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Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de



                      Análise de Regressão:
     Sá




                      Relaxando as hipóteses
Multicolin.


Heterocedast.


Autocorrel.


Dummies


Exercício                    Rodrigo de Sá




                Fundação de Economia e Estatística, 2011
Livro texto

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.


Heterocedast.    Damodar Gujarati
Autocorrel.      Econometria Básica
Dummies
                 3ª ed. 2005.
Exercício
Multicolinearidade

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses

                    Uma das hipóteses do modelo clássico de regressão linear é
 Rodrigo de
     Sá
                    a ausência de multicolinearidade entre as variáveis

Multicolin.
                    explicativas.

Heterocedast.


Autocorrel.


Dummies


Exercício
Multicolinearidade

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses

                    Uma das hipóteses do modelo clássico de regressão linear é
 Rodrigo de
     Sá
                    a ausência de multicolinearidade entre as variáveis

Multicolin.
                    explicativas.


                                                   X1 = a + bX2 .
Heterocedast.


Autocorrel.
                    Multicolinearidade perfeita:

Dummies             Variáveis correlacionadas, mas não perfeitamente:
Exercício
                    X1 = a + bX2 + u .
Multicolinearidade

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses

                    Uma das hipóteses do modelo clássico de regressão linear é
 Rodrigo de
     Sá
                    a ausência de multicolinearidade entre as variáveis

Multicolin.
                    explicativas.


                                                   X1 = a + bX2 .
Heterocedast.


Autocorrel.
                    Multicolinearidade perfeita:

Dummies             Variáveis correlacionadas, mas não perfeitamente:
Exercício
                    X1 = a + bX2 + u .
                    Consequências da multicolinearidade perfeita:

                         O valor dos coecientes da regressão é indeterminado;
                         A variância desses estimadores é innita.
Multicolinearidade

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.


Heterocedast.


Autocorrel.


Dummies


Exercício




                        Figura: Multicolinearidade  Diagramas de Venn
Possíveis fontes de multicolinearidade

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses
                    Método de coleta de dados: uma amostra que cubra uma
 Rodrigo de
     Sá             pequena parte dos valores possíveis de   X.
                    Restrições presentes no modelo ou na população: se as
Multicolin.


Heterocedast.
                    variáveis explicativas forem renda e consumo de energia

Autocorrel.         elétrica, na amostra elas serão altamente correlacionadas
Dummies             por que pessoas com maior renda em geral consomem uma
Exercício           quantidade maior de energia elétrica.

                    Especicação do modelo: regressão polinomial quando o
                    intervalo a que pertence o   X   é pequeno.

                    Em séries temporais, tendência comum: todas as variáveis
                    explicativas crescem ou decrescem com o passar do tempo.
Estimação na presença de multicolinearidade perfeita

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
                    Seja um modelo de regressão linear com duas variáveis
     Sá
                    explicativas.
Multicolin.
                    β1   mede em quantas unidades a esperança condicional de
Heterocedast.
                    Y    muda em função da variação de uma unidade em   X1 ,
Autocorrel.
                    mantendo constante   X2 .
                             X1 e X2 são perfeitamente correlacionados,
Dummies

                    Mas se
                    X2 = λX1 , então NÃO É POSSÍVEL que X1 aumente em
Exercício




                    uma unidade e X2 se mantenha constante - X2 variará λ.

                    Isto é, não se tem como se separar os efeitos de X1 e X2
                    sobre o Y .
Consequências práticas da multicolinearidade

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá
                    Os estimadores de MQO continuam sendo MELNV.
Multicolin.
                    Apesar disso, apresentam variância e covariância altas,
Heterocedast.
                    dicultando estimações precisas.
Autocorrel.


Dummies
                Fator de inação da variância
Exercício

                                                       1
                                              =
                                                      − r12
                                        FIV
                                                  1
                                                         2
Fator de inação da variância

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.


Heterocedast.


Autocorrel.


Dummies


Exercício




                   Figura: Efeito do crescimento da correlação sobre a variância
Consequências práticas da multicolinearidade

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá
                    Os intervalos de conança tendem a ser maiores, levando à
Multicolin.         aceitação da hipótese nula zero mais facilmente.
Heterocedast.


Autocorrel.
                    A estatística   t de um ou mais estimadores tende a ser
                    insignicativa.

                                              t baixas, o R 2 tende a ser alto.
Dummies


Exercício
                    Apesar das estatísticas

                    Os estimadores de MQO e suas variâncias tendem a car
                    mais sensível a mudanças na amostra.
Detecção da multicolinearidade

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.


