1) O documento apresenta 12 exercícios de estatística descritiva com dados reais sobre duração de chamadas telefônicas, notas de estudantes, desempenho de países em copas do mundo, e outros.
2) São solicitados cálculos de medidas de tendência central, dispersão e interpretação dos resultados.
3) As medidas incluem média, mediana, moda, desvio-padrão e coeficiente de variação.
Trabalho cientifico de Contabilidade de custos, feito por um estudante da universidade catolica de Mocambique concrectamente na faculdade de Gestao de turismo e informatica.
Trabalho cientifico de Contabilidade de custos, feito por um estudante da universidade catolica de Mocambique concrectamente na faculdade de Gestao de turismo e informatica.
The London Assembly Economy Committee visited Tech City to hear the biggest challenges the sector faces. Led by Tech London Advocates, the Committee visited several organisations, including Unruly, Makers Academy, Centre for London, Technology Will Save Us and Optimity.
The Committee uncovered a number of issues which require urgent attention from the current Mayor, and his successor, if London is to maintain growth in its digital economy.
BI Marketing Magazine nr. 1 - 2014 presents new research and knowledge-based insights from the Department of Marketing at the BI Norwegian Business School.
Articles in Norwegian and English. Edited by Audun Farbrot, Head of Science Communication at BI.
Best Practices der Kooperation - Erfolgsgeschichten aus dem VDC-Netzwerk: Formen der Zusammenarbeit gibt es am VDC viele. Dazu gehören Entwicklungskooperationen, gemeinsame Leistungsangebote, Marketinggemeinschaften, Zulieferer, Einkäufergemeinschaften, Forschungsdienstleistungen, Industrie-nahe Lehre, Ausgründungen, Vertretung in Gremien und Arbeitsgruppen.
1. 1
EST 105 - Exerc´
ıcios de Estat´
ıstica Descritiva
1 (II/2001). A tabela a seguir apresenta os tempos de dura¸ao de chamadas telefˆnicas
c˜ o
(em minutos), obtidos com uma amostra de oito telefonemas.
Telefonema Tempo (min.) Telefonema Tempo (min.)
1 1 5 8
2 3 6 1
3 6 7 4
4 15 8 2
Calcule e interprete:
a. O tempo m´dio (aritm´tico).
e e
b. O tempo mediano.
c. O tempo modal.
d. O erro-padr˜o da m´dia.
a e
e. O coeficiente de varia¸˜o da amostra.
ca
2 (II/2001, modificado). Assinale (V) se a afirmativa for totalmente verdadeira ou
(F) caso contr´rio e indique aonde deve ser corrigido.
a
a.( ) Para valores x1 , x2 , . . . , xn tais que xi > 0 ∀ i, tem-se que X H ≤ X G ≤ X.
b.( ) A variˆncia amostral mede a dispers˜o em torno da m´dia aritm´tica e
a a e e
resulta sempre em um valor n˜o negativo.
a
c.( ) Quanto ao valor mediano (M d) para uma amostra com n observa¸˜es, pode-
co
se afirmar que h´ n/2 observa¸˜es maiores e tamb´m n/2 observa¸˜es menores
a co e co
que M d.
d.( ) O coeficiente de correla¸˜o linear ´ admensional e o desvio-padr˜o ´ expresso
ca e a e
na mesma unidade de medida dos dados.
e.( ) O erro-padr˜o da m´dia ´ uma medida de dispers˜o que informa a precis˜o
a e e a a
com que a m´dia ´ estimada, pois representa o desvio-padr˜o da distribui¸˜o
e e a ca
amostral da m´dia.
e
f.( ) As amostras A : {15, 13, 10, 7, 4} e B : {105, 103, 100, 97, 94} possuem variˆncias
a
2 2
SA = SB = 19, 7 e portanto s˜o duas amostras com igual homogeneidade ou
a
dispers˜o relativa.
a
1
Exerc´ ıcios das avalia¸˜es dos semestres indicados. Cont´m 21 exerc´
co e ıcios em p´ginas numeradas
a
de 1 a 13.
