Mestre em Matemática e Professor com Experiência em Ensino Médio e Superior

Emerson Marcos Furtado
Mestre em Métodos Numéricos pela Univer-
sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado
em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino
Médio nos estados do Paraná e Santa Catari-
na desde 1992. Professor do Curso Positivo de
Curitiba desde 1996. Professor da Universidade
Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos
destinados a concursos públicos nas áreas de ma-
temática, matemática financeira, raciocínio lógico
e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pes-
quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a
2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Join-
ville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teore-
ma – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde
2005. Autor de material didático para sistemas de
ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro-
fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC)
desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocí-
nio lógico, estatística, matemática e matemática
financeira. Consultor da Empresa Result – Con-
sultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.
Consultor em Estatística Aplicada com projetos de
pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômi-
ca, qualidade, educacional, industrial e eleições
desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de
Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde
2008. Autor de questões para concursos públicos
no estado do Paraná desde 2003.
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A.,
mais informações www.iesde.com.br

25
Números proporcionais
Razão e proporção
O escambo é a mais antiga prática comercial do mundo. Nela, as pesso-
as trocam um produto por outro considerando uma equivalência subjetiva
de valor. Assim, por exemplo, quando uma criança troca com o colega um
brinquedo caro por outro de menor valor, apenas por desejá-lo muito, está
praticando uma forma de escambo.
Algumas palavras que hoje nos são familiares são provenientes dessa prá-
tica. Apenas para registrar, podemos citar o termo capital (patrimônio) deri-
vado do latim capita, que significa cabeça, e a palavra salário, que provém da
utilização do sal, em Roma, como pagamento de serviços prestados.
Razão
A razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo.
Dessa forma, a razão entre os números a e b, nessa ordem, em que b é dife-
rente de zero, é o quociente,
a
b
O termo a é chamado de antecedente e o termo b é chamado de conse-
quente da razão.
Lê-se a razão a
b
como“a está para b”.
Proporção
Denomina-se proporção a igualdade entre duas ou mais razões.
A igualdade
a
b
=
c
d
é uma proporção. Os termos a e d são os extremos, enquanto os termos b
e c são os meios da proporção.

26
Propriedades de uma proporção
As propriedades destacadas a seguir são verificadas em qualquer proporção.
1.ª Propriedade
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios:
a
b
=
c
d
⇒ a . d = b . c
2.ª Propriedade
Em toda proporção, a razão não se altera quando se adicionam (ou se
subtraem), na mesma ordem, os antecedentes e os consequentes correspon-
dentes.
a
b
=
c
d
=
a + c
b + d
ou
a
b
=
c
d
=
a – c
b – d
Regra de três
Regra de três simples
A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas
que envolvem duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. Esse
processo consiste dos seguintes passos:
reunir em uma coluna as grandezas de igual espécie e com a mesma
unidade de medida;
analisar as grandezas e classificá-las como diretamente ou inversa-
mente proporcionais;
obter a proporção correspondente e solucioná-la.
Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são classificadas como diretamente proporcionais
quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas, a outra aumenta (ou di-
minui) na mesma proporção.

27
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são classificadas como inversamente proporcionais
quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas, a outra diminui (ou au-
menta) na proporção inversa.
Exemplo 1:
Se 10m de tecido custam R$ 600,00, qual o preço de 25m de tecido?
Tecido Custo
10 m 600
25 m x
As grandezas são diretamente proporcionais, logo:
10
25
=
600
x
10x = 25 . 600
x = 1 500
Portanto, o custo de 25m de tecido seria R$1.500,00.
Exemplo 2:
Uma obra é construída por 12 operários em 90 dias. Em quantos dias essa
obra será construída por 36 operários?
Operários Tempo
12 90 dias
36 x
As grandezas são inversamente proporcionais, ou seja:
36
12
=
90
x
36x = 12 . 90
x = 30
Assim, a obra será construída em 30 dias.