Heterocedast.
                    R 2 alto mas poucas estatísticas t signicativas.
Autocorrel.
                    Correlação entre pares de regressores alta. (Condição

Dummies             suciente mas não necessária, exceto no caso de apenas
Exercício           dois regressores.)
Detecção da multicolinearidade

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses
                     Regressões auxiliares.
 Rodrigo de
     Sá

                Regressões auxiliares
Multicolin.
                Regride-se cada uma das variáveis explicativas  Xi contra as
Heterocedast.
                demais, Xj , j = i , e computa-se o Ri2 da regressão (Por
                exemplo, para i = 2,
Autocorrel.




                X2 = a0 + a1 X1 + a2 X2 + a3 X3 + ...ak Xk + u
Dummies


Exercício

                Usa-se o seguinte teste F com a hipótese nula que a variável
                explicativa   i   não é correlacionada com as demais.



                                      Fi =       Ri2 / (k − 2)
                                             1 − Ri / (n − k + 1)
                                                  2
Algumas medidas corretivas

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses         Informação a priori. Por exemplo, suponha que saibamos

 Rodrigo de         que   β1 = λβ2 ;   então utilizamos essa informação para
     Sá
                    reescrever a regressão.
Multicolin.
                    Eliminação de uma ou mais variáveis. Por exemplo, excluir
Heterocedast.
                    a variável riqueza da regressão consumo-renda-riqueza.
Autocorrel.
                    Deve-se tomar cuidado para não se incorrer em viés de
Dummies
                    especicação.
Exercício

                    Transformação das variáveis. Em séries temporais, utilizar
                    a primeira diferença das variáveis.

                    Aumento da amostra.

                    Reduzir a colinearidade em regressões polinomiais,
                    expressando as variáveis na forma de desvio.
Heterocedasticidade

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.         A homoscedasticidade é uma das hipóteses do modelo
Heterocedast.
                    clássico de regressão linear.
Autocorrel.


Dummies


Exercício
Heterocedasticidade

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 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.         A homoscedasticidade é uma das hipóteses do modelo
Heterocedast.
                    clássico de regressão linear.
Autocorrel.


Dummies
                    Homoscedasticidade:    E ui2    = σ2        para todo   i = 1, 2, ..., n.
Exercício
                    Heterocedasticidade:   E ui2    =   σi2 .
Homoscedasticidade e heterocedasticidade

 Análise de
 Regressão:
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 Rodrigo de
     Sá



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Autocorrel.


Dummies


Exercício




                                 Figura: Comparação
Possíveis causas da heterocedasticidade

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
                    Modelos de aprendizagem e erro. À medida que as pessoas
     Sá

                    aprendem, diminuem seus erros, assim como a sua
Multicolin.
                    variabilidade.
Heterocedast.

                    À medida que a renda aumenta, as pessoas têm maior
Autocorrel.

                    renda discricionária e, consequentemente, maior liberdade
Dummies


Exercício
                    para decidir como dispor sua renda, fazendo com que   σi2
                    seja positivamente correlacionado com a renda.

                    Erro de especicação.

                    Observações aberrantes (outliers).
Observações aberrantes

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.


Heterocedast.


Autocorrel.


Dummies


Exercício




                   Figura: Relação entre preço das ações e preços ao consumidor
Consequências da heterocedasticidade

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá             O estimadores dos   β 's   continuam sendo não viesados.

Multicolin.         Porém, a fórmula da variância do estimador da inclinação é

Heterocedast.       diferente, var   ˆ
                                     β1 =        xi2 σi2   /   xi2   2
                                                                         .
Autocorrel.
                    Os estimadores de MQO deixam de ser ecientes, isto é,
Dummies

                    existe outro estimador não viesado com menor variância: o
Exercício

                    Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG).

                    Assim, os testes de hipótese tendem a aceitar a hipótese
                    nula zero mas facilmente.
Método dos Mínimos Quadrados Generalizados
                (MQG)
 Análise de
 Regressão:     MQG
Relaxando as
  hipóteses
                Supondo que as variâncias        σi2   sejam CONHECIDAS, pondera-se
 Rodrigo de     cada observação inversamente ao seu desvio-padrão, chegando
     Sá

                a uma regressão do tipo MQO.
Multicolin.


Heterocedast.


