O documento explica como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano usando as coordenadas x e y. A distância é dada pela diferença absoluta das coordenadas se os pontos estiverem alinhados com um eixo, ou pela aplicação do Teorema de Pitágoras se formarem um triângulo retângulo.

1. Geometria Analítica
Distância entre dois pontos

2. Para compreendermos o cálculo da distância entre dois pontos, devemos lembrar que
cada ponto no plano é resultado de uma correspondência biunívoca, onde utilizamos
dois eixos ortogonais (eixo x e eixo y), que formam o plano cartesiano, onde
chamamos de origem, o ponto de coordenada (0, 0), que é o ponto de intersecção
entre os dois eixos.

3. Tomemos dois pontos A e B, formando o segmento de reta AB, paralelo ao eixo de x.
A distância entre esses pontos é dada pelo módulo da diferença entre as coordenadas
x dos pontos A e B.
Observe o exemplo abaixo:

4. Tomemos dois pontos A e B, formando o segmento de reta AB, paralelo ao eixo de y.
A distância entre esses pontos é dada pelo módulo da diferença entre as coordenadas
y dos pontos A e B.
Observe o exemplo abaixo:

5. Contudo, para medirmos a distância entre pontos que não estejam paralelos a um
único dos eixos, devemos recorrer ao Teorema de Pitágoras.
Observe o exemplo abaixo:

6. Ao traçarmos uma reta paralela ao eixo y passando pelo ponto A e outra reta paralela
ao eixo x, passando esta pelo ponto B, observamos a intersecção das mesmas no
ponto C (1,1). Sendo assim, os pontos ACB, formam um triângulo retângulo em C,
sendo os segmentos AC e BC, catetos desse triângulo e o segmento AB, a hipotenusa.
Sendo assim podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular o valor da
hipotenusa AB, ou seja, a distância entre os pontos A e B.
Sendo assim, temos:

7. Substituindo os segmentos AC e BC, pela da distância entre os pontos A e C e pelos
pontos B e C, temos:
Obs.: Foi utilizado o aplicativo Régua e Compasso, para ilustrar os exemplos , por
isso o valor da distância entre os pontos A e B, foi exibido em forma decimal. Para
fins didáticos, quando não encontramos uma raiz quadrada exata, deixamos a
distância representada pela própria raiz quadrada, no nosso exemplo, seria a distância
seria representada por

8. Tarefa Proposta
1) Em relação ao exemplo anterior, existe(m) ponto(s) que tenha(m) a mesma
distância que os pontos A e B, utilizando o ponto A como referência e mantendo
fixa a coordenada y do ponto B?
2) Demonstre que o triângulo com vértices A(- 2, 4), B(- 5, 1) e C(- 6, 5) é isósceles.
Obs.:Utilize o aplicativo Régua e Compasso para esboçar o triângulo e compare os
resultados do aplicativo com os obtidos por você.