Slide sobre Números Naturais

1. Números Naturais:
Construção do
Conjunto e Ideais
associadas às
operações básicas
Alan, Arthur Amat, Fernanda da Silveira e Naiane de Santana
Matemática

2. Origem dos números naturais
● Sistema
numérico
grego
● Sistema
numérico
romano
● Letras para
representar
números
● Tabletes de
argila
● Sistema de
contagem
base 60
● Base dez
● Números-cha
ve
● Controle de
animais
● Aldeias
● Sementes
● Folhas
● Dedos
I II III IV V
● Gestos
● Marcas
● Ossos
● Pedras
Pré-Historia Neolítico
Sumerios e
Egipcios
Maias Gregos e
Romanos
● Sistema de
contagem
maia
● Concha
● Ponto
● Barrinha
● Base 20

3. Origem dos números naturais
Sistema Indiano (Hindu)
● Utilização de nove
símbolos para a
representação numérica
● Depois houve a criação de
um símbolo para o zero
● Sistema decimal e
posicional
Sistema indo-arábico
● Sistema que utilizamos
atualmente
● Criado pelos indianos e
divulgado pelos árabes.
● Matemático Al-Khwarizmi.

4. Origem dos números naturais

5. Origem do número zero
O zero não era reconhecido
como um número, e sim
como o “nada”. Os Maias,
foram o primeiro povo a
utilizar-se de um símbolo
para o zero, e acabou
virando parte do sistema
numérico
Os matemáticos
indianos,
começaram a usar o
símbolo "0" como
um número real e
não apenas como
um espaço vazio. O
“nada”, para eles
tinha conexão com a
eternidade
300 a.C
O zero deixou de ser
somente “o nada” ”o
vazio” e virou uma das
maiores invenções da
humanidade. Hoje
utilizamos o sistema
indu-arabico, que
possui 10 símbolos para
representar os números
de 0 até 9.
0-1-2-3-4-5-6-7-8-
9
O sistema
hindo-arábico era
visto com
desconfiança
pelos católicos,
porém com
séculos de
debates, o zero foi
finalmente aceito
como parte do
sistema numérico
630 d.C Idade Média
Babilonia Global
India Europa
I II III IV
Dias Atuais

6. 1 15
Muda de unidade para
dezena, o número 1 sem
nada do lado, vale
quantidade 1, o numero 15,
é o numero 1 e o numero 5
lado a lado, e vale 15
unidades, 15 quantidades
de alguma coisa
Sistema Numérico Posicional -
Babilonios
15 1 5
15 1 5
Os babilonios para
expressar, como por exemplo,
a quantidade 105, deixavam
um espaço no meio, que
representa o “nada”, pois de
juntasse o 1 e o 5, repentaria
o numero 15 (quinze). Não
era um bom método.
O valor do número dependerá da sua posição

7. Representação Maia dos
números

8. Representação Indiana do
número zero - Ouroboros

9. Representação Indiana do
número zero

10. A validação do zero para ser considerado
um número
Somar
01
02
Multiplicar
03
Para o zero ser considerado, de fato,
numero, ele precisava ter leis na qual
deveriam ser cumpridas. Leis de como
somar, subtrair, multiplicar e dividir com
ele, mesmo o zero na divisão ainda sendo
um tabu nos dias de hoje.
As operações com o zero nos permite a
fazer diversas operações importantes na
matemática.
O zero nos permite a “brincar” com os
números, sendo eles extremamente
pequenos e/ou extremamente grandes
04
Subtrair
Dividir

11. Discutir as operações básicas (adição, subtração,
multiplicação e divisão) em ℕ (o conjunto dos números
naturais) de maneira mais formal envolve descrever
essas operações dentro do contexto dos números
naturais e apresentar algumas propriedades-chave.
Discutir mais
formalmente sobre as
operações básicas em ℕ

12. Os números naturais são um conjunto infinito
de números positivos (e o zero) que começa a
partir de 0 e se estende indefinidamente, N=(0,
1, 2, 3, 4, 5, ...). Eles são usados para contar
objetos, representam uma posição em uma
sequência, ou denotam quantidades inteiras
não negativas.
Construção do Conjunto
de Números Naturais:

