Mat progressoes ( pg) i

´ ´
CURSO TECNICO EM INFORMATICA LISTA 3
Progress˜es Aritm´ticas & Geom´tricas
o e e Matem´tica
a
Prof. Valdex Santos I unidade
Aluno: Turma:

1. Identifique as sequˆncias que representam progress˜es geom´tricas:
e o e
a) (3, 12, 48, 192, ...) b) (−3, 6, −12, 24, −48, . . . ) c) (5, 15, 75, 375, ...)
√ √ √ √
d) (−1/3, −1/6, −1/12, . . . ) e) 3, 2 3, 3 3, 4 3

2. Calcule a razõ de cada uma das seguintes progress˜es geom´tricas:
a o e
a) (1, 2, 4, 8, 16, ...) b) (1040, 1042, 1044, 1046, ...)
c) (−2, 8, −32, 128, ...) d) (5, −5, 5, −5, 5, ...) e)(80, 40, 20, 10, 5, ...)

3. (10−1, 10−2 , 10−3 , 10−4, . . . )

4. Qual ´ o 8o e o 10o termos da PG (−240, −120, −60, ...)?
e

5. Qual ´ 10o termo da PG (2−4 , 2−1 , 22 , . . . )?
e
√ √
6. Em uma PG o 5o termo ´ 12 2 e o 1o ´ 3 2. Qual a razõ dessa PG, supondo-se que
e e a
todos os seus termos sejam positivos?

7. A sequˆncia (a, b, c) ´ uma PG crescente e a sequˆncia (a − 1, b, c) ´ uma PA. Sabendo que
e e e e
a + b + c = 19 determine os valor de a, b e c.

8. A sequˆncia (a, b, c) ´ uma PA e a sequˆncia (a, b, c + 1) ´ uma PG. Se a + b + c = 18,
e e e e
escreva a PA sabendo que ela ´ crescente.
e

9. A sequˆncia (a1 , a2 , a3 , a4 ) ´ uma PA de razõ 4 e a sequˆncia (b1 , b2 , b3 , b4 ) ´ uma PG de
e e a e e
razõ 4. Sabendo que a4 = a3 e a1 = b2 , escreva a PA e a PG.
a

10. Sabendo que os n´meros 2, log x, log y, nessa ordem, estõ simultaneamente em PA e em
u a
PG calcule x e y.

11. Sõ dados quatro n´meros, x, y, 6, 4, nessa ordem. Sabendo que os trˆs primeiros estõ em
a u e a
PA e os trˆs ultimos estõ em PG, determine x e y.
e ´ a

12. Em uma PG crescente, o 3o termo vale -80 e o 7o , -5. Qual ´ seu 1o termo?
e

13. Considere a sequˆncia cujo termo geral ´ an = 0, 25 ∗ 3n , para n ∈ N∗ .
e e
a) Verifique que (an )´ uma PG, calculando sua razõ.
e a
b) Qual ´ o valor de a3 + a4 ?
e
c)Determine o menor valor de n de modo que an > 1000.

14. Escreva a PG em que o 2o termo vale 200 e a soma do 1o com o 3o ´ 1040.
e

15. (UESB) Uma ind´stria produziu 182000 unidades de certo produto, num per´
u ıodo de 6 anos.
Supondo-se que a produ¸õ tenha triplicado a cada ano, pode-se concluir que o n´mero de
ca u
unidades produzidas no segundo ano foi igual a
01) 900 02) 1200 03)1500 04) 2100 05) 2400

3 de abril de 2011 Texto composto em L TEX 2ε
A P´g. 1 de 8
a

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o e e Matem´tica
a

16. (UESB 2008.1) Uma pessoa compra um produto em 20 parcelas mensais crescentes em PG,
sendo a primeira de R$ 100,00, paga 30 dias ap´s a compra, a pen´ltima igual a R$ 120,81
o u
e a ultima de R$ 122,02.
´
Considerando-se que todos os pagamentos foram efetuados nas datas previstas e que (1, 01)20 =
1, 2202, pode-se afirmar que o valor total pago, ao t´rmino do financiamento, foi aproxi-
e
madamente igual, em reais, a
01) 2202 02) 2122 03) 1822 04) 1220 05) 1122

17. Uma d´
ıvida dever´ ser paga em 7 parcelas, de modo que elas constituam termos de uma PG.
a
Sabe-se que os valores da 3.a e 6.a parcelas sõ, respectivamente, R$ 144,00 e R$ 486,00.
a
Determine:
a) O valor da 1.a parcela; b) O valor da ultima parcela.
´