28
Regra de três composta
A regra de três composta é um processo prático utilizado na resolução de
problemas que envolvem mais de duas grandezas, inversa ou diretamente
proporcionais. Esse processo consiste nos seguintes passos:
reunir em uma coluna as grandezas de igual espécie e com a mesma
unidade de medida;
analisar as grandezas duas a duas, em relação à que possui a incógnita,
a fim de verificar se são direta ou inversamente proporcionais;
obter a proporção correspondente e solucioná-la.
Exemplo:
Uma casa é construída em 12 dias por 40 operários que trabalham 9 horas
por dia. Em quantos dias 24 operários, trabalhando 5 horas por dia, poderão
construir a mesma casa?
Dias Operários Horas
12 40 9
x 24 5
12
x
=
24
40
. 5
9
12
x
=
120
360
120x = 4 320
x = 36
Assim, serão necessários 36 dias.
Porcentagem
Razão centesimal
As razões cujos consequentes são iguais a 100 são chamadas razões
centesimais.

29
Porcentagem
Porcentagem ou percentagem é uma razão centesimal representada pelo
símbolo“%”, que significa por cento.
Exemplos:
37% =
37
100
= 0,37
100% =
100
100
= 1
119% =
119
100
= 1,19
Os números anteriores foram representados por meio de uma taxa por-
centual, uma razão centesimal e um número decimal, nessa ordem. Qualquer
uma dessas formas pode ser utilizada para representar uma porcentagem.
Observação:
Os problemas que envolvem porcentagem são resolvidos pelo mesmo
processo de regra de três simples, onde as grandezas são diretamente
proporcionais.
Exemplo:
Um objeto foi comprado por R$3.100,00 e revendido por R$3.472,00. De-
termine o percentual de lucro em relação ao custo.
R$ %
3.100 100
372 x
3 100
372
=
100
x
3 100x = 372 . 100
x = 12
Portanto, o percentual de lucro sobre o custo foi de 12%.

30
Observação:
Para aumentar (ou diminuir) certa quantidade genérica x, sem utilizar ne-
cessariamente uma regra de três, basta multiplicar x por um fator de acordo
com o aumento (ou redução).
Exemplos:
Para aumentar x em 37%, basta multiplicar x por 1,37:
x + 37% . x = (1 + 0,37) . x = 1,37 . x → aumento de 37%.
Para reduzir x em 6%, basta multiplicar x por 0,94:
x – 6% . x = (1 – 0,06) . x = 0,94 . x → redução de 6%.
Dica de estudo
A primeira ideia que deve ser dominada quando estudamos regra de três
é identificar se duas grandezas são diretamente ou inversamente proporcio-
nais. Uma vez dominado esse conceito, procure praticar resolvendo muitos
exercícios. Não apenas os problemas que envolvem números proporcionais,
mas, sobretudo, os relacionados à porcentagem serão resolvidos com mais
facilidade.
Resolução de questões
1. (FCC) Sabe-se que 10 máquinas, todas com a mesma capacidade ope-
racional, são capazes de montar 100 aparelhos em 10 dias, se funciona-
rem ininterruptamente 10 horas por dia. Nessas condições, o número de
aparelhos que poderiam ser montados por 20 daquelas máquinas, em 20
dias de trabalho e 20 horas por dia de funcionamento ininterrupto, é:
a) 100
b) 200
c) 400
d) 600
e) 800

