Este documento descreve um projeto de ensino sobre razões trigonométricas utilizando o software GeoGebra. O projeto inclui construir triângulos retângulos semelhantes, medir seus lados e ângulos, e calcular as razões trigonométricas sen, cos e tg para demonstrar como dependem apenas do ângulo e não do tamanho do triângulo. As atividades serão realizadas em grupo com os alunos manipulando o GeoGebra e preenchendo tabelas para comparar os resultados.

1. Informática Educativa I :: Projeto de Aprendizagem
Título: Razões Trigonométricas no GeoGebra
Nome do Aluno: Juliana Cristina Gomes
1. Disciplina e anos envolvidos:
Matemática do primeiro ano do ensino médio.
2. Tema central :
Relembrando as proporções em um triângulo retângulo e identificar figuras semelhantes, mediante o
reconhecimento de relações de proporcionalidade.
Trigonometria, as Razões Trigonométricas no GeoGebra.
3. Temas de apoio:
O estudo das razões trigonométricas precisa passar antes pelo estudo do triangulo retangulo e das
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relacões de semelhanca entre triangulos, que definem as razões trigonométricas. Teorema de Tales
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Mileto, a proporção existente entre as medidas de quaisquer dois lados de um triângulo, utilizando a
razão entre elas, no caso de triângulos semelhantes, esta razão sempre fornecerá o mesmo valor, quando
utilizarmos lados correspondentes. Por exemplo, se em um triângulo o comprimento da base é o dobro
da sua altura, em qualquer outro triângulo semelhante a este, esta proporção terá de ser mantida.
4. Justificativa:
Para que sejamos capazes de pensar em como ensinar conteúdos matemáticos, especificamente, os
conceitos relacionados ao estudo das razões trigonométricas, precisamos refletir sobre as justificativas
do ensino de Matemática, de maneira mais ampla, e de trigonometria, de maneira mais restrita. Esse
conteúdo também é recomendável o estudo da razão trigonométrica tangente pela sua importancia na resolucão de
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diversos tipos de problemas. Problemas de cálculos de distancias inacessíveis são interessantes aplicacões da
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trigonometria, e esse é um assunto que merece ser priorizado na escola. Por exemplo, como calcular a largura de um
rio? Que referencias(árvore, pedra) são necessárias para que se possa fazer esse cálculo em diferentes condicões –
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com régua e transferidor ou com calculadora? (...)
O estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas
práticos do quotidiano, como, por exemplo, orientar-se no espaco, ler mapas, estimar e comparar distancias
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percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber usar diferentes unidades de medida.
Também é um estudo em que os alunos podem ter uma oportunidade especial, com certeza não a única, de apreciar a
faceta da Matemática que trata de teoremas e argumentacões dedutivas. Esse estudo apresenta dois aspectos – a
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geometria que leva à trigonometria e a geometria para o cálculo de comprimentos,áreas e volumes.
5. Objetivos gerais e específicos:
Objetivo Geral: Um entrelacamento entre Geometria e Álgebra, propiciar ao aluno um completo e
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entendimento do que está sendo ensinado e evitando a tradicional abordagem exclusiva de fórmulas e
contas. Que os alunos aprendam a calcular medidas insensíveis e a identificar um triângulo retângulo.
Objetivo especifico: Relembrar os conceitos de semelhança de triângulos. Compreender o
conceito de razões trigonométricas nos triângulos retângulos e as suas principais propriedades. Perceber
que os valores das razões trigonométricas dependem exclusivamente do ângulo. Entender o conceito
principal das razões trigonométricas de triângulos retângulos e as suas principais propriedades. Calcular
experimentalmente as razões trigonométricas para os ângulos notáveis.