18. Determine x e n a fim de que as sequˆncias (x2 − 4, 2x + 4, 6) e (n − 7, n + 2, 5n − 2) sejam
e
PGs.

19. Que n´mero deve ser adicionado a cada um dos termos da sequˆncia (3, 5, 8) a fim de que
u e
ela seja uma PG? Qual ´ a razõ da PG?
e a

20. O n´mero de consultas a um site de com´rcio eletrˆnico aumenta semanalmente (desde a
u e o
ıvel), segundo uma PG de razõ 3. Sabendo-se que na 6.a
data em que o portal ficou acess´ a
semana foram registradas 1 458 visitas, determine o n´mero de visitas ao site registrado na
u
3.a semana.

1 −3x
21. Determine x a fim de que a sequˆncia
e 2
, 2x , 43x+7 seja uma PG. Qual ´ a razõ
e a
dessa PG?

22. Considere uma sequˆncia de quadrados de modo que a ´rea de cada quadrado, a partir do
e a
segundo, seja o dobro da ´rea do quadrado anterior.
a
√
a) Determine a medida da diagonal de Q4 , sabendo que o per´
ımetro de Q6 ´ 16 2cm.
e
b) Qual ´ a razõ da sequˆncia que representa as medidas dos lados desses quadrados?
e a e

23. Considere a sequˆncia de c´
e ırculos c1 , c2 , . . . , c8 em que cada c´
ırculo, a partir de c2 , tem raio
igual a ter¸a parte do raio do c´
c ırculo anterior.
a) Caracterize a sequˆncia formada pelas ´reas de c1 , c2 , . . . , c8 .
e a
b) Sabendo que a ´rea de c6 vale π, determine a medida do raio de c3 .
a

24. Considere duas sequˆncias (an ) e (bn ) definidas, para todo n ∈ N∗, pelas leis: an = 2n−1 e
e
bn = 3n .
a) Verifique que tais sequˆncias definem progress˜es geom´tricas e calcule suas raz˜es.
e o e o
b) Considere a sequˆncia pn definida, para cada n ∈ N∗, por pn = an ∗ bn . (pn ) ´ uma PG?
e e

A P´g. 2 de 8
a

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o e e Matem´tica
a

Em caso afirmativo qual ´ sua razõ?
e a
c) Para cada n ∈ N∗, definimos a sequˆncia (sn ) dada pelas lei sn = an + bn . (sn ) ´ uma
e e
PG? Em caso afirmativo, qual ´ sua razõ?
e a

25. Interpole quatro meios geom´tricos entre -4 e 972.
e

26. Interpolando-se seis meios geom´tricos entre 20 000 e 1/500, determine:
e
a) a razõ da PG obtida.
a
b) o 4o termo da PG.

27. Interpolando-se trˆs meios geom´tricos entre 2/27 e x, obt´m-se uma PG de razõ -3. Qual
e e e a
´ o valor de x?
e
√ √
2 1 3 1
28. Qual ´ o n´mero de termos da PG
e u 27
, 27 , 81 , . . . , 729

29. Subtraindo-se um mesmo n´mero de cada um dos termos da sequˆncia (2, 5, 6), ela se
u e
transforma em uma PG.
a) Qual ´ esse n´mero?
e u
b) Qual ´ a razõ da PG?
e a

30. (PUC - RJ) Numa progressõ geom´trica de sete termos, o primeiro termo ´ 8, e o produto
a e e
dos sete termos ´ 1. Sendo 8k o segundo termo, encontre k.
e

31. Escreva trˆs n´meros em PG cujo produto seja 216 e a soma dos dois primeiros termos seja
e u
9.

32. Os n´meros que expressam as medidas do lado, do per´
u ımetro e da area de um quadrado
´
podem estar, nessa ordem, em PG? Em caso afirmativo, qual deve ser a medida do lado do
quadrado?

33. Os n´meros que expressam a medida da base, a medida da altura e a area de um triˆngulo
u ´ a
estõ, nessa ordem, em PG de razõ 2. Qual ´ a ´rea desse triˆngulo?
a a e a a

34. Em um trap´zio is´sceles cada lado obl´
e o ıquo mede 10/3 cm e a altura mede 8/3 cm. Se
os n´meros que expressam a medida da base menor, a medida da base maior e a area do
u ´
trap´zio sõ termos de uma PG, determine as medidas das bases do trap´zio.
e a e

35. Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG (m, m2 , m3 , ...):
a) para m = 1; b) para m = 2; c) para m = 1/2.

