontece, i.e., existe algu´ m que resolveu pelo menos 4 problemas. Agora usare-
¸˜ e
mos a contagem dupla. A soma dos numero das colunas e pelo menos 6 × 120 = 720. Como existem 200 linhas, pelo menos
´ ´
720
uma delas ter´ soma 200 > 3, ou seja, pelo menos uma linha ter´ 4 numeros 1’s.
a a ´
A estrat´ gia do problema anterior foi associar uma matriz com entradas em {0, 1} que codificasse o enunciado e realizar
e
´ ´
as duas somas poss´veis no numero de uns: pelas linhas e pelas colunas. Outra estrat´ gia importante e contar pares de
ı e
´ ¸˜
numeros de uns ou zeros em uma mesma linha ou coluna. Vejamos uma nova solucao para o problema anterior usando essa
ideia.
¸˜ ¸˜ ´
Solucao Suponha que a afirmacao e falsa, i.e., para cada par de estudantes, existe pelo menos um problema que n˜ o foi
a
resolvido por eles. Facamos uma matriz 200 × 6 como anteriormente. Para cada par de linhas j e k, cole uma etiqueta
¸
Ejk ao problema i se ele n˜ o foi resolvido pelos estudantes correspondentes. Contemos o numero de etiquetas utilizadas.
a ´
Para cada par de linhas, devemos usar pelo menos uma etiqueta, logo o numero m´nimo de etiquetas e 200 . Como cada
´ ı ´ 2
80
problema foi resolvido por pelo menos 120 estudantes, os seis problemas podem receber no m´ ximo 6 · 2 etiquetas. Como
a
200
2 < 6 · 80 , temos um absurdo.
2
Problema 10. (Olimp´ada Russa) Bruno pintou k casas de um tabuleiro n × n de preto. Ele observou que n˜ o existiam
ı a
quatro casas pretas formando um um retˆ ngulo com lados paralelos aos lados do tabuleiro. Mostre que:
a
√
1 + 4n − 3
k≤n .
2
¸˜
Solucao Ao pintar duas casas pretas em uma mesma linha, Bruno cria um empedimento para sua pintura: n˜ o poder´
a a
pintar outras duas casas pretas nessas colunas. Comecemos contando esses empedimentos. Denotemos por ai o numero de
´
n
casas pintadas na linha i, ent˜ o i=1 ai = k. Para cada par de casas pintadas na linha i, associemos uma etiqueta Ejk se
a
essas casas est˜ o nas colunas j e k. O numero de etiquetas utilizadas e
a ´ ´
n
ai
,
i=1
2
ai
pois em cada linha temos 2 pares de quadrados pintados. Como n˜ o podemos repetir etiquetas, pois assim formar´amos
a ı
4
5. n
´ a ´
um quadrado, o numero m´ ximo de etiquetas utilizadas e 2 . Logo,
n
ai n
≤
i=1
2 2
n
a2 − ai
i n2 − n
≤ .
i=1
2 2
n n
Pela desigualdade de Cauchy, ( i=1 a2 )n
i ≥( i=1 ai )2 = k 2 , consequentemente,
k2 k n2 − n
− ≤
2n 2n 2
Estudando o sinal da inequacao do segundo grau em k, obtemos que,
¸˜
√
1 + 4n − 3
k≤n .
2
Problema 11. (IMO 1998/2) Num concurso, h´ a candidatos e b ju´zes, onde b ≥ 3 e ´mpar. Cada candidato e avaliado por
a ı ´ı ´
cada juiz, podendo passar ou n˜ o. Sabe-se que os julgamentos de cada par de ju´zes coincidem em no m´ ximo k candidatos.
a ı a
Prove que
k b−1
≥
a 2b
Solucao Facamos um tabuleiro a × b onde as linhas representam os candidatos e as colunas os ju´zes. Na intersecao de uma
¸˜ ¸ ı ¸˜
linha e coluna, colocaremos um numero 1 caso aquele ju´z tenha aprovado aquele estudante e o numero 0 caso contr´ rio.