31
2. (FCC) Três analistas judiciários – Aurélio, Benício e Custódio – foram in-
cumbidos de implantar um sistema informatizado de processamento
de informações. Sabe-se que, individualmente, Aurélio levaria 3 horas
para cumprir tal tarefa, enquanto que, sozinho, Benício levaria 6 horas.
Então, considerando que, juntos, os três gastaram 1 hora e 30 minutos
para implantar o sistema, quantas horas Custódio, sozinho, levaria para
implantá-lo?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
3. (FCC) Das 96 pessoas que participaram de uma festa de confraternização
dos funcionários do Departamento Nacional de Obras Contra as Secas,
sabe-se que 75% eram do sexo masculino. Se, num dado momento an-
tes do término da festa, foi constatado que a porcentagem dos homens
havia se reduzido a 60% do total das pessoas presentes, enquanto que o
número de mulheres permaneceu inalterado, até o final da festa, então a
quantidade de homens que haviam se retirado era:
a) 36
b) 38
c) 40
d) 42
e) 44
4. (FCC) Um comerciante comprou 94 microcomputadores de um mesmo
tipo e, ao longo de um mês, vendeu todos eles. Pela venda de 80 desses
micros ele recebeu o que havia pago pelos 94 que havia comprado e cada
um dos 14 micro restantes foi vendido pelo mesmo preço de venda de
cada um dos outros 80 . Relativamente ao custo dos 94 micros, a porcen-
tagem de lucro do comerciante nessa transação foi de:

32
a) 17,5%
b) 18,25%
c) 20%
d) 21,5%
e) 22%
5. (FCC) Um escritório dispõe de duas copiadoras A e B, tais que operando
sozinha, A é capaz de tirar n cópias de um texto em 8 horas de trabalho
ininterrupto e B tem 80% da capacidade operacional de A. Essas máquinas
foram acionadas simultaneamente num mesmo instante, a fim de tirar as
n cópias de tal texto e, após funcionarem juntas e ininterruptamente por
4 horas, foram desligadas. É correto afirmar que, ao serem desligadas,
a) o trabalho estava concluído.
b) haviam sido tiradas 4/5 das n cópias.
c) 20% das n cópias ainda deveriam ser tiradas para que o trabalho fosse
concluído.
d) haviam sido tiradas 3/8 das n cópias.
e) 10% das n cópias ainda deveriam ser tiradas para que o trabalho fosse
concluído.
6. (Esaf) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos
alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primei-
ro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A se-
guir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que
fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava
fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobri-
nha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso.
Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, vi-
sita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de
Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso
imediatamente anterior ao início dessa sequência de visitas, ficou:
a) exatamente igual.
b) 5% maior.

33
c) 5% menor.
d) 10% menor.
e) 10% maior.
7. (FCC) Na compra de um lote de certo tipo de camisa para vender em sua
loja, um comerciante conseguiu um desconto de 25% sobre o valor a ser
pago. Considere que:
se não tivesse recebido o desconto, o comerciante teria pago R$20,00
por camisa;
ao vender as camisas em sua loja, ele pretende dar ao cliente um des-
conto de 28% sobre o valor marcado na etiqueta e, ainda assim, obter
um lucro igual a 80% do preço de custo da camisa.
Nessas condições, o preço que deverá estar marcado na etiqueta é:
a) R$28,50
b) R$35,00
c) R$37,50
d) R$39,00
e) R$41,50
8. (Cesgranrio) Certa loja ofereceu, de 1 a 10 de fevereiro, 20% de desconto
em todas as mercadorias, em relação ao preço cobrado em janeiro. Pen-
sando em vender mais, o dono da loja resolveu aumentar o desconto e,
de 11 a 20 de fevereiro, este passou a ser de 30% em relação ao preço
de janeiro. Uma pessoa pagou, no dia 9 de fevereiro, R$72,00 por certa
mercadoria. Quanto ela pagaria, em reais, pela mesma mercadoria se a
compra fosse feita em 12 de fevereiro?
a) 27,00
b) 56,00
c) 61,20
d) 63,00
e) 64,80