1
2. 3 (II/2001). Calcule as m´dias harmˆnica, geom´trica e aritm´tica da seguinte
e o e e
amostra,
freq¨ˆncia 3 2 1 4
ue
valor 2 3 5 1
4 (II/2001). Em um Painel Sensorial indiv´ ıduos treinados avaliam (degustam)
determinado produto e atribuem uma nota de acordo com a percep¸ao do sabor:
c˜
0=muito ruim, 1=ruim, 2=regular, 3=bom, 4=muito bom e 5=excelente. Na tabela
a seguir s˜o informadas as notas obtidas com um determinado azeite de oliva,
a
0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5
Sumarize as notas com duas medidas de posi¸ao e duas de dispers˜o e interprete os
c˜ a
valores calculados.
5 (I/2002). Em 1930 foi disputada a primeira copa do mundo de futebol no Uruguai.
Foram disputadas, at´ a copa de 1998 na Fran¸a, um total de 16 copas, sendo que
e c
no per´ıodo entre 1938-1950 a competi¸ao n˜o foi realizada devido ` segunda guerra
c˜ a a
mundial. Na tabela a seguir ´ informado o n´mero de vezes que cada pa´ terminou
e u ıs
a competi¸ao entre os cinco primeiros colocados; observe que somente 24 pa´
c˜ ıses
obtiveram tal desempenho. Os dados s˜o reais e s˜o consideradas todas as 16 copas
a a
disputadas no per´ ıodo 1930-1998.
(FONTE: http://www.gazetaesportiva.net/copa2002/historia/indice.htm - acessado
em maio de 2002)
PA´ IS No de vezes 1o ao 5o colocado
Alemanha 10
Brasil 11
It´lia
a 8
Grupo A 5
Grupo B 4
Grupo C 3
Grupo D 2
Grupo E 1
Grupo A (2 pa´ ıses) - Argentina e Su´cia; Grupo B (3 pa´
e ıses) - Fran¸a, Iugosl´via e
c a
Uruguai; Grupo C (4 pa´ ıses) - Tchecoslov´quia, Holanda, Polˆnia e URSS; Grupo
a o
D (5 pa´ ´
ıses) - Austria, Chile, Espanha, Hungria e Inglaterra; Grupo E (7 pa´ ıses) -
B´lgica, Bulg´ria, Cro´cia, EUA, Pa´ de Gales, Portugal e Sui¸a.
e a a ıs c
2
3. a. Calcule o n´mero m´dio de participa¸˜es terminando entre os cinco primeiros
u e co
colocados, isto ´, a m´dia do No de vezes 1o ao 5o colocado dos pa´
e e ıses.
b. Calcule o erro-padr˜o da m´dia.
a e
c. Calcule o n´mero mediano e o n´mero modal.
u u
d. A m´dia aritm´tica ´ uma boa medida representativa (de posi¸˜o) dos n´meros
e e e ca u
˜
da tabela? SIM ou NAO? Justifique sua resposta.
6 (II/2002). Qual das duas amostras ´ a mais homogˆnea, isto ´, a de menor
e e e
dispers˜o relativa? Justifique sua resposta.
a
valores xi xi x2
i
Amostra 1: 95 90 84 82 79 73 71 60 634 51116
Amostra 2: 95 66 66 65 65 64 62 60 543 37727
7 (II/2002). Na tabela a seguir s˜o informadas as notas de uma amostra de 18 alunos.
a
Calcule as medidas de posi¸ao e dispers˜o abordadas e interprete o significado do
c˜ a
valor encontrado, ou/e explique qual ´ a informa¸˜o dada pela medida.
e ca
Nota No de Alunos Nota No de Alunos
59 1 68 2
60 1 72 1
61 1 73 2
64 1 91 3
65 3 99 1
67 1 100 1
8 (I/2003 modificado). As estat´ ısticas descritivas apresentadas na tabela a seguir
s˜o referentes a duas vari´veis, X e Y , avaliadas em n unidades experimentais.
a ` a
Vari´veis
a
Estat´ısticas X Y
m´dia aritm´tica
e e 12 14
mediana 10 15
erro-padr˜o da m´dia
a e 0,6 1,12
coeficiente de varia¸ao
c˜ 50% 80%
3
4. Assinale com V se a afirmativa estiver totalmente correta ou assinale F caso contr´rio
a
e indique o(s) erro(s).
a. ( ) A amostra de valores X apresenta uma menor dispers˜o relativa ou maior
a
homogeneidade.
b. ( ) n = 150 unidades experimentais foram avaliadas.
