Rl livro de matematica

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Matemática
© 3ª Edição - 2002
R&A Editora
Autor:
Professor Joselias Santos da Silva
Revisão:
Silvio Luis Motta
Editoração Eletrônica:
Valquíria Farias dos Santos
Capa:
Studio Color Company - ( 3326.8366
Projeto Gráfico:
R&A Editora
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Impresso no Brasil
Printed in Brazil
R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos Ltda.(setor gráfico)

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Matemática
Concursos Públicos
MATEMÁTICA
São Paulo
TEORIA
Com mais de 500 questões
resolvidas e comentadas
Joselias Santos da Silva

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Matemática
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Silva, Joselias Santos da, 1957-
Concursos Públicos: matemática : teoria, com
mais de 500 questões resolvidas e comentadas /
Joselias Santos da Silva. -- São Paulo : R&A
Editora Cursos e Materiais Didáticos, 1999.
Bibliografia.
1. Matemática - Concursos públicos I. Título
99-2008 CDD-510.76
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Concursos públicos 510.76

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Matemática
Índice
1. As quatro operações com números inteiros, fracionários e decimais;
Números Pares, Ímpares, Primos e Compostos; ........................................... 7
• Operações e propriedades com números inteiros ........................................... 8
• Números Pares ............................................................................................. 11
• Números Ímpares.......................................................................................... 11
• Divisibilidade ................................................................................................. 11
• Múltiplos e Divisores...................................................................................... 14
• Números Primos ........................................................................................... 14
• Números Compostos:.................................................................................... 15
• Máximo Divisor Comum (MDC) ..................................................................... 15
• Mínimo Múltiplo Comum (MMC) .................................................................... 15
• Números Fracionários e Decimais ................................................................ 18
• Operações nas Formas Fracionárias e Decimais.......................................... 20
2. Sistema Métrico Decimal (medidas de comprimento, área, volume,
capacidade, massa e tempo) ......................................................................... 32
• Sistema Métrico Decimal............................................................................... 32
• Medidas de Superfície (área) ........................................................................ 36
• Medida de Volume ......................................................................................... 37
• Medidas de Capacidade ................................................................................ 38
• Medidas de Massa ........................................................................................ 39
• Medidas não decimais ................................................................................... 39
3. Juros e Porcentagem ..................................................................................... 51
• Conceitos de Matemática Financeira ............................................................ 51
• Regime de Capitalização ............................................................................... 53
• Capitalização Simples ................................................................................... 55
• Porcentagem ................................................................................................. 63
4. Razão e Proporção; Regra de Três Simples e Composta;
Divisões Proporcionais.................................................................................. 71
• Razões e Proporções .................................................................................... 71
• Série de Razões iguais ou porporções em série ........................................... 74
• Razões .......................................................................................................... 76
• Divisões Proporcionais .................................................................................. 76

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Matemática
• Regra de Sociedade ...................................................................................... 80
• Regra de Três Simples .................................................................................. 90
• Regra de Três Composta .............................................................................. 92
5. Sistema do 1º grau ......................................................................................... 98
6. Potenciação e Radiciação............................................................................ 104
• Potenciação................................................................................................. 104
• Radiciação .................................................................................................. 105
• Produtos Notáveis ....................................................................................... 105
7. Equação do 2º grau ...................................................................................... 107
• Trinômio do 2º grau ..................................................................................... 107
• Inequação do 2º grau .................................................................................. 110
8. Questões Resolvidas e Comentadas .......................................................... 117
9. Bibliografia.................................................................................................... 285

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Matemática
As quatro operações com Números Inteiros,
Fracionários e Decimais;
Números Pares, Ímpares, Primos e Compostos;
MMC e MDC; Divisibilidade.
A matemática desenvolvida nesta apostila não terá o compromisso de ensinar os
verdadeiros princípios de numeração que motivaram a criação dos números.
Lembramos ao leitor que este material está voltado aos candidatos aos concursos
públicos que exigem o segundo grau completo, portanto partimos da premissa que o
aluno já possui a iniciação matemática necessária ao entendimento dos assuntos
abordados, não sendo precisos detalhes triviais do 1° grau.
Representaremos inicialmente os números naturais: 0, 1, 2, 3, 4,...
A coleção de todos os números naturais representaremos pela letra N e chamare-
mos de conjunto dos números naturais, então :
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ... }.
Assim, o leitor já observou que os números naturais servem para contar, e este foi o
grande salto da humanidade no sentido matemático, quando as primeiras civiliza-
ções começaram a contar seus rebanhos.
A seguir, traremos a idéia de números inteiros; suponha que na reta marquemos os
pontos como na figura:
... –3 –2 –1 0 1 2 3 4 ...
Os pontos marcados representam os números inteiros e observe que teremos intei-
ros positivos, negativos, não positivos e não negativos.
Então, Z é o conjunto dos números inteiros. Daí:
Z = { ... –4 , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... }
Representaremos por Z–
o conjunto dos números não positivos. Daí :
Z–
= { ... –4 , –3 , –2 , –1 , 0 }
Se no conjunto dos inteiros considerarmos apenas os números não negativos, tere-
mos a notação Z+
.
Logo :
Z+
= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... }
Obs.: Você viu que o conjunto dos inteiros não negativos é o conjunto dos naturais?

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Matemática
Vamos introduzir a notação com (*), para dizer que o conjunto não possui zero, isto é,
Z* = Z – { 0 } = {... –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3... }
Então, representaremos por conjunto dos números inteiros negativos a :
Z*–
= { ... , –3, –2, –1 }
Analogamente representaremos por conjunto dos inteiros positivos a :
Z*+
= {1 , 2 , 3 , 4 , ... }
OPERAÇÕES E PROPRIEDADES COM NÚMEROS INTEIROS
A. ADIÇÃO
Chamaremos de adição à operação de reunir em um só número as quantida-
des representadas por dois ou mais números.
Representaremos a operação de adição pelo símbolo “+”. Ao resultado da
adição chamaremos de soma.
Exemplo :
Seja uma caixa A com 10 canetas
Seja uma caixa B com 20 canetas
Então, o total de canetas será a adição das quantidades das caixas A e B
representaremos por 10 + 20 = 30.
Ao resultado da adição chamaremos de soma, isto é, 30 canetas é o resultado
da adição de 10 canetas com 20 canetas.
PROPRIEDADES
Sejam os números inteiros:
Então:
I. a + 0 = a ( Existência do neutro).
O número não se altera quando adicionamos o 0 (zero).
II. a + b = b + a
A adição é comutativa.
III. a + b + c = a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
A adição é associativa.
Exemplo:
Uma pessoa tinha x livros.
Comprou mais 5 livros, com quantos livros ficou ?
Resposta : ( x + 5 ) livros.
Exemplo:
Uma microempresa possui 3 funcionários ( A, B e C ). Se A ganha R$ 300,00,
B ganha R$ 400,00 e C ganha R$ 500,00, qual o valor da folha de pagamento
da microempresa?

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Matemática
SOLUÇÃO
A adição entre 300, 400 e 500 é 300 + 400 + 500 = R$ 1.200,00
B. SUBTRAÇÃO
Chamaremos subtração à operação de achar a quantidade que um número
excede o outro e esta operação representaremos pelo símbolo “ – “. Ao resul-
tado da subtração chamaremos de diferença.
Exemplo:
Suponhamos que uma pessoa tinha 40 canetas e perdeu algumas ficando
com 30 canetas ao final. Quantas canetas ela perdeu ?
SOLUÇÃO
A subtração entre 40 e 30 é
40 – 30 = 10 canetas perdidas.
Exemplo:
Suponha que um vendedor ambulante tinha 50 canetas para vender. Se du-
rante a manhã ele vendeu 15 canetas e à tarde vendeu 18 canetas, com quantas
canetas acabou o dia ?
SOLUÇÃO
50 – 15 – 18 = 35 – 18 = 17 Canetas
C. MULTIPLICAÇÃO
Chamamos de multiplicação à operação de realizar a adição de um número
quantas vezes for o outro.
A operação de multiplicação representaremos pelo símbolo “×”. Ao resultado
da multiplicação chamaremos de produto. Aos números envolvidos na opera-
ção chamamos de fatores.
Exemplo:
a. 3 × 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
b. 7 × 4 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28
c. 10 × 6 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60
PROPRIEDADES
1. A ordem dos fatores não altera o produto (Comutativa).
Exemplo:
a. 2 × 3 = 3 × 2 = 6
b. 5 × 4 × 3 = 4 × 3 × 5 = 3 × 4 × 5 = 60
2. Associativa
5 × 3 × 4 × 2 = 5 × 12 × 2 = 120

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Matemática
3. Qualquer número multiplicado por “0” tem como resultado zero.
2 × 0 = 0
3 × 4 × 0 = 0
4. O produto de qualquer número por 1 é igual ao próprio número.
a × 1 = a
120 × 1 = 120
D. DIVISÃO
Chamamos de divisão de um número (dividendo) por outro número (divisor)
à operação de achar um terceiro número (quociente) tal que multiplicado pelo
divisor produza o dividendo. A operação de divisão será representada pelo
símbolo “ : ”
Exemplo
Dividir 650 por 13 é encontrar um número (50) tal que 50 multiplicado por 13
produza 650.
650 50 13
dividendo quociente divisor
x
1 24 34 1 24 34 124 34
=
PROPRIEDADES
1. O quociente da divisão de um número por 1 é o próprio número:
30 ÷ 1 = 30
27 ÷ 1 = 27
2. Um número, diferente de zero, dividido por ele mesmo é sempre igual
a 1.
20 ÷ 20 = 1
47 ÷ 47 = 1
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. Efetue os produtos :
a. 9 × 9 =
b. 9 × 98 =
c. 9 × 987 =
d. 9 × 9876 =
e. 9 × 987.654.321 =
RESPOSTA
a. 81 b. 882 c. 8883 d. 88.884 e. 8.888.888.889.

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Matemática
02. Efetue os produtos :
a. 12.345.679 × 9 =
b. 12.345.679 × 18 =
c. 12.345.679 × 27 =
d. 12.345.679 × 45 =
RESPOSTA
a. 111.111.111 b. 222.222.222 c. 333.333.333 d. 555.555.555
03. Efetue a divisão.
888.888.888 ÷ 98.765.432
RESPOSTA
9 (veja exercício 01)
NÚMEROS PARES
Chamamos de números pares aos números que terminam com 0, 2, 4, 6 ou 8.
NÚMEROS ÍMPARES
Chamamos de números ímpares aos números que terminam com 1, 3, 5, 7 ou 9.
DIVISIBILIDADE
Esta parte do material irá tratar das regras que permitem dizer se um número é
divisível por outro sem precisar efetuar os cálculos.
DIVISIBILIDADE POR 2
Um número é divisível por 2 quando é par ( termina em 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ).
Exemplos: 10 , 24 , 1.208
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos produz como resultado
um número múltiplo de 3.
Exemplo:
a. 36 (3 + 6 = 9)
b. 147 (1 + 4 + 7 = 12)
Um número é divisível por 4 quando os 2 últimos algarismos formam um número
divisível por 4.
Exemplo:
a. 840 (40 é divisível por 4)
b. 1.232 (32 é divisível por 4)
c. 987.624 (24 é divisível por 4)

12
Matemática
Um número é divisível por 5 quando termina em zero ou cinco.
Exemplo:
a. 1.230
b. 1.345
Um número é divisível por 6, quando é divisível por 2 e 3, simultaneamente. Portanto,
tem que ser par e divisível por 3.
Exemplo:
a. 324
b. 126
Não há regra, porém vou apresentar um algoritmo que certa vez um professor me
apresentou.
Exemplo:
315 é divisível por 7.
Veja como verificar:
1º Sempre separe a casa das unidades.
n
n
31 n 5
n
n
2º Multiplique o algarismo à direita da separação por 2, e subtraia do algarismo
à esquerda.
Logo:
31 – 2 X 5 = 31 – 10 = 21
3º Se o resultado for divisível por 7, então o número original é divisível por 7.
Exemplo:
8.638 é divisível por 7.
n
n
863 n 8
n
n
863 – 8 X 2 = 863 – 16 = 847.

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Matemática
n
n
84 n 7
n
n
84 – 7 X 2 = 70 é divisível por 7. Logo 8.638 é divisível por 7.
Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um número
divisível por 8.
Exemplo:
a. 12.160 é divisível por 8, pois 160 é divisível por 8.
b. 23.800 é divisível por 8, pois 800 é divisível por 8.
Um número é divisível por 9, quando a soma dos seus algarismos formam um número
divisível por 9.
Exemplo:
a. 297 é divisível por 9, pois 2 + 9 + 7 = 18 é divisível por 9.
b. 1.107 é divisível por 9, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9 é divisível por 9.
c. 8.883 é divisível por 9, pois 8 + 8 + 8 + 3 = 27 é divisível por 9.
Um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero).
Exemplo:
a. 12.340 é divisível por 10.
b. 987.650 é divisível por 10.
Um número é divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de
ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar é divisível por 11.
Exemplo:
a. 14.927 é divisível por 11 pois,
• soma dos algarismos de ordem par: 4 + 2 = 6
• soma dos algarismos de ordem ímpar: 1 + 9 + 7 = 17
Diferença: 17 – 6 = 11 é divisível por 11.

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Matemática
Exemplo:
a. 909.293 é divisível por 11.
• soma dos algarismos de ordem par: 0 + 2 + 3 = 5
• soma dos algarismos de ordem ímpar: 9 + 9 + 9 = 27
Diferença: 27 – 5 = 22 é divisível por 11.
MÚLTIPLOS E DIVISORES
Sendo x e y números inteiros; x é múltiplo de y, se x é produto de y por um outro
número inteiro z.
Exemplo:
a. 21 é múltiplo de 7, pois 21 = 7 . 3
b. 21 é múltiplo de 3, pois 21 = 3 . 7
c. –9 é múltiplo de 3, pois –9 = 3 . (–3)
d. 0 é múltiplo de 10 pois 0 = 10 . 0
Observamos que zero é múltiplo de qualquer número inteiro, pois 0 = x . 0, para
qualquer número x ∈Z.
Se x , y são números inteiros, definimos que x é múltiplo de y ou z , tal que x = y . z,
nestas condições y e z são divisores de x.
Exemplo:
a. 3 é divisor de 21, pois 21 = 3 . 7
b. 7 é divisor de 21, pois 21 = 7 . 3
c. 3 é divisor de –9, pois 9 = 3 . (-3)
d. 10 é divisor de 0, pois 0 = 10 . 0
Observação:
Indicaremos por D(x) o conjunto dos divisores de x.
Indicaremos por M (x) o conjunto dos múltiplos de x.
D (x) = { d ∈ Z | d divide x }
M (x) = { m ∈ Z | m é múltiplo de x }
Exemplo:
a. D(6) = { –6 , –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3 , 6 }
b. D(3) = { –3 , –1 , 1 , 3 }
c. M(5) = { ... –15 , –10 , –5 , 0 , 5 , 10 , 15,...}
d. M(–2) = { ... –4 , –2 , 0 , 2 , 4 , 6 ,.... }
NÚMEROS PRIMOS
Um número inteiro x , x ≠ ±1 é primo, se e somente se, seus únicos divisores são –
1, 1, –x, x.

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Matemática
Observação:
Por esta definição observe que 0 , –1 , 1, não são primos.
NÚMEROS COMPOSTOS:
Chamamos de números pares aos números que possuem mais de dois divisores
positivos.
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
Dados dois inteiros x e y, não nulos, seu máximo divisor comum, que se indica por
MDC(x , y), é o maior elemento do conjunto ( ) ( )D x D yI .
Exemplo:
Sejam os inteiros 15 e 24
Então, temos:
D (15) = { –15 , –5 , –3 , –1 , 1 , 3 , 5 , 15 }
D (24) = { –24 , –12 , –8 , –6 , –4 , –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24}
O máximo divisor comum de 15 e 24 será o maior elemento de
D (15) I D (24) = { –3 , –1 , –1 , 3 }, logo: MDC (15 , 24) = 3.
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dizemos que dois inteiros são primos entre si, quando o MDC entre eles é um.
Exemplo:
5 e 9 são primos entre si, pois o MDC (5 , 9) = 1
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
Dados dois inteiros x e y, não nulos, o mínimo múltiplo comum entre x e y, é o menor
elemento positivo do conjunto M (x) I M (y)
Exemplo:
Considere os inteiros 6, 8.
M (6) = { ... –36 , –30 , –24 , –18 , –12 , –6 , 0 , 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , .... }
M (8) = { .... –40 , –32 , –24 , –16 , –8 , 0 , 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 , .... }
M (6) I M(8) = { .... –24 , 0 , 24 , 48 .... }
O MMC (6, 8) é o menor inteiro positivo do conjunto M (6) I M (8), logo o
MMC (6 , 8) = 24.