6. Enfoque pedagógico :
No contexto da Matemática, a aprendizagem nesta perspectiva depende de ações que
caracterizam o ‘fazer matemática’: experimentar, interpretar, visualizar, induzir, conjeturar,
abstrair, generalizar e enfim demonstrar. É o aluno agindo, diferentemente de seu papel passivo
frente a uma apresentação formal do conhecimento, baseada essencialmente na transmissão
ordenada de ‘fatos’, geralmente na forma de definições e propriedades. Por esse motivo o
Geogebra pode ser utilizado segundo qualquer corrente pedagógica, dependendo da condução e
intuito de seu uso, pois a corrente pedagógica é quem determina o uso do software, que por si
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2. mesmo não define o tipo de aula no qual está inserido.
Mas ele pode ter ser enfoque na teoria construtivista, a qual tem como princípio que
o conhecimento é construído a partir de percepções e ações do sujeito,
constantemente mediadas por estruturas mentais já construídas ou que vão se construindo
ao longo do processo, tomando-se aqui a teoria do desenvolvimento cognitivo de
J.Piaget como base teórica. Esta teoria mostra que toda a aprendizagem
depende fundamentalmente de ações coordenadas do sujeito, quer sejam de caráter
concreto ou caráter abstrato.
7. Recursos tecnológicos:
Emprego do PowerPoint para apresentação da teoria, disponibilizando assim a apresentação em um
slideshare.
Demonstrar a apresentação com o uso do computador, o que pode ser feito em laboratório de
informática, caso sua escola disponha de um, ou com um projetor multimídia associado ao seu notebook.
Utilizar o sofware dinâmico Geogebra para construir triângulos retângulos, medir os seus ângulos
internos e calcular a medida de seus lados e o blog com toda a informação necessária. Com estas informações iniciais, determinaremos, também, o valor aproximado das razões trigonométricas associadas,
comparando-as com os valores de senos e cossenos, obtidos a partir de uma calculadora científica.
Finalmente, utilizaremos este processo para determinar, de forma aproximada, as razões trigonométricas
dos ângulos notáveis.
8. Etapas e suas estratégias de realização:
1) Mostrar a eles o blog explicando todas as tarefas e conceitos, depois serão construídos triângulos
retângulos semelhantes, através da dobradura de uma folha de papel A4 e, a partir da observação, a
determinação do valor aproximado das razões trigonométricas correspondentes. Para começar a
atividade, pegue três folhas de papel A4. Coloque-as superpostas. Com o auxílio de uma régua, corte
essas três folhas, formando três triângulos idênticos.
2) Construir agora triângulo retângulo semelhantes , pegue dois dos três triângulos que você recortou.
Em seguida, com o auxílio de uma régua, faça um corte na marca da dobra. Você deve obter dois novos
triângulos.
3) Os alunos terão separar os dois novos triângulos obtidos no item anterior e o triângulo feito na
Atividade 1. Observe-os e responda as seguintes perguntas : O que esses triângulos têm em comum?
Discuta com seus colegas e registre a seguir.Compare os ângulos dos triângulos. Para isso você pode utilizar o transferidor ou sobrepor os triângulos. Relembre com seus colegas o que duas figuras devem ter
para serem classificadas como semelhantes. Registre suas conclusões. E aí? Podemos afirmar que esses
três triângulos são semelhantes? Discuta com seus colegas e registre.
4) Se os alunos não perceberem sozinhos que os três triângulos são semelhantes, isso pode indicar que
eles não dominam o conceito de semelhança. Nesse caso, sugerimos que você retome esse assunto e, em
seguida, mostre que a maneira pela qual esses triângulos foram construídos – a dobra gera uma paralela a
um dos lados- garante que os três ângulos desses triângulos sejam congruentes e, portanto, podemos
afirmar que os triângulos são semelhantes. Mais uma vez chamamos atenção para a importância de se
dobrar adequadamente os triângulos, pois disso depende a obtenção dos triângulos semelhantes.
4) Em seguida pedir que os alunos de nome a três triângulos retângulos semelhantes da atividade
anterior, ensinar aos alunos qual ângulo deve ser nomeado em cada um dos triângulos.