2 2
c. ( ) SX = 36 e SY = 11, 2.
n
d. ( ) Se for informado o valor de Xi Yi pode-se calcular o coeficiente de cor-
i=1
rela¸ao linear entre os valores das amostras X e Y .
c˜
e. ( ) A amplitude total da amostra X ´ maior porque a variˆncia ´ maior.
e a e
f. ( ) O n´mero de observa¸˜es ≤ 10 na amostra de valores X ´ igual ao n´mero
u co e u
de observa¸oes ≤ 15 na amostra de valores Y .
c˜
9 (II/2003). Uma reportagem entitulada: NEPOTISMO, DEPUTADOS CON-
TRATAM 151 PARENTES foi publicada no jornal O Estado de Minas no dia
07/09/2003. A reportagem informava que deputados federais contrataram 151 par-
entes como funcion´rios de seus gabinetes ou para ocupa¸ao de cargos da mesa
a c˜
diretora da casa e das lideran¸as dos partidos. Estes empregos consomem R$ 7,8
c
milh˜es por ano em sal´rios. Na tabela a seguir s˜o informados os totais de parentes
o a a
com respectivos valores m´dios dos sal´rios por categoria de parentesco,
e a
´
MEDIA SALARIAL
PARENTESCO (em R$ × 1000)
32 esposas 3,8
47 filhos 3,2
20 irm˜os
a 2,6
18 cunhados 2,8
12 primos 2,4
11 sobrinhos 2,2
6 noras 2,7
2 netos 3,9
2 tios 3,3
1 m˜e
a 3,8
Nos itens a seguir considere os valores de m´dia salarial como sendo o valor do
e
sal´rio para cada integrante da categoria de parentesco. Calcule e interprete o valor
a
calculado:
a. O sal´rio m´dio dos parentes.
a e
4
5. b. O sal´rio mediano dos parentes.
a
c. O desvio-padr˜o dos sal´rios.
a a
10 (I/2004). A revista VEJA do dia 05 de fevereiro de 2003 publicou uma reportagem
intitulada Globaliza¸ao Fase 2 - como o Brasil vai enfrentar os outros pa´ emer-
c˜ ıses
gentes na corrida global. Nesta reportagem est˜o resultados de uma pesquisa do
a
Monitor Group, empresa de consultoria estrat´gica especializada em competitivi-
e
dade, fundada em 1983 por professores da universidade americana Harvard. Duas
das vari´veis pesquisadas foram o cumprimento da lei e o controle da corrup¸ao, as
a c˜
quais designaremos por X e Y , respectivamente. Numa escala de notas de 0 a 100
avaliou-se o ´ındice de confian¸a da sociedade na qualidade e no cumprimento das
c
leis e no controle da corrup¸˜o. Os resultados obtidos para sete pa´ (Brasil-BRA,
ca ıses
Cor´ia do Sul-COR, M´xico-mex, Chile-CHI, ´
e e India-IND, China-CHN e R´ssia-RUS)
u
est˜o na tabela a seguir,
a
Indices dos Pa´
ıses
Vari´veis
a BRA COR MEX CHI IND CHN RUS
Cumpr. da lei (X) 50 81 37 85 60 58 30
Contr. da corrup¸ao (Y )
c˜ 65 68 48 82 46 47 25
a. Calcule a nota m´dia para o cumprimento da lei.
e
b. Calcule a nota mediana para o controle da corrup¸ao.
c˜
c. Qual das duas amostras ´ a mais homogˆnea? justifique.
e e
11 (I/2004). A Tabela a seguir mostra o resultado de um levantamento do IBGE
a respeito do tamanho das fam´ ılias em certa regi˜o do Brasil. Para fam´
a ılias de
tamanho 7 ou mais utilize tamanho igual a 7 nos c´lculos. Fam´
a ılias de tamanho
igual a 2 significa somente marido e mulher.
