Resolução de equações paramétricas
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Para que a equação 2x2 + 8x - n +13 = 0 tenha duas raízes reais distintas, n deve ser maior que 5 excluindo 5. A equação x2 - (p - 1) x + p-2 = 0 terá raízes iguais se p = 3.
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Resolução de equações paramétricas
Para que a equação 2x2 + 8x - n +13 = 0 tenha duas raízes reais distintas, n deve ser maior que 5 excluindo 5. A equação x2 - (p - 1) x + p-2 = 0 terá raízes iguais se p = 3.
01 primeira avaliação_de_teoria_dos_números
1) Usando o teorema de Fermat, prova-se por indução que 1010n ≡ 4 (mod 7) para todo n ≥ 1.
2) O menor número natural n tal que n! é divisível por 990 é 11. Prova-se que se 56a = 65b então a + b é composto. Uma equação quadrática com coeficientes primos pode ter raízes iguais.
3) Encontra-se o resto da divisão de 722010 + 702011 por 71.
Intro teoria dos numerros cap5
O documento apresenta conceitos básicos sobre números primos, incluindo suas propriedades e testes de primalidade. Também discute a densidade dos números primos entre os inteiros e conjecturas famosas sobre eles.
Solução de Equações Polinomiais
O documento discute a solução de equações polinomiais. Para grau 1 e 2, existem fórmulas para determinar uma ou mais raízes reais. Para grau maior que 2, o teorema fundamental da álgebra garante n raízes complexas, mas a resolução prática depende da forma da equação. Quando não há solução algébrica, pode-se tentar reduzir o grau da equação encontrando um fator que a divida. O exemplo mostra como dividir o polinômio por um possível fator para obter uma equação de grau
Equações exponenciais
Este documento explica equações exponenciais e seu método de resolução. As equações exponenciais contém uma incógnita no expoente e podem ser resolvidas igualando as bases e aplicando propriedades de potenciação. Exemplos demonstram como resolver equações exponenciais que resultam em equações do primeiro e segundo grau, além de apresentar técnicas como fatoração e a fórmula de Bhaskara.
Indução Matemática
Este documento discute a indução finita, um método para provar propriedades sobre números naturais. Ele explica que (1) verificações diretas para alguns números não são suficientes para provar propriedades sobre o conjunto infinito dos naturais e (2) o princípio da indução finita estabelece que basta provar que uma propriedade é válida para um número inicial n0 e que, se é válida para um número k, também é válida para k+1.
1 = 0,999...
O documento apresenta a demonstração matemática da igualdade 0,999... = 1 através da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. A demonstração começa reescrevendo 0,999... como uma soma infinita de termos decrescentes em potências de 0,1. Em seguida, deduz a fórmula geral para a soma de uma progressão geométrica finita e infinita. Aplicando a fórmula para a progressão dada, conclui que a soma é igual a 1, demonstrando a igualdade proposta.
Equações Polinomiais
Este documento discute equações polinomiais e algébricas. Ele define equações polinomiais como equações na forma P(x)=0, onde P(x) é um polinômio. O documento também discute o grau de uma equação polinomial, raízes, o Teorema Fundamental da Álgebra, a decomposição de polinômios em fatores de primeiro grau, e a multiplicidade de raízes.
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2) O menor número natural n tal que n! é divisível por 990 é 11. Prova-se que se 56a = 65b então a + b é composto. Uma equação quadrática com coeficientes primos pode ter raízes iguais.
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Solução de Equações Polinomiais
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Equações exponenciais
Este documento explica equações exponenciais e seu método de resolução. As equações exponenciais contém uma incógnita no expoente e podem ser resolvidas igualando as bases e aplicando propriedades de potenciação. Exemplos demonstram como resolver equações exponenciais que resultam em equações do primeiro e segundo grau, além de apresentar técnicas como fatoração e a fórmula de Bhaskara.
Indução Matemática
Este documento discute a indução finita, um método para provar propriedades sobre números naturais. Ele explica que (1) verificações diretas para alguns números não são suficientes para provar propriedades sobre o conjunto infinito dos naturais e (2) o princípio da indução finita estabelece que basta provar que uma propriedade é válida para um número inicial n0 e que, se é válida para um número k, também é válida para k+1.