Autocorrel.
                               Yi   = β0 + β1 Xi + ui
Dummies
                               Yi   = β0
                                             1
                                                       + β1
                                                              Xi   +
                                                                       ui
Exercício
                               σi          σi         σi               σi
                              Yi∗
                                    = β0 X0i + β1 Xi + ui∗
                                         ∗   ∗  ∗ ∗


                                             u∗
                Pode-se mostrar que var ( i ) = 1, ou seja, os resíduos
                tornam-se homocedásticos com esta transformação. Note que a
                regressão a ser estimada tem uma variável explicativa adicional
                (1/σi )   e não tem intercepto.
MQG - exemplo

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.


Heterocedast.


Autocorrel.


Dummies


Exercício




                                Figura: Ilustração de MQG
Métodos informais de detecção

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá
                    Natureza do problema. Novamente, o exemplo
                    consumo-renda.
Multicolin.

                    Métodos grácos. Os resíduos da regressão original
Heterocedast.


Autocorrel.
                    apresentam algum padrão?

Dummies             Alguns métodos formais:

                        Teste   de   Park;
Exercício



                        Teste   de   Glejser;
                        Teste   de   Goldfeld-Quandt;
                        Teste   de   Breusch-Pagan-Godfrey.
Métodos grácos

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.


Heterocedast.


Autocorrel.


Dummies


Exercício




                  Figura: Padrões hipotéticos dos resíduos ao quadrado estimados
Teste geral de heterocedasticidade de White

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses

                Teste de White
 Rodrigo de
     Sá
                Com os resíduos da regressão estimada rodamos a seguinte
Multicolin.     regressão auxiliar:
Heterocedast.


Autocorrel.


Dummies           ui2 = α1 + α2 X2i + α3 X3i + α4 X2i + α5 X3i + α6 X2i X3i + vi
                  ˆ                                2        2
Exercício


                A variável   nR 2 ∼ χ2 , com gl
                                     gl           igual ao número de regressores na
                regressão auxiliar.
                Se o teste exceder o valor crítico, a conclusão é de que há
                heterocedasticidade.
Medidas quando σi2 não é conhecida

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses
                    Variâncias e erros padrão consistentes em
 Rodrigo de
     Sá             heterocedasticidade segundo White.

Multicolin.
                    Hipóteses plausíveis a respeito do padrão de

Heterocedast.       heteroscedasticidade:
Autocorrel.


Dummies
                          E ui2    = σ 2 Xi2 =⇒      modelo /Xi
                          E ui2        σ 2 Xi =⇒ modelo / Xi
Exercício

                                   =
                          E ui2    =   σ 2 [E (Yi )]2 =⇒ modelo /Yi
                                                                 ˆ


                    Estimar o modelo com as variáveis em escala logaritma.
E ui2 = σ 2 Xi2

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.


Heterocedast.


Autocorrel.


Dummies


Exercício




                            Figura: Variância proporcional a   X2
                                                                i
E ui2 = σ 2 Xi

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.


Heterocedast.


Autocorrel.


Dummies


Exercício




                             Figura: Variância proporcional a   X
                                                                i
Autocorrelação

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.         A ausência de AUTOCORRELAÇÃO entre os resíduos é
Heterocedast.
                    uma das hipóteses do modelo clássico de regressão.
Autocorrel.
                    É usual o termo CORRELAÇÃO SERIAL para designar a
Dummies
                    autocorrelação entre os resíduos em um modelo de séries
Exercício

                    de tempo.
Padrões de autocorrelação

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.


Heterocedast.


Autocorrel.


Dummies


Exercício




                             Figura: Padrões de autocorrelação
Possíveis causas da autocorrelação

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses

                    Inércia ou rigidez das séries temporais.
 Rodrigo de
     Sá
                    Viés de especicação:

Multicolin.
                         Exclusão de variável;
Heterocedast.            Forma funcional incorreta.
Autocorrel.
                    Fenômeno da teia de aranha. Exemplo clássico da oferta
Dummies

                    de produtos agrícolas, onde a decisão da área plantada
Exercício

                    (oferta) depende do preço do ano anterior.

                    Defasagens. Um exemplo é a suavização do consumo, onde
                    o consumo atual depende do passado.

                    Manipulação de dados, como interpolação ou extrapolação.
Estimativa por MQO desconsiderando a
                autocorrelação
 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá             Os estimadores dos   βs   continuam não viesados e

Multicolin.
                    consistentes, mas deixam de ser ecientes (variância

Heterocedast.
                    mínima).

Autocorrel.         A variância dos resíduos   σ2
                                               ˆ    provavelmente irá superestimar
Dummies                           2
                    o verdadeiro σ .
Exercício
                    Provavelmente o    R 2 será superestimado.
                    Os testes de signicância usuais tendem a levar a
                    conclusões errôneas.
Método gráco para detecção

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.