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3. 5) Montar com eles uma tabela com os valores de uma pesquisa que eles farão, os alunos Com o auxílio
de uma régua, meça os lados dos triângulos e anote as medidas em cada uma das tabelas. Em seguida,
preencha os dados referentes às razões, utilizando uma calculadora para determinar esses valores.
Determinando assim em sua pesquisa os valores do seno, coseno e tangente desses ângulos.
6) Depois de toda essa teoria em um data show, com o notebook, apresentar aos alunos o software
Geogebra.
7) Ensinar aos alunos a desenharem o triângulo retângulo nesse software. Nesse início, pretendemos que
os alunos manipulem o programa e, para isso, apresentamos uma sequência de orientações. Entretanto, é
interessante que os seus alunos fiquem à vontade com relação à escolha do tamanho do triângulo.
Apenas enfatize a sugestão de marcar os pontos sobre as linhas tracejadas da malha, fato que lhes
ajudará a construir um ângulo reto. Caso algum aluno não tenha seguido esta sugestão, não se preocupe,
pois ele poderá fazer a correção de seu triângulo na próxima atividade. Não podemos deixar de valorizar
a estratégia escolhida por seus alunos, visando a um estudo autônomo e independente.
8) Na atividade dois os alunos deveram medir os ângulos do triângulo, pois temos de verificar se o
triângulo desenhado é retângulo. Para isso, usaremos uma ferramenta do GeoGebra.
9) Após medir os ângulos deste triângulos, os alunos deveram encontrar a medida dos lados de um
triângulo.
10) Com as medidas do lados desse triângulo e dos ângulos, os alunos deveram encontrar as razões
trigonométricas, deveram coletar os dados e preencher a tabela, com o uso da calculadora fazer as
contas.
11) Orientar os alunos para o preenchimento correto da tabela, pois devemos ter cuidado, pois é uma
“tabela dupla”, onde os alunos deverão preencher primeiro as informações relativas a um ângulo e, em
seguida, as mesmas informações relativas ao outro ângulo.Devemos também orientá-los para escreverem o símbolo da razão trigonométrica, seguido do ângulo correspondente, como por exemplo, sen(43º).
Não deixe de fazer isso, pois, em geral, os alunos não entendem que não podemos falar só seno ou
cosseno, é preciso mencionar o ângulo associado.Como você deve ter percebido, a orientação dessa
atividade será bem trabalhosa, afinal, cada aluno gerará o seu triângulo. Não deixar de acompanhar o
passo a passo de seus alunos, pois é muito importante.
12) Ensinar os alunos a transformar o calculadora do computador erm uma calculadora cientifica, pos
nos próximos itens, precisaremos de uma calculadora científica. Você sabe transformar a calculadora de
seu computador numa calculadora científica?
13) Oriente seus alunos a respeito da aproximação, pelo menos para centésimos. Sabemos que, nesse
tipo de atividade, é muito comum o aluno deparar-se com números com muitas casas decimais. Por isso,
ele deve saber como agir nessa situação. Foi por essa razão que, nos roteiros anteriores, sugerimos que
fosse feita uma breve revisão sobre os critérios de aproximação. Verificar se os alunos estão usando
corretamente a notação. Sugerimos, então, que você solicitar os seus alunos o preenchi mento da tabela
não apenas com o valor, mas também com o símbolo da razão trigonométrica. Por exemplo, se um dos
ângulos medir 63º, então e
sen (63º) ≌ 0,89
cos (63º) ≌ 0,45
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4. tg (63º) ≌ 1,96
14) Ainda com o Geogbra por em discursãocom aos alunos os problemas abaixo em dupla,
Encontrando as Razões Trigonométricas dos Ângulos Notáveis: 1. Seguindo as dicas dadas na
atividade 2, construa a partir de seu triângulo (utilizando a opção redefinição) um outro de ângulos
agudos 30º e 60º. Depois preencha as seguintes tabelas:
30º
60º
Medida do cateto oposto
Medida Cateto adjacente
Medida Cateto oposto
Medida Hipotenusa
Seno= cateto oposto/hipotenusa
Coseno= cateto adjacente/hipotenusa
Tangente = cateto oposto/cateto adjacente
2. Compare os resultados encontrados com os valores obtidos por seus colegas e responda:
a) Estes valores são aproximadamente idênticos?