16
Matemática
Nota importante:
Para se calcular o MDC ou MMC, consideramos a decomposição nos fatores primos.
Sendo assim teremos:
a. O MDC será o produto dos fatores primos comuns tomados com os menores
expoentes
b. O MMC será o produto de todos os fatores primos tomados com os maiores
expoentes.
Exemplo:
Considere os inteiros 40 e 72.
40 2 72 2
20 2 36 2
10 2 18 2
5 5 9 3
1 3 3
1
40 = 2³ x 51
72 = 2³ x 3²
Logo: MDC (40, 72) = 2³ = 8
MMC (40, 72) = 2³ x 3² x 51
= 8 x 9 x 5 = 360
Exemplo:
Calcule: MDC (72, 120) e MMC (72, 120)
72 2 120 2
36 2 60 2
18 2 30 2
9 3 15 3
3 3 5 5
1 1
72 = 2³ x 3² 120 = 2³ x 31
x 51
MDC (72, 120) = 23
x 31
= 8 x 3 = 24
MMC (72, 120) = 23
x 32
x 51
= 8 x 9 x 5 = 360
Exemplo:
Três satélites artificiais giram em torno da Terra, em órbita constante.
O tempo de rotação do primeiro é de 42 minutos, o do segundo 72 minutos e o
do terceiro 126 minutos.
Em dado momento eles se alinham no mesmo meridiano, embora em latitudes
diferentes.
Eles voltarão a passar, em seguida, simultaneamente, pelo meridiano depois
de :

17
Matemática
a. 16h e 24 min
b. 7h e 48 min
c. 140 min
d. 126 min
e. 8h e 24 min
SOLUÇÃO
O tempo de rotação do satélite A = 42 min.
O tempo de rotação do satélite B = 72 min.
O tempo de rotação do satélite C = 126 min.
Houve uma coincidência, a próxima coincidência ocorrerá daqui a:
MMC (42, 72, 126) = 23
x 32
x 71
= 8 x 9 x 7 = 504 min.
42 2 72 2 126 2
21 3 36 2 63 3
7 7 18 2 21 3
1 9 3 7 7
3 3 1
1
42 = 21
X 31
X 71
72 = 23
X 32
126 = 21
X 32
X 71
Logo, decorrerão 504 minutos para que os satélites passem simultaneamente
pelo mesmo meridiano.
Dai,
504 min 60
24 min 8h
Resposta: 8h e 24 min. “E”
Exemplo:
Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do mesmo
ponto de partida de uma pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos
e o outro em 120 segundos. Calcule os minutos que levarão para se encontrar
novamente.
a. 1.320
b. 132
c. 120
d. 60
e. 22

18
Matemática
SOLUÇÃO
O primeiro dá uma volta em 132 seg.
O segundo dá uma volta em 120 seg.
Houve uma coincidência, a próxima coincidência ocorrerá em :
MMC (132, 120) = 23
x 31
x 51
x 111
= 1.320 seg.
132 2 120 2
66 2 60 2
33 3 30 2
11 11 15 3
1 5 5
1
132 = 22
x 31
x 111
120 = 23
x 31
x 51
MMC (132, 120) = 1.320 seg.
1.320 seg 60
120 seg 22 min
0 Resposta: 22 min. “E”
NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS
Suponha que temos uma pizza e a dividimos em 8 pedaços iguais.
Cada pedaço representa 1
8 (um oitavo) da pizza.
(

19
Matemática
Logo, os três pedaços apresentados na figura acima representam 3 oitavos da pizza
( 3
8 da pizza).
Então o leitor tem que começar a entender que uma fração representa uma parcela
(ou várias parcelas) de um todo.
Seja então a fração
a
b
.
Chamamos de a o numerador da fração e de b o denominador da fração.
Quando o denominador da fração for igual a 10 ou múltiplo de 10 a fração será
chamada de fração decimal, caso contrário de fração ordinária.
Exemplo:
a.
1
8
fração ordinária.
b.
4
5
fração ordinária.
c.
3
10
fração decimal.
d.
7
100
fração decimal.
Quando o numerador for menor que o denominador, a fração será chamada de fração
própria, caso contrário será chamada de fração imprópria (ou mista).
Exemplo:
3
4
(própria)
4
5
(própria)
9
5
(imprópria)
10
3
(imprópria)
obs: As frações impróprias são também chamadas de mistas e escritas da forma q
r
b
.

20
Matemática
Exemplo:
a. 10
3
3
1
3
= 10 3
1 3
b.
7
4
1
3
4
= 7 4
3 1
c.
19
5
3
4
5
= 19 5
4 3
Onde:
3
1
3
lê-se 3 inteiros e 1 terço.
1
3
4
lê-se 1 inteiro e três quartos.
3
4
5
lê-se 3 inteiros e quatro quintos.
OPERAÇÕES NAS FORMAS FRACIONÁRIAS E DECIMAIS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
Devemos primeiramente reduzir as frações a um denominador comum para depois
realizar as operações necessárias.
Exemplo:
a. 2
3
4
6
3
5
+ +
• Vamos achar o denominador comum:
3 - 6 - 5 2
3 - 3 - 5 3
1 - 1 - 5 5
1 - 1 - 1
MMC (3, 6, 5) = 30
Logo:
2
3
4
6
3
5
2 x 10 + 4 x 5 + 6 x 3
30
20 + 20 +18
+ + = = =
30
58
30
30:3 = 10 30:6 = 5 30:5 = 6
(((

21
Matemática
Logo, o resultado é 58
30
, que pode ser simplificado por 2 (dividindo numerador
e denominador por 2).
58
30
29
15
1
14
1515
29
= =
Exemplo:
4
5
3
7
2
21
3
15
+ + −
Vamos calcular o denominador comum:
5 - 7 - 21 - 15 3
5 - 7 - 7 - 5 5
1 - 7 - 7 - 1 7
1 - 1 - 1 - 1 105
MMC ( 5, 7, 21, 15 ) = 105
Logo:
105 : 5 = 21
105 : 7 = 15
105 :21 = 5
105 :15 = 7
Logo, a resposta será a fração: 118
105
1
13
105
=
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
Basta lembrar o esquema :
a
b
c
d
a c
b d
⋅ =
⋅
⋅
Exemplo:
4
7
5
8
4 5
7 8
20
56
x
x
x
= = que pode ser simplificada: basta dividir o numerador e o
denominador por 4.
20
56
5
14
=
⇒ + + − =
+ + −
=
=
+ + −
=
4 3 2 3 4 21 3 15 2 5 3 7
105
84 45 10 21
105
118
105
5
21
7
15
21
5
15
7
x x x x

22
Matemática
DIVISÃO DE FRAÇÕES
Basta lembrar o esquema:
a
b
c
d
a
b
x
d
c
: =
Exemplo:
2
5
3
7
2
5
7
3
14
15
: = =x
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
04. Calcule
3
4
de 160.
Resposta :
3
4
x 160 = 3 x 40 = 120
05. Calcule
3
5
de 200.
Resposta : 3
5
x 200 = 3 x 40 = 120
06. Qual o valor de X para que
3
5
seja 60.
Resposta :
3
5
X = 60
∴ X
x
X x X= ∴ = ∴ =
60 5
3
20 5 100
07. Qual o valor do produto : 1
1
3
1
1
4
1
1
5
1
1
n
−





 −





 −





 −





L
a.
1
n
b.
2
n
c.
2 1( )n
n
−
d.
( )
2
1n n +
e.
( )
3
1n n +

23
Matemática
Solução: 1
1
3
1
1
4
1
1
5
1
1 2
3
3
4
4
5
1 2
−





 −





 −





 −





 = ⋅ ⋅
−
=L L
n
n
n n
Resposta: “B”
08. Calcular
2
5
de
3
4
Resposta: =
2
5
3
4
6
20
⋅ = simplificando por 2 temos :
6
20
3
10
=
09. Um comerciante vende uma mercadoria por R$ 1.200,00, ganhando nessa
transação 1
5 do preço de custo; por quanto deveria vender a mercadoria
para ganhar ½ do preço de custo?
Solução
Seja x o preço de custo.
Logo, x x+
1
5
representa R$ 1.200,00
portanto, 6
5
x
representa R$ 1.200,00
Isto é,
6
5
x
= 1.200,00 ∴ =
⋅
x
1200 5
6
.
x = 200 . 5
x = R$ 1.000,00
O preço de custo é R$ 1.000.00; como quero ganhar
1
2
do preço de
custo
1
2
1000de .





 , temos que o preço de venda será: R$ 1.000,00 + R$ 500,00
= R$ 1.500,00.
10. (FUVEST) – Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por :
a.
1
125
b.
1
8
c. 8
d. 12,5
e. 80

24
Matemática
Solução:
Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo pelo inverso
1
0 0125,
,
Logo
1
0 0125,
= 80. Resposta : “E”
11. O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos entre
si, é igual a 825. Então, o máximo divisor comum desses dois números
é:
a. 1
b. 3
c. 5
d. 11
e. 15
Solução:
Sejam x e y os números inteiros positivos dados. Como x e y não são primos
entre si, existe um fator primo comum na decomposição deles.
Como x . y = 825 = 3 . 52
. 11, então, o fator primo comum só pode ser 5.
Daí o MDC ( x , y ) = 5
Resposta: “C”
12. Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá uma volta completa
na pista em 10 segundos, o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12
segundos.
Quantas voltas terá dado cada um, respectivamente, até o momento em
que passarão juntos na linha de saída ?
a. 66, 60, 55
b. 62, 58, 54
c. 60, 55, 50
d. 50, 45, 40
e. 40, 36 e 32
Solução:
Corredor A - dá uma volta em 10 segundos.
Corredor B - dá uma volta em 11 segundos.
Corredor C - dá uma volta em 12 segundos.
Dado que partiram juntos, passarão juntos em:

25
Matemática
MMC ( 10, 11, 12 ) = 660 segundos
10 - 11 - 12 2
5 - 11 - 6 2
5 - 11 - 3 3
5 - 11 - 1 5
1 - 11 - 1 11
1 - 1 - 1 660
Logo, em 660 seg.
A - dará
660
10
66= voltas
B - dará
660
11
60= voltas
C - dará 660
12
55= voltas
Resposta: “A”
13. Quantos divisores positivos possui o número 216?
Solução:
Vamos decompor o número 216
216 2
108 2
54 2
27 3
9 3
3 3
1
216 = 23
. 33
Para achar o número de divisores positivos, basta somar 1 a cada expoente e
multiplicá-los (3 + 1) . (3 + 1) = 4 . 4 = 16 divisores positivos.
14. Temos 3 caixas com igual número de balas e mais uma com 10 balas
apenas, tirando-se 6 balas de cada uma das caixas, ficamos com 61 balas.
Quantas balas tinha cada uma das 3 primeiras ?
a. 23
b. 25
c. 28
d. 31
e. 34

26
Matemática
Solução:
Seja x a quantidade de balas em cada caixa.
Logo, temos ( 3x + 10 ) balas nas 4 caixas.
Se tirarmos 6 de cada caixa, ficaremos com:
3x + 10 – 24 = 3x – 14
Logo, 3x – 14 é igual a 61.
3x – 14 = 61
3x = 61 + 14 ∴ 3x = 75
x =
75
3 ∴ x = 25
Resposta : ”B”
15. Dois concursos têm o mesmo número de candidatos. Os 3
4 dos candidatos
do primeiro concurso excedem de 560 os 2
5 dos candidatos do segundo.
O número de candidatos de cada concurso é:
a. 2.000
b. 1.800
c. 1.600
d. 800
e. 400
Solução:
Seja x o número de candidatos em cada concurso. Logo
3
45
2
54
560
560 20
7
15 8
20
560 80 20
7
20
560
x x x
x x
x
x
− = =
⋅
−
= = ⋅
= =x 1.600 candidatos
Resposta: “C”
16. O salário do Sr. Agenor é 11
2 vezes o salário do Sr. Antenor. Então, o Sr.
Antenor ganha que fração do salário do Sr. Agenor ?
a. 1
2
b 1
3
c. 2
3
d. 5
6

27
Matemática
Solução:
Se o salário do Sr. Agenor é 11
2 vezes o salário do Sr. Antenor, então, o salário
do Sr. Agenor é3
2 do Sr. Antenor, isto é, o salário do Sr. Agenor =3
2 salário do
Sr. Antenor. Logo, o salário do Sr. Antenor =2
3 salário do Sr. Agenor.
Resposta : “C”
17. Resolva a expressão:
( –25.308 ) + ( –9.080 ) – ( +767 ) + ( +49 ) – ( –6 )
a. 35.210
b. 15.406
c. –16.952
d. –33.578
e. –35.100
Resposta : “E”
18. Efetuar os cálculos: ( + 57 ) . ( –722 ) : ( –19 )
a. 13.718
b. 2.166
c. 114
d. 35
e. –684
Resposta : “B”
19. O maior divisor e o menor múltiplo dos números 12, 18 e 30 são,
respectivamente:
a. 6 e 180
b. 1 e 30
c. 2 e 90
d. 60 e 60
e. 3 e 360
Resposta : “A”
20. Resolver a seguinte expressão :
2
3
1
6
1
2
:
3
4
1
2
1
2
−





 +








+ −






a. 3
b. 4
c.
4
11

28
Matemática
d.
5
3
e. 3
16
Resposta: “A”
21. A expressão 5
6
3a
10
2
15
+





 é idêntica a :
a. a
4
1
9
+
b. 15
60
2
15
a
+
c. 3
10
10
90
a
+
d. a
2
1
3
+
e. 13
36
Resposta: “A”
22. Efetuar as operações :
65,90 – ( 57,40 : 2 ) 1,4 + 7,88
a. 13,83
b. 33,60
c. 37,52
d. 39,44
e. 53,28
Resposta: “B”
23. Calcular : 0,0525 10
10
8
3
⋅
a. 52,5
b. 5,25
c. 525
d. 5.250
e. 52.500
Resposta: “D”

29
Matemática
24. Sabendo-se que A = 2x
. 32
. 5 , B = 22x
. 3 . 52
e que MMC ( A , B ) tem 45
divisores, o valor de x será:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
Resposta : “B”
25. O terço e a metade de um número fazem juntos 860. Qual é esse número?
a. 1.002
b. 1.022
c. 1.032
d. 1.042
e. 1.052
Resposta : “C”
26. Qual é o número cujo
1
25
aumentado de 600 dá 1.000 como soma ?
a. 100
b. 1.000
c. 10.000
d. 100.000
e. 1.000.000
Resposta : “C”
27. Viviane quer comprar 4 pacotes de biscoitos que custam R$ 0,57 cada
um. Pagando com uma nota de R$ 10,00, quanto receberá de troco?
a. R$ 2,28
b. R$ 7,30
c. R$ 7,72
d. R$ 9,43
e. R$ 9,72
Resposta : “C”
28. João é 4 anos mais velho que seu irmão José. Se em 1995 José completou
22 anos, então João nasceu em:
a. 1.969
b. 1.970
c. 1.973
d. 1.975
e. 1.977
Resposta : “A”

30
Matemática
29. Um produto que custa R$ 2,60 estava sendo vendido a R$ 1,70. Viviane
aproveitou a oferta e comprou 6 unidades do produto. Quanto Viviane
economizou?
a. R$ 0,90
b. R$ 4,30
c. R$ 5,40
d. R$ 5,60
e. R$ 25,80
Resposta : “C”
30. João e Maria são irmãos. Maria nasceu em 1972 e João completou 18
anos em 1995. Qual era a idade de Maria quando João nasceu ?
a. 2 anos
b. 3 anos
c. 5 anos
d. 7 anos
e. 8 anos
Resposta : “C”
31. Quero comprar 3 lápis ao preço de R$ 0,42 cada um. Pagando com uma
nota de R$ 10,00, quanto receberei de troco ?
a. R$ 8,58
b. R$ 8,74
c. R$ 9,04
d. R$ 9,58
e. R$ 9, 74
Resposta : “B”
32. Augusto é 7 anos mais novo que seu irmão Antônio. Se Antonio nasceu
em 1971, quantos anos Augusto completou em 1995?
a. 17
b. 19
c. 24
d. 31
e. 33
Resposta: “A”
33. (CESGRANRIO) – Numa cidade de 248.000 habitantes, a razão entre o
número de mulheres e de homens é igual a 3
5 . A diferença entre o número
de homens e o número de mulheres é de:
a. 62.000
b. 124.000
c. 93.000

31
Matemática
d. 155.000
e. 208.000
Resposta : “A”
34. (CESGRANRIO) – Um pequeno agricultor separou para consumo de sua
família 1
8 de sua produção de feijão. Se ainda sobraram 112 Kg para serem
vendidos, a produção, em Kg, foi de:
a. 128
b. 160
c. 360
d. 784
e. 846
Resposta : “A”
35. (CESGRANRIO) Quatro amigos compraram 850 arrobas de carne. Três
ficaram com18
25 do total e o quarto com o restante. O 1o
ficou com o
dobro do 3o
mais 100 arrobas; o 2o
, com a metade do que coube ao lo
mais 40 arrobas. Quantas arrobas couberam, ao que comprou mais e ao
que comprou menos, respectivamente?
a. 612 e 238
b. 612 e 105,5
c. 311 e 195,5
d. 311 e 105,5
e. 238 e 105,5
Resposta : “D”

32
Matemática
Sistema Métrico Decimal
(medidas de comprimento, área, volume,
capacidade, massa e tempo)
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
O sistema métrico decimal é o conjunto de medidas que têm como base a unidade
padrão de comprimento chamada de metro, e seus múltiplos e submúltiplos, que
são: 10,100,1000, etc, vezes maiores ou menores.
MEDIDAS DE COMPRIMENTO
A unidade padrão de medida de comprimento é o metro e representamos por m.
Então teremos seus múltiplos e submúltiplos.
Múltiplos do metro
Km - quilômetro (1000 metros)
hm - hectômetro (100 metros)
dam - decâmetro (10 metros)
Submúltiplos do Metro
dm - decímetro (0,1 metro)
cm - centímetro (0,01 metro)
mm - milímetro (0,001 metro)
Na prática é interessante construir a escada abaixo:

33
Matemática
EXEMPLOS:
Completar :
a. 0,1234 km = ..................... m
b. 2,3456 hm = ..................... m
c. 0,3678 km = ................... cm
d. 789,2 m = ...................... mm
e. 1.234,5 mm = ................... m
f. 89.765,43 cm = .............. hm
g. 765,3 dm = ..................... km
h. 23 m = ............................ cm
i. 23 m = ............................ hm
a. Observe que vamos transformar km em m, logo, vamos descer três graus em
nossa escada, e no sentido da direita.
Portanto, vamos deslocar a vírgula três posições para a direita.
Logo: 0,1234 km = 123,4 m.
b. Observe que vamos transformar hm em m, logo, vamos descer dois degraus
em nossa escada, e no sentido da direita.
Portanto, vamos deslocar a vírgula duas posições para a direita.
Logo: 2,3456 hm = 234,56 m

34
Matemática
c. Observe que vamos transforrnar km em cm, logo, vamos descer cinco degraus
em nossa escada e no sentido da direita.
Portanto, vamos deslocar a vírgula cinco posições para a direita e neste caso
preenchemos as posições com zero quando necessário, logo: 0,3678 km =
36.780 cm
d. Observe que vamos transformar m em mm, analogamente aos itens anteriores
e concluímos que 789,2 m = 789.200 mm
e. Observe que vamos transforrnar mm em m, logo, vamos subir três degraus
em nossa escada, e, portanto, agora no sentido da esquerda.
Portanto, vamos deslocar a vírgula três posições para a esquerda, logo: 1.234,5
mm = 1,2345 m

35
Matemática
f. Observe que vamos transformar cm em hm, logo, vamos subir quatro degraus
em nossa escada, e no sentido da esquerda, é claro.
Portanto, vamos deslocar a vírgula quatro posições para a esquerda.
Logo : 89.765,43 cm = 8,976543 hm
g. é fácil verificar que:
765,3 dm = 0,07653km
h. é fácil verificar que:
23 m = 2.300 cm
i. é fácil verificar que:
23 m = 0,23 hm
EXERCÍCIO
Calcule em metros.
a. 0,02 km + 0,1 hm + 2 m =
b. 0,234 hm + 0,l dam + 30 cm =
c. 0,045 km + 1000 m + 12.345dm =
d. 0,25 hm + 200 dm + 1.000cm =
e. 12,34 km + 300 m + 13.456 mm =
Resposta: a. 32 m
b. 24,7 m
c. 2.279,5 m
d. 55 m
e. 12.653,456 m

36
Matemática
MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREA)
A unidade padrão de medida de superfície é o metro quadrado e representamos por
m2
.
MÚLTIPLOS DO METRO QUADRADO
km2
- quilômetro quadrado (1000.000 m2
)
hm2
- hectômetro quadrado (10.000 m2
)
dam2
- decâmetro quadrado (100 m2
)
SUBMÚLTIPLOS DO METRO QUADRADO
dm2
- decímetro quadrado (0,01 m2
)
cm2
- centímetro quadrado (0,0001 m2
)
mm2
- milímetro quadrado (0,000001 m2
)
Na prática é interessante construir a escada abaixo, e lembrar que cada degrau
equivale a duas casas decimais.
Exemplo:
Completar:
a. 0,001234 km2
= ................... m2
b. 0,002356 km2
= ................... m2
c. 0,000036 hm2
= ..................cm2
d. 0,789 m2
=........................ mm2
e. 87.965,4 cm2
= .................. hm2
Respostas: a. 1.234 m2
b. 2.356 m2
c. 3.600 cm2
d. 789.000 mm2
e. 0,000879654 hm2

37
Matemática
MEDIDA DE VOLUME
A unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico e representamos por m3
.
Teremos, então, múltiplos e submúltiplos.
MÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO
km3
- quilômetro cúbico ( 1.000.000.000 m3
)
hm3
- hectômetro cúbico ( 1.000.000 m3
)
dam3
- decâmetro cúbico ( 1.000 m3
)
SUBMÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO
dm3
- decímetro cúbico (0,001 m3
)
cm3
- centrímetro cúbico (0,000001m3
)
mm3
- milímetro cúbico (0,000000001 m3
)
Na prática é interessante construir a escada abaixo, e lembrar que cada degrau
equivale a três casas decimais.
EXEMPLO:
Completar
a. 0,000.123.4 km3
= ...............................m3
b. 0,000.234 km3
= ..................................m3
c. 0,000.000.036 hm3
= ......................... cm3
d. 0,000.789 m3
=.................................mm3
e. 879.656,4 cm3
= ..................................m3
Resposta:
a. 123.400 m3
b. 234.000 m3
c. 36.000 cm3
d. 789 000 mm3
e. 0,8.796.564 m3

38
Matemática
MEDIDAS DE CAPACIDADE
A unidade padrão de capacidade é o litro e representamos por l .
MÚLTIPLOS DO LITRO
kl - Quilolitro (1.000 litros)
hl - Hectolitro (100 litros)
dal - Decalitro (10 litros)
SUBMÚLTIPLOS DO LITRO
dl - decilitro (0,1 do litro)
cl - centilitro (0,01 do litro)
ml - mililitro (0,001 do litro)
Analogamente, teríamos:
Obs.: A relação entre a medida de capacidade e de volume é :
1l = 1 dm3
Exemplo:
Completar
a. 2l = ...................................................dm3
b. 3 dm3
= ................................................. l
c. 3.243 l = .............................................m3
d. 8.426,7 m3
=......................................dm3
e. 5.000 l = .............................................m3
Resposta: a. 2 dm3
b. 3 l
c. 3,243 m3
d. 8,4267 dm3
e. 5 m3

39
Matemática
MEDIDAS DE MASSA
A medida de massa tem como unidade padrão o grama e representamos por g.
Análogamente, temos os múltiplos e submúltiplos
MÚLTIPLOS
Quilograma (kg) - 1.000 g
Hectograma (hg) - 100 g
Decagrama (dag) - 10 g
SUBMÚLTIPLOS
Decigrama (dg) - 0,1 g
Centigrama (cg) - 0,01 g
Miligrama (mg) - 0,001 g
MEDIDAS NÃO DECIMAIS
TEMPO
1 Dia = 24 Horas
1 Hora = 60 min.
1 Minuto = 60 Seg.
Ano Comercial = 360 Dias
Ano Civil = n° exato de Dias = 365 dias (ou 366 dias)
Mês Comercial = 30 Dias
Mês Civil = n° exato de Dias = 28/29, ou 30, ou 31 dias
EXEMPLO:
Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80 cm e com velocidade constante
de 2m/s. Quantos passos ela dará em 60 segundos ?
Solução:
v = 2m/s
t = 60 seg.
s = v⋅ t
s = 2 ⋅60
s = 120 m
s = 12.000 cm
O número de passos é 12 000
80
150
.
= passos

40
Matemática
EXEMPLO:
Uma indústria possui, em seu reservatório, 0,25dam3
+ 150m3
+ 22.000dm3
+
3.000.000cm3
de óleo de soja. A empresa pretende embalar o produto em latas
de 900 ml . Sabendo-se que no processo de embalagem há uma perda de 1%
do líquido, qual o número de latas de soja que a indústria produzirá ?
Solução:
0,25 dam3
= 250.000 dm3
= 250.000 l
150 m3
= 150.000 dm3
= 150.000 l
22.000 dm3
= 22.000 dm3
= 22.000 l
3.000.000 cm3
= 3.000 dm3
= 3.000 l
Total = 425.000 dm3
= 425.000 l
1% de perda
Resta
4.250
420.750=
l
l
Distribuímos em latas de 900 ml .
Teremos: 420.750l : 900 ml = 420.750l : 0,9l = 467.500 latas.
EXEMPLO:
100 dm x 0,1 dam x 100 mm =
Solução:
100 dm x 0,1 dam x 100 mm = 10 m x 1 m x 0,1 m = 1m3
EXEMPLO:
Uma sala de 0,007 km de comprimento, 80 dm de largura e 400 cm de altura,
tem uma porta de 2,40 m2
de área e uma janela de 2m2
de área. Sabendo-se que
com 1 litro de tinta pinta-se 0,04 dam2
, indique a quantidade de tinta necessária
para pintar a sala toda, inclusive o teto.
Solução:
Dados do problema:
comprimento: 0,007 km = 7 m
largura: 80 dm = 8 m
altura: 400 cm = 4 m
Então a área total da sala, sem considerar o chão, é:
2 x 7 x 4 + 2 x 8 x 4 + 8 x 7 =
= 56 + 64 + 56 = 176 m2
Deduzindo a área da porta e janela, temos:
176 m2
– 2,40 m2
– 2 m2
=
= 171,6 m2
a ser pintado.

41
Matemática
O problema diz que "com 1 litro de tinta pinta-se 0,04 dam2
(4 m2
), fazendo a regra
de três, temos:
1l _____ 4 m2
xl _____ 171,6 m2
x =
1716
4
,
x = 42,9 litros
EXEMPLO:
Uma região retangular de 20 km por 15 km está sendo mapeada em uma escala
em que 1 km : 300 km. Qual o menor número de folhas de papel de 5m x 2m que
são necessárias para fazer tal mapa?
Solução:
20 km x 15 km
Mapeada a região 20 km
300
15 km
300
⋅
que usa 0,06666 km x 0,05 km
isto é: 66,666 m x 50 m
Folhas de papel 5 m x 2 m
Se considerarmos 5 m x 2 m, teremos: 14 x 25 = 350 folhas
Se considerarmos 2 m x 5 m, teremos: 34 x 10 = 340 folhas
Resposta: 340 folhas
EXEMPLO:
Para percorrer totalmente uma ponte de 100 m de comprimento, um trem de
200 m, a 60Km/h, leva:
Solução:
Ponte: 100m
Trem: 200m
v
60.000 m
3.600 s
50
3
m / s= =
s v t t
s
v
t t
= ⋅ ⇒ =
=
⋅
⇒ =
300 3
50
900
50
t = 18 s

42
Matemática
EXEMPLO:
Se 300 cm3
de uma substância têm uma massa de 500g, quanto custarão 75 dl
dessa substância, sabendo-se que é vendida R$ 25,50 o quilograma?
Solução:
Obs.: 1l = l dm3
, logo:
300 cm3
= 0,3 dm3
= 0,3 l = 3dl
Capacidade Massa
3 dl 0,5 kg
75 dl x kg
3
75
0 5
=
,
x
x = 12,5 kg
Logo, o custo total será: 12,5 kg x 25,50 = R$ 318,75
EXEMPLO:
Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05 hm. No dia seguinte, percorreu mais
0,72 km e, no terceiro dia, mais 12.500 cm. Podemos dizer que essa tartaruga
percorreu nos três dias uma distância de :
Solução:
Distância percorrida no primeiro dia: 6,05 hm = 605 m
Distância percorrida no dia seguinte: 0,72 km = 720 m
Distância percorrida no terceiro dia: 12.500 cm = 125 m
logo:
605 m + 720 m + 125 m = 1.450 m
EXEMPLO:
Num mapa, cuja escala é 1
3.000.000
a estrada Belém-Brasília tem 67 cm. Calcular,
em km, a distância real.
Solução:
1 cm no mapa equivale a 3.000.000 cm na estrada
logo: 67cm no mapa equivalem a 67 x 3.000.000 cm na estrada.
Portanto, a distância é 201.000.000 cm; transformando para km: temos 2.010 km.

43
Matemática
EXEMPLO:
Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo-Horizonte, de 729 km, em
7 horas e 30 minutos. Qual a sua velocidade média?
Solução:
Velocidade média =
distancia
tempo
Velocidade média =
729 km
7,5h
Velocidade média = 97,2 km/h
EXEMPLO:
Na planta de um apartamento, as dimensões da sala são: 9 cm de largura e
12cm de comprimento. Ao construir o apartamento, a sala ficou com uma largura
de 7,5 m. A medida do comprimento dessa sala é :
Solução:
Na planta, temos:
largura: 9cm
comprimento: 12cm
Na construção, temos:
largura: 7,5m
comprimento: x
Trata-se de um problema de regra de Três.
largura comprimento
9 cm 12 cm
7,5 m x m
x =
⋅12 7 5
9
,
x = 10m
^

44
Matemática
EXEMPLO:
Um automóvel, com velocidade de 80 km/h, percorre uma estrada em 1h 30min.
Em quanto tempo o mesmo automóvel percorrerá 3/5 da mesma estrada com
25% da velocidade inicial ?
Solução:
V1 = 80 Km/h
t1 = 1,5 h
S1 = v1 ⋅ t1
S1 = 80 x 1,5
S1 = 120 km
S2 =
3
5
120⋅
S2 = 72 km
V2 = 25% ⋅80
V2 = 20 km/h
T
S
V
T2
2
2
2
72
20
= ⇒ =
T2 = 3,6 h
Logo: T2 = 3 h + 0,6 h
T2 = 3 h + 0,6 x 60 min.
T2 = 3h e 36 min.
EXEMPLO:
Um arquiteto planejou uma caixa de água de base quadrada, para 2.000 litros
de capacidade, com altura igual ao dobro do lado. Na execução da obra, o
construtor fez o lado igual à altura planejada.
Sabendo-se que a caixa de água continuou com a mesma capacidade, a nova
altura mede :
Solução:
A caixa de água planejada:
Como a capacidade era 2.000 litros
Temos:
capacidade = 2.000l = 2.000 dm3
= 2 m3
capacidade = 2 m3

45
Matemática
logo:
capacidade = 2x ⋅ x2
= 2 m3
2x3
= 2 m3
x3
= 1 m3
x = 1 m
Conclusão: a altura planejada era 2x, portanto:
altura planejada = 2m
A caixa de água construída com o lado igual à altura planejada,
logo: a capacidade é
22
⋅y = 2
4y = 2
y =
2
4
y = 0,5 m
Obs.: Entendemos como lado, a aresta da base.
01. Se a velocidade média de um veículo é 12m/seg., quantos quilômetros
ele percorrerá em 3 horas? (Dado: 1 hora equivale a 3.600 segundos).
a. 129,60
b. 130
c. 132,50
d. 135
e. 148,40
Resposta: A
02. As dimensões de um terreno retangular são: 80m de comprimento por
12m de largura. Em um outro terreno, a medida do comprimento é 80% da
medida do comprimento do primeiro. Se ambos têm a mesma área, a
largura do segundo terreno é? (em metros)
a. 9
b. 10

46
Matemática
c. 12
d. 15
e. 18
Resposta: D
03. (BANESPA) - Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo
sentido, do ponto de partida em pista circular. O primeiro dá uma volta
em 132 segundos e o outro em 120 segundos. Calcule os minutos que
levarão para se encontrar novamente.
a. 1.320
b. 132
c. 120
d. 60
e. 22
Resposta: E
04. O pátio de um colégio é retangular e mede 104m de comprimento e 56m
de largura. Quer-se plantar eucaliptos em volta, mantendo entre as árvo-
res a mesma distância, que deve ser a maior possível. Determinar o nú-
mero de pés de eucaliptos, sabendo que se planta um pé em cada canto.
a. 40
b. 38
c. 35
d. 29
e. 18
Resposta: A
05. Um indivíduo compra um terreno retangular que tem um perímetro de 64
metros e cuja largura é 5 metros maior do que a metade do comprimento.
Pode-se concluir que a relação entre a largura e o comprimento do terre-
no é:
a. 3/5
b. 7/9
c. 5/7
d. 6/8
e. 4/6
Resposta: B

47
Matemática
06. Duas vasilhas contêm, em conjunto, 36 litros de água. Se transferísse-
mos, para a que tem menos água, 2/5 da água contida na outra, ambas
ficariam com a mesma quantidade de água. Quantos litros de água con-
tém cada vasilha?
a. 30 e 6
b. 29 e 7
c. 28 e 8
d. 27 e 9
e. 31 e 5
Resposta: A
07. Dois viajantes estão distantes, um do outro, 400 km. Se um deles viaja de
primeira classe e o outro de segunda classe, quanto deverá viajar cada
um para que as suas despesas sejam as mesmas, sabendo-se que o pre-
ço, por km, é R$ 75.000,00 para a primeira classe e R$ 50.000,00 para a
segunda classe.
a. 160 km e 240 km
b. 150 km e 250 km
c. 140 km e 260 km
d. 130 km e 270 km
e. 120 km e 280 km
Resposta: A
08. Um automóvel consome 8 litros de gasolina quando funciona durante 40
minutos seguidos. Se funcionasse durante 3 horas e 20 minutos, quantos
litros de gasolina consumiria?
a. 40 l
b. 60 l
c. 38 l
d. 55 l
e. 72 l
Resposta: A
09. Uma caixa leva 900 litros de água, uma torneira a enche em 9 horas e
outra a esvazia em 18 horas. Abrindo-se as duas torneiras a caixa ficará
cheia em :
a. 18 horas
b. 12 horas
c. 06 horas
d. 03 horas
e. 08 horas
Resposta: A