Heterocedast.


Autocorrel.


Dummies


Exercício




                           Figura: Resíduos com autocorrelação
Teste d de Durbin-Watson

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as



                              d
  hipóteses


 Rodrigo de
                Estatística
                                       t =n
                                            u     u       2
     Sá


                                       t =2 (ˆt − ˆt −1 )
                                  d=
Multicolin.


Heterocedast.
                                                 u
                                             t =n 2
                                             t =2 ˆt
Autocorrel.


Dummies


Exercício
Teste d de Durbin-Watson

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as



                              d
  hipóteses


 Rodrigo de
                Estatística
                                               t =n
                                                       u    u     2
     Sá


                                               t =2 (ˆt − ˆt −1 )
                                    d=
Multicolin.


Heterocedast.
                                                     t =n 2
                                                           u
                                                     t =2 ˆt
Autocorrel.


Dummies              Hipóteses fundamentais:
Exercício
                          A regressão inclui o intercepto.
                          As perturbações u são geradas pelo esquema
                                           t

                          auto-regressivo de primeira ordem, u = ρu −1 + .
                                                                  t   t   t

                          O modelo de regressão não inclui termos defasados da
                          variável dependente (Y −1 ).
                                                   t
Teste d de Durbin-Watson

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.


Heterocedast.


Autocorrel.


Dummies


Exercício




                                Figura: Estatística   d
Teste d de Durbin-Watson

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.


Heterocedast.


Autocorrel.


Dummies


Exercício




                               Figura: Regras de decisão
Método de Cochrane-Orcutt em duas etapas

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de     Cochrane-Orcutt
     Sá
                Seja a regressão   Yt = β0 + β1 Xt + ut , onde se supõe que os
Multicolin.
                resíduos seguem    ut = ρut −1 + t .
Heterocedast.


Autocorrel.


Dummies


Exercício
Método de Cochrane-Orcutt em duas etapas

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de     Cochrane-Orcutt
     Sá
                Seja a regressão       Yt = β0 + β1 Xt + ut , onde se supõe que os
Multicolin.
                resíduos seguem        ut = ρut −1 + t .
Heterocedast.


Autocorrel.
                     Estime a regressão pela rotina usual do MQO e obtenha os
                                ut .
Dummies


Exercício
                     resíduos   ˆ
                     Usando os resíduos estimados, rode       ut = ρut −1 + vt .
                                                              ˆ    ˆˆ
                     Usando o     ρ estimado,
                                  ˆ              estime

                 (Yt − ρYt −1 ) = [β0 (1 − ρ)] + β1 [Xt − ρXt −1 ] + [ut − ρut −1 ] .
                       ˆ                   ˆ              ˆ                ˆ
Exemplo - salários

 Análise de     Seja o seguinte modelo
 Regressão:


                                               Y           = α1 + α2 D + β X + u ,
Relaxando as
  hipóteses                                        i                        i       i      i


 Rodrigo de     onde   Y   i   é o salário de um professor(a) universitário(a),                   X   i   são os anos de
     Sá
                experiência de ensino e        D       i   é uma variável qualitativa tal que
Multicolin.


Heterocedast.
                                                           D   i    =     1 se homem
Autocorrel.
                                                                    =     0 se mulher.
Dummies


Exercício       Assim, o salário médio de um professor(a) será



                                       E ( Y |X , D
                                           i   i            i      = 0)   =     α1 + β X   i


                                       E ( Y |X , D
                                           i   i            i      = 1)   =     (α1 + α2 ) + β X .    i




                Este modelo postula que as inclinações da função salário de homens e
                mulheres são iguais, mas que o seu intercepto é diferente (o intercepto do
                grupo masculino é maior do que o feminino se                            α2  0,   e o oposto caso
                α2  0).
Possíveis representações

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
  hipóteses


 Rodrigo de
     Sá



Multicolin.


Heterocedast.


Autocorrel.


Dummies


Exercício




                               Figura: Regressões plausíveis
Possíveis representações

 Análise de
 Regressão:
Relaxando as
                    Regressões coincidentes: nenhuma dummy.
  hipóteses


 Rodrigo de         Regressões paralelas: mesma inclinação e interceptos
     Sá
                    diferentes.
Multicolin.