______________________________________________________________.
b) As razões trigonométricas independem do tamanho do triângulo?
_____________________________________________________________.
c) As razões trigonométricas dependem de que valor?
______________________________________________________________.
d) Então, qual é a relação de comparação que deve existir entre dois triângulos retângulos,
para que os seus ângulos correspondentes tenham as mesmas razões trigonométricas?
_________________________________________________________________________
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9. Definição de papéis:
Os alunos juntamente com o professor irão definir com que matérias eles irão construir os triângulos
semelhantes, construir esses triângulos com: Papel A4 branco ou colorido, transferidor, régua de 30 cm,
caneta e calculadora simples.
O professor irá a propor as atividades, para o aluno construir esses triângulos retângulos semelhantes,
medir os lados, medir os ângulos e preencher as tabelas com essas medidas, encontrando assim as razões
trigonométricas do triângulo retângulo, aprendendo a encontrar o seno, coseno tangente.
Os alunos irão construir o seu conhecimento sob orientação do professor, de como reconhecer um
ângulo oposto, adjacente e a hipotenusa do triângulo retângulo.
Os alunos irão com os conhecimentos adquirido determinar o valor dos seno, coseno e tangente dos
triângulos.
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5. 10. Sites e bibliografia de apoio:
Diaponível em,
<http://WWW.geogebra.org/cms/>.Acesso em 29/09/2013.
OBSERVAÇÃO:
Será usado para execução deste projeto um material o qual eu adquiri no curso de formação continuada,
pois procurei elabora meu planejamento para que eu pudesse aplicar com minhas turmas, por esse
motivo fiz sobre um conteúdo que trabalho com meus alunos, com um material muito interessante que
conheci no curso de formação continuado que ainda não utilizei.
11. Coleta de dados:
Os alunos irão utilizar matérias disponíveis que usam em seu dia a dia como (tesoura, cola, papel A4,
régua e borracha) e irão construir triângulos retângulos semelhantes.
Os triângulos serão construídos no inicio sem o conhecimento da teoria, o professor vai utilizar esse
momento destas construções para explicar o conhecimento que eles precisam dessa teoria,como
identificar um triângulo retângulo, o cateto oposto, o cateto adjacente, a hipotenusa, depois dessa
explicação e eles encontraram esses valores os alunos irão calcular o seno, o coseno e a tangente que
será uma preparação para o segundo momento, quando eles vão fazer essas construções e esses calculos
com o software geogebra.
Os alunos agora com toda essa teoria, construída junto com o professor, eles irão fazer a construção
no geogebra e terão que calcular o seno, coseno e tangente.
12. Seleção do material:
De acordo com cada etapa de processo de aprendizagem os materiais serão selecionados.
Na primeira etapa deste processo será utilizado: papel A4, cola, tesoura, régua e a calculadora.
Numa segunda etapa será utilizado recurso do WEB 2.0.
Folhas com exercícios e os problemas propostos.
13. Programação visual:
Um arquivo salvo em meus documentos no WORD, para ser exposto no data show e com o computador,
fotos das construções que serão feitas, para a exposição, com os conceitos dos conteúdos , também serão
utilizadas figuras elaboradas através do geogebra.
Será feito um registro através de fotos de cada etapa desenvolvida pelos alunos, mostrando os
conhecimentos antes e após a apresentação dos conceitos deste processo de aprendizagem.
14. Meios para a execução:
Diversos meios serão utilizados para o desenvolvimento deste processo de aprendizagem.
Recursos físicos, como papel A4, cola, régua, calculadora, lápis, livros e o laboratório de informática.
Recursos de meios digitais, acesso a internet, emprego do software dinâmico como geogebra, emprego
do slideshare com data show, blogs.
Orientação do professor.
15. Avaliação:
A participação dos alunos nas atividades propostas.
A participação dos alunos nas atividades propostas.