36. (UF-SC) Sejam (an ) uma progressõ geom´trica e (bn ) uma progressõ aritm´tica cuja razõ
a e a e a
´ 3/10 da razõ da progressõ geom´trica (an ). Sabendo que a1 = b1 = 2 e que a2 = b7 ,
e a a e
calcule a soma b1 + b2 + · · · + b7 .

A P´g. 3 de 8
a

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o e e Matem´tica
a

37. Qual ´ a condi¸õ sobre a, b e c de modo que a sequˆncia (a, b, c) seja, ao mesmo tempo,
e ca e
PA e PG?

38. Sõ dadas duas progress˜es: uma PA e outra PG. Sabe-se que:
a o

• ambas tem 3 termos positivos;
• em ambas, o 2.o termo ´ 8;
e
• o 1.o termo da PG ´ igual ao 3.o termo da PA;
e
• a soma dos termos da PG ´ 42.
e

Qual ´ o 1.o termo da PA?
e

39. Qual ´ a soma das dez primeiras potˆncias de expoentes inteiros e positivas de base 3?
e e

40. (CEFET-MG) A sequˆncia (m, 1, n) ´ uma progressõ aritm´tica e a sequˆncia (m, n, −8)
e e a e e
´ uma progressõ geom´trica. O valor de n ´:
e a e e
a) -2 b) -1 c) 3 d) 4 e) 8

41. Dona Marta relacionou, desde o come¸o do ano, seus gastos semanais no supermercado,
c
como mostra a tabela seguinte:

Semana 1 R$ 80,00
Semana 2 R$ 84,00
Semana 3 R$ 88,20
.
. .
.
. .

e assim por diante, durante as quatorze primeiras semanas do ano. Qual foi o total de
ıodo mencionado? (Use a aproxima¸ao: 1, 057 ≈ 1, 4 ).
gastos de dona Marta no per´ c˜

42. (UF - PE) O plano de pagamento de um apartamento consiste em presta¸˜es mensais cal-
co
culadas da seguinte forma:
A primeira mensalidade ´ de R$ 400,00.
e
As mensalidades dos meses subsequentes sõ obtidas multiplicando-se o valor da mensali-
a
dade do mˆs anterior por 1,01.
e
Se o pagamento estende-se durante 10 anos, qual o valor total pago, em milhares de reais?
(Dado: use a aproxima¸õ 1, 01120 ≈ 3, 30)
ca

43. (UF-SC) Assinale a(s) preposi¸õ(˜es) correta(s).
ca o
(a) O vig´simo termo da progressõ aritm´tica (x, x + 10, x2 , ...) com x < 0 ´ 186.
e a e e
u ımpares ´ n2 + 1.
(b) A soma dos n primeiros n´meros naturais ´ e

A P´g. 4 de 8
a

´ ´
o e e Matem´tica
a

(c) Sabendo que a sucessõ (x, y, 10) ´ uma PA crescente e a sucessõ (x, y, 18) ´ uma PG
a e a e
crescente, entõ x.y = 12.
a
(d) O valor de x na igualdade x + x/3 + x/9 + ... = 12, na qual o primeiro membro ´ a
e
soma dos termos de uma PG infinita, ´ 10.
e
(e) O termo 1/1024 encontra-se na dćima segunda posi¸õ na progressõ geom´trica
e ca a e
(2, 1, 1/2, ...).

44. Em um cassino, existe uma m´quina ca¸a-n´
a c ıquel em que o prˆmio pago ao apostador ´
e e
vinte vezes o valor da aposta. Come¸ando com cinco centavos de d´lar, um turista jogou
c o
oito vezes sucessivamente, quadruplicando, em cada aposta, o valor da aposta anterior.
Suponha que esse turista tenha “vencido” a 1.a , a 4.a e a 5.a rodadas. Determine:
a) o valor total investido nas oito rodadas;
b) a quantia recebida pelo turista e seu lucro (ou preju´
ızo);
c) o seu lucro, caso tivesse desistido de jogar ap´s a 5.a rodada.
o

45. Em uma PG , a soma do 3.o com o 4.o termo ´ -24 e a soma do 4.o com o 5.o termo vale
e
48. Determine:
a) a razõ da PG.
a b) a soma de seus quatro primeiros termos.