Heterocedast.
                                   Yi = α1 + α2 Di + β Xi + ui
Autocorrel.
                    Regressões convergentes: mesmo intercepto e inclinações
Dummies

                    diferentes.
Exercício


                                  Yi = α + β1 Xi + β2 Xi Di + ui
                    Regressões dissimilares: interceptos e inclinações
                    diferentes.

                            Yi = α1 + α2 Di + β1 Xi + β2 Xi Di + ui
Exercício

 Análise de
 Regressão:
                    Escolhe um modelo econômico que possa ser estimado por
Relaxando as        MQO e estime-o. O modelo deve ter duas ou mais variáveis
  hipóteses
                    explicativas.
 Rodrigo de
     Sá             Teste o modelo quanto a presença de multicolinearidade,
                    heterocedasticidade e autocorrelação, corrigindo-o se necessário.
Multicolin.
                    Faça um relatório que contemple os seguintes pontos:
Heterocedast.
                          Explique o modelo econômico.
                          Descreva as variáveis.
Autocorrel.



                          Mostre os resultados da estimação (coecientes, testes de
Dummies


Exercício
                          signicância, teste F, R 2 , gráco da estimação, etc.)
                          Mostre os testes das hipóteses do modelo
                          (multicolinearidade, heterocedasticidade e autocorrelação)
                          e as correções, caso feitas.
                          Interprete os resultados economicamente. Os resultados
                          diferiram dos resultados esperados antes da estimação do
                          modelo?
                    Data da entrega: até dia 2 de dezembro.