1 = 0,999...
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Equações Polinomiais
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Número normal
Em Matemática, um número normal é um número real cujos algarismos são distribuídos de maneira aleatória no seu desenvolvimento decimal, isto é, os algarismos aparecem todos com a mesma freqüência. Os "algarismos" se referem aos algarismos antes da vírgula e a seqüência infinita de algarismos após a vírgula.
Lista 1 - FUV - Resolução
Resolução dos exercícios da Lista 1 da disciplina de Funções de uma variável, do prof. Cláudio Meneses, da Universidade Federal do ABC.
Dúvidas/Comentários/Comunicação de Erros: rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
Aula 7 inducao matematica-primeiroprincipio
Este documento resume uma aula sobre indução matemática. Ele contém três exemplos de demonstrações por indução, explicando o princípio da indução matemática e como aplicá-lo para provar propriedades sobre números inteiros positivos.
Aula1
1) O documento discute os números naturais, incluindo sua definição, contagem e propriedades como adição, multiplicação e ordem.
2) É apresentada a lista de axiomas de Peano para definir os números naturais de forma recursiva usando o conceito de sucessor de um número.
3) As noções de cardinalidade e infinitude de conjuntos são explicadas, com a distinção entre conjuntos finitos e infinitos.
Aula 7 profmat - numeros primos e especiais - 06 10-17
1. O documento discute vários tópicos sobre números primos e especiais, incluindo o Pequeno Teorema de Fermat, primos de Fermat e de Mersenne, e números perfeitos.
Calculo de potencias
1) O documento apresenta as regras básicas de cálculo de potências, incluindo que a potência de uma base positiva com expoente par é sempre positiva e com expoente ímpar é sempre negativa.
2) São fornecidos três exercícios para cálculo de potências com respostas alternativas.
Lista de exercícios 1 - Mat Elem
Este documento lista exercícios de conjuntos e intervalos retirados do livro de Iezzi, com as páginas e questões correspondentes. As respostas devem conter todo o raciocínio lógico e não apenas conclusões.
Equações Irracionais
1. O documento discute equações irracionais, definindo raízes de ordem ímpar e par e propriedades básicas delas. 2. Explica que muitas equações irracionais podem ser representadas na forma n√f(x) = g(x) e o método geral de resolução é reduzi-las a equações polinomiais. 3. Apresenta exemplos de resolução de equações irracionais usando este método.
Aula 9 inducao matematica ii
1) O documento resume uma aula sobre indução matemática, incluindo exemplos de provas por indução e exercícios.
2) Foi corrigida uma prova e apresentadas as ideias principais da indução matemática.
3) Foram mostradas provas por indução de que 1+3+5+...+(2n - 1) = n2, n2 ≥ 3n para n ≥ 4 e 1+2+22+...+2n = 2n+1 – 1 para qualquer n ≥ 1.
Aula 8 inducao matematica
1) O documento discute indução matemática, incluindo indução fraca e forte;
2) Exemplos são dados para ilustrar como provar que uma cerca com estacas tem seções usando indução fraca e forte;
3) Um segundo exemplo mostra como provar que um número é primo ou produto de primos usando indução forte.
Indução Matemática - Exemplos
O documento apresenta três exemplos de indução finita para provar as seguintes propriedades: (1) 2n ≥ n + 1 para todo n natural; (2) a soma de todos os ímpares até 2n - 1 é igual a n2; (3) 2n > n para todo n natural.
Resumo2
1. O documento discute os números cardinais e funções bijetivas, que definem quando dois conjuntos têm o mesmo número de elementos.
2. Explica que um conjunto é finito se puder ser estabelecida uma correspondência bijetiva entre ele e um conjunto de números naturais de 1 a n.
3. Afirma que o conjunto dos números naturais é infinito porque nenhuma correspondência bijetiva pode ser definida entre ele e conjuntos finitos.