13. AXIOMAS
de Peano
1. Todo número natural tem um sucessor.
2. Números naturais diferentes tem sucessores diferente.
3. Existe um único número natural, chamado um e
representado pelo símbolo 1, que não é sucessor de
nenhum outro.
4. Seja X um conjunto de número naturais, se 1 pertence a
X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X
ainda pertence a X, então X = ℕ

14. Adição (+)
● A operação de adição, nos números naturais, é
definida a partir da idéia de sucessor.
● Formalemente: se a ∈ ℕ, a + 1 é sucessor de a.
● A soma m + n é o número natural que se obtém a
partir de m aplicando-se n vezes seguidas a operação
de tomar o sucessor.
m + n = (((m+1) +1) +1) +1......+1) , operado n vezes.

15. Adição (+)
Propriedades:
1. Fechada: se a, b ∈ ℕ, a + b ∈ ℕ
2. Unívoca: se a = b, a + c = b + c
3. Comutativa: a + b = b + a
4. Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)

16. Multiplicação (.)
● Símbolos: “x” ou “.” ou “*”
● Operação que faz corresponder aos números m,n ∈ ℕ
o produto m.n
● m x n = n + n + ...+ n , operado m vezes.

17. Multiplicação (.)
Propriedades:
1. Fechada: se a, b ∈ ℕ, a.b ∈ ℕ
2. Unívoca: se a = b, a.c = b.c
3. Comutativa: a.b = b.a
4. Associativa: (a.b).c = a.(b.c)
5. Elemento Neutro

18. Subtração (-)
● Operação que faz corresponder aos números m,n ∈ ℕ
a diferença m - n
● m - n = p se e só se m = p + n
● A operação de subtração não é fechada em N, pois
existem muitos pares de números m, n tais que m - n
não é um número natural.
● Relação de ordem estrita: Dados m, n e N, diz-se que
m é menor do que n, e escreve-se m < n se, e só se,
existe um p ∈ ℕ, tal que n = m + p

19. Divisão (÷)
● Símbolos: “÷” ou “:”
● Operação que faz corresponder aos números m,n ∈ ℤ⁺
o quociente m ÷ n
● m : n = p se e só se m = p . n

20. Adição
● A adição é usada para combinar duas ou
mais quantidades para encontrar o total
(definição específica para operação de
adição).
● Você pode pensar na adição como a ação
de "juntar", "reunir" ou
“combinar”quantidades, para formar
uma única quantidade somada.
● Exemplo: 3 + 4 = 7. Isso significa que, ao
combinar 3 e 4, obtemos o resultado 7.
● Ou, como antigamente. Se você tem 3
cabras e comprou 4, ao todo terá 7
cabras.
● A subtração é usada para
encontrar a diferença entre
duas quantidades ou números.
● Você pode pensar na subtração
como a ação de "retirar" uma
quantidade de outra.
● Exemplo: 8 - 5 = 3. Isso significa
que, ao subtrair 5 de 8,
obtemos o resultado 3.
● Utilizada para comparar
valores, encontrar diferença e
também na resolução de
problemas de mudança
Ideias Associadas às Operações Básicas
Subtração

21. ● A multiplicação é usada para repetir
a adição de um número/quantidade,
várias vezes.
● Você pode pensar na multiplicação
como a ação de "agrupar"
quantidade
● Exemplo: 2 x 6 = 12, que seria a
mesma coisa de 2 + 2+ 2+ 2+ 2+ 2
= 12
● Utilizada para representar adições
sucessivas de determinado número
● A divisão é uma operação que
separa um número (ou uma
quantidade) em partes iguais.
● Você pode pensar na divisão como a
ação de "repartir" quantidades.
● Exemplo: 18 ÷ 3 = 6. Isso significa
que, ao dividir 18 em 3 partes iguais,
cada parte é igual a 6. A primeira
parte fica com 6,a segunda com 6 e
a terceira com 6.
● Utilizada para dividir um conjunto de
objetos em grupos iguais.
Ideias Associadas às Operações Básicas
Multiplicação Divisão

22. Associatividade: A ordem em que você realiza as operações não afeta o
resultado (exemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)).
Comutatividade: A ordem dos números não afeta o resultado nas
operações de adição e multiplicação (exemplo: 2 + 3 = 3 + 2).
Elemento neutro: 0 é o elemento neutro na adição (qualquer número + 0 =
o próprio número) e 1 é o elemento neutro na multiplicação (qualquer
número x 1 = o próprio número).
Distributividade: A multiplicação é distributiva sobre a adição (exemplo: 2
x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4)).
Propriedades das
Operações:

23. É uma maneira excelente de aprofundar a
compreensão matemática e promover a
flexibilidade no cálculo. Vamos explorar
algoritmos alternativos para as quatro operações
básicas: adição, subtração, multiplicação e
divisão.
Explorar diferentes
algoritmos para as
operações básicas:

24. Adição
Algoritmo de Adição com Quebra: Esse
método envolve dividir os números em
partes, como moedas e unidades, somar as
partes separadamente e depois somar os
resultados. Por exemplo, para somar 68 +
47, você pode quebrar em (60 + 40) + (8 +
7).
Algoritmo Padrão (Coluna por Coluna): Este é o
método mais comum para adição, onde você
alinha os números verticalmente, começando
pelas unidades, somando-as, e depois
passando para as dezenas, centenas e assim
por diante, levando em consideração o
transporte sempre que necessário.

25. Subtração
Algoritmo Padrão (Coluna por
Coluna): Semelhante à adição, você
alinha os números verticalmente e
subtrai da direita para a esquerda,
levando em consideração o
empréstimo sempre que necessário.
Método de Complemento de 9 ou 10: Este
método envolve uma conversão do
subtraendo em seu complemento de 9 ou
10, tornando a subtração mais simples. Por
exemplo, para 78 - 46, você pode usar o
complemento de 10, transformando-o em
78 + 54 = 132.

26. Método Padrão (Caixa de Malha ou
Caixa de Grade): Este método envolve a
criação de uma grade e multiplicar as
unidades, dezenas, centenas, etc., em
suas posições comentários e somar os
resultados.
Multiplicação
Método de Multiplicação por Dupla e Dividir por 2: Esse
método é útil para multiplicar por números próximos de
potências de 2. Você divide em duas partes o
multiplicador e depois multiplica o multiplicando pelos
numeros que voce separou anteriormente. Por exemplo,
para 36 x 9, você divide o 9 em duas partes, que seria
3 e 3 (3x3), depois multiplica o 36 por 3 e o resultado
disso, mult. por 3 novamente para obter 36 x 3 = 108 x
3 = 324.

27. Divisão
Método Padrão (Longa Divisão): Este
é o método mais comum de divisão,
onde você divide o dividendo pelo
divisor, calculando os quocientes e
restos um dígito de cada vez.
Método de aproximação: Este método é
útil quando você precisa de uma resposta
aproximada. Divida os números de
maneira mais simples (por exemplo,
arredondando-os) e depois ajuste a
resposta de acordo com o erro.

28. O zero no quociente e
dúvidas geralmente
associadas

29. Zero no quociente
Quando o zero aparece no quociente? O zero pode aparecer no quociente
quando a divisão é realizada, mas o dividendo não cabe no divisor de
forma inteira. Isso ocorre quando o dividendo é menor que o divisor.
Exemplo 2: Considere 3 ÷ 7. Nesse
caso, o 3 não cabe no 7 nenhuma
vez de forma inteira, então o
quociente é zero.
Exemplo 1: 5 ÷ 10 também
resulta em um quociente de
zero, porque 5 não cabe em
10 sem deixar um resto.

30. Divisão por Zero: Uma dúvida comum é a divisão por zero. A
divisão por zero é indefinida na matemática, o que significa que
não é possível dividir um número por zero e obter um quociente
significativo. Por exemplo, 5 ÷ 0 é indefinido.
Zero como Divisor: Alunos também podem questionar porque
não podemos dividir por zero. Isso pode ser explicado pela ideia
de que a divisão representa o ato de dividir algo em partes
iguais. Se não há nada para dividir (divisor zero), a operação não
faz sentido.
Zero no Dividendo: Alunos podem se perguntar o que acontece
quando zero está no dividendo. Zero dividido para qualquer
número (que não seja zero) é zero. Por exemplo 0 ÷ 5 é 0.