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Regressão - aula 04/04

  • 1. Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Análise de Regressão: Sá Relaxando as hipóteses Multicolin. Heterocedast. Autocorrel. Dummies Exercício Rodrigo de Sá Fundação de Economia e Estatística, 2011
  • 2. Livro texto Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. Heterocedast. Damodar Gujarati Autocorrel. Econometria Básica Dummies 3ª ed. 2005. Exercício
  • 3. Multicolinearidade Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Uma das hipóteses do modelo clássico de regressão linear é Rodrigo de Sá a ausência de multicolinearidade entre as variáveis Multicolin. explicativas. Heterocedast. Autocorrel. Dummies Exercício
  • 4. Multicolinearidade Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Uma das hipóteses do modelo clássico de regressão linear é Rodrigo de Sá a ausência de multicolinearidade entre as variáveis Multicolin. explicativas. X1 = a + bX2 . Heterocedast. Autocorrel. Multicolinearidade perfeita: Dummies Variáveis correlacionadas, mas não perfeitamente: Exercício X1 = a + bX2 + u .
  • 5. Multicolinearidade Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Uma das hipóteses do modelo clássico de regressão linear é Rodrigo de Sá a ausência de multicolinearidade entre as variáveis Multicolin. explicativas. X1 = a + bX2 . Heterocedast. Autocorrel. Multicolinearidade perfeita: Dummies Variáveis correlacionadas, mas não perfeitamente: Exercício X1 = a + bX2 + u . Consequências da multicolinearidade perfeita: O valor dos coecientes da regressão é indeterminado; A variância desses estimadores é innita.
  • 6. Multicolinearidade Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. Heterocedast. Autocorrel. Dummies Exercício Figura: Multicolinearidade Diagramas de Venn
  • 7. Possíveis fontes de multicolinearidade Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Método de coleta de dados: uma amostra que cubra uma Rodrigo de Sá pequena parte dos valores possíveis de X. Restrições presentes no modelo ou na população: se as Multicolin. Heterocedast. variáveis explicativas forem renda e consumo de energia Autocorrel. elétrica, na amostra elas serão altamente correlacionadas Dummies por que pessoas com maior renda em geral consomem uma Exercício quantidade maior de energia elétrica. Especicação do modelo: regressão polinomial quando o intervalo a que pertence o X é pequeno. Em séries temporais, tendência comum: todas as variáveis explicativas crescem ou decrescem com o passar do tempo.
  • 8. Estimação na presença de multicolinearidade perfeita Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Seja um modelo de regressão linear com duas variáveis Sá explicativas. Multicolin. β1 mede em quantas unidades a esperança condicional de Heterocedast. Y muda em função da variação de uma unidade em X1 , Autocorrel. mantendo constante X2 . X1 e X2 são perfeitamente correlacionados, Dummies Mas se X2 = λX1 , então NÃO É POSSÍVEL que X1 aumente em Exercício uma unidade e X2 se mantenha constante - X2 variará λ. Isto é, não se tem como se separar os efeitos de X1 e X2 sobre o Y .
  • 9. Consequências práticas da multicolinearidade Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Os estimadores de MQO continuam sendo MELNV. Multicolin. Apesar disso, apresentam variância e covariância altas, Heterocedast. dicultando estimações precisas. Autocorrel. Dummies Fator de inação da variância Exercício 1 = − r12 FIV 1 2
  • 10. Fator de inação da variância Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. Heterocedast. Autocorrel. Dummies Exercício Figura: Efeito do crescimento da correlação sobre a variância
  • 11. Consequências práticas da multicolinearidade Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Os intervalos de conança tendem a ser maiores, levando à Multicolin. aceitação da hipótese nula zero mais facilmente. Heterocedast. Autocorrel. A estatística t de um ou mais estimadores tende a ser insignicativa. t baixas, o R 2 tende a ser alto. Dummies Exercício Apesar das estatísticas Os estimadores de MQO e suas variâncias tendem a car mais sensível a mudanças na amostra.
  • 12. Detecção da multicolinearidade Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. Heterocedast. R 2 alto mas poucas estatísticas t signicativas. Autocorrel. Correlação entre pares de regressores alta. (Condição Dummies suciente mas não necessária, exceto no caso de apenas Exercício dois regressores.)
  • 13. Detecção da multicolinearidade Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Regressões auxiliares. Rodrigo de Sá Regressões auxiliares Multicolin. Regride-se cada uma das variáveis explicativas Xi contra as Heterocedast. demais, Xj , j = i , e computa-se o Ri2 da regressão (Por exemplo, para i = 2, Autocorrel. X2 = a0 + a1 X1 + a2 X2 + a3 X3 + ...ak Xk + u Dummies Exercício Usa-se o seguinte teste F com a hipótese nula que a variável explicativa i não é correlacionada com as demais. Fi = Ri2 / (k − 2) 1 − Ri / (n − k + 1) 2
