Probabilidade elementos
definição
Cálculos
• Conjuntos Numéricos
• Análise Combinatória
• Reconhecer os naipes de um baralho
e a quantidade de cartas de cada naipe
Probabilidade é a
chance de um evento
ocorrer, em um espaço
amostral.
Probabilidade
Chance de um evento ocorrerdefinição
Espaço Amostral
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Evento
Evento é qualquer subconjunto de um
espaço amostral. É indicado pela letra E.
Probabilidade
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Exemplos:
A) Lançamento de um dado.
Espaço Amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Exemplos:
B) Lançamento de duas moedas.
Espaço Amostral:
Ω = {(k,k);(k,c);(c,k);(cc)}
Alguns dos possíveis eventos:
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1) Uma urna contém 2 bolas verdes e 4
amarelas.
a) Defina o espaço amostral do
experimento: retirar uma bola ao acaso.
b) ...
1) Uma urna contém 2 bolas verdes e 4
amarelas.
a) Defina o espaço amostral do
experimento: retirar uma bola ao acaso.
b) ...
a) Ω = {V1, V2, A1, A2, A3, A4}
b) E1 = {V1, V2}
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Intersecção de conjuntos
Seja Ω = {2, 3, 5, 16, 17, 20}
São apresentados dois eventos:
A: ocorrer um número par = {2, 16, ...
União de conjuntos
Seja Ω = {2, 3, 5, 16, 17, 20}
São apresentados dois eventos:
A: ocorrer um número par = {2, 16, 20}
B:...
A) Evento certo
Eventos certos são aqueles que apresentam
os mesmos elementos do espaço amostral.
n(E) = n(Ω)
Exemplo:
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Ω
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B) Evento impossível
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Exemplos:
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de um dado?
E = {5, 6}  n(E) = ...
Exemplos:
B) Qual a probabilidade de ocorrer pelo
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moedas?
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2) No lançamento de um dado perfeito,
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a) Um número primo?
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a) Um número primo?
b) O número 3?
c) Um número menor que 1?
d) Um número menor que 7? %1001
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3) Uma caixa contém 10 letras: as cinco
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Ω = {a, e, i, o , u, b, c, d, f, g}  n(Ω) = 10
a) Uma consoante?
b) Uma letra da palavra bode?
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4) Um dos anagramas da palavra AMOR é
escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade
de que seja a palavra ROMA?
4) Um dos anagramas da palavra AMOR é
escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade
de que seja a palavra ROMA?
Ω = 4! = 4.3.2.1=24
Logo,
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1
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Total de anagramas
da palavra amor
Para calcular a probabilidade da união de
eventos dividimos o número de elementos
do conjunto união pelo número de element...
Exemplo:
De um baralho de 52 cartas, uma é
extraída ao acaso. Qual é a probabilidade
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A: sair um valete  n(A) = 4
B: sair carta de ouros  n(B) = 13
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Probabilidade
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5) Os dados da tabela seguinte referem-se
a uma pesquisa realizada com 155 moradores
de um bairro revela os hábitos quanto...
5) Os dados da tabela seguinte referem-se
a uma pesquisa realizada com 155 moradores
de um bairro revela os hábitos quanto...
A: TV paga  n(A)=44+21=65
B: Internet paga  n(B)=14+21=35
n(A∩B)=21  n(A∪B)= 65+35-21=79
Só TV aberta TV paga
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Temos um caso de probabilidade
condicional quando um evento A ocorre,
sabendo que o evento B já ocorreu.
O cálculo da prob...
Exemplo:
Ao retirar uma carta de um baralho de
52 cartas, qual é a probabilidade de sair
um ás vermelho sabendo que ela é ...
Exemplo:
A: sair ás vermelho  n(A)=2
B: sair carta de copas  n(B)=13
A∩B: ás de copas  n(A∩B)=1
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Probabilidade
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6) Uma família planejou ter 3 crianças.