34
9. (Cesgranrio) João vendeu dois rádios por preços iguais. Um deles foi ven-
dido com lucro de 20% sobre o preço de custo e o outro com prejuízo
de 20% sobre o preço de custo. No total, em relação ao capital investido,
João:
a) lucrou 4%.
b) lucrou 2%.
c) perdeu 4%.
d) perdeu 2%.
e) não lucrou nem perdeu.
10. (Cesgranrio) Em um estado onde três candidatos concorreram ao cargo
de governador, as pesquisas realizadas antes do primeiro turno das elei-
ções apresentaram os resultados a seguir.
Intenção de voto – 1.º turno
Candidato A 32% 34% 38% 36% 35% 35%
Candidato B 24% 22% 25% 25% 26% 27%
Candidato C 14% 19% 21% 22% 26% 22%
Data 01/ago. 17/ago. 31/ago. 07/set. 21/set. 29/set.
Em brancos/nulos = 11%
Indecisos = 5%
Considerando-se que, na pesquisa de 29/set. foram entrevistadas 2 000
pessoas, quantas disseram que pretendiam votar no candidato B?
a) 700
b) 660
c) 540
d) 440
e) 350

35
Referências
BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda.,
1996.
GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blu-
menau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.)
LIMA, Elon L. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.)
LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 2001. v. 1.
LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.
TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.
Gabarito
1. Vamos organizar as informações em colunas de acordo com as diferentes
grandezas envolvidas:
Máquinas Aparelhos Dias Horas/dia
10 100 10 10
20 x 20 20
As grandezas aparelhos e máquinas são diretamente proporcionais, pois
ao aumentarmos a quantidade de máquinas teríamos, em correspondên-
cia, aumento no número de aparelhos. Logo, vamos indicar essa relação
direta por meio de duas flechas no mesmo sentido, sendo que o sentido
é arbitrário.
10 100 10 10
20 x 20 20
As grandezas aparelhos e dias são diretamente proporcionais, pois ao
aumentarmos a quantidade de dias teríamos, em correspondência, au-
mento no número de aparelhos. Assim, vamos indicar essa relação direta

36
por meio de duas flechas no mesmo sentido, sentido esse já escolhido na
relação anterior.
10 100 10 10
20 x 20 20
As grandezas aparelhos e horas por dia são também diretamente propor-
cionais, pois ao aumentarmos a quantidade de horas por dia de trabalho
teríamos, em correspondência, aumento no número de aparelhos. Des-
sa forma, vamos indicar essa relação direta por meio de duas flechas no
mesmo sentido.
10 100 10 10
20 x 20 20
Com as relações já destacadas, vamos montar a proporção:

100
x
=
10
20
. 10
20
. 10
20

100
x
=
1
8
x = 800
Logo, 800 aparelhos seriam montados.
Resposta: E
2. Se Aurélio consegue sozinho implantar o sistema em 3 horas, então a
cada hora, 1/3 do sistema seria implantado. Benício consegue sozinho
implantar o sistema em 6 horas. Assim, a cada hora 1/6 do sistema se-
ria implantado. Vamos supor que Custódio consiga implantar sozinho o
sistema em x horas, ou seja, a cada hora ele conseguiria implantar 1/x
do sistema. Se os três juntos conseguiriam implantar o sistema em 1h e
30min, ou seja, 1,5h, então a cada hora os três conseguiriam implantar
1/1,5. Dessa forma, pode-se escrever:

37
1/3 + 1/6 + 1/x = 1/1,5
Multiplicando todos os termos por 6x, temos:
2x + 1x + 6 = 4x
4x – 3x = 6
x = 6
Logo, Custódio conseguiria sozinho implantar o sistema em exatamente
6 horas.
Resposta: C
3. Inicialmente 75% das 96 pessoas eram do sexo masculino, ou seja, 0,75.
96 = 72 pessoas. Logo, 96 – 72 = 24 eram do sexo feminino. Se em de-
terminado momento o percentual de pessoas do sexo masculino se re-
duziu a 60%, então 40% das pessoas eram do sexo feminino. Se a quan-
tidade de pessoas do sexo feminino se manteve inalterada durante a
festa, então as 24 pessoas do sexo feminino devem corresponder a 40%
das pessoas presentes no momento. Sendo P a quantidade de pessoas
após a saída de algumas pessoas do sexo masculino, então:
40% 24
100% P
40 . P = 100 . 24
40P = 2 400
P = 60
Assim, a quantidade total de pessoas era igual a 60.
Logo, 96 – 60 = 36 pessoas do sexo masculino haviam se retirado.
Resposta: A
4. Se os 80 microcomputadores foram vendidos pelo mesmo preço dos 94,
então o ganho foi de 94 – 80 = 14 computadores em relação aos 80 com-
putadores, ou seja:
80 100%
14 x