Tamanho No de fam´ılias
2 20300
3 12000
4 11000
5 6300
6 3000
7 ou + 2400
a. Calcule o tamanho m´dio das fam´
e ılias.
5
6. b. Calcule o tamanho mediano das fam´
ılias.
c. Calcule o desvio-padr˜o do tamanho das fam´
a ılias.
12 (II/2004). A tabela a seguir apresenta parte do quadro final de medalhas dos
jogos ol´ ´
ımpicos de Athenas 2004. E apresentado a coloca¸ao final (posi¸ao) do pa´
c˜ c˜ ıs
na competi¸ao, o n´mero de medalhas de ouro, prata e bronze e o total de medalhas,
c˜ u
para uma amostra dos pa´ participantes.
ıses
Posi¸ao
c˜ Pa´ıs Ouro Prata Bronze Total
1 Estados Unidos 35 39 29 103
2 China 32 17 14 63
3 Federa¸ao Russa
c˜ 27 27 38 92
4 Austr´lia
a 17 16 16 49
5 Jap˜o
a 16 9 12 37
15 Gr´cia
e 6 6 4 16
18 Brasil 4 3 3 10
20 Espanha 3 11 5 19
28 Eti´pia
o 2 3 2 7
38 Argentina 2 0 4 6
39 Chile 2 0 1 3
60 M´xico
e 0 3 1 4
61 Portugal 0 2 1 3
66 Paraguai 0 1 0 1
69 Venezuela 0 0 2 2
71 Colˆmbia
o 0 0 1 1
a. Calcule o n´mero mediano e o n´mero modal de medalhas de ouro. Explique ou
u u
interprete os valores calculados.
b. Calcule o n´mero m´dio de medalhas de ouro. A m´dia ´ uma boa medida de
u e e e
˜
posi¸ao para resumir os dados apresentados, SIM ou NAO? justifique.
c˜
c. Calcule o erro-padr˜o da m´dia do item b.
a e
d. Qual das duas amostras ´ a mais homogˆnea: a do n´mero total de medalhas ou
e e u
a do n´mero de medalhas de ouro? Justifique sua resposta.
u
13 (I/2005). O Brasil possui a sexta maior reserva geol´gica de urˆnio no mundo.
o a
O processo de coletar o urˆnio natural, contendo 0,7% de urˆnio-235, 99,3% de
a a
urˆnio-238 e tra¸os de urˆnio-235, e retirar uma quantidade de 238 para aumentar a
a c a
6
7. concentra¸˜o de 235, ´ conhecido como enriquecimento. O enriquecimento do urˆnio
ca e a
Brasileiro ´ feito no exterior. A Tabela a seguir informa os custos de gera¸˜o por
e ca
usina (US$ por megawatt) de algumas fontes de energia.
Fonte de US$ por Fonte de US$ por
energia megawatt energia megawatt
Hidrel´trica
e 30 Petr´leo
o 57,4
A g´s
a 39,7 ´
Eolica em terra 66,2
Nuclear 40,4 ´
Eolica em alto mar 99,1
A carv˜o
a 49 Tecn. de ondas e mar´s
e 119,1
Biomassa (baga¸o de cana)
c 49 Solar 140
a. Calcule e interprete: A amplitude total dos custos e o custo mediano.
b. Calcule o desvio-padr˜o dos custos.
a
c. Explique o que ´ uma an´lise estat´
e a ıstica descritiva ou um estudo descritivo
de um conjunto de dados?
14 (II/2005). Uma empresa avaliou 30 lotes de pe¸as da ind´stria A e tamb´m 30
c u e
lotes da ind´stria B. O n´mero de pe¸as defeituosas por lote ´ apresentado na tabela
u u c e
a seguir.