´ ı ´ a
Se os ju´zes das colunas i e j concordam com o julgamento do aluno da coluna k, pregamos uma etiqueta Eij nesse aluno.
ı
´
Calculemos o numero de etiquetas pregadas de duas maneiras. Primeiramente, para cada par de colunas, sabemos que
a ´ ´ ` b
existem no m´ ximo k etiquetas associadas. Logo, o numero de etiquetas usadas e menor ou igual a 2 k. Para contar esse
numero usando as linhas, denotaremos por ai o numero de zeros na linha i. Assim, para cada linha, temos exatamente
´ ´
ai
2 + b−ai . As duas contagens resultam em:
2
a
ai b − ai b
+ ≤ k
i=0
2 2 2
Agora vamos fazer outra contagem dupla para estimar o termo ai + b−ai . O que ele conta? Conta o numero de maneira
2 2 ´
de escolhermos duas pessoas do mesmo sexo em um grupo de ai homens e b − ai mulheres. Esse numero tamb´ m pode
´ e
b
ser calculado contando o numero escolhas de duas pessoas quaisquer ( 2 ) retirando-se aquelas escolhas mistas (ai (b − ai )).
´
Como b e impar,
´
1 ≤ (b − 2ai )2
1 + 4ai (b − ai ) ≤ b2
b2 − 1
ai (b − ai ) ≤
4
Substituindo na primeira desigualdade, obtemos:
a
b b2 − 1 b
− ≤ k
i=0
2 4 2
b(b − 1) (b − 1)(b + 1) b(b − 1)
a −a ≤ k
2 4 2
b+1
ab − ≤ kb
2
b−1 k
≤
2b a
Exerc´cios Propostos
ı
1. (Olimp´ada Russa) Com os d´gitos 1 e 2 formamos 5 numeros de n d´gitos de tal forma que dois quaisquer destes
ı ı ´ ı
numeros coincidam em exatamente m casas decimais e n˜ o existe nenhuma casa decimal onde coincidam os 5 numeros.
´ a ´
Demonstre que:
2 m 3
≤ ≤ .
5 n 5
5
6. 2. Em um certo comitˆ , cada membro pertence a exatamente trˆ s subcomitˆ s e cada subcomitˆ possui exatamente trˆ s
e e e e e
´ ´ ´
membros. Prove que o numero de membros e igual ao numero de subcomitˆ s.e
3. (Olimp´ada Balcˆ nica 1997) Sejam m e n inteiros maiores que 1. Seja S um conjunto com n elementos, e sejam
ı a
A1 , A2 , . . . , Am suconjuntos de S. Assuma que para quaisquer dois elementos x e y em S, existe um conjunto Ai
tal que ou x est´ em Ai e y n˜ o est´ em Ai ou x n˜ o est´ em Ai e y est´ em Ai . Prove que n ≤ 2m .
a a a a a a
4. (Olimp´ada Romena 2003) Um inteiro n, n ≥ 2, e bonito se existe uma fam´lia de conjuntos A1 , A2 , . . . , An de subcon-
ı ´ ı
juntos do conjunto {1, 2, . . . , n} tais que:
(1) i ∈ Ai para todo i.
(2) i ∈ Aj se e somente se j ∈ Ai , para ´ndices distintos i e j.
/ ı
(3) Ai ∩ Aj e n˜ o vazio para todos i, j ∈ {1, 2, . . . , n}.
´ a
Prove que:
a) 7 e bonito.
´
b) n e bonito se e somente se n ≥ 7.
´
4 Comitˆ s e Conjuntos
e
´
O caso mais comum para usarmos contagens duplas e quando o conjunto que queremos contar possui uma estrutura de
porduto A × B, pois nesse caso:
|(a, B)| = |(A, b)|
a∈A b∈B
¸˜
Nessa secao, trataremos de alguns exemplos onde esta estruturua n˜ o est´ t˜ o evidente no problema.
a a a
Problema 12.