46. Quantos termos da PG (3, 6, 12,...) devemos somar a fim de que o total resulte 12285?

47. (U.F. OURO PRETO-MG) Num determinado jogo de apostas, o prˆmio pago a cada jo-
e
gador vencedor ´ duas vezes o valor de sua aposta. Maria adotou o seguinte esquema de
e
apostas: na 1.a tentativa, apostaria R$ 10,00; na 2.a tentativa, apostaria R$ 20,00; na 3.a
tentativa, apostaria R$ 40,00 e assim por diante, at´ conseguir vencer. Num certo dia,
e
Maria s´ conseguiu vencer na 10.a tentativa. Nesse dia, ela teve lucro ou preju´
o ızo? De
quanto?

48. (PUC-MG) Os n´meros inteiros nõ nulosa, b e c formam, nessa ordem, uma progressõ
u a a
geom´trica de razõ cinco. Os n´meros a, bx e c, nessa ordem, formam uma progressõ
e a u a
aritm´tica. O valor de x ´:
e e
a) 13/5 b) 17/5 c)15 d) 25

ıadas, a Copa do Mundo e os Jogos Pan-americanos ocorrem de
49. Sabe-se que as Olimp´
quatro em quatro anos. Se essas competi¸˜es ocorreram nos anos de 2004, 2006 e 2007,
co
respectivamente, e considerando que continuem a acontecer, segundo essa regra, por muito
tempo, responda:
a) Qual competi¸õ ocorrer´ em 2118? E em 2079 e 2017?
ca a
b) Haver´ algum ano em que ocorrer´ mais de uma dessas trˆs competi¸˜es? Explique.
a a e co

A P´g. 5 de 8
a

´ ´
o e e Matem´tica
a

50. Uma determinada sequˆncia num´rica respeita a seguinte condi¸õ: a diferen¸a entre dois
e e ca c
termos consecutivos ´ sempre a mesma e igual a 6. Se o primeiro termo dessa sequˆncia ´
e e e
?8,
(a) quais sõ os cinco primeiros termos?
a
(b) qual ´ o a9 ?
e
(c) quanto ´ a diferen¸a entre a12 ea5 ?
e c

51. O primeiro termo de uma sequˆncia num´rica ´ 0,02, e, para obter os termos seguintes,
e e e
basta multiplicar o termo imediatamente anterior por 5. Dessa forma, qual ´:
e
(a) o segundo termo?
(b) o resultado da divisõ entre a6 e a4 ?
a
(c) o termo geral da sequˆncia, isto ´, qual ´ a formula matem´tica que relaciona um
e e e a
termo qualquer (an ) ` posi¸õ do termo (n)?
a ca

52. Suponha que a popula¸õ de uma cidade tenha uma taxa de crescimento constante e igual
ca
a 20% ao ano. No fim do ano de 2007, a popula¸õ era de 50 000 habitantes.
ca
(a) Calcule a popula¸õ da cidade ao fim de cada um dos pr´ximos quatro anos e escreva
ca o
os resultados obtidos em forma de sequˆncia.
e
(b) A sequˆncia obtida ´ uma PG? Em caso afirmativo, qual ´ a razõ?
e e e a
(c) Encontre uma f´rmula que permita calcular a popula¸õ dessa cidade daqui a n anos,
o ca
contados a partir de 2007.

53. Suponha que o valor de um autom´vel diminua a uma taxa constante de 10% ao ano.Hoje,
o
o valor desse autom´vel ´ R$ 20 mil.
o e
(a) Calcule o valor desse autom´vel daqui a quatro anos.
o
(b) Encontre uma f´rmula que permita calcular o pre¸o desse autom´vel daqui a n anos.
o c o

54. Resolva a equa¸õ 2 + 4 + 8 + ... + x = 510, sabendo que as parcelas do primeiro membro
ca
da equa¸õ estõ em PG.
ca a

55. A primeira parcela de um financiamento de seis meses ´ de R$ 200,00, e as demais sõ
e a
decrescentes em 5%. Assim, a segunda parcela ´ 5% menor do que a primeira, a terceira
e
parcela ´ 5% menor do que a segunda e assim por diante. Adotando 0, 955 = 0, 77 e
e
0, 956 = 0, 73, calcule:
(a) Qual ´ o valor da ultima parcela?
e ´
(b) Quanto ter´ sido pago, quando a d´
a ıvida for totalmente quitada?