48
Matemática
10. (TTN) - Uma caixa de água com capacidade de 960 litros, possue uma
tubulação que a enche em 7 horas. Possue um "ladrão" que a esvazia em
12 horas. Com a água jorrando, enchendo a caixa e o "ladrão" funcionan-
do simultaneamente, em quanto tempo a caixa ficará cheia?
a. 16h e 8min.
b. 14h e 8min.
c. 16h e 28min.
d. 16h e 48min.
e. 14h e 48min.
Resposta: D
11. Um gramado de 720 m2
foi podado por dois homens, que trabalharam 6
horas por dia, durante 2 dias. Quantos metros quadrados três homens
conseguiriam podar se trabalhassem 8 horas por dia durante 3 dias?
a. 2.160
b. 2.560
c. 2.060
d. 2.000
e. 2.560
Resposta: A
12. (TTN) - No interior de um colégio há um grande pátio quadrado composto
de uma área calçada e outra não calçada, destinado aos alunos. A área
calçada está em redor à área não calçada e tem uma largura de 3m nos
seus lados paralelos. A área da parte não calçada está para a área total
do pátio, assim como 16 está para 25. O lado do pátio mede:
a. 36m
b. 24m
c. 18m
d. 32m
e. 30m
Resposta: E
13. (TTN) - Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80cm, com veloci-
dade constante de 2m/s. Quantos passos ela dará em 60s?
a. 240
b. 180
c. 150
d. 120
e. 90
Resposta: C

49
Matemática
14. Uma roda faz 4.590 rotações em 27 minutos. Quantas rotações fará em
2horas e 24 minutos?
a. 24.480 voltas
b. 28.440 voltas
c. 24.840 voltas
d. 24.880 voltas
Resposta: A
15. Duas torneiras são abertas juntas, a primeira enchendo um tanque em 5
horas, a segunda outro tanque de igual volume em 4 horas. No fim de
quanto tempo, a partir do momento em que as torneiras são abertas, o
volume que falta para encher o segundo tanque é 1/4 do volume que falta
para encher o primeiro tanque?
a. 3h e 54 min
b. 3h e 45 min
c. 4h e 53 min
d. 4h e 35 min
e. 5h e 34 min
Resposta: B
16. (MPU) - Uma peça de certo tecido foi dividida em 4 partes proporcionais
aos números 10, 12, 16 e 20. Sabendo-se que a peça tinha 232 metros, o
comprimento do menor corte foi de:
a. 20 metros
b. 40 metros
c. 30 metros
d. 48 metros
e. 64 metros
Resposta: B
17. (MPU) Sabe-se que o comprimento, a largura e a altura de um depósito
de água, cuja capacidade é de 7.680.000 litros são proporcionais, respec-
tivamente, aos números 10, 6 e 2, nessas condições a medida da largura
desse depósito é de:
a. 8 metros
b. 12 metros
c. 40 metros
d. 16 metros
e. 24 metros
Resposta: E

50
Matemática
19. (TRT) - Um trem de 400 metros de comprimento, tem velocidade de 10
km/h. Quanto tempo ele demora para atravessar completamente uma
ponte de 300 metros de comprimento?
a. 1min e 48seg
b. 2min e 24seg
c. 3min e 36seg
d. 4min e 12seg
e. 5min
Resposta: D

51
Matemática
Juros e Porcentagem
CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
1.1 INTRODUÇÃO
O pouco tempo disponível para o perfeito e ideal desenvolvimento dos alunos
de Matemática Financeira em classe, além da necessidade de oferecer aos
candidatos aos cargos públicos e privados um material prático provocou o
nascimento desse material. Nas próximas páginas, o leitor terá a oportunidade
de conhecer e manipular diversas formas de aplicações financeiras e, conse-
qüentemente, analisar as relações entre elas e as respectivas evoluções com
o decorrer do tempo.
1.2 DEFINIÇÕES
JURO(J)
Podemos definir juro como sendo a remuneração do empréstimo de um re-
curso financeiro, isto é, podemos encarar o juro como sendo o aluguel pago(ou
recebido) pelo uso de um recurso financeiro.
Por exemplo, suponhamos que pedimos um empréstimo de R$ 1000,00 ao
Banco da Praça, para pagamento de 10% de juro daqui a um mês . É evidente
que o dinheiro não é nosso, porém ele está a nossa disposição e podemos
fazer o que bem entendermos com ele durante um mês. No fim do mês deve-
mos devolver a quantia de R$ 1000,00 e pagar pela disponibilidade dessa
quantia nesse período; este pagamento , da disponibilidade, é chamado de
juro. (neste caso é R$ 100,00)
CAPITAL(C)
Chamamos de Capital ou Principal ao recurso financeiro transacionado. No
exemplo anterior o capital foi a quantia de R$ 1000,00.
TAXA DE JURO(i)
É o valor do juro, em uma unidade de tempo, e será expresso como porcen-
tagem do capital, logo chamaremos de taxa de juro durante essa unidade
de tempo.
Sendo assim, teremos:
a. A taxa de juro de 10% a.d.(dez por cento ao dia) significa que o valor do juro
é igual a 10% do capital, por dia.
b. A taxa de juro de 20% a.a.(vinte por cento ao ano) significa que o valor do
juro é igual a 20% do capital, por ano.

52
Matemática
Sendo assim, teremos:
J = Juro
C = Capital
i = Taxa de Juro expressa como porcentagem do capital.
Daí, pela definição, temos: i
J
C
=
Observe que podemos concluir que juro em uma unidade de tempo é o
produto do capital pela taxa de juro, isto é: J = C . i
MONTANTE(M)
Chamaremos de montante o capital acrescido do juro, e denotaremos por M,
isto é: M= C+J
Resumo
a. A definição de juro é equivalente ao pagamento de um aluguel de dinheiro.
b. Observamos a definição taxa de juro(no singular), em uma unidade de tem-
po, isto é, taxa de juro é definida para uma unidade de tempo.
EXEMPLO
Qual o juro e o montante obtido em uma aplicação de R$ 1.000,00, duran-
te um ano, a uma taxa de juro de 25% a.a.?
Solução:
Como a taxa de juro está expressa no período anual temos:
C= R$ 1.000,00
i= 25% a.a.
Logo o juro em um ano será
J = C.i
J = 1000 . 25%
J = 1000 .
25
100
J = 10 . 25
J = R$ 250,00
• montante será
M = C + J
M = 1.000 + 250
M = R$ 1.250,00

53
Matemática
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO
Chamamos de regime de capitalização à maneira como o montante evolui
através de vários períodos, aos quais a taxa se refere. Sendo assim, teremos
dois conceitos:
a. Regime de Capitalização Simples
É o regime em que a taxa de juro incide somente sobre o capital inicial.
Portanto, em todos os períodos de aplicações, os juros serão sempre iguais
ao produto do capital pela taxa do período.
EXEMPLO
Seja a aplicação de um capital de R$ 1.000,00, à taxa de juro igual a
10% a.m., durante 3 meses. Qual os juros totais e qual o montante
dessa aplicação, se o regime é o de capitalização simples?
Solução:
Seja J1
o juro no fim do primeiro mês:
J1
= 1.000 x 10%
J1
= R$ 100,00
Seja J2
o juro no fim do segundo mês:
J2
= 1.000 x 10%
J2
= R$ 100,00
Seja J3
o juro no fim do terceiro mês:
J3
= 1.000 x 10%
J3
= R$ 100,00
Assim teremos o Juro Total (J):
J = J1
+J2
+J3
J = 100,00 + 100,00 + 100,00
J = R$ 300,00
O montante (M) será:
M = C+J
M = 1.000,00 + 300,00
M = R$ 1.300,00
b. Regime de Capitalização Composta
É o regime em que a taxa de juro incide sobre o montante obtido no período
anterior, para gerar juros no período atual.
EXEMPLO
Seja a aplicação de um capital de R$ 1.000,00 à taxa de juro igual a
10% a.m., durante 3 meses, no regime de capitalização composta.

54
Matemática
No fim do 1º mês teremos o Juro e o Montante:
J1
= 1.000 x 10%
J1
= R$ 100,00
M1
= R$ 1.100,00
J2
= 1.100 x 10%
J2
= R$ 110,00
M2
= R$ 1.210,00
J3
= 1.210 x 10%
J3
= R$ 121,00
M3
= R$ 1.331,00
FLUXO DE CAIXA
É a representação gráfica de um conjunto de entradas e saídas de dinheiro
relativas a um determinado intervalo de tempo, na seguinte forma:
a. Coloca-se na linha horizontal o período considerado
b. Representam-se as entradas por setas de sentido para cima, e as saídas
com setas de sentido para baixo.
c. Evidentemente haverá sempre dois pontos de vista.
EXEMPLO
Um carro, que custa RS 500.000,00 é vendido a prazo por 5 prestações
mensais e iguais a R$ 120.000,00, com a primeira prestação vencendo 1
mês após a venda.
No ponto de vista do vendedor a diferença entre a soma das entradas e o
valor do carro, corresponde aos juros relativos à aplicação de R$
500.000,00, também representada no gráfico.
C = R$ 500.000,00
No ponto de vista do comprador a diferença entre a soma das saídas e o
valor do carro, corresponde ao juro relativo ao empréstimo de R$
500.000,00, também representada no gráfico

55
Matemática
C = R$ 500.000,00
R$ 120.000,00
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
1. CÁLCULO DE JUROS SIMPLES E MONTANTE
Seja C um Capital (ou Principal) aplicado à taxa i por período, durante um
prazo de n períodos consecutivos, sob o regime de capitalização simples.
Conforme vimos no capítulo anterior, os juros serão iguais em todos os perío-
dos, e, portanto, teremos:
Onde:
J1
= J2
= J3
= ... = Jn
= C.i
daí, o Juro total nos n períodos será
J = J1
+ J2
+ J3
+ ... = Jn
J = C.i + C.i + C.i + ... + C.i
J = C.i.n
Para o Montante teremos
M = C+J
M = C + C.i.n
M = C.[ 1 + i . n]
EXEMPLOS
Qual o valor dos juros obtidos por um empréstimo de R$ 2.000,00, pelo
prazo de 3 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de
5% ao mês?
Solução:
C = R$ 2.000,00
i = 5% a.m.
n = 3 meses

56
Matemática
J = C . i . n
J = 2.000 . 5% . 3
J = 2.000 .
5
100
. 3
J = 20 . 5 . 3
J = R$ 300,00
Um capital de R$ 500.000,00 aplicado durante 5 meses, a juros simples,
rende R$ 10.000,00. Determinar a taxa de juros cobrada.
Solução:
C = R$ 500. 000,00
n = 5 meses
J = R$ 10.000,00
J = C . i . n
10.000 = 500.000 . i . 5
2.500.000 . i = 10.000
i =
10 000
2 500 000
.
. .
i =
1
250
= 0,004
i = 0,4% a.m.
Calcular o montante da aplicação de R$ 100.000,00, pelo prazo de 6 me-
ses, à taxa de juros simples de 5% a.m.
Solução:
C = R$ 100.000,00
n = 6 meses
i = 5% a.m.
M=C.[1+i.n]
M = 100.000 . [1 + 5% . 6]
M = 100.000 . [1 + 30%]
M = R$ 130.000,00
2. TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas são ditas proporcionais se mantiverem entre si a mesma razão
que os períodos de tempo a que se referem.
Assim, a taxa i1
a . n1
é proporcional à taxa i2
a . n2
se, e somente se:
i
i
n
n
1
2
1
2
=

57
Matemática
EXEMPLO
Qual a taxa mensal proporcional à taxa de 36% a.a.?
Solução:
i
i
n
n
1
2
1
2
=
i1
36%
1
12
=
i1
= 3% a.m.
3. TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas são ditas equivalentes, a juros simples, se aplicadas a um mesmo
capital e durante um mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro.
Sejam:
i: a taxa de juros simples aplicada no período de 0 a 1
ik
: a taxa de juros simples aplicada a cada intervalo fracionário
1
k





 do período
.
Se i e ik
são equivalentes, temos:
J = C.i e J = C.ik
.k
então: i
i
k
k =
EXEMPLO
Qual a taxa mensal simples equivalente a 36% a.a.?
i
i
k
k =
ik =
36%
12
∴ik
= 3% a.m.
Qual a taxa semestral simples equivalente à taxa de 10% a.m.?
i = ? a.s.
ik
=10% a.m.
K = 1 semestre = 6 meses
i = ik
. k

58
Matemática
i = 10% . 6
i = 60% a.s.
Obs.: Observe que no regime de capitalização simples, as taxas equiva-
lentes produzem o mesmo conceito que as taxas proporcionais.
EXEMPLO
Calcular o juro simples de uma aplicação de R$ 1.000,00, à taxa de juro de
36% a.a., durante o prazo de 6 meses
C = R$ 1.000,00
i = 36% a.a.
n = 6 meses
Observe que o período a que se refere a taxa (ano) não é o mesmo período de
aplicação (mês). Portanto, a taxa mensal equivalente a 36% a.a. será 3% a.m.
Logo:
J=1.000 . 3% . 6
J = 1.000 .
3
100
. 6
J = R$ 180,00
4. JURO EXATO E JURO COMERCIAL (ORDINÁRIO)
Quando as aplicações ocorrem por alguns dias será conveniente utilizarmos a
taxa equivalente diária. Nesse caso teremos dois enfoques:
a. Ano Civil: 365 dias ou 366 dias para ano bissexto e os meses com o núme-
ro real de dias.
b. Ano Comercial: 360 dias e os meses com 30 dias.
Os juros que seguem o enfoque a são chamados de juros exatos.
Os juros que seguem o enfoque b são chamados de juros comerciais (ou
ordinários).
EXEMPLO
Qual o juro exato de uma aplicação de R$ 365.000,00, à taxa simples de
10% a.a. durante 10 dias?
Solução:
C = R$ 365.000,00
i = 10% a.a.
n = 10 dias

59
Matemática
Taxa diária equivalente a 10% a.a. =
10%
365
a.d.
J = 365.000.
10%
365
. 10
J = 1.000 . 10% . 10
J = R$ 1.000,00
5. VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL
Chamamos de Valor Nominal de um título, ao valor dele na data de vencimen-
to. Também é conhecido como valor face.
Chamamos de Valor Atual de um título, ao valor dele em qualquer data anterior
ao seu vencimento.
No caso de capitalização simples, o valor atual de um título será o valor que
aplicado, a juros simples, durante os n períodos de antecipação ao seu venci-
mento, produzirá como montante o valor nominal do título.
Chamando de N o valor nominal e V o valor atual com n períodos de antecipa-
ção teremos:
Dessa forma:
N = V . [1 + i.n]
V=
N
i n1+ .
EXEMPLO
O valor nominal de um título é de R$ 1.600,00 sendo que seu vencimento
ocorrerá daqui a 3 meses.
Se a taxa de juros simples de mercado é de 20% a.m., determine o valor
atual do título hoje.