1
H´ n tipos de doce na loja do Z´ . Um dia, m amigos se juntam para comprarem k doces diferentes cada um. Cada tipo de
a e
doce e comprado por r dos amigos. Cada par de tipo de doces e escolhido por t amigos. Prove que:
´ ´
(i) mk = nr;
(ii) r(k − 1) = t(n − 1).
Solucao O numero de doces levados da loja e mk. Como cada doce e levado por r amigos, esse numero tamb´ m e nr.
¸˜ ´ ´ ´ ´ e ´
a ¸˜ ´ ´ r
Quantos pares de doces s˜ o levados? Pela ultima informacao do enunciado, esse numero e t 2 . Por outro lado, cada amigo
´
leva k pares de doces, logo:
2
r k
t = m
2 2
r(r − 1) k(k − 1)
t = m
2 2
r(r − 1) nr(k − 1)
t =
2 2
r(k − 1) = t(n − 1)
Problema 13. 2 Seja X um conjunto com n elementos (n ≥ 1). Suponha que F = {A1 , A2 , . . . , Am } e uma fam´lia de
´ ı
subconjuntos de X com a propriedade que
|Ai ∩ Aj | = 1,
para todos i = j. Mostre que m ≤ n.
Solucao Suponhamos inicialmente que m ≥ 2 (Quando m < 2 o problema e trivial). Al´ m disso, suponhamos que nenhum
¸˜ ´ e
Ai e vazio ou igual ao conjunto todo. Iremos nos concentrar nos pares (x, A) onde x ∈ A. Suponha que o elemento x pertence
´ /
exatamente aos d(x) conjuntos: {A1 , A2 , . . . , Ad(x) }. Como |A ∩ Ai | = 1, para cada i ∈ {1, 2, . . . , d(x)}, deve existir um xi = x
1 Vocˆ
e poder´ encontrar mais exemplos como esse estudando Block designs.
a
2 Este ´ ¸˜ ´
problema e um caso particular da desigualdade de Fischer. Uma solucao elementar para este problema pode ser encontrada usando Algebra
Linear
6
7. tal que xi ∈ A ∩ Ai . Al´ m disso, se i = j, xi = xj e consequentemente |A| ≥ d(x). Se m > n, m − d(x) > n − d(x) ≥ n − |A| e
e
portanto,
d(x) |A|
< .
m − d(x) n − |A|
|A|
Para cada tal par (x, A), some o numero
´ . Qual numeros iremos obter? Fixado A, existem n − |A| poss´veis valores
´ ı
n − |A|
de x, logo:
|A| (n − |A|)|A|
= = |A|.
n − |A| n − |A|
(x,A) A A
Fixado x, existem m − d(x) possibilidade para A, portanto, a soma anterior deve ser maior que
d(x) (m − d(x)d(x))
= = d(x).
m − d(x) x
m − d(x) x
(x,A)
Assim obtivemos um absurdo pois A |A| = x d(x) (estamos contando os elementos que foram usados nos conjuntos de
duas formas). Os casos em que algum dos Ai ’s e igual ao conjunto todo ou o conjunto vazio e deixado para o leitor.
´ ´
Problema 14. (Banco IMO 2004) Existem n estudantes em uma universidade, n inteiro ´mpar. Alguns estudantes se reunem
ı
em clubes (um estudante pode pertencer a clubes diferentes). Alguns clubes se reunem para formar algumas sociedades(um
clube pode pertencer a diferentes sociedades). Existem k sociedades. Suponham que acontecam as seguintes condicoes:
¸ ¸˜
i) cada par de estudantes est´ em exatamente um clube.
a
ii) para cada estudante e cada sociedade, o estudante est´ em exatamente um clube da sociedade,
a
iii) cada clube tem um numero ´mpar de estudantes e, al´ m disso, um clube com 2m + 1 estudantes (m > 0) est´ em
´ ı e a
exatamente m sociedades.