Qual é a probabilidade de que a família
tenha 3 homens, já que a primeira criança
...
6) Uma família planejou ter 3 crianças.
Qual é a probabilidade de que a família
tenha 3 homens, já que a primeira criança
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Ω = {HHH, HHM, HMH, MHH, MMH, MHM,
HMM, MMM}  n(Ω)=8
A: ter 3 homens  n(A)=1
B: primeira é homem  n(B)=4
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Questões de
Vestibular
7) (PUC) Há em um hospital 9 enfermeiras
(Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas é
um deles). Diariamente, devem permanecer...
7) (PUC) Há em um hospital 9 enfermeiras
(Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas é
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Probabilidade
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9) (PUC) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios,
cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatro
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9) (PUC) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios,
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  1. 1. Probabilidade elementos definição Cálculos
  2. 2. • Conjuntos Numéricos • Análise Combinatória • Reconhecer os naipes de um baralho e a quantidade de cartas de cada naipe
  3. 3. Probabilidade é a chance de um evento ocorrer, em um espaço amostral.
  4. 4. Probabilidade Chance de um evento ocorrerdefinição
  5. 5. Espaço Amostral Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. É indicado pela letra grega Ω.
  6. 6. Probabilidade Ω Conjunto de todos os resultadosEspaço Amostral elementos Chance de um evento ocorrerdefinição representação definição
  7. 7. Evento Evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral. É indicado pela letra E.
  8. 8. Probabilidade Ω Conjunto de todos os resultados representação Subconjunto de Ω evento Espaço Amostral elementos Chance de um evento ocorrerdefinição representação E definição definição
  9. 9. Exemplos: A) Lançamento de um dado. Espaço Amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Alguns dos possíveis eventos: . Um número maior que 5  E = {6} . Um número par  E = {2, 4, 6} . Um número par e primo  E = {2}
  10. 10. Exemplos: B) Lançamento de duas moedas. Espaço Amostral: Ω = {(k,k);(k,c);(c,k);(cc)} Alguns dos possíveis eventos: . Obter duas faces iguais  E = {(k,k);(c,c)} . Obter apenas uma coroa  E = {(k,c);(c,k)}
  11. 11. 1) Uma urna contém 2 bolas verdes e 4 amarelas. a) Defina o espaço amostral do experimento: retirar uma bola ao acaso. b) Defina os eventos E1: retirar bola verde e E2: retirar bola amarela.
  12. 12. 1) Uma urna contém 2 bolas verdes e 4 amarelas. a) Defina o espaço amostral do experimento: retirar uma bola ao acaso. b) Defina os eventos E1: retirar bola verde e E2: retirar bola amarela.
  13. 13. a) Ω = {V1, V2, A1, A2, A3, A4} b) E1 = {V1, V2} E2 = {A1, A2, A3, A4 }
  14. 14. Intersecção de conjuntos Seja Ω = {2, 3, 5, 16, 17, 20} São apresentados dois eventos: A: ocorrer um número par = {2, 16, 20} B: ocorrer um múltiplo de 5= {5, 20} A ∩ B = {20}  1 elemento
  15. 15. União de conjuntos Seja Ω = {2, 3, 5, 16, 17, 20} São apresentados dois eventos: A: ocorrer um número par = {2, 16, 20} B: ocorrer um múltiplo de 5= {5, 20} A ∪ B = {2, 5, 16, 20}  4 elementos Atenção!