N´mero de
u Ind´stria A
u Ind´stria B
u
lotes 9 9 5 4 2 1 18 6 3 3 0 0
pe¸as defeituosas
c 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
Calcule para as duas amostras (ind´strias A e B):
u
a. O n´mero m´dio de pe¸as defeituosas por lote.
u e c
b. O desvio-padr˜o do n´mero de pe¸as defeituosas por lote.
a u c
c. O n´mero modal de pe¸as defeituosas por lote.
u c
d. Qual das duas amostras ´ a mais homogˆnea? Justifique sua resposta.
e e
15 (I/2006). A copa do mundo de 2006 na Alemanha foi a 18a edi¸ao da competi¸ao,
c˜ c˜
sendo o Brasil o unico pa´ que participou de todas as edi¸˜es. No quadro abaixo
´ ıs co
est˜o os nomes (conforme s˜o popularmente conhecidos) dos 10 maiores artilheiros
a a
da nossa sele¸˜o com o respectivo n´mero de gols marcados em copas do mundo,
ca u
incluindo-se a de 2006.
(Fonte: http://200.159.15.35/brasilnacopa/index.aspx).
7
8. Nome do artilheiro Gols
Ronaldo 15
Pel´
e 12
Ademir Menezes, Jairzinho, Rivaldo e Vav´a 9
Leˆnidas da Silva
o 8
Bebeto e Careca 7
Rivelino 6
Pede-se, calcule e interprete o valor calculado:
a. O n´mero m´dio de gols.
u e
b. O n´mero mediano de gols.
u
c. A amplitude total.
16 (I/2006). Fa¸a as devidas associa¸˜es.(2% para cada item assinalado correta-
c co
mente).
A Coeficiente de correla¸˜o
ca G M´dia geogr´fica
e a
B Coeficiente de determina¸ao
c˜ H Extrapola¸ao
c˜
C Valor mediano I Estat´ıstica
D M´dia harmˆnica
e o J Estat´ıstica Descritiva
E Desvio da regress˜o
a K Variˆncia amostral
a
F Regress˜o linear simples
a L Estat´ıstica Inferencial
( ) Uma medida do grau de associa¸ao linear entre duas vari´veis aleat´rias.
c˜ a o
( ) Somente resumir, descrever e apresentar, sem inferir.
( ) Percentual ou propor¸ao da variabilidade observada sendo explicada pelo mod-
c˜
elo ajustado.
( ) M´todos cient´
e ıficos para planejar coleta, coletar, organizar, resumir, apresen-
tar e analisar dados. Tamb´m inclui princ´
e ıpios e defini¸oes para validar resul-
c˜
tados das an´lises e permitir conclus˜es v´lidas. E
a o a ´ uma mistura de ciˆncia,
e
tecnologia e arte.
( ) Utilizar a equa¸ao ou modelo ajustado para prever valores fora do intervalo
c˜
investigado ou amostrado.
( ) Mede a dispers˜o dos valores em torno da m´dia aritm´tica.
a e e
( ´
) E a diferen¸a entre o valor observado e o estimado.
c
8
9. ( ) Estimar valores de uma vari´vel dependente com base nos valores de uma
a
vari´vel independente.
a
( ) Uma medida de posi¸ao adequada para valores tais como velocidades e custos.
c˜
( ) O ponto de equil´
ıbrio de uma amostra de valores que se apresentam em uma
progress˜o geom´trica.
a e
( ) Pelo menos metade dos valores s˜o maiores ou iguais e tamb´m pelo menos
a e
metade dos valores s˜o menores ou iguais.
a
( ) Medir a dispers˜o dos pontos ajustados.
a
( ´
) E a diferen¸a entre o maior e o menor valor da regress˜o.
c a
17 (II/2006). Quando duas vari´veis linearmente relacionadas, X e Y , s˜o avaliadas
a a
em n unidades experimentais, obt´m-se os pares de valores (xi , yi ) para i = 1, 2, . . . , n
e
que possibilitam o c´lculo do coeficiente de correla¸˜o linear, designado por rXY . Se
a ca
os valores da vari´vel Y s˜o multiplicados por uma constante k, positiva e finita,
a a
obtendo-se Z = kY , o coeficiente de correla¸ao ´ designado rXZ . Pede-se: Utilize as
c˜ e
propriedades de somat´rio para verificar como o valor de rXZ se compara ao valor
o
rXY .
