Este documento apresenta dez problemas de combinatória e suas respectivas soluções. Os problemas envolvem temas como formação de placas de carros, números palíndromos, coloração de listras em bandeiras e escolha de senhas bancárias. As soluções utilizam raciocínio combinatório para quantificar as possibilidades em cada caso.

1. Exercícios de combinatória
(Problemas de introdutórios)
Professor Helanderson sousa
1ª Para diminuir o emplacamento de carros roubados, um determinado pais
resolveu fazer um cadastro nacional, em que as placas são formadas com 3
letras e 4 algarismos, sendo que a primeira letra da placa determina um estado
desse pais. Considerando o alfabeto com 26 letras, qual é o número máximo de
carros que cada estado poderá emplacas?
Solução: Cada placa terá um total de quatro algarismos, sendo esses podendo
ser repetidos ou não, como há 10 possibilidades para os 4 números da placa, ela
terá
10x10x10x10 = Possibilidades. Já para as letras da placa, como o carro
pertence a um único estado teremos 1x26x26 = 676.
2ª Determine a quantidade de números de três algarismos, maiores que 500, que
podem ser formados com os algarismos 3,5,6,7 e 9.
Solução. Para o primeiro algarismo temos apenas 5,6,7 e 9 como opções,para o
segundo e para o último como não há nenhuma restrição quanto a repetições,
temos 3,5,6,7 e 9. Logo, a quantidade números formados com os algarismos
dados será 4x5x5 = 100
3ª Chama-se palíndromos os números inteiros que não se alteram quando é
invertida a ordem de seus algarismos( por exemplo 323, 34243,4224) . Qual i
número total de palíndromos formados por 5 algarismos?
Solução: Para o primeiro algarismo não podemos incluir o zero pois assim
teríamos um número de 4 algarismos. Logo temos 9 opções, para o segundo e o
terceiro temos 10 opções cada um, pois não há restrições quanto a repetições,
para o quarto e o quinto numero temos apenas uma opções, pois esses
algarismo tem de ser iguais ao primeiro e ao segundo.Assim teremos
9x10x10x1x1 = 900 palíndromos formados por 5 algarismos.
4ª Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem ser coloridas usando-
se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a
mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
Solução: A primeira listra pode ser colorida de 3 modos, a segunda de 2 modos
(não podemos usar a cor empregada na primeira listra), a terceira de 2 modos

2. (não podemos usar a cor empregada na segunda listra) e a quarta de 2 modos
(não podemos usar a cor empregada na terceira listra). A resposta é
3×2×2×2=24.
5ª Em uma agência bancaria, ao retirar um cartão de credito, escolhe-se uma
senha que der ser composta de 6 dígitos, escolhidos de 1 a 9. De quantos modos
pode-se escolher uma senha que os três primeiros dígitos sejam repetidos e o
últimos digito seja par?
Solução: Como os três primeiros dígitos devem ser iguais, podemos tratá-los
como apenas um. Assim teremos 9 possibilidades para o primeiro dígito( Que
na verdade são os três repetidos) assim como para o segundo e o terceiro e
apenas 4 possibilidades para o quarto dígito pois o número proposto deverá ser
par e as opções são : 2,4,6,8.
Portanto podemos escolher a senha de 9x9x9x4 =4x
6ª Quantos são os números pares de cinco algarismo distintos?
Solução: Dividiremos essa solução em duas partes bem simples.
Na primeira consideramos que o número termina em zero, logo temos apenas
uma possibilidade para o algarismo das unidades.
Para o primeiro temos 9 (não pode ser o zero que já foi escolhido)
Para o segundo temos 8(nem o zero nem o do primeiro número), para o terceiro
7 e para o quanto 6, totalizando um total de 9x8x7x6x1 = 3024 números.
Na segunda parte consideremos que o últimos algarismo (o das unidades) não
termina em zero, logo temos 4 opções (pois tem que ser par), para o primeiro
temos 8 opções pois não pode ser nem zero nem o número escolhido para o
algarismo das unidades, para o segundo temos 8 opções pois não pode ser nem
o primeiro nem o ultimo. Para o terceiro 7 e para o quarto 6, totalizando
8x8x7x6x4 = 10752.
Logo no total teremos 107520 + 3024 = 13776
7ª (IME) Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados
com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?
Solução:
Inicialmente consideremos os números que terminem em zero, assim para o
primeiro número teremos apenas uma opção, já para o primeiro teremos 5
opções, pois, não pode ser o zero que já foi escolhido, para o terceiro 4 opções
pois os algarismos devem ser distintos e para o terceiro algarismo termos 3
opções.
5x4x3x1 = 60
Para os números que não terminem em zero, temos 5 opções para o último
número, 4 para o primeiro número, pois, não pode ser nem a algarismo
escolhido para o último número e nem o zero já que a os números procurados

3. são de 4 algarismos,para o segundo algarismo temos 4 opções pois não pode ser
o ultimo nem o primeiro e para o terceiro três, totalizando
4x4x3x5 = 240
Logo a quantidade números com as características pedidas será
60 + 240 = 300
8ª Uma bandeira é formada de sete listras que devem ser pintadas de três cores
diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pintá-la de modo que
duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?
Solução:
Para o primeira listra temos 3 opções para todas as outras teremos apenas 2
opções pois, não pode ser a cor escolhida para o listra antecessora.
Assim teremos 3x2x2x2x2x2x2 = 192 maneiras
9ª De quantas maneiras podemos classificar 4 cidades nas categorias A ou B, se
uma mesma cidade pode pertencer às duas categorias?
Solução: Para cada cidade temos 3 opções (A, B e A e B) logo teremos um total
de 3x3x3x3 = 81 possibilidades
10ª Há 10 cadeiras em fila. De quantos modos 5 casais podem se sentar nas
cadeiras se nenhum marido senta separado de sua esposa?
Solução: Podemos tratar cada casal como apenas uma pessoa, assim teríamos
apenas 5 cadeiras na fila e por tanto 5x4x3x2x1 = 120, porém cada casal pode se
sentar de um duas maneiras ( direita ou esquerda do companheiro) assim
teremos 2x120=240 maneiras