  16. 16. A) Evento certo Eventos certos são aqueles que apresentam os mesmos elementos do espaço amostral. n(E) = n(Ω) Exemplo: Seja o seguinte evento: obter um número natural menor que 7, no lançamento de um dado. E = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  17. 17. Probabilidade Ω Conjunto de todos os resultados representação Subconjunto de Ω evento Espaço Amostral elementos Chance de um evento ocorrerdefinição representação n(E)=n(Ω) tipos E definição definição Evento certo
  18. 18. B) Evento impossível Eventos impossíveis ocorrem quando não há elementos no conjunto E. n(E) = 0 Exemplo: Seja o seguinte evento: obter 3 caras no lançamento de duas moedas. E = { }
  19. 19. Probabilidade Ω Conjunto de todos os resultados representação Subconjunto de Ω evento Espaço Amostral elementos Chance de um evento ocorrerdefinição representação n(E)=n(Ω) tipos E definição definição Evento certo Evento impossível n(E)=0
  20. 20. C) Evento complementar Evento complementar (Ec) é aquele que ocorre quando o evento E não ocorre. n(Ec)=n(Ω)-n(E) Exemplo: Seja Ω = {2, 3, 5, 16, 17, 20} São apresentados dois eventos: A: ocorrer um número par = {2, 16, 20} Ac: ocorrer um número ímpar= {3, 5, 17}
  21. 21. Probabilidade Ω Conjunto de todos os resultados representação Subconjunto de Ω evento Espaço Amostral elementos Chance de um evento ocorrerdefinição representação n(E)=n(Ω) Evento Comple- mentar tipos E definição definição Evento certo Evento impossível n(Ec)=n(Ω)-n(E) n(E)=0
  22. 22. Probabilidade é a chance de um evento ocorrer, em um espaço amostral. Ou seja, é o número de elementos de um evento, dividido pelo número de elementos do espaço amostral. )( )( n En P
  23. 23. Exemplos: A) Qual a probabilidade de ocorrer um número natural maior que 4, no lançamento de um dado? E = {5, 6}  n(E) = 2 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  n(Ω) = 6 3 1 6 2 )( )( n En P
  24. 24. Exemplos: B) Qual a probabilidade de ocorrer pelo menos uma cara, no lançamento de duas moedas? E = {(k,k);(k,c);(c,k)}  n(E) = 3 Ω = {(k,k);(k,c);(c,k);(c,c)}  n(Ω) = 4 4 3 )( )( n En P
  25. 25. Probabilidade Ω Conjunto de todos os resultados representação Subconjunto de Ω evento Espaço Amostral elementos Chance de um evento ocorrerdefinição representação Fórmula geral Cálculo n(E)=n(Ω) Evento Comple- mentar tipos E definição definição Evento certo Evento impossível n(Ec)=n(Ω)-n(E) n(E)=0 )( )( n En P
  26. 26. 2) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de que o resultado seja: a) Um número primo? b) O número 3? c) Um número menor que 1? d) Um número menor que 7?
  27. 27. 2) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de que o resultado seja: a) Um número primo? b) O número 3? c) Um número menor que 1? d) Um número menor que 7?
  28. 28. a) Um número primo? b) O número 3? c) Um número menor que 1? d) Um número menor que 7? %1001 6 6 P 0 6 0 P 6 1 P 2 1 6 3 P
  29. 29. 3) Uma caixa contém 10 letras: as cinco vogais e as cinco primeiras consoantes do alfabeto. Uma letra é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de que a letra sorteada seja: a) Uma consoante? b) Uma letra da palavra bode?
  30. 30. 3) Uma caixa contém 10 letras: as cinco vogais e as cinco primeiras consoantes do alfabeto. Uma letra é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de que a letra sorteada seja: a) Uma consoante? b) Uma letra da palavra bode?
  31. 31. Ω = {a, e, i, o , u, b, c, d, f, g}  n(Ω) = 10 a) Uma consoante? b) Uma letra da palavra bode? 2 1 10 5 P 5 2 10 4 P
  32. 32. 4) Um dos anagramas da palavra AMOR é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de que seja a palavra ROMA?
  33. 33. 4) Um dos anagramas da palavra AMOR é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de que seja a palavra ROMA?