18 (I/2007). Os registros m´dios mensais das temperaturas (C o ) m´
e ınimas (X1 ) e
m´ximas (X2 ) de 7 meses, janeiro a julho, s˜o apresentados na tabela a seguir.
a a
Mes (i) Jan(1 ) Fev(2 ) Mar(3 ) Abr(4 ) Mai(5 ) Jun(6 ) Jul(7 )
T. Min. (X1i ) 21 19 17 15 10 8 6
T. Max. (X2i ) 36 37 35 29 26 25 24
Denomina-se amplitude t´rmica a diferen¸a entre as temperaturas m´ximas e m´
e c a ınimas
(X2 − X1 ). Pede-se: apresente os c´lculos que justifiquem suas respostas,
a
a. Amplitude t´rmica mediana.
e
b. Amplitude total das amplitudes t´rmicas.
e
c. Amplitude t´rmica modal.
e
2 2
d. Se X1i = 1516 e X2i = 6608, qual ´ a amostra mais homogˆnea?
e e
19 (II/2007). Em uma reportagem intitulada stand-by eleva silenciosamente a conta
de luz, publicada no jornal O Globo em 26/08/2007, era informado que aparelhos em
modo de espera podem representar 20% do consumo em uma residˆncia. Na tabela
e
9
10. a seguir s˜o apresentados os consumos m´ximos dos equipamentos (X, potˆncia em
a a e
watts) em modo stand-by por 24 horas/dia, durante 30 dias e o respectivo gasto
(Y , em reais com o valor do imposto inclu´ıdo). Aten¸˜o: se utilizar os resultados
ca
diretamente da calculadora, indique a f´rmula de c´lculo.
o a
Equipamento X (W) Y (R$) Equipamento X (W) Y (R$)
TV normal 13 4,68 Videocassete 8 2,88
Som 3 em 1 completo 18 6,48 Recarreg. de bateria 4 1,44
Computador 4 1,44 Aparelho de fax 30 10,80
CD player 6 2,16 Home theater 12 4,32
Maquina de lavar (10kg) 5 1,80 Decodif. TV a cabo 14 5,04
Decodif. parab´lica
o 20 7,20 Modem de internet 20 7,15
a. Calcule a amplitude total dos gastos (em reais).
b. Calcule o consumo mediano (em watts).
c. Calcule o consumo m´dio (em watts).
e
d. Calcule o desvio-padr˜o dos consumos (em watts).
a
e. Considere que HS = ( W + 2 ) / 5. Por exemplo, um equipamento com 5W
equivale a 1,4HS de potˆncia, e suponha que a potˆncia de cada aparelho fosse
e e
expressa em HS. Pede-se: qual amostra seria a mais homogˆnea, a de valores
e
2
em W ou em HS? justifique. Mostre como HS e SHS se relacionam com W e
2
SW .
20 (II/2007). Considere que: consumo m´dio = distˆncia total percorrida / total de
e a
combust´ gasto. Kelly Quina vai e volta de carro de Santos a Bertioga em busca
ıvel
de seu cachorrinho. Seu carro faz 16 quilˆmetros por litro de gasolina na viagem
o
de ida e 12 quilˆmetros por litro na viagem de volta. Se a distˆncia de Santos a
o a
Bertioga ´ de 60 km, pede-se: calcule o consumo m´dio do trajeto total (ida e volta)
e e
e mostre que a m´dia harmˆnica ´ a m´dia correta a ser calculada. Calcule tamb´m
e o e e e
a m´dia aritm´tica para comparar.
e e
21 (II/2007). A tabela a seguir apresenta o n´mero de registros de pessoas doentes
u
(ni ) nos meses de janeiro a maio, com os respectivos ´ındices de aumento (Ii =
ni / ni−1 ). Suponha que seja um surto epidˆmico e que todas as condi¸˜es per-
e co
mane¸am inalteradas. Pede-se: utilize o ´
c ındice m´dio geom´trico para prever o
e e
n´mero de doentes no mˆs de junho.
u e
10
11. Mˆs(i)
e Jan(1) Fev(2) Mar(3) Abr(4) Mai(5)
n´mero de doentes (ni )
u 12 16 26 46 90
´
ındice de aumento (Ii ) - 1,33 1,63 1,77 1,96
RESPOSTAS
1. a. X = 5 minutos, o tempo total dividido igualmente entre os 8 telefonemas
b. M d = 3, 5 minutos, sendo 4 com dura¸ao acima e tamb´m 4 abaixo
c˜ e c.