A P´g. 6 de 8
a

´ ´
o e e Matem´tica
a

56. (WJS)

Uma bola de borracha cai da altura de 6 m, bate no solo e
sobe at´ a ter¸a parte da altura inicial. Em seguida, a bola
e c
cai novamente, bate no solo, inverte o sentido de movimento e
sobe at´ atingir a ter¸a parte da altura anterior. Continuando
e c
seu movimento segundo essas condi¸˜es, isto ´, atingindo, ap´s
co e o
cada batida, a ter¸a parte da altura que atingiu ap´s a batida
c o
imediatamente anterior, qual ser´ a distˆncia vertical total per-
a a
corrida pela bola at´ parar?
e

57. Qual ´ o resultado da raiz
e

√
2∗ 2∗ 2∗ 2∗ 2∗ 2...

58. uma d´
ıvida foi paga, mensalmente, da seguinte maneira:

• 1◦ mˆs: metade do valor inicial da d´
e ıvida;
• 2◦ mˆs: metade do valor restante ap´s o pagamento da parcela anterior;
e o
• 3o mˆs: metade do valor restante ap´s o pagamento da parcela anterior;
e o
• 4◦ mˆs: metade do valor restante ap´s pagamento da parcela anterior;
e o
• e assim sucessivamente, at´ a quita¸õ total da d´
e ca ıvida.

Verifique que a soma das parcelas pagas corresponde ao valor total da d´
ıvida.

59. Determine a fra¸õ geratriz de cada uma das seguintes d´
ca ızimas peri´dicas:
o
a) 1, 777 . . . b) 0, 27 c) 1, 234234234 . . . d)2, 0454545 . . .

A P´g. 7 de 8
a

´ ´
o e e Matem´tica
a

60. (Adaptado do Paradoxo de zenõ1 ) Uma corrida ser´ disputada entre Aquiles, grande atleta
a a
grego, e uma tartaruga. Como Aquiles ´ 10 vezes mais r´pido do que a tartaruga, esta
e a
partir´ 10 metros ` frente de Aquiles, conforme representado no esquema abaixo.
a a

Quando Aquiles chegou ao ponto em que a tartaruga estava inicialmente, depois de percorrer
10 m, a tartaruga, 10 vezes mais lenta, estava 1 m ` frente.
a

Aquiles, entõ, correu 1 m, at´ o ponto em que a tartaruga estava, mas ela j´ nõ estava
a e a a
mais l´: estava 10 cm ` frente, pois correu, no mesmo intervalo de tempo, 10 vezes menos
a a
que Aquiles, e a dćima parte de 1 metro ´ 10 cm.
e e

Repetindo esse racioc´
ınio para os intervalos de tempo seguintes, parece que Aquiles nunca
alcan¸ar´ a tartaruga, pois ela sempre ter´ percorrido 1/10 do que Aquiles percorrer.
c a a
Ser´ mesmo verdade que ele nunca alcan¸ar´ a tartaruga?
a c a
(a) Escreva a sequˆncia das distˆncias que Aquiles percorre at´ chegar ao ponto em que a
e a e
tartaruga estava a cada vez.
(b) A sequˆncia das distˆncias ´ uma PG. Qual ´ a razõ dessa PG?
e a e e a
(c) Calcule a soma das infinitas distˆncias percorridas por Aquiles at´ chegar ao ponto em
a e
que se encontrava a tartaruga a cada vez.
(d) Quantos metros percorrer´ Aquiles at´ alcan¸ar a tartaruga? Ou vocˆ acredita que ele
a e c e
nõ a alcan¸a?
a c

1
Os paradoxos de Zeno (ou Zenõ) sõ argumentos utilizados para provar a inconsistˆncia dos conceitos
a a e
de multiplicidade e divisibilidade. Atrav´s de um m´todo dial´tico que antecipou Sćrates, Zeno procurava,
e e e o
partindo das premissas de seus oponentes, reduzi-las ao absurdo e com isso sustentar o ponto de f´ dos ele´ticos
e a
e de seu mestre Parmˆnides, que ia contra as idías pitag´ricas. Veja mais sobre o paradoxo de Zenõ neste link
e e o a

Dispon´ em waldexifba.wordpress.com
ıvel Copyright c Valdex Santos 2011

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