  34. 34. Ω = 4! = 4.3.2.1=24 Logo, 24 1 P Total de anagramas da palavra amor
  35. 35. Para calcular a probabilidade da união de eventos dividimos o número de elementos do conjunto união pelo número de elementos do espaço amostral. )n( n(AUB) )(AUBP
  36. 36. Exemplo: De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade de sair um valete ou uma carta de ouros? A: sair um valete  n(A) = 4 B: sair carta de ouros  n(B) = 13 A∩B: sair valete de ouros  n(A∩B) = 1 Logo, n(A∪B) = 4+13-1=16
  37. 37. A: sair um valete  n(A) = 4 B: sair carta de ouros  n(B) = 13 A∩B: sair valete de ouros  n(A∩B) = 1 Logo, n(A∪B) = 4+13-1=16 13 4 52 16 ( )n( n(AUB) AUB)P
  38. 38. Probabilidade Ω Conjunto de todos os resultados representação Subconjunto de Ω evento Espaço Amostral elementos Chance de um evento ocorrerdefinição representação Probabilidade Da união Variações Fórmula geral Cálculo n(E)=n(Ω) Evento Comple- mentar tipos E definição definição Evento certo Evento impossível n(Ec)=n(Ω)-n(E) n(E)=0 )( )( n En P )n( n(AUB) AUB)(P
  39. 39. 5) Os dados da tabela seguinte referem-se a uma pesquisa realizada com 155 moradores de um bairro revela os hábitos quanto ao uso de TV e Internet pagas. Um dos entrevistados é selecionado ao acaso. Qual a probabilidade de que ele use TV ou Internet pagas? Só TV aberta TV paga Internet gratuita 76 44 Internet paga 14 21
  40. 40. 5) Os dados da tabela seguinte referem-se a uma pesquisa realizada com 155 moradores de um bairro revela os hábitos quanto ao uso de TV e Internet pagas. Um dos entrevistados é selecionado ao acaso. Qual a probabilidade de que ele use TV ou Internet pagas? Só TV aberta TV paga Internet gratuita 76 44 Internet paga 14 21
  41. 41. A: TV paga  n(A)=44+21=65 B: Internet paga  n(B)=14+21=35 n(A∩B)=21  n(A∪B)= 65+35-21=79 Só TV aberta TV paga Internet gratuita 76 44 Internet paga 14 21 155 79 ( )n( n(AUB) AUB)P
  42. 42. Temos um caso de probabilidade condicional quando um evento A ocorre, sabendo que o evento B já ocorreu. O cálculo da probabilidade condicional é dado pela fórmula: P(B) B)P(A A/B)  (P
  43. 43. Exemplo: Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de sair um ás vermelho sabendo que ela é de copas? A: sair ás vermelho  n(A)=2 B: sair carta de copas  n(B)=13 A∩B: ás de copas  n(A∩B)=1
  44. 44. Exemplo: A: sair ás vermelho  n(A)=2 B: sair carta de copas  n(B)=13 A∩B: ás de copas  n(A∩B)=1 13 1 52 13 52 1 ( P(B) B)P(A A/B)  P
  45. 45. Probabilidade Ω Conjunto de todos os resultados representação Subconjunto de Ω evento Espaço Amostral elementos Chance de um evento ocorrerdefinição representação Probabilidade condicional Probabilidade Da união Variações Fórmula geral Cálculo n(E)=n(Ω) Evento Comple- mentar tipos E definição definição Evento certo Evento impossível n(Ec)=n(Ω)-n(E) n(E)=0 )( )( n En P P(B) B)P(A A/B)  (P )n( n(AUB) AUB)(P
  46. 46. 6) Uma família planejou ter 3 crianças. Qual é a probabilidade de que a família tenha 3 homens, já que a primeira criança que nasceu é homem?
  47. 47. 6) Uma família planejou ter 3 crianças. Qual é a probabilidade de que a família tenha 3 homens, já que a primeira criança que nasceu é homem?