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6. A apresentação se suas pesquisas sobre o tema através de um relatório.
Avaliação do aluno pelo professor através de uma prova.
16. Cronograma:
Na aula anterior – antes deste tema ser abordado, o professor deve solicitar aos alunos os materiais
necessários para elaboração das atividades, papel A4, calculadora, régua, tesoura, cola e lápis.
Primeira aula:
O professor irá mostrar aos alunos o blog com as atividades a serem desenvolvidas e propor aos alunos a
construção de três triângulos idênticos, com materiais que eles trouxeram de casa, depois que a
construção tiver pronta, o aluno irá compare e nomear os ângulos dos triângulos. Para isso você pode utilizar o transferidor ou sobrepor os triângulos e ainda irão medir o lado desses triângulos.
Segunda aula:
O professor vai apresentar as teorias e as definições sobre Triângulo retângulo e sobre razões
trigonométricas, e com as medidas dos lados, com os ângulos nomeados, os alunos irão identificar o
cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotesa desses triângulos, os alunos irão preencher a tabela
adquirindo o conhecimento e calculo do seno, coseno e da tangente, desses triângulos.
Terceira aula:
O professor vai apresentar o software Geogebra e ensinar como será feita as construções destes
triângulos retângulos, a achar o lado e o ângulo destes triângulos, para realizar o calculo do seno, do
coseno e da tangente desses triângulos com o Geogebra.
Quarta aula:
Terminar de preencher as tabelas com o calculo do seno, coseno e tangente. O professor irá propor uma
discussão para retirar todas as dúvidas dos alunos acerca do conteúdo. O professor irá auxiliar os alunos
para preencher as tabelas dos exemplos.
Quinta Aula:
Proposta de exercícios para serem resolvidos através do conhecimento adquiridos.
Sexta Aula:
Proposta de exercícios para serem resolvidos através do conhecimento adquiridos.
Sétima Aula:
Avaliação dos conhecimentos adquiridos e participação dos alunos neste processo de aprendizagem.
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7. A apresentação se suas pesquisas sobre o tema através de um relatório.
Avaliação do aluno pelo professor através de uma prova.
16. Cronograma:
Na aula anterior – antes deste tema ser abordado, o professor deve solicitar aos alunos os materiais
necessários para elaboração das atividades, papel A4, calculadora, régua, tesoura, cola e lápis.
Primeira aula:
O professor irá mostrar aos alunos o blog com as atividades a serem desenvolvidas e propor aos alunos a
construção de três triângulos idênticos, com materiais que eles trouxeram de casa, depois que a
construção tiver pronta, o aluno irá compare e nomear os ângulos dos triângulos. Para isso você pode utilizar o transferidor ou sobrepor os triângulos e ainda irão medir o lado desses triângulos.
Segunda aula:
O professor vai apresentar as teorias e as definições sobre Triângulo retângulo e sobre razões
trigonométricas, e com as medidas dos lados, com os ângulos nomeados, os alunos irão identificar o
cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotesa desses triângulos, os alunos irão preencher a tabela
adquirindo o conhecimento e calculo do seno, coseno e da tangente, desses triângulos.
Terceira aula:
O professor vai apresentar o software Geogebra e ensinar como será feita as construções destes
triângulos retângulos, a achar o lado e o ângulo destes triângulos, para realizar o calculo do seno, do
coseno e da tangente desses triângulos com o Geogebra.
Quarta aula:
Terminar de preencher as tabelas com o calculo do seno, coseno e tangente. O professor irá propor uma
discussão para retirar todas as dúvidas dos alunos acerca do conteúdo. O professor irá auxiliar os alunos
para preencher as tabelas dos exemplos.
Quinta Aula:
Proposta de exercícios para serem resolvidos através do conhecimento adquiridos.
Sexta Aula:
Proposta de exercícios para serem resolvidos através do conhecimento adquiridos.
Sétima Aula:
Avaliação dos conhecimentos adquiridos e participação dos alunos neste processo de aprendizagem.
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