38
80x = 14 . 100
x = 1 400/80
x = 17,5
Logo, 17,5% foi a porcentagem de lucro.
Resposta: A
5. Se a copiadora A sozinha realiza o trabalho em 8 horas, então em 4 horas
exatamente 4/8 do trabalho haviam sido realizados, ou seja, 50%.
A copiadora B tem 80% da capacidade operacional de A. Logo, nessas
mesmas 4 horas, B realizou 80% do trabalho de A, ou seja, 0,80. 50% =
40%.
Portanto, ambas as copiadoras realizaram em 4 horas exatamente 50% +
40% = 90% do trabalho a ser realizado, de modo que 10% das n cópias
ainda deveriam ser tiradas para que o trabalho fosse concluído.
Resposta: E
6. Seja P o peso inicial de Alice. Então se ela:
ganha 20% de peso, seu novo peso é o anterior multiplicado por
(1 + 0,20) = 1,20;
perde 20% de peso, seu novo peso é o anterior multiplicado por
(1 – 0,20) = 0,80;
perde 25% de peso, seu novo peso é o anterior multiplicado por
(1 – 0,25) = 0,75;
ganha 25% de peso, seu novo peso é o anterior multiplicado por
(1 + 0,25)= 1,25.
Assim, se ela iniciou com peso P, ganhou 20%, perdeu 20%, perdeu 25% e,
finalmente, ganhou 25%, nessa ordem, então o peso final dela é igual a:
P . 1,20 . 0,80 . 0,75 . 1,25 = 0,90 . P
Assim, como 1P – 0,90P = 0,10P, conclui-se que o peso final é 10% menor
do que o inicial.
Resposta: D

39
7. Se o comerciante teria pago R$20,00 por camisa, sem desconto, então
com o desconto de 25% o preço pago por camisa deve ser igual a:
(1 – 0,25) . 20 = 0,75 . 20 = 15 reais
Se o lucro deve ser de 80% do preço de custo, então o valor de venda
deveria ser igual a:
15 . (1 + 0,80) = 15 . 1,80 = 27 reais
Entretanto, como ele ainda gostaria de dar um desconto de 28% sobre o
preço da etiqueta, então o preço de etiqueta deve ser X tal que:
X . (1 – 0,28) = 27
X . 0,72 = 27
X = 27/0,72
X = 37,50
Resposta: C
8. O valor pago igual a R$72 foi obtido após desconto de 20%. Assim, o valor
sem desconto, representado por A, é igual a:
A . (1 – 0,20) = 72
0,80 . A = 72
A = 72/0,80
A = 90
Se a compra fosse efetuada dia 12 de fevereiro, o desconto seria igual
a 30% sobre 90 reais. Logo, o valor da compra com o desconto de 30%,
representado por B, é igual a:
B = 90 . (1 – 0,30)
B = 90 . 0,70
B = 63
Assim, essa pessoa pagaria R$63.
Resposta: D

40
9. Vamos supor que João tenha gasto cem reais em cada rádio. Se um deles
foi vendido com um lucro de 20% sobre o preço de custo, então foi vendi-
do por:
(1 + 0,20) . 100 = 120 reais
Se o outro foi vendido com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo,
então foi vendido por:
(1 – 0,20) . 100 = 80 reais
O total arrecadado com os dois rádios foi 120 + 80 = 200, mesmo valor
desembolsado para a compra dos dois rádios. Logo, João não lucrou nem
perdeu.
Resposta: E
10. O candidato B, na pesquisa de 29/set., apresentou 27% das intenções de
voto em um universo de 2 000 eleitores. Logo, a quantidade de pessoas
que disseram votar em B é dada por:
0,27 . 2 000 = 540
Resposta: C

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