60
Matemática
Solução:
N = R$ 1.600,00
i = 20% a.m.
n = 3 meses de antecipação
V =
N
i n1+ .
V =
1600
1 20%.3
.
+
V = R$ 1.000,00
1. Calcule a taxa de juro mensal, proporcional às seguintes taxas:
a. 300% a.a.
b. 90% a.s.
Solução:
a. i =
300%
12
= 25% a.m.
b. i =
90
6
= 15% a.m.
Respostas:
a. 25% a.m.
b. 15% a.m.
2. Seja um capital de R$ 800.000,00, investido durante 4 meses e a taxa de
juros simples de 120% a.a.. Calcule:
a. O juro obtido
b. O montante
Solução:
C = R$ 800.000,00
i = 120% a.a. (equivalente a i = 10% a.m.)
n = 4 meses
a. J = C.i.n
J = 800.000 . 10% . 4
J = R$ 320.000,00
b. M = C + J
M = 800.000 + 320.000
M = R$ 1.120.000,00
Respostas:
a. J = R$ 320.000,00
b. M = R$ 1.120.000,00

61
Matemática
3. Em que prazo R$ 12.000,00 rende R$ 1.800,00, se a taxa de juros simples
utilizada é 5% a.m.?
Solução:
C = R$ 12.000,00
J = R$ 1.800,00
i = 5% a.m.
J = C . i . n
1.800 = 12.000 . 5% . n
n =
1800
12 000 5%
.
. ⋅
= 3 meses
Resposta: 3 meses
4. Calcule a taxa de juros simples de uma aplicação, sabendo que apliquei
R$ 5.200,00 e resgatei R$ 6.448,00, depois de 4 meses.
Solução:
C = R$ 5.200, 00
M = R$ 6.448, 00
n = 4 meses
J = R$ 1.248, 00 (por que ?)
J = C . i . n
1.248 = 5200 . i . 4
i =
1248
5200 4
.
⋅
i = 0,06
i = 6% a.m.
Resposta: 6% a.m.
5. Em quantos meses um capital de R$ 740.000,00, aplicado a 3,6% a.m., a
juros simples, renderá juro necessário para a formação de um montante
de R$ 953.120,00?
Solução:
C = R$ 740.000,00
M = R$ 953.120,00
i = 3,6% a.m.
J = R$ 213.120,00 (por que?)
J = C . i . n
213.120 = 740.000. 3,6% . n
n =
213 120
740 000 3 6%
⋅
⋅. ,
= 8 meses
Resposta: 8 meses

62
Matemática
6. Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8%a.m., triplica em que
prazo?
Solução:
C = Capital aplicado
M = 3 C (por que ?)
i = 8% a.m.
J = 2 C (por que ?)
Como:
J = C . i . n
2C = C . 8% . n
8% . n = 2
n =
200
8
= 25 meses
Resposta: 25 meses
7. Um investidor recebeu R$ 480.000,00 por uma aplicação de R$ 300.000,00
à taxa de juros simples de 10% a.m.. De quantos meses foi essa aplica-
ção?
Solução:
M = R$ 480.000,00
C = R$ 300. 000,00
i = 10% a.m.
J = R$ 180.000,00 (por que ?)
J = C . i . n
180.000 = 300.000 . 10% . n
n =
180 000
300 000 10%
.
. ⋅
n = 6 meses
Resposta: 6 meses
8. Possuo uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 1.300.000,00, que é
resgatável daqui a 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros simples cor-
rente de mercado é de 10% a.m., quanto devo pagar por esta letra hoje?
Solução:
N = R$ 1.300.000,00
n = 3 meses (período de antecipação)
i = 10% a.m.
V =
N
i n1+ ⋅
V =
1300 000
1 10% 3
. .
+ ⋅
V = R$ 1.000.000,00
Resposta: R$ 1.000. 000,00

63
Matemática
PORCENTAGEM
A porcentagem nada mais é do que uma notação ( % ) usada para representar uma
parte de cem partes.
Isto é,20% – lê-se “20 por cento”, que representa a fração
20
100
30% – lê-se “30 por cento”, que representa a fração
30
100
EXEMPLO:
Calcule:
a. 10% de 200
b. 15% de 300
c. 25% de 400
Solução:
a. A palavra, "de" deve ser entendida como produto.
10% 200 20de 200 =
10
100
⋅ =
b. 15% 300
4 500
100
45de 300 =
15
100
⋅ = =
.
c. 25% 400
10 000
100
100de 400 =
25
100
⋅ = =
.
Agora vamos ver como são simples os problemas que envolvem porcenta-
gem.
Estes problemas geralmente são encontrados no nosso cotidiano.
EXEMPLO:
A média de reprovação em concurso é de 82%. Quantas pessoas serão
aprovadas em um concurso público com 6.500 inscritos ?
Solução:
Se a média de reprovação é de 82%, vamos concluir que a média de aprova-
ção é de 18%.
Logo, basta calcular :
18% 6 500 1170de 6.500 =
18
100
aprovados⋅ =. .

64
Matemática
EXEMPLO:
Se eu comprar um objeto por R$ 20.000,00 e vendê-lo por R$ 25.000,00,
qual será a minha porcentagem de lucro?
Solução:
Lucro:R$ 25.000,00 – R$ 20.000,00
Lucro:R$ 5.000,00
Logo, para achar a porcentagem basta dividir o lucro pela base, isto é,
dividir R$ 5.000,00 por R$ 20.000,00:
5 000
20 000
0 25
25
100
25%
.
.
,= = =
EXEMPLO:
Sabendo que um artigo de R$ 50.000,00 foi vendido com um abatimento
de R$ 1.600,00, encontrar a taxa usada na operação.
Solução:
Basta dividir o abatimento pelo preço do produto, isto é :
1600
50 000
0 032
3 2
100
3 2%
.
.
,
,
,= = =
EXEMPLO:
Um produto foi vendido, com um lucro bruto de 20%. Sobre o preço total
da nota, 10% correspondem a despesas. O lucro líquido do comerciante
é de:
Solução:
Vamos supor, sem perda de generalidade, que o preço inicial do produto é
100.
Preço inicial - 100
Preço de venda com lucro de 20% – 120
Despesa (10% de 120) – 12
Preço com lucro líquido = 120 – 12 = 108
Logo, lucro líquido = 108 – 100 = 8
Logo, % do lucro líquido =
8
100
= 8%
EXEMPLO:
João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofás
pagando R$ 322.000,00 incluindo o Imposto sobre Produtos Industrializa-
dos (IPI). Sabendo-se que a alíquota do imposto é de 15%, ad valorem, o
valor do imposto foi de:

65
Matemática
Solução:
Seja :
x o valor do produto
x +15%x = 322.000
x + 0,15x = 322.000
1,15x = 322.000
x =
322 000
115
.
,
x = R$ 280.000,00
Logo, o valor do imposto é: R$ 322.000,00 – R$ 280.000,00 = R$ 42.000,00
EXEMPLO:
Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço da mercado-
ria. Sabendo-se que o preço de venda, sem desconto, é superior em 20%
ao custo, pode-se afirmar que houve por parte do comerciante um .... :
Solução:
Preço de custo = 100 (un.)
Preço de venda s/desc = 120 (un.)
Preço de venda c/desc. = 120 x 80% = 96 (un.)
Comparando o preço de custo com o preço de venda c/ desconto, temos:
96 100
100
4%
−
= −
Houve um prejuízo de 4%
EXEMPLO:
Maria vendeu um relógio por R$18.167,50 com prejuízo de 15,5% sobre o
preço de compra. Para que tivessem um lucro de 25% sobre o custo, ela
deveria ter vendido por:
Solução:
Preço vendido: R$ 18.167,50
Preço de compra: x
84,5%x = 18.167,50
x =
18167 50
0 845
. ,
,
x = 21.500
Para ter um lucro de 25%,
Teremos:
21.500 x 1,25 = R$ 26.875,00

66
Matemática
EXEMPLO:
A empresa “Vestebem” comprou o produto “A” pagando 10% de imposto
sobre o preço de aquisição e 30% de despesas com transporte sobre o
custo da mercadoria, com o imposto. Sabendo-se que na venda de “A” a
empresa obteve um lucro de R$ 143,00, correspondente a 20% sobre o
preço de aquisição mais despesas (imposto e transporte), o preço de
aquisição da mercadoria com o imposto foi de R$:
Solução:
x . (1,10 . 1,30 . 0,20) = 143
x =
⋅ ⋅
143
110 130 0 2, , ,
x = R$ 500,00 (preço da mercadoria)
Impostos (10%) = R$50,00
Preco de aquisição da mercadoria + imposto: R$ 550,00
EXEMPLO:
Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus
produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém, ele
prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de
custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento
da compra.
Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço
da tabela, de modo a não ter prejuízo?
a. 10%
b. 15%
c. 20%
d. 25%
e. 36%
Solução:
Seja
x - preço de custo
preço de venda sem prejuízo = x . 1,44
preço de venda com 80% = 1,80 . x
Logo,
x
x
⋅
⋅
144
180
,
,
= 0,8% = 80%
Portanto, preço de venda sem prejuízo = 80% do preço de venda com 80%
de acréscimo.
Daí, o desconto máximo será de 20%.

67
Matemática
EXEMPLO:
João vendeu um fogão com prejuízo de 10% sobre o preço de venda.
Admitindo-se que ele tenha comprado o produto por R$ 264.000,00 o pre-
ço de venda foi de:
Solução:
Seja:
x - preço de venda
Como teve prejuízo de 10% sobre o preço de venda, temos:
Preço de compra = preço de venda + 10% preço de venda
264.000 = x + 10% . x
264.000 = x + 0,1 . x
264.000 = 1,10 . x
1,10 . x = 264.000
x =
264 000
110
.
,
= 240.000
O preço de venda foi de R$ 240.000,00
EXEMPLO:
Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com um lucro de 10%; em se-
guida, foi revendido por R$ 20.700,00. O lucro total das duas transações
representa, sobre o custo inicial do terreno, um percentual de:
SOLUÇÃO
Se um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com 10% de lucro, então o
preço inicial foi de:
16 500
110
15 000
.
,
.=
Logo, o lucro total foi:
20 700 15 000
15 000
. .
.
− 5 700
15 000
0 38 38%
.
.
,= =

68
Matemática
01. A fração
0,0104
0,65
é equivalente a :
a.
1
250
b.
2
125
c.
1
50
d.
3
125
e.
7
250
Resposta: B
02. Efetuando-se 12 1,70 8 1,80 10 1,86
30
⋅ + ⋅ + ⋅
, obtém-se:
a. 1,72
b. 1,74
c. 1,75
d. 1,78
e. 1,79
Resposta: D
03. Pelo pagamento atrasado da prestação de um carnê, no valor de R$
1.200,00, recebeu-se uma multa de 7,5 % do seu valor. O total pago foi :
a. R$ 1.250,00
b. R$ 1.275,00
c. R$ 1.290,00
d. R$ 1.680,00
e. R$ 2.100,00
Resposta: C
04. Se uma pesssoa já liquidou os
7
16 do valor de uma dívida, a porcentagem
dessa dívida que ainda deve pagar é :
a. 56,25%
b. 56,5%
c. 58,25%
d. 58,5%
e. 62,25%
Resposta: A

69
Matemática
05. Um lojista comprou 180 canetas de um mesmo tipo e vendeu 120 delas
pelo mesmo preço total pago pelas 180. Se vender cada uma das 60
canetas restantes ao preço unitário das outras 120, a porcentagem de
lucro desse lojista, pela venda de todas as canetas, será de:
a. 40%
b. 50%
c. 52%
d. 55%
e. 60%
Resposta: B
06. Um título, no valor de R$ 80.000,00, foi pago com 3 meses de antecedência,
sofrendo um desconto comercial simples de R$ 1.500,00. A taxa anual do
desconto foi :
a. 7,75%
b. 7,5%
c. 7,25%
d. 6,5%
e. 6,25%
Resposta: B
07. (BANESPA) - Um pequeno silo de milho perdeu 15% da carga pela ação
de roedores. Vendeu-se 1/3 da carga restante e ainda ficou com 42,5
toneladas. Portanto, a carga inicial em toneladas, antes da ação dos
roedores, era:
a. 61
b. 75
c. 87,5
d. 90
e. 105
Resposta: B
08. (TTN) - Num clube 2/3 dos associados são mulheres. Se 3/5 das mulheres
são casadas e 80% das casadas têm filhos, o número de associados do
clube, sabendo-se que as mães casadas são em número de 360, é de:
a. 4.500
b. 1.752
c. 750
d. 2.250
e. 1.125
Resposta: E

70
Matemática
09. Sabendo que um artigo de R$ 50.000,00 foi vendido com abatimento de
R$ 1.600,00, encontrar a taxa utilizada na operação.
a. 3,2%
b. 3,5%
c. 3,8%
d. 4,2%
e. 2,3%
Resposta: A
10. Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de R$ 4.000,00, durante 3
anos, sabendo-se que se um capital de R$ 10.000,00 fosse aplicado durante
o mesmo tempo, a juros simples de 5% a.a., renderia mais R$ 600,00 que
o primeiro. A taxa é de:
a. 8,0% a.a
b. 7,5% a.a
c. 7,1% a.a
d. 6,9% a.a
e. 6,2% a.a
Resposta: B
11. Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que, em período de
tempo igual, seja obtido o mesmo rendimento, a taxa de aplicação do
menor capital deve superar a do maior em:
a. 20%
b. 60%
c. 40%
d. 50%
e. 70%
Resposta: D
12. (TTN) - Um negociante comprou alguns bombons por R$ 720,00 e vendeu-
os a R$ 65,00 cada um, ganhando, na venda de todos os bombons, o
preço de custo de um deles. O preço de custo de cada bombom foi de:
a. R$ 12,00
b. R$ 75,00
c. R$ 60,00
d. R$ 40,00
e. R$ 15,00
Resposta: C

71
Matemática
Razão e Proporção;
Regra de Três Simples e Composta;
Divisões Proporcionais.
RAZÕES E PROPORÇÕES
Sejam quatro números a, b, c, e d (todos diferentes de zero). Dizemos que a, b, c, e
d formam uma proporção se a razão
a
b
é igual a razão
c
d
. Então indicaremos a
proporção por:
a
b
c
d
= lê-se: a está para b; assim como c está para d.
Obs.: Chamamos também a e d de extremos da proporção e b e c de meios da
proporção. Além disso dizemos que a e c são antecedentes da proporção;
b e d são conseqüentes da proporção.
EXEMPLO:
Na proporção 1, 2, 3, e 6 temos:
1
2
3
6
=
lê-se: 1 está para 2 assim como 3 está para 6.
antecedentes: 1 e 3
conseqüentes: 2 e 6
meios: 2 e 3
extremos: 1 e 6
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA PROPORÇÃO
Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
EXEMPLO:
a.
a
b
c
d
= então ad = bc
b.
1
2
3
6
= então 1 x 6 = 3 x 2

72
Matemática
EXEMPLO:
Verifique se os itens abaixo são ou não proporções:
a.
3
4
12
16
=
b.
2
3
6
7
=
Solução:
a.
3
4
12
16
= , como o produto dos extremos tem que ser igual ao produto dos meios
temos: 3 . 16 = 48 = 4 . 12. Logo,
3
4
12
16
= é uma proporção.
b.
2
3
6
7
= , observe que o produto dos extremos não é igual ao produto dos meios,
isto é, 2 . 7 = 14 ≠ 3 . 6 = 18. Logo,
2
3
6
7
= não é uma proporção.
EXEMPLO:
Calcule x nas proporções:
a.
3
4 20
=
x
b.
2
3
8
=
x
Solução:
a.
3
4 20
=
x
, como o produto dos meios tem que ser igual ao produto dos extremos,
temos, 4x=3.20
4x = 60 ∴ x=
60
4
∴ x = 15
b.
2
3
8
=
x
, como o produto dos extremos tem que ser igual ao produto dos meios,
temos
2x = 3 . 8
2x = 24
x x= ∴ =
24
2
12

73
Matemática
PROPRIEDADE
Quando somamos (ou subtraímos) os antecedentes e os conseqüentes a proporção
não se altera. Isto é:
Se
a
b
c
d
= é uma proporção, então:
a
b
c
d
a c
b d
a c
b d
= =
+
+
=
−
−
EXEMPLO:
Calcular x e y na proporção
x
2
y
6
= , sabendo que x + y = 4 .
Solução:
Se
x y
2 6
= é uma proporção, então,
x y x y
2 6 2 6
= =
+
+
Logo:
x y x y
2 6 8
= =
+
x y
2 6
4
8
= =
Logo:
x
2
4
8
8
8
= ∴ ∴ ∴ ∴8x = 4.2 8x = 8 x = x = 1
y
6
4
8
24
8
= ∴ ∴ ∴ ∴8y = 6.4 8y = 24 y = y = 3
EXEMPLO:
Calcular x e y na proporção
x
36
y
12
= , sabendo que x – y = 6 .
Solução:
Como
x y
36 12
= é uma proporção, temos:
x y
36 12
= =
x - y
36 -12
x y
36 12
= =
x - y
24
x y
36 12
= =
6
24
Daí
x
36
216
24
= ∴ ∴ ∴ ∴
6
24
24x = 36.6 24x = 216 x = x = 9
y
12
72
24
= ∴ ∴ ∴ ∴
6
24
24y = 12.6 24y = 72 y = y = 3

74
Matemática
SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS OU PROPORÇÕES EM SÉRIE
Chamamos de série de razões a igualdade de várias razões.
a
b
=
c
d
= ...
m
n
EXEMPLO:
1.
2
1
=
4
2
=
6
3
=
8
4
2.
3
9
=
4
12
=
5
15
=
6
18
=
7
21
PROPRIEDADE
Seja a série de razões
a
b
=
c
d
= ... =
m
n
então:
a
b
a c m
b d n
= =
+ + +
+ + +
c
d
= ... =
m
n
...
...
EXEMPLO:
Calcule x , y , z , na série de razão
x
3
y
5
=
z
1
= , sabendo que x + y + z = 180
Solução:
x
3
=
y
5
=
z
1
=
x + y + z
3 + 5 +1
Logo
x
3
=
y
5
=
z
1
=
180
9
x
3
540
9
= ∴ ∴ ∴ ∴
180
9
9x = 3.180 9x = 540 x = x = 60
y
5
900
9
= ∴ ∴ ∴ ∴
180
9
9y = 5.180 9y = 900 y = y = 100
z
1
180
9
= ∴ ∴ ∴ ∴
180
9
9z = 1.180 9z = 180 z = z = 20

75
Matemática
EXERCÍCIOS
01. Calcular x, tal que
x
510
5
17
=
Resposta: x = 150
02. Calcular o valor de x, tal que
144
12
x
10
=
Resposta: x = 120
03. Calcular x e y, na proporção
x
4
y
5
= , sabendo que x + y = 45.
Resposta: x = 20; y= 25
04. Calcular x e y, na proporção
x
5
y
3
= , sabendo que x – y = 14
Resposta: x = 35; y= 21
05. Calcular x , y , z e w na série de proporção
x
5
y
4
z
3
w
7
= = = , sabendo que x
+ y + z + w = 114
Resposta: x = 30; y= 24; z=18 e w=42
06. Calcular a e b na proporção
a
19
b
17
= , sabendo que a + b = 72
Resposta: a = 38; b= 34
07. Calcular a e b na proporção
a
4
b
3
= , sabendo que a – b = 5
Resposta: a = 20; b= 15
08. Calcular x e y na proporção
x
12
y
3
= , sabendo que x2
+ y2
= 68
Resposta: x = 8; y= 2 ou x=-8 e y=-2
09. Calcular x e y na proporção
x
10
y
5
= , sabendo que x2
– y2
= 12
Resposta: x = 4; y= 2 ou x=-4 e y=-2
10. Calcular a, b e c sabendo que 8ab = 5ac = 2bc e a + b + c = 150
Resposta: a = 20; b= 50; c=80
11. Calcule x, y e z na série de proporção
1
x
2
y
=
4
z
= , sabendo que x . y . z = 64
Resposta: x = 2; y= 4; z=8
12. Calcular x ,y e z na proporção
x
2
y
3
=
z
4
= , sabendo que 2x + 3y + 4z = 58

76
Matemática
13. Calcular x, y e z na proporção
x
1
y
2
=
z
3
= , sabendo que 4x + 3y + 2z = 48
Resposta: x = 3; y= 6; z= 9
14. Calcular x, y e z sabendo que 2xy = 3xz = 4yz e que x + y + z = 18
RAZÕES
Chamamos de razão entre dois números a e b (b # 0) ao quociente de a por b.
Denotamos:
a
b
ou a : b ( lê-se a está para b )
EXEMPLO:
a. A razão de 1 está para 2 é
1
2
ou 0,5.
b. A razão de 9 está para 3 é
9
3
ou 3.
c. A razão de 24 está para 4 é
24
4
ou 6.
Obs.: Sendo assim chamaremos de razão entre duas grandezas à razão entre suas
medidas.
EXEMPLO:
a. A razão entre 2m de um fio e 5m de uma linha é:
Solução:
2
5
m
m
=
2
5
= 0,4
b. Um carro percorre 20Km em 30 minutos. Então a razão entre o espaço
percorrido e o tempo gasto é:
Solução:
20
30
km
min
=
2
3
km / min
DIVISÕES PROPORCIONAIS
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais, quando a razão entre
seus valores é sempre constante.