M o = 1 minuto, o valor mais frequente d. S(X)≈ 1, 67 minutos ´ uma
e
estimativa do desvio-padr˜o da distribiui¸˜o amostral da m´dia, uma medida
a ca e
de precis˜o da estimativa
a e. CV(%)≈ 94, 4% minutos ´ o valor do desvio-
e
padr˜o expresso em termos percentuais do valor da m´dia.
a e
2. a. V - pode ser demostrado pela desigualdade de Jensen b.V c. F, pelo
menos n/2 ≥ e tamb´m n/2 ≤ ao valor mediano
e d.V e.V f. F,
CVA ≈ 45, 3% e CVB ≈ 4, 4%, portanto a amostra B ´ mais homogˆnea.
e e
3. X H ≈ 1, 57 X G ≈ 1, 80 X = 2, 1
2
4. Mo=2 Md=2,5 X ≈ 2, 82 SX ≈ 2, 513 SX ≈ 1, 59 S(X) ≈ 0, 27
CV(%)=56,15 AT=5; com as devidas interpreta¸oes a cargo do leitor !!
c˜
5. a. X ≈ 3, 33 b. S X ≈ 0, 566 c. M dX = 2, 5 e M oX = 1 d. N˜o. a
Note que 12 pa´ (50%) aparecem no m´ximo 2 vezes entre os 5 primeiros
ıses a
(pouca representatividade da m´dia); e tamb´m que 3 pa´ (Ale, Bra e Ita)
e e ıses
contribuem 29 vezes (36%) para o total 80. A m´dia sem estes 3 ´ igual a
e e
≈ 2, 43
6. CV1 ≈ 14, 08% e CV2 ≈ 16, 43%, portanto a amostra 1 ´ a mais homogˆnea. O
e e
coeficiente de varia¸ao (CV) ´ o valor do desvio-padr˜o expresso em percentual
c˜ e a
do valor da m´dia.
e
7. Medidas de posi¸˜o: M o = 65 e 91 s˜o as notas modais - as notas mais
ca a
frequentes. M d = 68 ´ a nota mediana - antes de examinar a amostra pode-se
e
afirmar que h´ pelo menos 9 alunos com nota maior ou igual 68 e tamb´m pelo
a e
menos 9 alunos com nota menor ou igual a 68. No exemplo, ap´s examinar a
o
amostra verifica-se que h´ exatamente 10 alunos. X = 74 ´ a nota m´dia - o
a e e
valor do total de pontos distribu´
ıdos igualmente entre os 18 alunos.
Medidas de dispers˜o: AT = 41 pontos ´ amplitude total das notas -
a e
2
diferen¸a entre a maior e a menor nota. S ≈ 189,88 pontos ao quadrado ´
c e
a variˆncia das notas - soma dos quadrados dos desvios em rela¸˜o a m´dia
a ca ` e
dividida por 17, que ´ o n´mero de graus de liberdade. S ≈ 13,78 pontos ´
e u e
11
12. o desvio-padr˜o, a raiz quadrada positiva da variˆncia, ´ um desvio (xi −
a a e
X) representativo da amostra. CV ≈ 18,62% ´ o coeficiente de varia¸ao
e c˜
- veja resposta 6. S(X) ≈ 3,25 ´ o erro-padr˜o da m´dia - estimativa do
e a e
desvio-padr˜o da distribui¸˜o amostral da m´dia, uma medida da precis˜o da
a ca e a
estimativa da m´dia.
e
2
8. a. V b. F, n = 100 c. F, SY = 125, 44 d. V f. F, pelo menos n/2 = 50
em cada amostra, valores n˜o necessariamente iguais.