  • 14. Algumas medidas corretivas Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Informação a priori. Por exemplo, suponha que saibamos Rodrigo de que β1 = λβ2 ; então utilizamos essa informação para Sá reescrever a regressão. Multicolin. Eliminação de uma ou mais variáveis. Por exemplo, excluir Heterocedast. a variável riqueza da regressão consumo-renda-riqueza. Autocorrel. Deve-se tomar cuidado para não se incorrer em viés de Dummies especicação. Exercício Transformação das variáveis. Em séries temporais, utilizar a primeira diferença das variáveis. Aumento da amostra. Reduzir a colinearidade em regressões polinomiais, expressando as variáveis na forma de desvio.
  • 15. Heterocedasticidade Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. A homoscedasticidade é uma das hipóteses do modelo Heterocedast. clássico de regressão linear. Autocorrel. Dummies Exercício
  • 16. Heterocedasticidade Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. A homoscedasticidade é uma das hipóteses do modelo Heterocedast. clássico de regressão linear. Autocorrel. Dummies Homoscedasticidade: E ui2 = σ2 para todo i = 1, 2, ..., n. Exercício Heterocedasticidade: E ui2 = σi2 .
  • 17. Homoscedasticidade e heterocedasticidade Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. Heterocedast. Autocorrel. Dummies Exercício Figura: Comparação
  • 18. Possíveis causas da heterocedasticidade Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Modelos de aprendizagem e erro. À medida que as pessoas Sá aprendem, diminuem seus erros, assim como a sua Multicolin. variabilidade. Heterocedast. À medida que a renda aumenta, as pessoas têm maior Autocorrel. renda discricionária e, consequentemente, maior liberdade Dummies Exercício para decidir como dispor sua renda, fazendo com que σi2 seja positivamente correlacionado com a renda. Erro de especicação. Observações aberrantes (outliers).
  • 19. Observações aberrantes Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. Heterocedast. Autocorrel. Dummies Exercício Figura: Relação entre preço das ações e preços ao consumidor
  • 20. Consequências da heterocedasticidade Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá O estimadores dos β 's continuam sendo não viesados. Multicolin. Porém, a fórmula da variância do estimador da inclinação é Heterocedast. diferente, var ˆ β1 = xi2 σi2 / xi2 2 . Autocorrel. Os estimadores de MQO deixam de ser ecientes, isto é, Dummies existe outro estimador não viesado com menor variância: o Exercício Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG). Assim, os testes de hipótese tendem a aceitar a hipótese nula zero mas facilmente.
  • 21. Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG) Análise de Regressão: MQG Relaxando as hipóteses Supondo que as variâncias σi2 sejam CONHECIDAS, pondera-se Rodrigo de cada observação inversamente ao seu desvio-padrão, chegando Sá a uma regressão do tipo MQO. Multicolin. Heterocedast. Autocorrel. Yi = β0 + β1 Xi + ui Dummies Yi = β0 1 + β1 Xi + ui Exercício σi σi σi σi Yi∗ = β0 X0i + β1 Xi + ui∗ ∗ ∗ ∗ ∗ u∗ Pode-se mostrar que var ( i ) = 1, ou seja, os resíduos tornam-se homocedásticos com esta transformação. Note que a regressão a ser estimada tem uma variável explicativa adicional (1/σi ) e não tem intercepto.
  • 22. MQG - exemplo Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. Heterocedast. Autocorrel. Dummies Exercício Figura: Ilustração de MQG
  • 23. Métodos informais de detecção Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Natureza do problema. Novamente, o exemplo consumo-renda. Multicolin. Métodos grácos. Os resíduos da regressão original Heterocedast. Autocorrel. apresentam algum padrão? Dummies Alguns métodos formais: Teste de Park; Exercício Teste de Glejser; Teste de Goldfeld-Quandt; Teste de Breusch-Pagan-Godfrey.
  • 24. Métodos grácos Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. Heterocedast. Autocorrel. Dummies Exercício Figura: Padrões hipotéticos dos resíduos ao quadrado estimados
  • 25. Teste geral de heterocedasticidade de White Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Teste de White Rodrigo de Sá Com os resíduos da regressão estimada rodamos a seguinte Multicolin. regressão auxiliar: Heterocedast. Autocorrel. Dummies ui2 = α1 + α2 X2i + α3 X3i + α4 X2i + α5 X3i + α6 X2i X3i + vi ˆ 2 2 Exercício A variável nR 2 ∼ χ2 , com gl gl igual ao número de regressores na regressão auxiliar. Se o teste exceder o valor crítico, a conclusão é de que há heterocedasticidade.
  • 26. Medidas quando σi2 não é conhecida Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Variâncias e erros padrão consistentes em Rodrigo de Sá heterocedasticidade segundo White. Multicolin. Hipóteses plausíveis a respeito do padrão de Heterocedast. heteroscedasticidade: Autocorrel. Dummies E ui2 = σ 2 Xi2 =⇒ modelo /Xi E ui2 σ 2 Xi =⇒ modelo / Xi Exercício = E ui2 = σ 2 [E (Yi )]2 =⇒ modelo /Yi ˆ Estimar o modelo com as variáveis em escala logaritma.
  • 27. E ui2 = σ 2 Xi2 Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. Heterocedast. Autocorrel. Dummies Exercício Figura: Variância proporcional a X2 i
  • 28. E ui2 = σ 2 Xi Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. Heterocedast. Autocorrel. Dummies Exercício Figura: Variância proporcional a X i
  • 29. Autocorrelação Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. A ausência de AUTOCORRELAÇÃO entre os resíduos é Heterocedast. uma das hipóteses do modelo clássico de regressão. Autocorrel. É usual o termo CORRELAÇÃO SERIAL para designar a Dummies autocorrelação entre os resíduos em um modelo de séries Exercício de tempo.