77
Matemática
EXEMPLO:
Sejam x e y duas grandezas, tal que:
x : 2 , 3 , 5
y : 6 , 9 , 15
logo, x e y são diretamente proporcionais, pois :
2
6
=
3
9
=
5
15
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais, quando o produto
entre seus valores é sempre constante.
EXEMPLO:
Sejam x e y duas grandezas, tal que:
x : 1 , 2 , 3
y : 12 , 6 , 4
logo, x e y são inversamente proporcionais, pois: 1 x 12 = 2 x 6 = 3 x 4
EXEMPLOS DE DIVISÕES PROPORCIONAIS
Vamos iniciar esta seção com um exemplo.
EXEMPLO:
Dividir o número 80 em três partes diretamente proporcionais a 2 , 3 e 5.
Solução:
Como vamos dividir o número 80 em três partes. Sejam, x , y e z essas partes, daí
temos:
x + y + z = 80
Como as grandezas x , y e z têm que ser diretamente proporcionais a 2 , 3 e 5 temos,
que a razão entre os valores das grandezas é constante.
Isto é,
x
k k
2
= =,
y
3
= k e
z
5
Portanto, temos:
x
k
2
= ⇒ x = 2k (1)
y
k
3
= ⇒ y = 3k (2)
z
k
5
= ⇒ z = 5k (3)

78
Matemática
Somando as equações (1), (2) e (3) temos:
x = 2k
y = 3k +
z = 5k
x + y + z = 10k ⇒ 10k = x + y + z ⇒ 10k = 80
∴ = ∴ =k k
80
10
8
O k é chamado de constante de proporcionalidade.
Como queremos os valores de x, y e z, basta substituir k = 8, nas equações (1), (2)
e (3).
Logo:
x = 2k ⇒ x = 2 x 8 ⇒ x = 16
y = 3k ⇒ y = 3 x 8 ⇒ y = 24
z = 5k ⇒ z = 5 x 8 ⇒ z = 40
EXEMPLO:
Dividir 120 em três partes diretamente proporcionais a: 3 , 4 e 5.
Solução:
Já observamos que se x , y e z são as partes procuradas, temos: x + y + z = 120
Analogamente, como as grandezas x , y e z têm que ser diretamente proporcionais
às grandezas 3, 4 e 5 temos, que a razão entre seus valores é sempre constante, daí:
x
3
= k x = 3k⇒ (1)
y
4
= k y = 4k⇒ (2)
z
5
= k z = 5k⇒ (3)
Somando (1), (2) e (3), temos:
x = 3k
y = 4k +
z = 5k
120 = 12k
12k = 120 ∴ k = 10
Substituindo k =10 em (1), (2) e (3) temos:
x = 3 . 10 ∴ x = 30
y = 4 . 10 ∴ y = 40
z = 5 . 10 ∴ z = 50
Então o aluno já percebeu que, os problemas de divisões proporcionais são sim-
plesmente as aplicações de grandezas proporcionais.
Vamos agora ver os casos de inversamente proporcionais.

79
Matemática
EXEMPLO:
Dividir o número 52 em três partes inversamente proporcionais a 2 , 3 e 4.
Solução:
Sejam x, y e z as três partes procuradas. Daí temos: x + y + z = 52
Como as grandezas x, y e z são inversamente proporcionais as grandezas 2 , 3 , e 4,
temos, que o produto dos seus valores são constantes, daí:
2x = k
3y = k
4z = k
Daí teremos:
x
k
=
2
(1)
y
k
=
3
(2)
z
k
=
4
(3)
Logo, somando (1) , (2) e (3) temos:
x y z
k
+ + =
2
+
k
3
+
k
4
52
2
=
k
+
k
3
+
k
4
k
2
52+
k
3
+
k
4
=
6 4 3
12
k k k+ +
= 52
13
12
k
= 52 ∴ k =
52.12
13
∴ k=48
k é chamado de constante de proporcionalidade.
Substituindo k = 48 em (1), (2) e (3) temos:
x =
48
2
∴ x = 24; y =
48
3
∴ y = 16; z =
48
4
∴ z = 12

80
Matemática
EXEMPLO:
Dividir o número 94 em três partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5.
Solução:
Analogamente, sejam x, y e z as partes procuradas, daí, x + y + z = 94
Como x, y e z são inversamente proporcionais a 3, 4 e 5 temos que o produto entre os
valores é constante, daí:
3x = k ⇒ x =
k
3
(1)
4y = k ⇒ y =
k
4
(2)
5z = k ⇒ z =
k
5
(3)
Somando (1), (2) e (3) temos:
x y z
k
+ + +=
k
3
+
k
4 5
94
5
=
k
3
+
k
4
+
k
k
3
+
k
4
+ =
k
5
94
20k +15k +12k
60
= 94 ∴
47k
60
= 94
k =
94.60
47
∴ k=120
logo, a constante de proporcionalidade é k = 120.
Substituindo k = 120 em (1), (2) e (3) temos:
x = ∴
120
3
x = 40
y = ∴
120
4
y = 30
z = ∴
120
5
z = 24
REGRA DE SOCIEDADE
Geralmente, os problemas de divisões proporcionais que envolvem divisões de lu-
cros, prejuízos, capitais e etc., recebem o nome de regra de sociedade.

81
Matemática
EXEMPLO:
(TTN) – Dois sócios lucraram com a dissolução da sociedade e devem dividir
entre si o lucro de R$ 28.000,00. O sócio A empregou R$ 9.000,00 durante 1 ano
e 3 meses e o sócio B empregou R$ 15.000,00 durante 1 ano. O lucro do sócio A
foi de:
a. R$ 8.000,00
b. R$ 10.000,00
c. R$ 12.000,00
d. R$ 14.000,00
e. R$ 16.000,00
Solução:
Este é um problema típico de regra de sociedade.
x = a parcela de lucro do sócio A.
y = a parcela de lucro do sócio B.
Então: x + y = 28.000
Como o sócio A ficou na empresa 1 ano e 3 meses (15 meses) e empregou R$
9.000,00, temos que x é diretamente proporcional a 15 e 9.000, logo :
x = 9.000 x 15 k
x = 135.000 k (1)
Analogamente, o sócio B ficou na empresa 1 ano (12meses) e empregou R$ 15.000,00,
temos então, que y é diretamente proporcional a 12 e 15.000 , logo :
y = 15.000 x 12 k
y = 180.000 k (2)
Se: x + y = 28.000
x = 135.000 k
y = 180.000 k
x + y = 315.000 k
315.000 k = 28.000
k =
28.000
315.000 ∴ k =
28
315 ∴ k =
4
45
Substituindo k =
4
45
em (1) e (2), temos
x = ∴135 000. .
4
45
x = 12.000
y = ∴180 000. .
4
45
y = 16.000 Resposta: C

82
Matemática
EXEMPLO:
Três sócios querem dividir um lucro de R$ 13.500,00. Sabendo-se que partici-
param da sociedade durante 3, 5 e 7 meses. Qual a parcela de lucro de cada
um?
Solução:
Sejam :
x – a parcela do 1° sócio.
y – a parcela do 2° sócio.
z – a parcela do 3° sócio.
Como o lucro é diretamente proporcional ao tempo na sociedade, temos que:
x + y + z = 13.500
x = 3k (1)
y = 5k + (2)
z = 7k (3)
13.500 = 15 k
k = 900
Logo, substituindo em (1), (2) e (3) temos:
x = 3 x 900 ⇒ x = R$ 2.700,00 (lucro do 1° sócio).
y = 5 x 900 ⇒ y = R$ 4.500,00 (lucro do 2° sócio).
z = 7 x 900 ⇒ z = R$ 6.300,00 (lucro do 3° sócio).
1. Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de
um jogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcional às fal-
tas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltas
foram 1, 2, 2, 3 e 5? (R$)
Solução:
x = k, y =
k
2
, z =
k
2
, v =
k
3
, w =
k
5
k +
k
2
+
k
2
+
k
3
+
k
5
= 152.000
30 15 15 10 6
30
152 000
k k k k k+ + + +
= .
76
30
152 000
76
k
= ∴
⋅
∴. k =
152.000 30
k = 60.000

83
Matemática
x = R$ 60.000,00 (1° jogador).
y = R$ 30.000,00 (2° jogador).
z = R$ 30.000,00 (3° jogador).
v = R$ 20.000,00 (4° jogador).
w = R$ 12.000,00 (5° jogador).
2. Distribuir o lucro de R$ 28.200,00 entre dois sócios de uma firma, saben-
do que o primeiro aplicou R$ 80.000,00 na sociedade durante 9 meses e
que o segundo aplicou R$ 20.000,00 durante 11 meses.
Solução:
x = 9 x 80.000 k
y = 11 x 20.000 k
x + y = 28.200
Logo:
x = 720.000 k
y = 220.000 k
28.200 = 940.000 k
k = ⇒
28 200
940 000
3
100
.
.
k =
Logo:
x = ∴720 000
3
100
. . x = R$ 21.600,00
y = ∴220 000
3
100
. . y = R$ 6.600,00
3. Três pessoas formaram uma sociedade entrando com a mesma quantia,
sendo que o capital da lª pessoa esteve empregado durante 2 anos, o da
2ª pessoa durante 3 anos e o da 3ª pessoa durante 20 meses. Se o lucro
auferido for de R$ 400.000, quanto receberá a 1ª pessoa, sabendo-se que
ela ainda tem mais 10% de lucro, conforme contrato?
Solução:
Sejam :
x = 24 k
y = 36 k
z = 20 k
x + y + z = 360.000
80 k = 360.000
k = 4.500
A 1ª pessoa receberá:
x = 24 x 4.500 = 108.000 mais 40.000, portanto, receberá: R$ 148.000,00

84
Matemática
4. Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três
primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento com a quan-
tia de R$ 507.000,00 dividida em partes inversamente proporcionais a
2
1
4
, 1
2
3
e 1,2. Nessas condições, o prêmio de menor valor a ser pago será
de:
Solução:
Observe que :
2
1
4
=
2 4 +1
4
=
9
4
⋅
1
2
3
=
1 3 + 2
3
=
5
3
⋅
Logo:
x
k k
=
9
4
, y = , z =
k
1,25
3
x
k
=
⋅4
9
y
k
=
⋅3
5
z
k
=
12,
Portanto:
x y z
k k
+ + =
4
9
3
+
5
+
k
1,2
507 000
24 32 4 45
54
.
,
=
+ +
∴
k k k
k = 270.000
x = ⋅ ∴
4
9
270.000 x = R$ 120.000,00
y = ⋅ ∴
3
5
270.000 y = R$ 162.000,00
z = ∴
270 000
12
.
,
z = R$ 225.000,00 Resposta: R$ 120.000,00

85
Matemática
5. Duas pessoas devem dividir entre si a importância de R$ 180.000,00. A
primeira pretende receber 2
3 da importância total e a segunda acha que
tem direito a receber R$ 72.000,00. Por fim concordaram em dividir a im-
portância total proporcionalmente às respectivas pretensões. Quanto
recebeu cada uma?
Solução:
Primeira pessoa (x): de
2
3
180.000.00 = 120.000
Segunda pessoa (y): 72.000
Assim temos:
x = 120.000 k
y = 72.000 k
x + y = 180.000 = 192.000 k
k = ∴
180 000.
192.000
k =
15
16
x = ⋅ ∴120 000
15
.
16
x = 112.500
y = ⋅ ∴72 000
15
.
16
y = 67.500
6. João resolveu fazer um bolão para jogar na sena. Convidou inicialmente
Pedro e depois Antônio, tendo João contribuído com R$ 12,00 e seus
amigos com R$ 6,00 e R$ 18,00, respectivamente. Sabendo-se que a re-
partição do prêmio, a João, Pedro e Antônio, foi feita diretamente propor-
cional às importâncias desembolsadas e inversamente proporcional aos
números 2, 3 e 6, respectivamente, e que Antônio ganhou R$ 12.000,00,
mais que Pedro. O valor do prêmio foi de R$:
Solução:
João – J = ⋅ ∴12
1
2
k J = 6k
Pedro – P = ⋅ ∴6
1
3
k P = 2k
Antônio – A = ⋅18
1
6
k = 6
1
3
k +12.000
18
1
⋅
6
k = 6
1
3
k +12.000
3k = 2k + 12.000
3k - 2k = 12.000 ∴ k = 12.000

86
Matemática
teremos:
João = 6k = 6 x 12.000 = 72.000
Pedro = 2k = 2 x 12.000 = 24.000
Antônio = 2k + 12.000 = 2 x 12.000 + 12.000 = 36.000
Total do prêmio = 132.000
7. Dois amigos constituem uma sociedade participando o 1° com R$
10.000,00 e o 2° com R$ 8.000,00. Após 10 meses de existência da empre-
sa, o 1° sócio aumentou seu capital em mais R$ 5.000,00. Decorridos 2
meses dessa data o 2° sócio retirou R$ 2.000,00 de sua cota inicial. Sa-
bendo-se que ao final de 2 anos apurou-se um lucro de R$ 23.900,00. Ao
2° sócio coube a participação no lucro de: (R$).
Solução:
x = R$ 10.000 . 10 + R$ 15.000 . 14 ∴ x = 310.000 k
y = R$ 8.000 . 12 + R$ 6.000 . 12 ∴ y = 168.000 k
x + y = 478.000 k
23.900 = 478.000 k
k = ∴
23 900.
478.000
k = 0,05
logo: y = 168.000 x 0,05 y = R$ 8.400,00
8. Uma pessoa deseja repartir 135 balas para duas crianças, em partes que
sejam ao mesmo tempo proporcionais diretamente 2/3 e 4/7 e inversa-
mente a 4/3 e 2/21. Quantas balas cada criança receberá ?
Solução:
x = ⋅
2
3
9k
4
y = ⋅
4
7
21k
2
x + y = 135
logo:
x
k
=
3
2
y = 6k
135
3
6= +
k
k
2
15
135
k
2
k =
135 2
15
= ⇒
⋅
k = 18

87
Matemática
Logo:
x
k
= ⇒ ⋅
3 3
2
x =
2
18
x = 27
y = 6k ⇒ y = 6 . 18
y = 108
9. Dividir o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja
para a segunda como 4 está para 5, e a segunda esteja para a terceira
como 6 está para 12.
Nestas condições, a terceira parte vale:
Solução:
Sejam as partes x , y e z
Logo :
x
y
y
=
4
5
x =
5
⇒
4
y
z
=
6
12
y =
12
z =
z
2
⇒
6
x + y + z = 570
Logo:
x
z
= ⋅ ∴
4
2
2
5
y =
4
5
x =
5
z
Se:
x + y + z = 570
2
570
5
z +
z
2
+ =z
4 5 10z z z+ +
10
= 570
19 570 10
10
z = 570 z =
19
⇒
⋅
z = 300
10. Uma herança de R$ 200.000,00 foi dividida entre três irmãos, de acordo
com suas idades e de tal forma que ao mais velho caberia a maior parcela
e ao mais novo a menor parcela. Juntos, os irmãos mais velhos recebe-
ram R$ 150.000,00. Sabendo-se que a soma das idades dos três irmãos é
de 40 anos, a idade do irmão mais novo, contada em anos é:

88
Matemática
Solução:
t1 , t2 , e t3 as idades dos irmãos, e
x, y e z as respectivas parcelas, onde: t1 < t2 < t3
Então temos:
x + y + z = 200.000
y + z = 150.000
logo: x = 50.000
Temos ainda que:
t1 + t2 + t3 = 40
Como “ao mais velho caberia a maior parcela“ temos que a divisão é direta-
mente proporcional as idades.
Logo
x = k t1 (1)
y= k t2 (2)
z= k t3 (3)
Somando (1), (2) e (3)
x + y + z = k . ( t1+ t2 + t3 ) ∴ 200.000 = k . 40 ∴ 40 . k = 200.000
k = 5.000
Voltando em (1)
x = k . t1
50.000 = 5.000 . t1
5.000 . t1 = 50.000
t1
50 000
= ∴
.
5.000
t = 101
Portanto, a idade do mais novo é 10 anos.
11. Três amigos “A”, “B” e “C” constituem uma sociedade que, após um
ano, apura um lucro de R$ 48.000,00, cabendo ao sócio “B” R$ 16.000,00
e a “C” o valor correspondente a 1
3 de “A”. Sabendo-se que o capital de
“C” é R$ 24.000,00 menor do que do “B”, o capital da empresa é de R$:
Solução:
Solução - Regra de sociedade
lucro do 1° — x
lucro do 2° — y = 16.000
lucro do 3° —
x
3

89
Matemática
lucro total: x + 16.000 +
x
3
= 48.000
4x
3
= 32.000 x =
32.000 3
4
⇒
⋅
x = 24.000
Portanto, teríamos :
lucro do 1° sócio = 24.000 = k . c1 (1)
lucro do 2° sócio = 16.000 = k . c2 (2)
lucro de 3° sócio = 8.000 = k . (c2 – 24.000)(3)
Dividindo (2) por (3), temos :
kc2
k (c - 24.000)
=
16.000
8.0002⋅
c2
c - 24.000
= 2 c = 2c - 48.000
2
2 2∴
c2 = 48.000
Daí substituindo c2 em (2), temos :
k . c2 = 16.000
48.000 . k = 16.000
k = ∴
16 000.
48.000
k =
1
3
Substituindo k em (1), temos:
k . c1 = 24.000
1
3
c = 24.000 c = 24.000 3 c = 72.0001 1 1⇒ ⋅ ∴
Portanto, temos:
Capital do l° sócio R$ 72.000,00.
Capital do 2° sócio R$ 48.000,00.
Capital do 3° sócio RS 24.000,00.
Total R$ 144.000,00

90
Matemática
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Chamamos de problemas de regra de três ao tipo de problemas que envolvem
grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
Vamos iniciar esta seção com um exemplo simples:
EXEMPLO:
24 operários fizeram 60 metros de um muro. Quantos operários, nas mesmas
condições, farão 90 metros do mesmo muro?
Solução:
O caminho para resolver será mais fácil se você se concentrar nas variáveis, veja
então que as variáveis são operários e metros do muro.
Analise então que, quanto mais (menos) metros de muro tiverem que ser construídos,
mais (menos) operários serão necessários.
Observamos que quanto mais cresce (ou diminue) a variável metros do muro mais
cresce (ou diminue) a variável operários. Isto é, quanto maior for o muro mais operários
serão necessários. Logo, as duas variáveis tem o mesmo sentido. Neste caso, com
o mesmo sentido, fixamos um sentido para a variável que possui a incógnita (veja a
figura), e como possuem o mesmo sentido repetimos o sinal da figura.
Operários Metros de Muro
Agora colocamos os dados
Operário Metros de Muro
24
x
60
90
Como o sentido é o mesmo, mantemos a razão:
24 60
90x
=
Agora é só resolver
60x = 24 x 90
x = 36 operários
Agora vamos criar um algoritmo para resolver.
1°. Leia o problema e escreva todas as variáveis envolvidas.
Operários
Metros de Muro
2°. Veja em que sentido elas variam, fazendo uma pergunta, por exemplo “ quanto
mais metros de muro temos que fazer, mais ou menos operários precisamos?”.
Resposta: “mais operários” . Logo, verifica-se que têm o mesmo sentido, as
variáveis.

91
Matemática
3°. Desenhe o sentido das variáveis,
4°. Coloque agora os dados.
24
x
60
90
5°. Escreva a razão da variável que possui a incógnita e o sinal de “ = ”.
24
x
=
6°. Se possui o mesmo sentido mantenha a razão da outra.
24 60
90x
=
7°. Agora resolva a operação
60x = 24 x 90
x = 36 operários
EXEMPLO:
Um funcionário recebeu R$ 960,00 por 24 dias de trabalho. Quanto deveria re-
ceber se trabalha-se 30 dias ?
Solução:
1°. Leia o problema e escreva todas as variáveis envolvidas.
Salário Dias
2°. Quanto mais dias se trabalha, mais ou menos salários devemos receber ?
Resposta: mais salários; logo, temos o mesmo sentido para as variáveis.
Salário Dias
3°. Vamos colocar os dados.
Salário Dias
960
x
24
30
4°. A razão da variável que possui a incógnita (Salário) e o sinal de “=”
960
x
=
5°. Como as variáveis possuem o mesmo sentido, mantemos a razão da outra
variável.
960 24
30x
=

92
Matemática
6º. 24x = 960 x 30
x =
⋅960 30
24
x = R$ 1.200,00
EXEMPLO:
24 operários fazem um serviço em 40 dias. Em quantos dias 30 operários
farão o mesmo serviço?
Solução:
1°. Escreva as variáveis
Operários Dias
2°. Quanto mais operários trabalham, menos dias vão levar para terminar. Logo,
observe que o sentido é oposto, logo escolha um sentido para cada variável.
Operários Dias
3°. Coloque os dados:
Operários Dias
24
30
40
x
4°. Escreva a razão da variável que possui a incógnita e "="
40
x
=
5°. Como o sentido é "contrário", inverta a razão da outra variável e iguale
40 30
24x
=
logo: 30x = 40 x 24 ∴ 30x = 960 ∴ x = 32 dias
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Os problemas de regra de três que possuem mais de duas variáveis, são conhecidos
como problemas de regra de três composta.
EXEMPLO:
Em 30 dias, 24 operários asfaltaram uma avenida de 960 metros de comprimen-
to por 9 metros de largura. Quantos operários seriam necessários para fazer
um asfaltamento, em 20 dias, de 600 metros de comprimento por 10 metros de
largura.

93
Matemática
Solução:
1º. Primeiramente vamos escrever as variáveis envolvidas no enunciado.
DIAS OPERÁRIOS COMPRIMENTO LARGURA
2º. Vamos colocar os dados e a incógnita do problema.
30 24 960 9
20 x 600 10
3°. Vejamos qual a variável que possui a incógnita e a relação (direta ou inversa)
entre ela e as outras variáveis.
• Quanto mais dias tenho de prazo, menos operários preciso. (Relação in-
versa).
• Quanto mais comprido for o asfaltamento mais operários preciso para reali-
za-lo.
• Quanto mais largo for o asfaltamento mais operários eu preciso.
4º. Vamos escrever a razão da variável "operários" e considerar as outras razões, no
produto delas, conforme a relação direta ou inversa.
30
20
24
x
960
600
9
10
24 20
30
960
600
9
10x
= ⋅ ⋅
Simplificando:
24 2
3
96
60
9
10x
= ⋅ ⋅
Simplificando, ainda temos:
24 2
3
96
60
9
101
248
155
3
x
=
/
⋅ ⋅
/
24 2 8 3
5 10
48
50x
=
⋅ ⋅
⋅
⇒ =
24
x
48x = 24 x 50
48x = 1.200
x = 25 operários

94
Matemática
EXEMPLO:
Um gramado de 720m2
foi podado por dois homens, que trabalharam 6 horas
por dia durante 2 dias. Quantos metros quadrados três homens conseguiriam
podar se trabalhassem 8 horas por dia durante 3 dias.
Solução:
Vejamos as variáveis e os dados do problema.
GRAMADO HOMENS HORAS POR DIA DIAS
720 2 6 2
x 3 8 3
Vejamos as relações entre a variável Gramado e as outras.
• Quanto mais Gramado podado mais homens serão necessários.
• Quanto mais horas por dia os homens trabalharem mais Gramado seria po-
dado.
• Quanto maior for o Gramado, mais dias de trabalho serão necessários.
GRAMADO HOMENS HORAS POR DIA DIAS
720
x
2
3
6
8
2
3
720 2
3
6
8
2
3x
= ⋅ ⋅
720 24
72x
=
24x = 720 x 72
x = 2.160 m2
EXEMPLO:
24 operários fazem 2
5 de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas
por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que foram dis-
pensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído de 1 hora por dia.
Solução:
Vejamos as variáveis.
OPERÁRIOS DIAS HORAS POR DIA SERVIÇO
Antes de colocar os dados, veja que se 2
5 do serviço foi feito, então falta 3
5 para
terminar a obra, logo:
OPERÁRIOS DIAS HORAS POR DIA SERVIÇO
24
20
10
x
7
6
2
5
3
5

95
Matemática
10 20
24
6
7
2
5
3
5x
= ⋅ ⋅
Calculando:
2
5
3
5
2
5
5
3
2
3
=
/
⋅
/
=
10 20
24
6
7
2
3
10
21x
= ⋅ ⋅ ⇒ =
10
x
x = 21 dias
EXEMPLO:
Se 2
3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários trabalhando 6 horas
por dia, o restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 10
horas por dia, em quantos dias?
Solução:
Evidente que teremos
OBRA DIAS OPERÁRIOS HORAS POR DIA
2
3
1
3
5
x
8
6
6
10
Observe que:
• Quanto maior for a obra mais dias serão necessários.
• Quanto mais operários estão trabalhando menos dias serão necessários.
• Quanto mais horas por dia trabalharem menos dias serão necessários.
5 6
8
10
6
2
3
1
3x
= ⋅ ⋅
5 2
1
6
8
10
6x
= ⋅ ⋅
5 120
48x
=
120x = 5 . 48
x = 2 dias
EXEMPLO:
Uma empresa se compromete a realizar uma obra em 30 dias, iniciando-se a
obra com 12 operários, trabalhando 6 horas dia. Decorridos 10 dias, quando já
havia realizado 1/3 da obra, a empresa teve que colocar 4 operários para outro
projeto. Nessas condições para terminar a obra no prazo pactuado, a empresa
deve prorrogar o turno por mais:

96
Matemática
Solução:
Regra de três composta.
OBRA DIAS OPERÁRIOS HORAS/DIA
1
2
3
30
20
12
8
6
x
6 1 20
30
8
122
3x
= ⋅ ⋅
6 8
12x
= ⇒ 8x = 72
x = 9 horas/dia
Portanto, a empresa deve prorrogar o turno por mais 3 horas.
EXEMPLO:
Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6
horas por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8 horas por dia, a estrada será conclu-
ída em:
Solução:
TRABALHADORES DIAS HORAS/DIA
10 96 6
10 x 8
Trata-se de regra de três, quanto mais horas/dias, será preciso menos dias.
Daí teremos:
TRABALHADORES DIAS HORAS/DIA
10
10
96
x
6
8
Logo:
96 10
10
8
6x
= ⋅ ⇒
⋅
∴x =
96 6
8
x = 72dias
EXEMPLO:
12 pedreiros constroem 27m2
de um muro em 30 dias, de 8 horas. Quantas
horas devem trabalhar por dia 16 operários, durante 24 dias, para construírem
36m2
do mesmo muro?
Solução:
PEDREIROS MURO DIAS HORAS/DIA
12
16
27
36
30
24
8
x
8 16
12
27
36
24
30x
= ⋅ ⋅

97
Matemática
8 4
5x
=
x = 10 horas/dia
EXEMPLO:
Um criador sabe que 900 frangos consomem, em 30 dias, 8,1 toneladas de ra-
ção. Ele adquiriu 1.000 frangos e 10,5 toneladas de ração. Considerando-se
que o agricultor pretende abater essas aves daqui a 40 dias, quando elas esti-
verem no peso ideal, o criador para que não falte alimento as aves, deve com-
prar, adicionalmente, a quantidade de ração em Kg. de:
Solução:
FRANGOS DIAS RAÇÃO
900
1000.
30
40
81,
x
81 900
1000
30
40
9
10
3
4
,
.x
= ⋅ ⇒ = ⋅
8,1
x
81 27
40
40
,
x
= ∴ ⋅27x = 8,1
x = 12 toneladas ou x = 12.000 kg.
Deve o agricultor adicionar : 12.000 – 10.500 = 1.500 kg.

98
Matemática
Sistema do 1º grau
Um sistema de equações do 1º grau com n variáveis, é um conjunto de equações do
tipo
ai1
. x1
+ ai2
. x2
+ ... ain
. xn
= bi
onde i ∈ *Ν e ai1
, ai2
... ain
são números reais.
Vamos concentrar nossa atenção somente nos sistemas com duas variáveis.
EXEMPLOS:
a.
x y
x y
− =
+ =



1
2 7
b.
2 4 10
12 4 4
x y
x y
+ =
− =



Queremos, no caso de duas variáveis, achar os valores de x e y que satisfazem a
todas as equações, simultaneamente.
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO
1º. Método da substituição
Expressamos uma das variáveis em função da outra, então substituímos esta
função na outra equação. Teremos então uma equação com apenas uma
incógnita. Resolvendo esta equação chegamos a solução parcial do sistema,
bastando apenas substituir o valor encontrado na expressão inicial para
encontrar a solução final.
Exemplo
Vamos encontrar a solução do seguinte sistema de equações do 1º grau.
x y
x y
− =
+ =



1
2 7
Vamos expressar a variável x em função da variável y, na primeira equação
x y
x y
− =
+ =



⇒
1
2 7
x = 1+ y (*)
Substituindo a expressão da variável x na segunda equação teremos
x + 2y = 7
1 + y + 2y = 7
1 + 3y = 7 ∴ 3y = 7-1 ∴ 3y = 6
y =
3
6
∴ y = 2

99
Matemática
Encontramos o valor da incógnita y (y=2).
Substituindo y = 2 na equação (*) temos
x = 1+y
x = 1+2
x = 3
Logo, a solução do sistema é: x = 3 e y = 2
EXEMPLO:
Encontrar a solução do sistema de equação do 1º grau.
2 4 10
12 4 4
10 4
2
x y
x y
y+ =
− =



⇒ ⇒ =
−
⇒2x = 10 - 4y x x = 5 - 2y (*)
Substituindo (*) na segunda equação temos:
12x - 4y = 4
12 (5-2y) - 4y = 4
60 - 24y - 4y = 4
60 - 28y = 4 ∴ -28y = 4-60 ∴ -28y = -56
y =
−
−
56
28
∴ y = 2
Substituindo o valor de y (y=2) na equação (*) temos:
x = 5-2y ∴ x = 5 - 2 × 2 ∴ x = 5 - 4 x = 1
Logo, a solução do sistema é: x = 1 e y = 2
2º. Método da comparação
Expressamos a mesma incógnita em todas as equações e igualamos as
expressões. Encontramos assim uma das incógnitas. Para encontrar a solução
da outra incógnita basta substituir o valor encontrado em uma das expressões
anteriores.
EXEMPLO:
x y
x y
y y
− = ⇒
+ = ⇒



⇒ + = −
1
2 7
1 7 2
x = 1+ y (*)
x = 7 - 2y
1+y+2y=7 ∴ 1+3y=7 ∴ 3y=7-1 ∴ 3y = 6 ∴ y =
6
3
∴ y = 2

100
Matemática
Substituindo y = 2 em (*) temos
x = 1+y ∴ x=1+2 ∴ x=3
Logo a solução é: x = 3 e y = 2
EXEMPLO
2 4 10
12 4 4 4 4
12
x y
x y y
+ = ⇒
− = ⇒


 =
+
⇒





x =
10 - 4y
2
x
x = 5 - 2y (*)
x =
1+ y
3
(**)
Igualando (*) e (**) temos
5 2
1
3
− =
+
y
y
3(5-2y) = 1 + y
15 - 6y = 1 + y
-7y = -14 ∴ y =
−
−
14
7
∴ y = 2
Substituindo y=2 em (*) teremos
x = 5 - 2y
x = 5 - 2 × 2
x = 5 - 4
x = 1
Solução: x = 1 e y = 2
3º. Método de redução ao mesmo coeficiente
Comparamos as duas equações de modo que possuam o mesmo coeficiente
para a mesma incógnita. Eliminamos então esta incógnita obtendo assim a
solução da outra.
Após obter esta solução procedemos como no caso anterior.
Alguns exemplos para facilitar a compreensão.
Exemplo:
x y
x y
− =
+ =



1
2 7
Multiplicando a primeira equação por 2 teremos:
2 2 2
2 7
x y
x y
− =
+ =




101
Matemática
Somando as equações:
2 2 2
2 7
x y
y
− =
+ =



∴
x
+
3x = 9 x = 3
Substituindo x = 3 na primeira equação:
x - y = 1
3 - y = 1
- y = 1-3
- y = -2
y = 2
Solução x = 3 e y = 2
EXEMPLO
2 4 10
4 4
x y
x y
+ =
− =


12
Somando as duas equações:
2 4 10
4 4
x y
x y
+ =
− =



∴
12
+
14x = 14 x = 1
Substituindo x = 1 na primeira equação:
2x + 4y = 10
2×1 + 4y = 10
2 + 4y = 10
4y = 10 - 2
4y = 10 - 2
4y = 8 ∴ y = 2
Solução x = 1 e y = 2
EXEMPLO
2 6 18
4 11
x y
x y
+ =
+ =



Calculando o MMC (6,4) = 12, vemos que basta multiplicar a primeira equação
por 2 e a segunda equação por 3.
Obtemos então
4 12 36
3 12 33
x y
x y
+ =
+ =




102
Matemática
Subtraindo as equações temos
4 12 36
3 12 33
x y
x y
+ =
+ =



-
x = 3
Substituindo na 1ª equação
Obtemos 2x + 6y = 18
2×3 + 6y = 18 ∴ 6 + 6y = 18 ∴ 6y = 18 - 6
6y = 12 ∴ y = 2
TIPOS DE SISTEMA
a. Sistema possível e determinado
É o sistema que possui apenas uma solução possível. Podemos representá-lo
por duas retas concorrentes.
b. Sistema possível e indeterminado
O sistema é possível e indeterminado quando uma equação for resultado da
multiplicação da outra por uma constante. Neste caso cada equação representa
a mesma reta. Há infinitas soluções.
c. Sistema impossível
Neste caso o sistema não possui solução. As equações representam retas
paralelas.