a
9. a. X = 461,8 ≈ 3, 06 ou R$ 3060,00 ´ o total dos gastos com sal´rios dividido
151
e a
igualmente entre os parentes b. M dX = X(76) = 3, 2 ou R$ 3200. Pelo
menos 50% do total de parentes recebem este valor ou mais (84 parentes) e
2
pelo menos 50% recebem este valor ou menos (114 parentes). c. SX ≈ 0, 517
ou R$ 517 ´ um desvio representativo da dispers˜o dos dados em torno do valor
e a
do sal´rio m´dio.
a e
10. a. X ≈ 57, 29 b. M dY = Y(4) = 48 c. CVX ≈ 35, 97% e CVY ≈ 34, 29%
portanto a amostra de valores Y ´ mais homogˆnea.
e e
11. a. X = 186.900 ≈ 3, 4 b. M dX = 3, note que do total de 55 mil fam´
55000
ılias
avaliadas, h´ 32300 com x ≤ 3 e 34700 com x ≥ 3 c. SX ≈ 1, 435.
a
12. a. M o = 0 medalhas, valor mais frequente, para 5 pa´
ıses, M d = 2,5. Verifica-se
que h´ 8 pa´ com ≥ 2,5 e tamb´m 8 com ≤ 2,5 medalhas.
a ıses e b. X = 9, 125
medalhas por pa´ N˜o, pois apenas 3 pa´
ıs. a ıses (EUA, China e R´ssia) s˜o
u a
respons´veis por 64% (94 medalhas) do total, portanto ´ influenciada por
a e
valores altos da amostra. c. S(X) = 3, 07 medalhas. 1.d. a do n´mero u
total por apresentar menor CV . CVouro ≈ 134, 6% e CVtotal ≈ 128, 8.%.
13. a. AT = 110 US$ por megawatt, M d = 53, 2 US$ por megawatt b. S ≈
37, 41 US$ por megawatt c. ´ um estudo no qual se procura apenas resumir
e
os dados por meio de tabelas e/ou gr´ficos e/ou medidas descritivas de posi¸˜o
a ca
e dispers˜o. Isto ´, nenhum m´todo inferencial ´ aplicado.
a e e e
14. a. X A ≈ 1, 467 e X B = 0, 70 b. SA ≈ 1, 408 e SB ≈ 1, 022 c. M oA = 0
e 1 (bimodal) e M oB = 0 d. ind´stria A, menor CV , CVA ≈ 95, 98% e
u
CVB = 146%
15. a. X = 9, 1 gols por artilheiro ´ o total de gols dividido igualmente entre eles
e
b. M d = 9 gols, com 6 artilheiros ≥ e 8 ≤ deste valor c. AT = 15 − 6 = 9
gols ´ a diferen¸a entre o maior e o menor n´mero de gols por artilheiro.
e c u
16. (A),(J),(B),(I),(H),(K),(E),(F),(D),( ),(C),( ),( ), ´ a sequˆncia de cima pra
e e
baixo.
17. SP DXZ = kSP DXY e SQDZ = K 2 SQDY , portanto rXZ = rXY .
18. a. 17 b. 4 c. 18 d. temp. m´ximas (CV1 ≈ 42, 04% CV2 ≈ 18, 45%).
a
12
13. 19. a. R$ 9,36 b. 12,5W c. ≈ 12, 83W d. ≈ 8,055 W e. HS = (W +2)/5
2 2
e SHS = 1/25SW , portanto CVW ≈ 62, 8% e CVHS ≈ 54, 3%, valores HS mais
homogˆnea.
e
20. distˆncia total percorrida = D = 2 × 60 e consumo total = C = C1 + C2 =
a
60/16 + 60/12, ent˜o verifica-se que D/C ≈ 13, 7 ´ a m´dia harmˆnica dos
a e e o
consumos. A m´dia aritm´tica ´ 14km/l.
e e e
√
21. I G = 4 4 Ii =
i=1
4
1, 33 × 1, 63 × 1, 77 × 1, 96 ≈ 1, 656, portanto n6 = I G ×
n5 ≈ 149, 04.
13