1. Ponto de Máximo e Ponto de
Mínimo
Por: Cristina Alves de S. Cardoso

2. Para determinarmos o ponto de máximo e de
mínimo de uma função do 2º grau, basta
calcular o vértice da parábola, utilizando as
seguintes expressões matemáticas.
b
xv - yv -
2a 4a
Importante:
Se a > 0, Yv assume o valor mínimo da função.
Se a < 0, Yv assume o valor máximo da função.

3. Representação Gráfica
Ponto de Máximo Ponto de Mínimo

4. Representação gráfica da Imagem de
uma função.

5. Situações-problema envolvendo o
ponto de máximo e de mínimo
O ponto máximo e o ponto mínimo podem ser atribuídos a
várias situações presentes em outras ciências, como Física,
Biologia, Administração, Contabilidade entre outras.
 Física: movimento uniformemente variado, lançamento de
projéteis.
 Biologia: na análise do processo de fotossíntese, no estudo
da vida dos animais.
 Administração: Estabelecendo pontos de nivelamento,
lucros e prejuízos.

6. Na Física
• Exemplo 1: Lançamento de projéteis.
• Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória
da bala descreve uma parábola de equação:
y = -3x2 + 60x (onde x e y são medidos em
metros).
a) Calcule o alcance do disparo.
b) Qual é a altura máxima atingida pela bala?

7. Solução
• a) Temos que resolver a equação: -3x2 + 60x = 0 para encontrar
o alcance do disparo (diferença entre as raízes da função).
Calculando o valor do discriminante Delta:
2
b - 4ac
2
60 - 4 3 0
3600
• Como a raiz quadrada de 3600 é 60, segue que:
• x = (-60 + 60) / -6 = 0 ou x = (-60 - 60) / -6 = -120 / -6 = 20
Logo o alcance da bala é 20 - 0 = 20 m.

8. • b) Altura é o y da coordenada do vértice da parábola.
= -3600 / -12 = 300. Assim, a altura
y
4a
máxima da bala é 300 m.

9. Na Administração:
• Exemplo 2: Lucro Máximo
• O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado
pela função: L(x) = -x2 + 14x - 40. Quantas peças devem ser
vendidas diariamente para que o lucro seja máximo?

10. Solução
 Observando o vértice da parábola, temos que o valor
de uma função f(x) = ax2 + bx + c é máximo (ou
mínimo) quando x é igual a média aritmética das raízes,
ou seja , quando:
 x = -b / 2a. Então, L(x) = -x2 + 14x - 40 tem valor
máximo quando x = -14 / 2(-1) = 14 / 2 = 7.
 Assim, devem ser vendidas 7 peças para que o
lucro seja máximo.

11. Na Biologia
• Exemplo 3: Na trajetória de um sapo
• Um sapo, ao pular de uma vitória-régia para outra vitória-régia
em busca de alimentar-se de um inseto, percorre uma trajetória
parabólica dada pela função y = -x² + 4x. Qual a altura máxima
atingida pelo sapo na busca de seu alimento?

12. Agora é com você?
Jesus, estava no Monte da
Oliveiras e de repente,
começou a falar:
___ x² - 2x + 3 = 0