Ferramenta de matematica
O documento explica conceitos matemáticos como equações do 1o e 2o grau, delta, fórmula de Bhaskara e regra de três simples. Equações do 1o grau podem ser escritas na forma ax=b e resolvidas dividindo ambos os lados por a. Equações do 2o grau seguem a forma ax2 + bx + c = 0 e podem ser resolvidas usando a fórmula de Bhaskara. Delta é usado para indicar diferenças e afeta se uma equação do 2o grau tem raízes reais. A
Lista de exercícios 2
Este documento fornece uma lista de exercícios sobre conjuntos e intervalos retirados do livro de Iezzi, com as páginas e questões indicadas. Há também algumas soluções e comentários para algumas questões.
Tnotas
1) O documento apresenta notas de aula sobre Teoria dos Números ministrada pelo professor Rudolf R. Maier.
2) As notas incluem resultados preliminares sobre indução matemática, fórmulas importantes e sequências numéricas.
3) Também são apresentados tópicos como teoria da divisibilidade, números primos, congruências e outros conceitos fundamentais da Teoria dos Números.
Matemática Discreta - Parte III definicoes indutivas
O documento discute métodos de prova de teoremas em matemática, incluindo prova direta, por contraposição, contradição e indução finita. Fornece exemplos de cada método ao provar teoremas como "se A está contido em B, então a interseção de A e B é igual a A".
Demonstrações
1) Prova que o produto de um número par por um número ímpar é par.
2) Prova que a soma de dois números racionais é também um número racional.
3) Usa o princípio da indução finita para provar que 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1).
Conjuntos
1. O documento define conjuntos e apresenta suas representações, elementos especiais como conjunto vazio e conjunto universo, subconjuntos e operações com conjuntos como união, interseção, diferença e complemento.
2. São apresentadas propriedades dessas operações como comutatividade, associatividade e elementos neutros e absorventes.
3. O produto cartesiano é definido como o conjunto de pares ordenados cujos elementos pertencem aos conjuntos originais.
Polinômios
O documento discute operações com polinômios, incluindo soma, subtração, multiplicação e divisão. Ele explica como calcular o grau de um polinômio e como determinar se dois polinômios são iguais. Também apresenta o Dispositivo de Briot-Ruffini para ajudar na divisão de polinômios.
Matematica 1 exercicios gabarito 03
[1] O documento contém 10 questões de matemática sobre divisão, produto, múltiplos comuns e soma de números. [2] As questões 1, 4 e 10 possuem alternativas de respostas e o documento fornece o gabarito com as respostas corretas. [3] As demais questões pedem para calcular ou determinar valores numéricos.
Estatistica
O documento descreve os resultados de uma avaliação final de 25 alunos de 8a série. A tabela mostra que 15 alunos tiveram nota 12, 8 alunos nota 9 e 2 alunos nota 4. Frequência absoluta é o número de vezes que um valor ocorre, enquanto frequência relativa é a razão entre a frequência absoluta de um valor e o total de ocorrências.
Estatistica
1) O documento descreve os resultados de uma avaliação final de 25 alunos de 8a série.
2) 15 alunos tiveram nota 12, 8 alunos nota 9 e 2 alunos nota 4.
3) O documento explica que a frequência absoluta é o número de vezes que um valor ocorre, enquanto a frequência relativa é a razão entre a frequência absoluta de um valor e o número total de ocorrências.
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Aula1
1) O documento discute os números naturais, incluindo sua definição, contagem e propriedades como adição, multiplicação e ordem.
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Aula 7 profmat - numeros primos e especiais - 06 10-17
1. O documento discute vários tópicos sobre números primos e especiais, incluindo o Pequeno Teorema de Fermat, primos de Fermat e de Mersenne, e números perfeitos.
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1) O documento apresenta as regras básicas de cálculo de potências, incluindo que a potência de uma base positiva com expoente par é sempre positiva e com expoente ímpar é sempre negativa.
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1. O documento discute equações irracionais, definindo raízes de ordem ímpar e par e propriedades básicas delas. 2. Explica que muitas equações irracionais podem ser representadas na forma n√f(x) = g(x) e o método geral de resolução é reduzi-las a equações polinomiais. 3. Apresenta exemplos de resolução de equações irracionais usando este método.