Encontre todos os valores poss´veis de k.
ı
Solucao Vamos contar o numero de triplas (e, C, S) onde e e um estudante, C e um clube e S e uma sociedade. Fixados
¸˜ ´ ´ ´ ´
e e S, existe apenas uma possibilidade para C, assim, em nossa primeira contagem obtivemos nk tais triplas. Fixado uma
|C| − 1
comiss˜ o C, temos
a possibilidades para S, e uma vez que escolhemos C e S, temos |C| possibilidades para e(ele deve
2
ser um estudante em C). Assim, o numero de tais triplas e
´ ´
|C|(|C| − 1)
nk =
2
C
= total de pares de estudantes nos clubes
n
=
2
n−1
E consequentemente, k = ´ ´
. Um exemplo onde este valor e atigindo e considerando apenas um clube com todos os
2
estudantes e k sociedades iguais formadas por esse unico clube.
´
Exerc´cios Propostos
ı
˜
1. Nove cientistas trabalham em um projeto sigiloso. Por questoes de seguranca, os planos s˜ o guardados em um cofre
¸ a
´ ´
protegido por muitos cadeados de modo que so e poss´vel abr´-los todos se houver pelo menos 5 cientistas presentes.
ı ı
´ ´
(i) Qual e o numero m´nimo poss´vel de cadeados?
ı ı
(ii) Na situacao do item (i), quantas chaves cada cientista deve ter?
¸˜
2. (Olimp´ada Russa)
ı
(i) Uma comiss˜ o se reuniu 40 vezes. Em cada reuni˜ o estiveram presentes 10 pessoas de tal maneira que quaisquer
a a
dois dos membros da comiss˜ o n˜ o estiveram juntos em mais de uma oportunidade. Demonstre que a quantidade
a a
a ´
de membros da comiss˜ o e maior que 60.
(ii) Demonstre que com 25 pessoas n˜ o se pode formar mais que 30 comissoes de 5 pessoas cada uma de modo que
a ˜
˜
n˜ o existam duas comissoes que tenham mais de um membro em comum.
a
7
8. 3. (OBM,1992/8) Em um torneio de xadrez cada jogador disputou uma partida com cada um dos demais participantes. A
1
cada partida, havendo empate, cada jogador ganhou ponto; caso contr´ rio, o vencedor ganhou 1 ponto e o perdedor
a
2
´
0 pontos. Participaram homens e mulheres e cada participante conquistou o mesmo numero de pontos contra homens
´ ´
que contra mulheres. Mostre que o numero de participantes e um quadrado perfeito.
5 Problemas Suplementares
¸˜
Os problemas desta secao exigem mais engenhosidade.
Teorema 1. (Erdos-Ko-Rado) Seja X um conjunto com n elementos e F = {A1 , A2 , . . . , Ap } uma fam´lia de subconjuntos de
ı
X que satisfazem as seguintes condicoes
¸˜
n
1. |Ai | = k ≤ para todo i.
2
2. Ai ∩ Aj = ∅ para todos i e j distintos.
n−1
Ent˜ o p ≤
a k−1 .
Prova.Comecemos com um lema que aparentemente n˜ o apresenta nenhuma conex˜ o com o problema:
a a
Lema. Considere um c´rculo C dividido por n pontos. Um arco de tamanho k consiste de k + 1 pontos consecutivos e k
ı
arestas entre eles. Seja n ≥ 2k, e suponha que existem t arcos distintos A1 , A2 , . . . , At , todos de tamanho k, tais que quaisquer
dois arcos possuem uma aresta em comum. Ent˜ o t ≤ k.