  • 30. Padrões de autocorrelação Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. Heterocedast. Autocorrel. Dummies Exercício Figura: Padrões de autocorrelação
  • 31. Possíveis causas da autocorrelação Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Inércia ou rigidez das séries temporais. Rodrigo de Sá Viés de especicação: Multicolin. Exclusão de variável; Heterocedast. Forma funcional incorreta. Autocorrel. Fenômeno da teia de aranha. Exemplo clássico da oferta Dummies de produtos agrícolas, onde a decisão da área plantada Exercício (oferta) depende do preço do ano anterior. Defasagens. Um exemplo é a suavização do consumo, onde o consumo atual depende do passado. Manipulação de dados, como interpolação ou extrapolação.
  • 32. Estimativa por MQO desconsiderando a autocorrelação Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Os estimadores dos βs continuam não viesados e Multicolin. consistentes, mas deixam de ser ecientes (variância Heterocedast. mínima). Autocorrel. A variância dos resíduos σ2 ˆ provavelmente irá superestimar Dummies 2 o verdadeiro σ . Exercício Provavelmente o R 2 será superestimado. Os testes de signicância usuais tendem a levar a conclusões errôneas.
  • 33. Método gráco para detecção Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. Heterocedast. Autocorrel. Dummies Exercício Figura: Resíduos com autocorrelação
  • 34. Teste d de Durbin-Watson Análise de Regressão: Relaxando as d hipóteses Rodrigo de Estatística t =n u u 2 Sá t =2 (ˆt − ˆt −1 ) d= Multicolin. Heterocedast. u t =n 2 t =2 ˆt Autocorrel. Dummies Exercício
  • 35. Teste d de Durbin-Watson Análise de Regressão: Relaxando as d hipóteses Rodrigo de Estatística t =n u u 2 Sá t =2 (ˆt − ˆt −1 ) d= Multicolin. Heterocedast. t =n 2 u t =2 ˆt Autocorrel. Dummies Hipóteses fundamentais: Exercício A regressão inclui o intercepto. As perturbações u são geradas pelo esquema t auto-regressivo de primeira ordem, u = ρu −1 + . t t t O modelo de regressão não inclui termos defasados da variável dependente (Y −1 ). t
  • 36. Teste d de Durbin-Watson Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. Heterocedast. Autocorrel. Dummies Exercício Figura: Estatística d
  • 37. Teste d de Durbin-Watson Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. Heterocedast. Autocorrel. Dummies Exercício Figura: Regras de decisão
  • 38. Método de Cochrane-Orcutt em duas etapas Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Cochrane-Orcutt Sá Seja a regressão Yt = β0 + β1 Xt + ut , onde se supõe que os Multicolin. resíduos seguem ut = ρut −1 + t . Heterocedast. Autocorrel. Dummies Exercício
  • 39. Método de Cochrane-Orcutt em duas etapas Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Cochrane-Orcutt Sá Seja a regressão Yt = β0 + β1 Xt + ut , onde se supõe que os Multicolin. resíduos seguem ut = ρut −1 + t . Heterocedast. Autocorrel. Estime a regressão pela rotina usual do MQO e obtenha os ut . Dummies Exercício resíduos ˆ Usando os resíduos estimados, rode ut = ρut −1 + vt . ˆ ˆˆ Usando o ρ estimado, ˆ estime (Yt − ρYt −1 ) = [β0 (1 − ρ)] + β1 [Xt − ρXt −1 ] + [ut − ρut −1 ] . ˆ ˆ ˆ ˆ
  • 40. Exemplo - salários Análise de Seja o seguinte modelo Regressão: Y = α1 + α2 D + β X + u , Relaxando as hipóteses i i i i Rodrigo de onde Y i é o salário de um professor(a) universitário(a), X i são os anos de Sá experiência de ensino e D i é uma variável qualitativa tal que Multicolin. Heterocedast. D i = 1 se homem Autocorrel. = 0 se mulher. Dummies Exercício Assim, o salário médio de um professor(a) será E ( Y |X , D i i i = 0) = α1 + β X i E ( Y |X , D i i i = 1) = (α1 + α2 ) + β X . i Este modelo postula que as inclinações da função salário de homens e mulheres são iguais, mas que o seu intercepto é diferente (o intercepto do grupo masculino é maior do que o feminino se α2 0, e o oposto caso α2 0).
  • 41. Possíveis representações Análise de Regressão: Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Multicolin. Heterocedast. Autocorrel. Dummies Exercício Figura: Regressões plausíveis
  • 42. Possíveis representações Análise de Regressão: Relaxando as Regressões coincidentes: nenhuma dummy. hipóteses Rodrigo de Regressões paralelas: mesma inclinação e interceptos Sá diferentes. Multicolin. Heterocedast. Yi = α1 + α2 Di + β Xi + ui Autocorrel. Regressões convergentes: mesmo intercepto e inclinações Dummies diferentes. Exercício Yi = α + β1 Xi + β2 Xi Di + ui Regressões dissimilares: interceptos e inclinações diferentes. Yi = α1 + α2 Di + β1 Xi + β2 Xi Di + ui
  • 43. Exercício Análise de Regressão: Escolhe um modelo econômico que possa ser estimado por Relaxando as MQO e estime-o. O modelo deve ter duas ou mais variáveis hipóteses explicativas. Rodrigo de Sá Teste o modelo quanto a presença de multicolinearidade, heterocedasticidade e autocorrelação, corrigindo-o se necessário. Multicolin. Faça um relatório que contemple os seguintes pontos: Heterocedast. Explique o modelo econômico. Descreva as variáveis. Autocorrel. Mostre os resultados da estimação (coecientes, testes de Dummies Exercício signicância, teste F, R 2 , gráco da estimação, etc.) Mostre os testes das hipóteses do modelo (multicolinearidade, heterocedasticidade e autocorrelação) e as correções, caso feitas. Interprete os resultados economicamente. Os resultados diferiram dos resultados esperados antes da estimação do modelo? Data da entrega: até dia 2 de dezembro.