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1) O documento resume uma aula sobre indução matemática, incluindo exemplos de provas por indução e exercícios.
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2) Exemplos são dados para ilustrar como provar que uma cerca com estacas tem seções usando indução fraca e forte;
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Indução Matemática - Exemplos
O documento apresenta três exemplos de indução finita para provar as seguintes propriedades: (1) 2n ≥ n + 1 para todo n natural; (2) a soma de todos os ímpares até 2n - 1 é igual a n2; (3) 2n > n para todo n natural.
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1. O documento discute os números cardinais e funções bijetivas, que definem quando dois conjuntos têm o mesmo número de elementos.
2. Explica que um conjunto é finito se puder ser estabelecida uma correspondência bijetiva entre ele e um conjunto de números naturais de 1 a n.
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1) Prova que o produto de um número par por um número ímpar é par.
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1. O documento define conjuntos e apresenta suas representações, elementos especiais como conjunto vazio e conjunto universo, subconjuntos e operações com conjuntos como união, interseção, diferença e complemento.
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Matemática Discreta - Parte III definicoes indutivas
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Estatistica
O documento descreve os resultados de uma avaliação final de 25 alunos de 8a série. A tabela mostra que 15 alunos tiveram nota 12, 8 alunos nota 9 e 2 alunos nota 4. Frequência absoluta é o número de vezes que um valor ocorre, enquanto frequência relativa é a razão entre a frequência absoluta de um valor e o total de ocorrências.
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Frequencia
Este documento explica como calcular a frequência absoluta, relativa e acumulada para dados agrupados em classes. Fornece um exemplo de tabela com as idades de professores agrupadas em classes e as respectivas frequências absolutas, relativas e acumuladas.
Histrogramas
Para representar dados estatísticos em gráficos circulares, de barras e histogramas, é necessário organizar os dados em uma tabela de frequências absolutas e relativas. Os gráficos devem ser construídos usando estas frequências da tabela, com os setores do gráfico circular proporcionais às frequências percentuais e os retângulos do histograma tendo como base o intervalo da classe e altura a frequência.
Estatistica 20
Estatística envolve coleta, tratamento e interpretação de dados. Uma amostra é um subconjunto da população analisada, usada quando a população inteira é muito grande. Dados podem ser quantitativos (números) ou qualitativos (descritivos). Dados são organizados em tabelas e gráficos, com frequências absolutas e relativas para comparar categorias. Um exemplo mostra a distribuição de tamanhos de família.
Estatistica 2
O documento discute estatística, definindo população, amostra e tipos de dados. Explica como organizar dados em tabelas e calcular frequências absolutas e relativas. Fornece um exemplo de tabela mostrando o número de filhos em famílias, com análise demonstrando que a maioria das famílias tem 2 filhos.
Estatistica
O documento descreve os conceitos de frequência absoluta e frequência relativa a partir de um exemplo de notas de avaliação de 25 alunos. A frequência absoluta é o número de vezes que um valor ocorre, como 15 alunos com nota 12. A frequência relativa é a razão entre a frequência absoluta e o total de ocorrências, como 15/25 para a nota 12.
Relacionar o conceito de uma função à conhecimentos praticos
O documento explica o conceito de dependência entre grandezas e fornece exemplos. Também estabelece que estas dependências podem ser expressas através de leis matemáticas. Por fim, apresenta dois problemas práticos que ilustram a noção de função para calcular distância percorrida e valor a ser pago por um serviço de transporte.
Sinal do coeficiente
Este documento explica como a inclinação de uma reta é relacionada à constante de proporcionalidade em funções lineares. Ele mostra que quando a constante é positiva, a função é crescente e a reta inclina-se para a direita, e quando a constante é negativa, a função é decrescente e a reta inclina-se para a esquerda.
Logaritmo
Um logaritmo é o expoente a que uma base precisa ser elevada para produzir um número. Por exemplo, log2 8 é 3 porque 2 elevado a 3 é igual a 8. A base e o logaritmando devem ser números positivos para que o logaritmo exista.
Resolver
1) Resolução de inequações quadráticas envolve determinar as raízes da equação e analisar o sinal da função entre as raízes para identificar valores que satisfaçam a condição da inequação.