  48. 48. Ω = {HHH, HHM, HMH, MHH, MMH, MHM, HMM, MMM}  n(Ω)=8 A: ter 3 homens  n(A)=1 B: primeira é homem  n(B)=4 A∩B={HHH}  n(A∩B)=1 4 1 8 4 8 1 ( P(B) B)P(A A/B)  P
  49. 49. Questões de Vestibular
  50. 50. 7) (PUC) Há em um hospital 9 enfermeiras (Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas é um deles). Diariamente, devem permanecer de plantão 4 enfermeiras e 2 médicos. Qual a probabilidade de Karla e Lucas estarem de plantão no mesmo dia? 3 2 ) 5 1 ) 45 8 ) 4 1 ) 3 1 ) edcba
  51. 51. 7) (PUC) Há em um hospital 9 enfermeiras (Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas é um deles). Diariamente, devem permanecer de plantão 4 enfermeiras e 2 médicos. Qual a probabilidade de Karla e Lucas estarem de plantão no mesmo dia? 3 2 ) 5 1 ) 45 8 ) 4 1 ) 3 1 ) edcba
  52. 52. 45 8 1260 224 )( )( )( 224 )!14(!1 !4 )!38(!3 !8 .)( 1260 )!25(!2 !5 )!49(!4 !9 .)( 1,43,8 2,54,9 n En Ep CCEn CCn  letra c
  53. 53. 8) (FEI-SP) Numa caixa tem-se 9 fichas numeradas de 1 a 9. Três fichas são escolhidas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de não sair a ficha 7 é: 3 2 ) 4 1 ) 9 2 ) 3 1 ) 6 1 ) edcba
  54. 54. 8) (FEI-SP) Numa caixa tem-se 9 fichas numeradas de 1 a 9. Três fichas são escolhidas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de não sair a ficha 7 é: 3 2 ) 4 1 ) 9 2 ) 3 1 ) 6 1 ) edcba
  55. 55. Probabilidade de não sair 7 na primeira: 9 8 P 8 7 P Probabilidade de não sair 7 na segunda: Probabilidade de não sair 7 na terceira: 7 6 P 3 2 7 6 8 7 9 8 P  letra e
  56. 56. 9) (PUC) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios, cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatro moças entram nesse ônibus e devem ocupar os bancos vagos. Se os lugares foram escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de que cada banco Seja ocupado por um rapaz e uma moça é: 7 2 ) 35 8 ) 14 3 ) 35 6 ) 70 1 ) edcba
  57. 57. 9) (PUC) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios, cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatro moças entram nesse ônibus e devem ocupar os bancos vagos. Se os lugares foram escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de que cada banco seja ocupado por um rapaz e uma moça é: 7 2 ) 35 8 ) 14 3 ) 35 6 ) 70 1 ) edcba
  58. 58. n(Ω)=8! n(E)=4!.4!.24  letra d 2 34 56 78 1 11 22 33 44 x2 x2 x2 x2 35 8 !8 !4!424 P
  59. 59. 10) (UFSC) Em uma caixa há 28 bombons, todos com forma, massa e aspecto exterior exatamente iguais. Desses bombons, 7 tem recheio de coco, 4 de nozes e 17 são recheados com amêndoas. Se retirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente, a probabilidade de se retirar um bombom de cada sabor é, aproximadamente: %5,14)%13)%5,12)%11)%5,7) edcba
  60. 60. 10) (UFSC) Em uma caixa há 28 bombons, todos com forma, massa e aspecto exterior exatamente iguais. Desses bombons, 7 tem recheio de coco, 4 de nozes e 17 são recheados com amêndoas. Se retirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente, a probabilidade de se retirar um bombom de cada sabor é, aproximadamente: %5,14)%13)%5,12)%11)%5,7) edcba
  61. 61.  letra e145,0 3276 476 )( )( )( 4761747.)( 3276)( 1,171,41,7 3,28 n En Ep CCCEn Cn
  62. 62. • Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 391 a 412 • Matemática Contexto e Aplicações: Dante, Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição – 2008 - Páginas: 338 a 367 • Figuras: google imagens

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