103
Matemática
EXERCÍCIOS
01. Resolva os sistemas:
a.
x y
x y
+ =
− =



7
1 Resposta: x=4 e y=3
b.
x y
x y
+ =
− =



2 11
2 Resposta: x=5 e y=3
c.
x y
x y
+ =
+ =



4 18
2 3 21 Resposta: x=6 e y=3
d.
3 7 23
2 3 23
x y
x y
− =
+ =



Resposta: x=10 e y=1
e.
2 5 13
3 13
x y
x y
+ =
+ =



Resposta: x=4 e y=1
f.
x y z
z u x
y z u
u x y
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =







6
3
4
5
Resposta: x=2; y=3; z=1 e u=0
g.
x y
xy
+ =
=



3
2 Resposta: x=1 e y=2 ou x=2 e y=1
h.
x y
xy
+ =
=



5
6 Resposta: x=2 e y=3 ou x=3 e y=2
i.
α β
αβ
+ =
=



10
25 Resposta: α = 5 e β = 5
j.
x y
x u
y z
z u
+ =
+ =
+ =
+ =







4
3
3
8
Resposta: Impossível

104
Matemática
Potenciação e Radiciação
POTENCIAÇÃO
Seja “a” um número real diferente de zero e n um número natural positivo.
Então,
an
= a . a . a . a ....... a
n vezes
POR DEFINIÇÃO
a1
= a e a0
= 1
EXEMPLO
a. 34
= 3 x 3 x 3 x 3 = 81
b. 210
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1.024
a-n
=
1
an
EXEMPLO
a. 2
1
2
1
8
3
3
−
= =
b. 4
1
4
1
64
3
3
−
= =
PROPRIEDADES: a ∈ R, a ≠ 0 m, n ∈ N
1. am
. an
= am+n
2.
a
a
a
m
n
m n
= −
3. (a ) .m n m n
a=
4. (ab) .n n n
a b=
5.
a
b
a
b
n n
n





 =
6.
a
b
b
a
n n





 =






−
1 244 34 4

105
Matemática
EXEMPLO
a. 22
. 23
= 22 + 3
= 25
= 32 b.
3
3
3 3 9
6
4
6 4 2
= = =−
c. ( )3 3 812 2 4
= = d. (2.3)3
= 23
. 33
= 8 x 27 = 216
e.
6
2
6
2
36
4
9
2 2
2





 = = = f.
3
5
5
3
5
3
25
9
2 2 2
2





 =





 = =
−
RADICIAÇÃO
Seja a ∈R e n ∈N, n > 1 chamamos an de raiz n-ézima de a, tal que a b a bn n
= ⇔ =
onde b ∈R.
Exemplo
a. 8 23
= pois 8 = 2³
b. − = −64 43 pois -64 = (-4)³
PROPRIEDADES
1. a amn
m
n=
2. a b abn n n
=
3.
a
b
a
b
n
n
n=
4. a amn nm
=
EXEMPLO
a. 2 2 2 8124
12
4 3
= = = b. 16 81 16 814 4 4
⋅ = ⋅ = 2.3 = 6
c.
2
3
2
3
3
3
3= d. 10 1043 12
=
PRODUTOS NOTÁVEIS
Sejam a e b números reais então:
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b) (a - b) = a² - b²
4. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
5. (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

106
Matemática
6. a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)
7. a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
EXERCÍCIOS
1. Fatore:
a. x² - 9
b. x² - 2xy + y²
c. a² + 6a + 9
d. ab + ac + bc + b²
e. m²x² - n²y²
f. x2m
- y2n
g. x5
- 1
h. x5
+ 1
i. x² + 2x + 1 - y²
j. x4
- y4
Solução
a. x² - 9 = (x-3) (x+3)
b. x² - 2xy + y² = (x - y)2
c. a² + 6a + 9 = (a + 3)2
d. ab + ac + bc + b² = a (b+c) + b(c+b) =
= a (b+c) + b(b+c) =
= (a+b) (b+c)
e. m²x² - n²y² = (mx - ny) (mx + ny)
f. x2m
- y2n
= (xm
- yn
) (xm
+ yn
)
g. x5
- 1 = x5
+ x4
- x4
+ x3
- x3
+ x2
- x2
+ x - x - 1 =
= x5
- x4
+ x4
- x3
+ x3
- x2
+ x2
- x + x - 1 =
= x4
(x - 1) + x3
(x - 1) + x2
(x - 1) + x (x - 1) +(x - 1) =
= (x - 1) [x4
+ x3
+ x2
+ x + 1]
h. x5
+ 1 = x5
+ x4
- x4
+ x3
- x3
+ x2
- x2
+ x - x + 1 =
= x5
+ x4
- x4
- x3
+ x3
+ x2
- x2
- x + x + 1 =
= (x5
+ x4
) - (x4
+ x3
) + (x3
+ x2
) - (x2
+ x) + (x + 1) =
= (x+1) [x4
- x3
+ x2
- x + 1]
i. x² + 2x + 1 - y² = (x+1)2
- y2
=
= (x + 1 - y) (x + 1 + y)
j. x4
- y4
= (x2
- y2
) (x2
+ y2
) =
= (x - y) (x + y) (x2
+ y2
)

107
Matemática
Equação do 2º grau
TRINÔMIO DO 2º GRAU
Chamamos de trinômio do 2º grau a função y = a x2
+ bx + c, a ≠ 0.
Chamamos os valores de x para o qual ax2
+ bx + c = 0 de raízes da equação do
segundo grau.
Chamamos de discriminante ao termo b2
- 4ac, e representamos por ∆ , isto é,
∆ = b2
- 4ac.
• Se ∆ > 0, então existem duas raízes reais e distintas.
Neste caso as raízes são
x
b
a
I
=
− − ∆
2
e x
b
a
II
=
− + ∆
2
• Se ∆ = 0, então existem duas raízes reais e iguais
Neste caso as raízes são
x x
b
a
I II
= =
−
2
• Se ∆ < 0, não existem raízes reais.
EXEMPLO
Calcule as raizes de:
a. x2
- 3x + 2 = 0
a = 1 b = -3 c = 2
∆ = b2
- 4ac = (-3)2
- 4.1.2 = 9-8 = 1
∆ = 1 > 0 existem duas raízes reais e distintas
Logo
x
b
a
x
b
a
I
II
=
− −
=
− − −
=
−
= =
=
− +
=
− − +
=
+
= =
∆
∆
2
3 1
21
3 1
2
2
2
1
2
3 1
21
3 1
2
4
2
2
( )
.
( )
.
Resposta {1, 2}
b. 4x2
- 4x + 1 = 0
a = 4 b = -4 c = 1
∆ = b2
- 4ac = (-4)2
- 4.4.1 = 16 - 16 = 0
∆ = 0, existem duas raízes reais e iguais
Logo
x x
b
a
I II
= =
−
=
− −
= =
2
4
2 4
4
8
1
2
( )
.
Resposta
1
2
1
2
;







108
Matemática
c. 9x2
+ 6x + 6 = 0
a = 9 b = 6 c = 6
∆ = b2
- 4ac = 62
- 4.9.6 = 36 - 216 = -180
∆ = -180 < 0 então não existem raízes reais
SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES
Seja ax2
+ bx + c = 0, com xI
e xII
raízes. Então a soma das raízes é:
S = xI
+ xII
= −
b
a
O produto das raízes é:
P = xI
. xI
=
c
a
EXEMPLO
Qual a soma e o produto das raízes:
a. x2
- 5x + 6 = 0
S = −
b
a
= −
−( )5
1
= 5
P =
c
a
=
6
1
= 6
b. 4x2
+ 4x + 1 = 0
S = −
b
a
= −
4
4
= -1
P =
c
a
=
1
4
GRÁFICOS DO TRINÔMIO DO 2º GRAU
CASO I - (a>0 e ∆ > 0)
Neste caso teremos
uma parábola de mínimo,
onde o vértice será
V ( −
b
a2
, −
∆
4a
)
0
C
y
x
V
xI
xII
4a
D
2a
b

109
Matemática
CASO II - (a>0 e ∆ =0)
Neste caso teremos
também uma parábola
de mínimo, onde o vértice
será
V ( −
b
a2
, 0 )
CASO III - (a>0 e ∆ < 0)
Neste caso teremos
também uma parabólica
de mínimo, onde o vértice
será
V ( −
b
a2
, −
∆
4a
)
CASO IV - (a<0 e ∆ > 0)
Neste caso teremos
uma parábola de máximo,
onde o vértice será
V ( −
b
a2
, −
∆
4a
)
0
= =
C
y
x
xI
xII
2a
b
0
C
y
x
2a
b
4a
∆
0
C
xI xII
y
x
V
2a
b
4a
∆

110
Matemática
CASO V - (a<0 e ∆= 0)
Neste caso teremos
também uma parábola de
máximo, onde o vértice
será
V ( −
b
a2
, 0 )
CASO V I - (a < 0 e ∆ < 0)
Neste caso teremos
também uma parábola de
máximo, onde o vértice
será
V ( −
b
a2
, −
∆
4a
)
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU
Seja y = ax2
+ bx + c
1º caso ∆∆∆∆∆ > 0
Se ∆ > 0 então existem duas raízes reais e distintas (xI
e xII
)
então
sinal de a sinal contrário de a sinal de a
xI
xII
Isto é,
Entre as raízes sinal contrário ao de a, fora do intervalo das raízes sinal de a.
0
C
y
x
2a
b
4a
∆
0
C
xI xII
= =
y
x
2a
b

111
Matemática
EXEMPLO
Calcule
x2
- 3x + 2 > 0
Observe que a = 1, b = -3, c = 2
Calculando as raízes teremos xI
= 1 e xII
= 2 como o sinal de a é positivo teremos
logo
+ — +
1 2
x<1 ou x>2
2º Caso ∆∆∆∆∆ < 0
Como ∆ < 0, então não existem raízes reais, daí o trinômio sempre terá o sinal de a.
EXEMPLO
Seja y = x2
+ 2x + 2
a = 1 b = 2 c = 2
∆ = b2
- 4ac = 22
- 4.1.2 = 4 - 8 = -4
∆ = -4 < 0
Como a = 1 > 0 e ∆ < 0 então y = x² + 2x + 2 sempre é positivo.
Exemplo
Resolva
x2
- 5x + 6 < 0
Vamos achar as raízes
a = 1>0 b = -5 c = 6
as raízes são xI
= 2 e xII
= 3
logo
+ — +
2 3
logo: 2 < x < 3

112
Matemática
EXEMPLO
x x
x
2
7 12
1
− +
−
>0
x2
- 7x + 12 > 0
Raízes de x2
- 7x + 12 = 0 são xI
= 3 e xII
= 4
Raiz de x-1=0 é x=1
1 3 4
x-1 - + + +
x2
- 7x + 12 + + - +
x x
x
2
7 12
1
− +
−
- + - +
Resposta 1< x < 3 ou x > 4
01. Se o gráfico da função y = ax2
+ bx + c (sendo a, b, c, números reais) for
tangente ao eixo dos x, então pode-se afirmar que:
a. b2
> 4 ac
b. b2
< 4 ac
c. b = 4a + ac
d. 4 ac = b2
e. c = 0
Resposta “D”
02. O gráfico do trinômio do 2º grau ax2
- 10x + c é o da figura:
0
y
x
-9
5

113
Matemática
Podemos concluir que:
a. a = 1 e c = 16
b. a = 1 e c = 10
c. a = 5 e c = 10
d. a = -1 e c = 10
e. a = -1 e c = 16
Resposta “A”
03. (FMU/FIAM) Dada a função f(x) = ax2
+ bx + c com a < 0 e c> 0, podemos
concluir que o gráfico desta função:
a. intercepta o eixo dos x em um único ponto
b. é tangente do eixo horizontal
c. não intercepta o eixo dos x
d. é secante ao eixo horizontal e o intercepta em dois pontos de abscissas
positivas ambas
e. corta o eixo horizontal em dois pontos de abscissas positiva e negativa.
Resposta “E”
04. (MACK) Considere a função, de R em R, definida por y = ax2
+ bx + c, onde
b2
- 4ac < 0 e a < 0. Então:
a. y > 0 se x for interior ao intervalo das raízes
b. y > 0 se x for exterior ao intervalo das raízes
c. y < 0 para todo 0 x ∈ R
d. y > 0 para todo 0 x ∈ R
e. existe um único x ∈ R tal que y = 0
Resposta “C”
05. (CESESP) Assinale a alternativa correspondente aos valores de x, para
os quais a função f: R ⇒ R e f(X) = −
2x
3
+
1
4
é sempre negativa:
a. ∀ ∈ℜx
b. x ≥
3
8
c. x >
3
8
d. x ≠ 0
e. /∃ ∈ℜ − + <x
x2
3
1
4
0
Resposta “C”

114
Matemática
06. A função y = x2
- 1
a. toma valores positivos, se -1 < x < 1
b. toma valores negativos, se -1 < x < 1
c. toma valores negativos, se x < -1 ou x >1
d. toma valores não negativos, qualquer que seja o valor atribuído a x
e. toma valores não positivos, qualquer que seja o valor atribuído a x
Resposta “B”
07. (PUC) O trinômio -x² + 3x - 4:
a. é positivo para todo número real x
b. é negativo para todo número real x
c. muda de sinal quando x percorre o conjunto de todos os números reais
d. é positivo para 1 < x < 4
e. é positivo para x<1 ou x>4
Resposta “B”
08. (CESESP) Seja f a função quadrática definida por f(x) = -3x² + 6x - 3. Qual
dentre as seguintes alternativas é verdadeira?
a. Qualquer que seja o valor atribuído a x, a função toma sempre um valor
menor ou igual a zero
b. a função toma valores positivos para os valores de x tais que -2 < x < 1
c. a função toma valores positivos para os valores de x tais que x < -2 ou x >
1
d. para qualquer valor atribuído a x, a função toma sempre um valor maior ou
igual a zero
e. a função toma valores negativos apenas para os valores de x tais que -1 <
x < 1
Resposta “A”
09. (CESGRANRIO) O conjunto da solução da inequação x² - 3x < 10 é:
a. ] - ∞ , -2 [
b. ] - ∞ , -2 [ ∪ ] 5, + ∞ [
c. ] -2, 5 [
d. ] 0, 3 [
e. ] 3, 10 [
Resposta “C”

115
Matemática
10. (PUC) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polinômio
P(x) = mx² + 2 (-m -2) x + m² + 4 é negativo quando x = 1?
a. 1 < m < 2
b. -1 < m < 2
c. -5 < m < -4
d. -3 < m < 2
e. 0 < m < 1
Resposta “E”
11. (FGV-SP) Sendo A o conjunto solução da inequação (x² - 5x) (x² - 8x + 12)
< 0, assinale a alternativa correta:
a. {x ∈ R/ o < x < 3} ⊂ A
b. 0 ∈ A
c. 5,5 ∈ A
d. -1 ∈ A
e.
9
2
∈ A
Resposta “C”
12. (PUC) Os valores de x que verificam
x 5x 6
x 2
2
− +
−
< 0 são expressos por:
a. x < 3
b. 2 < x < 3
c. x < 2 ou x > 3
d. x ≠ 2
e. x < 3 e x ≠ 2
Resposta “E”
13. (USP) A solução da inequação (x-3) (-x² + 3x + 10) < 0 é:
a. -2 < x < 3 ou x > 5
b. 3 < x < 5 ou x < -2
c. -2 < x < 5
d. x > 6
e. x < 3
Resposta “A”
14. (USP) Os valores de x que satisfazem a inequação (x² - 2x + 8) (x² - 5x + 6)
(x² - 16) < 0 são:
a. x < -2 ou x > 4
b. x < -2 ou 4< x <5
c. -4 < x < 2 ou x > 4
d. -4 < x < 2 ou 3 < x < 4
e. x < -4 ou 2 < x < 3 ou x > 4
Resposta “D”

116
Matemática
15. (LONDRINA) Seja a função definida
por f(x) = ax² + bx + c, representada
na figura. Então:
a. a.b < 0
b. b.c > 0
c. a.c > 0
d. a - b > 0
e.
b
c
< 0
Resposta “A”
0
y
x

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