31. Zero como Quociente: Quando ensinamos divisão com
números menores no dividendo do que no divisor, pode haver
perguntas sobre por que o quociente é zero. É importante explicar
que o zero no quociente significa que o dividendo não contém
uma quantidade inteira do divisor.
Relação com Frações: É útil explicar como a divisão está
relacionada às frações. Por exemplo, 3 ÷ 7 é o mesmo que 3/7,
que é uma fração que representa a divisão de 3 em 7 partes
iguais.
Divisão com Resto: Também é importante ensinar divisão com
resto, onde o quociente inclui uma parte inteira e um resto. Por
exemplo, 8 ÷ 3 é igual a 2 com um resto de 2.

32. É um tópico importante na matemática e na
filosofia da matemática. Embora o zero seja um
número fundamental em muitos sistemas
numéricos, sua naturalidade é, em última análise,
uma questão de perspectiva e definição.
Naturalidade do
número ZERO

33. Naturalidade nos Números Naturais:
No sistema de números naturais, que inclui apenas números
positivos (1, 2, 3, ...), o zero geralmente não está incluído. Nesse
contexto, o zero é muitas vezes visto como uma extensão dos
números naturais para lidar com situações em que "nenhum" ou
"nada" está presente. A inclusão ou exclusão de zero nos números
naturais pode variar de acordo com diferentes convenções e
sistemas de ensino.

34. Naturalidade na Filosofia da Matemática:
Na filosofia da matemática, a naturalidade do zero é uma questão mais ampla.
Filósofos e matemáticos discutiram a natureza do zero e se ele é uma entidade
"natural" ou uma construção humana. Alguns argumentam que o zero é uma
abstração útil que surgiu da necessidade de representar a ausência de detalhes,
enquanto outros argumentam que ele é uma criação puramente humana que não
possui uma existência natural ou objetiva.
Utilidade Prática:
Independentemente de sua naturalidade filosófica, o zero é extremamente útil em
muitos aspectos da matemática e da ciência. Ele desempenha um papel essencial
em operações matemáticas, na medição de grandezas, na representação de
números negativos e em muitos outros contextos práticos.

35. Hora da
OFICINA!

36. JOGO 1 - Buscando Somas
Iguais
MATERIAL: Tabela
como exemplo abaixo
e 1 dado (de tantas
faces quiser)
OBJETIVO: Obter, após
cada rodada, o maior
número de somas
iguais.
OFICINA
REGRAS:
1. Jogue o dado 4 vezes e escreva os números obtidos um em
cada coluna (a partir da 2ª coluna).
2. Jogue o dado 4 vezes e anote os números na 1ª coluna (2ª
linha), e em seguida, escreva cada um deles em uma coluna de
sua escolha (sempre um só número por coluna) e soma-se ao
número anterior da coluna.
3. As rodadas seguintes se desenvolvem da mesma maneira: a
cada novo número de uma coluna adiciona-se o número anterior.
4. Os pontos são contados da seguinte maneira:
— Para duas somas iguais: 1 ponto
— Para três somas iguais ou duas vezes somas iguais: 5 pontos
— Para quatro somas iguais: 10 pontos
5. Vence aquele que depois da rodada final obtiver maior número
de pontos.

37. JOGO 1 - Buscando Somas
Iguais
OFICINA

38. JOGO 2 - Bingo Matemático
REGRAS:
● O Bingo Matemático pode ser jogado em grupo ou
individualmente, e é importante ter uma pessoa
responsável por sortear as fichas com as respostas.
● As regras do Bingo Matemático são bastante semelhantes
às do jogo de bingo tradicional.
● Cada participante recebe uma cartela e, a cada rodada,
um jogador retira uma ficha com uma operação ou
pergunta. Os jogadores devem procurar em suas cartelas
a operação correspondente ao resultado sorteado e
marcar com um algum marcador disponível. O primeiro a
preencher toda a cartela deve gritar “BINGO” e será o
vencedor da partida.
OFICINA
Material:
Cartelas: No Bingo Matemático, as
cartelas são substituídas por
operações de multiplicação ou
perguntas relacionadas a algum
conteúdo matemático.
Fichas de resposta: fichas com as
respostas de cada multiplicação
feita nas cartelas. Isso tornará o jogo
mais interativo e desafiador.
Marcadores
Folhas de rascunho: para os alunos
escreverem as sentenças.

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OBRIGADO!
Alan, Arthur Amat, Fernanda da Silveira e Naiane de Santana
Matemática