O documento apresenta a definição e técnicas operatórias da regra de três simples e composta. A regra de três simples é usada para determinar um valor quando conhecidos os outros três valores de duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. A regra de três composta envolve mais de duas grandezas proporcionais e usa a mesma lógica da simples. Dois exemplos ilustram o uso das regras.

1. ENEM 2015 – Curso Preparatório
Matemática e suas tecnologias
Jair Vieira Silva Júnior
Regra de Três I
Definição 1. Sendo a e b dois valores da grandeza A e, c e d os valores correspondentes
da grandeza B, chama-se de regra de três simples ao processo prático para determinar um
desses quatro valores, sendo conhecidos os outros três.
Técnica operatória 1.
Se A e B forem grandezas diretamente proporcionais, então:
a b a c
c d b d
  
Se A e B forem grandezas inversamente proporcionais, então:
a d
a c b d
b c
    
Exemplo 1. A comida existente em um quartel militar é suficiente para alimentar 30
soldados durante 30 dias. Quantos dias duraria a comida se existissem apenas 20
soldados?
Como as duas grandezas são inversamente proporcionais, temos:
30 30 30
45
20 30 20
x
x x

    
Resposta: A comida duraria 45 dias.
Regra de Três II
Definição 2. Chama-se regra de três composta ao método prático empregado para resolver
problema análogo ao da regra de três simples, só que envolvendo mais de duas grandezas
proporcionais.
Técnica operatória 2. Considere uma grandeza A(a1, a2, ...) diretamente proporcional a
uma grandeza B(b1, b2, ...) e a uma grandeza C(c1, c2, ...), então:
Grandeza A Grandeza B
a c
b d
Número de soldados Número de dias
30 30
20 X

2. ENEM 2015 – Matemática e suas tecnologias – Aula 2 – Jair Júnior
2
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
 
Exemplo 2. Com 16 máquinas de costura aprontaram-se 720 uniformes em 3 dias de
trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2 160 uniformes em 24
dias.
Nº. De máquinas Nº. De uniformes Nº. De dias
16 720 3
x 2160 24
A grandeza no
. de máquinas, onde está a incógnita, deve ser comparada com as grandezas
no
. de uniformes e no
. de dias. Assim:
a) no
. de máquinas e no
. de uniformes são grandezas diretamente proporcionais, pois, para o
mesmo número de dias, quanto maior o número de máquinas maior será o número de
uniformes;
b) no
. de máquinas e no
. de dias são grandezas inversamente proporcionais pois, para o
mesmo número de uniformes, quanto maior o número de máquinas menor será o número de
dias gastos.
Com efeito:
16 720 24 16 2160 3
720 24 16 2160 3 6
2160 3 720 24
x x x
x
 
           

Referências
[1] IEZZI, G. et. al. Fundamentos da Matemática Elementar: Matemática Comercial,
Matemática Financeira e Estatística Descritiva. Vol. 11, 8ª Edição. São Paulo: Atual,
2004.
[2] CARVALHO, P. C. P.; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C. O.; WAGNER, E. A Matemática
do Ensino Médio. Vol. 1, 3ª Edição. Rio de Janeiro: SBM, 2001.