2) Um exemplo mostra como calcular as raízes, esboçar o gráfico da função indicando os valores positivos, e concluir que a solução é o intervalo entre as raízes.
3) A solução é determinada avaliando o sinal da função usando uma tabela ou gráfico para identificar valores que satisfaçam a condi
Identificar
Uma equação biquadrada é uma equação polinomial do quarto grau que contém termos de x elevado à quarta potência e x elevado à segunda potência. Para identificar uma equação biquadrada, verifique se ela contém termos de x^4 e x^2 e nenhum termo de grau ímpar como x^3 ou x.
Coorden
Uma função quadrática possui três vértices: um máximo e dois mínimos. As coordenadas de um vértice podem ser encontradas derivando a função e igualando a derivada a zero, ou utilizando a fórmula geral para vértices de funções quadráticas.
Problemas
O documento apresenta um exemplo de como resolver problemas do segundo grau, transformando a linguagem escrita em equações matemáticas. A idade de José é determinada resolvendo a equação 3x2 + 12x - 15 = 0, que resulta em x = 1 ano. Em seguida, pede para equacionar um problema sobre a idade do Manecas, onde a equação resultante é x2 – 6x + 5 = 0.
Pontos
O documento explica como determinar os pontos de intersecção de uma função quadrática. Ele descreve que esses pontos são onde a parábola corta os eixos x e y e fornece detalhes sobre como calcular os pontos de intersecção com cada eixo, dependendo dos coeficientes da função quadrática.
Pontos
O documento descreve como determinar os pontos de intersecção de uma função quadrática. Ele explica que esses pontos são onde a parábola corta os eixos x e y e fornece detalhes sobre como calcular os pontos de intersecção com cada eixo, dependendo dos coeficientes da função quadrática.
Sentido
A concavidade de uma função quadrática f(x) = ax2 + bx + c depende do sinal do coeficiente a. Se a < 0, a concavidade está virada para baixo. Se a > 0, a concavidade está virada para cima. O documento apresenta dois exemplos ilustrando essas propriedades.
Grafico
O documento descreve como construir gráficos de funções quadráticas. Ele fornece exemplos de funções quadráticas f(x)=x2 e h(x)=-x2 e mostra como compor tabelas de valores para x de -3 a 3 para plotar os pontos correspondentes e traçar o gráfico.
Identificar uma função
Uma função quadrática é definida como f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são coeficientes. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola, cuja forma depende dos valores dos coeficientes a, b e c. Exemplos de funções quadráticas incluem f(x) = 8x2 – 4x + 1 e f(x) = x2.
Resolver problemas conducentes à equação quadrática
1) O documento descreve os passos para resolver problemas do 2o grau, incluindo estabelecer a equação matemática, resolver a equação e interpretar as raízes.
2) Um exemplo é dado sobre um problema onde o triplo do quadrado do número de filhos de Jacinto é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos, chegando-se à conclusão de que Jacinto tem 3 filhos.
3) Outro exemplo pergunta qual número natural tem a diferença entre ele e o triplo do seu inverso igual a duas unidades, concluindo que o número é 3.
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Relacionar o conceito de uma função à conhecimentos praticos
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Resolver problemas conducentes à equação quadrática
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O Egito Antigo foi formado a partir da mistura de diversos povos, a população era dividida em vários clãs, que se organizavam em comunidades chamadas nomos. Estes funcionavam como se fossem pequenos Estados independentes.
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Os sinais de pontuação são fundamentais para a organização dos diferentes tipos de texto, contribuindo para clareza daquilo que se escreve.
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Resolução de equações paramétricas
- 1. Resolução de Equações paramétricas Encontrar os valores de n, na equação 2x² + 8x - n +13 = 0, que fazem com que a equação admita duas raízes reais destintas. Solução: Para que a equação admita duas raízes distintas reais, a condição é: os valores de n que fazem com que a equação admita duas raízes reais destintas. São todos valores maiores que 5 excluzivo.
- 2. Resolução de Equações paramétricas Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais. Solução: Para que a equação admita raízes iguais, é necessário que Logo, o valor de p é 3. Mutolo