O documento discute conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo: (1) a equação geral de uma reta que passa por dois pontos fixos, (2) diferentes formas de representar uma reta, como equação reduzida, paramétrica e vetorial, e (3) os casos possíveis para a interseção entre duas retas.

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Matemática
3ª Série do Ensino Médio
Professor: Patrício Júnior de Souza
Junho, 2016

2. Estudo da Reta
●Seja r uma reta que passam pelos pontos M(xM
,yM
) e
N(xN
,yN
), fixos, então dado um ponto P(x,y) qualquer
que percorre a reta r, temos
Visto que P pertence à reta r,
portanto, satisfaz a condição de
alinhamento.

3. Desenvolvendo o determinante da equação (1),
temos
Estudo da Reta
Tomando a = yM – yN, b = xN-xM e c = xMyN-xNyM,
obtemos a equação geral da reta r.

4. Estudo da Reta
Da equação (3), também obtemos a equação
reduzida da reta r:
●
Equação reduzida
da reta r
Fazendo:

5. Estudo da Reta
Exemplo: Determine a equação da reta que
passa pelos pontos A(-1,2) e B(2,5).
Solução 1. Calculamos a equação pela condição de
alinhamento. Tomamos um ponto C(x,y) qualquer da reta.
Solução 2. Calculamos os valores de m e k:

6. Ainda a partir da equação (3), podemos verificar o valor
de y para x = xM e xN.
Estudo da Reta
Veja que, genericamente, temos:

7. Estudo da reta
●
Seja r uma reta que intercepta os eixos
coordenados nos pontos P(p,0) e
Q(0,q), sendo P e Q distintos.
●
Seja G(x,y) um ponto que percorre a
reta r. A equação de r na forma
segmentária é obtida pela condição de
alinhamento dos pontos P,Q e G:

8. Exemplo: Escreva a equação segmentária da reta r
de equação geral r: 2x – 3y + 5 = 0.
●
Solução: Para determinarmos p e q devemos
encontrar as coordenadas em que a reta corta os eixos
x e y. Para isso atribuamos que, ora x = 0, ora y = 0.
Pois, quando x=0, determinamos q e pondo y=0
calculamos x.
Portanto, a equação na forma segmentária é:
Estudo da reta

9. ●
Seja r uma reta que passa pelos
pontos A(xA,yA) e B(xB,yB), com
P(x,y) um ponto qualquer da
reta r. Dizemos que o segmento
de reta AB orientado de A para
B, representado por:
●
Uma outra forma de representação de
uma reta é pela sua equação
paramétrica. Isso mesmo! Podemos
representar uma mesma reta por 4 tipos
de equações que são equivalentes. Esta
última é bastante utilizada em aplicações
matemáticas (mecânica, geometria
diferencial, teoria da relatividade etc).
Estudo da reta
é o vetor da reta r. Vetor é um
ente matemático que possui
direção, sentido e módulo. Já o
segmento de reta AB, orientado
de B para A é representado por
●
também é vetor da reta r;
é o vetor simétrico ou
oposto de u. O vetor v tem
mesma direção, sentido
oposto e mesmo módulo
de u. Logo,

10. Quando temos duas ou mais retas distintas
podemos verificar se elas se interceptam em
um único ponto, em infinitos pontos ou nenhum
ponto de intersecção. Dizemos que as retas
são concorrentes entre si, quando se
interceptam em um único ponto.
●
Dado duas retas r:
a1x+b1y+c1=0 e s:
a2x+b2y+c2=0, o ponto
de intersecção P
destas é a solução do
sistema de equações:
Aplicando a regra de
Cramer, para resolver o
sistema 2x2:
Estudo da reta
●
Analisando os sistema
quanto às soluções,
temos três casos:

11. Estudo da reta

12. ●
1º Caso: Existe um único ponto P que
pertence a r e a s, simultaneamente.
Neste caso, devemos ter o determinante
de D diferente de zero.
Estudo da reta

13. ●
Então encontramos a solução (x,y) que são
as coordenadas de P:
Estudo da reta

14. ●
2º Caso: A intersecção das duas retas r e s é
infinita, ou seja, as retas coincidentes. Então, o
número de pontos é infinito. Logo, a solução do
sistema de equações possível e indeterminado,
ou seja, Dx,Dy e D são iguais a zero.
Estudo da reta

15. ●
Note que Dx,Dy e D são iguais a zero se, e
somente se
Estudo da reta
●
Ou seja, as retas r e s são paralelas
coincidentes.

16. Estudo da reta

17. ●
3º Caso: A intersecção de duas retas r e s paralelas
não-coincidentes é um conjunto vazio, ou seja, não
há ponto na intersecção. Logo, a solução do
sistema de equações impossível e indeterminado,
ou seja, Dx,Dy são diferentes de zero e D é igual a
zero.
Estudo da reta

18. ●
Note que Dx,Dy são diferentes de zero e D
é igual a zero:
Estudo da reta
●
Ou seja, as retas r e s são paralelas pois tem o
mesmo coeficiente angular, porém, não passam
pelos mesmos pontos.