a
A prova do lema ser´ deixada como exerc´cio para o leitor. Seja F uma fam´lia como no enunciado do teorema. Cada
a ı ı
permutacao c´clica dos elementos de X corresponde a uma divis˜ o em pontos e arcos, onde cada elemento do conjunto
¸˜ ı a
est´ entre dois pontos. Cada conjunto de k elementos pode ser visto como um arco de tamanho k formando por elementos
a
justapostos (em uma ordem qualquer). Para cada tal permutacao, podemos calcular quantos arcos de tamanho k correspon-
¸˜
dem a conjuntos da fam´lia. Pelo lema, esse numero e menor ou igual a k. Como existem (n − 1)! permutacoes, a quantidade
ı ´ ´ ` ¸˜
m´ xima de conjuntos que podem ser encontrados nessas permutacoes e k(n − 1)!. Certamente nessa contagem, alguns con-
a ¸˜ ´
´
juntos foram contados v´ rias vezes. E agora que usaremos uma contagem dupla. Fixado um conjunto A, seus elementos
a
podem estar arranjandos para formarem um arco de tamanho k de k! maneiras. Os outros elementos do conjunto podem ser
permutados nas posicoes que restaram de (n − k)! maneiras. Ou seja, cada conjunto e contado exatamente k!(n − k)! vezes.
¸˜ ´
Como existem p conjuntos, temos:
pk!(n − k)! ≤ k(n − 1)!;
n−1
p ≤
k−1
Problema 15. (Olimp´ada do Leningrado 1987) Sejam A1 , A2 , . . . , As uma fam´lia de subconjuntos de {1, 2, . . . , n} tais que
ı ı
|Ai | = ai . Sabemos que nenhum desses subconjuntos cont´ m outro subconjunto da fam´lia. Prove que
e ı
−1 −1 −1
n n n
+ + ... + ≤1
a1 a2 as
¸˜
Problema 16. (IMO 2005) Numa competicao de matem´ tica na qual foram propostos 6 problemas, quaisquer dois prob-
a
lemas foram resolvidos por mais de 2/5 dos estudantes. Al´ m disso, nenhum estudante resolveu todos os 6 problemas.
e
Mostre que existem pelo menos 2 estudantes que resolveram 5 problemas cada um.
Problema 17. Alguns asteriscos est˜ o escritos nas casas de um tabuleiro m × n(m < n), de modo que existe pelo menos
a
um asterisco em cada coluna. Mostre que que existe um asterisco A tal que lA > cA , onde la e cA denotam as quantidade de
asteriscos na linha e coluna de A, respectivamente.
Problema 18. (Olimp´ada Iberoamericana 2001) Sejam S um conjunto de n elementos e S1 , S2 , . . . , Sk subconjuntos de
ı
S(k ≥ 2), tais que cada um deles tˆ m pelo menos r elementos. Demonstre que existem i e j, com i = j, tais que a quantidade
e
nk
de elementos em comum entre Si e Sj e maior ou igual a r −
´ ` .
4(k − 1)
8
9. Problema 19. (IMO 1989) Sejam n e k dois inteiros positivos e seja S um conjunto de n pontos num plano tais que
1. n˜ o haja trˆ s pontos de S que sejam colineares;
a e
2. para qualquer ponto P de S, h´ pelo menos k pontos de S que s˜ o equidistantes de P .
a a
√
Prove que k < 1/2 + 2n.
Problema 20. (IMO 1987) 3 Seja pn (k) o total de permutacoes do conjunto {1, 2, 3, . . . , n} que contˆ m exatamente k pontos
¸˜ e
fixos. Prove que
n
k · pn (k) = n!.
k=1
Observacao: uma permutacao f de um conjunto S e uma funcao bijetora de S em S; um elemento i de S e chamado ponto
¸˜ ¸˜ ´ ¸˜ ´
fixo da permutacao f se f (i) = i.
¸˜
3 O enunciado mais geral desse problema e o seguinte: Seja G um grupo finito agindo sobre um conjuno M . Sejam k o numero de orbitas em que M e
´ ´ ´ ´
dividido por esta acao e F ix(g), g ∈ G, o numero de pontos fixos de g. Ent˜ o:
¸˜ ´ a
F ix(g) = k · |G|.
g∈G
´
Esse e o lema de Burnside.
9