1) O documento apresenta 14 exercícios resolvidos de números complexos, incluindo operações como soma, multiplicação, divisão e raiz quadrada. 2) As soluções envolvem representar os números complexos na forma algébrica a + bi e aplicar propriedades como conjugado e módulo. 3) Os exercícios foram extraídos de provas de diversas universidades brasileiras e abordam conceitos como parte real, imaginária e módulo de um número complexo.

1. COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br
Exercícios de Números Complexos – Forma Algébrica – 2012 - GABARITO
1. (UFU) Sejam os complexos z = 2x – 3i e t = 2 + yi, onde x e y são números reais. Se z = t, então o
produto x.y é: a) 6 b) 4 c) 3 d) –3 e) – 6
Solução. Igualando os complexos, temos:
3)3).(1(y.x)ii
3y
1x
y3
2x2
)tIm()zIm(
)tRe()zRe(
yi2i3x2)i
−=−=



−=
=
⇒



=−
=
⇒



=
=
⇒+=−
.
2. (PUC) O é o quociente de
i2
i8
−
+
é igual a:
a) 1 + 2i b) 2 + i c) 2 + 2i d) 2 + 3i e) 3 + 2i
Solução. Multiplicando o denominador e o numerador pelo conjugado de (2 – i), temos:
i23
5
)i23(5
5
i1015
)1(²2
1i2i816
²i²2
²ii2i816
i2
i2
.
i2
i8
i2
i8
+=
+
=
+
=
−−
−++
=
−
+++
=
+
+
−
+
=
−
+
.
3. (MACK) Se z é um número complexo e o seu conjugado, então, o número de soluções da
equação: ²zz = é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Solução. Considerando z = a + bi, temos:

2. 
















→+−=
→+−=
⇒±=⇒=+=⇒=−





−−





−⇒−=



→=⇒=
→=⇒=
⇒=−⇒=−−⇒=
⇒











−=⇒=+
=
⇒=+⇒=+
=−−
⇒
⇒=++−−⇒++=−⇒+=−⇒



−=
+=
Soluçãoª4
2
3
i
2
1
z
Soluçãoª3
2
3
i
2
1
z
2
3
b
4
3
2
1
4
1
²b0²b
2
1
2
1
2
1
a:casoº2
Soluçãoª21z1a
Soluçãoª10z0a
0)1a(a0)0(a²a0b:casoº1
2
1
a01a2
0b
0)1a2(b0bab2
0²ba²a
0)bab2(i²)ba²a(²i²babi2²abia)²bia(bia
biaz
biaz
3
32
2
1
.
4. (ITA) Os complexos u e v, de módulo igual a 1, são representados no plano de Argand-Gauss por dois
pontos simétricos em relação ao eixo real. Vale então a relação
a) b) c) d)
Solução. Considerando u = a + bi e v = c + di, se possuem o mesmo módulo e os pontos são
simétricos em relação ao eixo real, então a = c e b = - d. Analisando cada opção temos:
a) Falso. ²d²c)²dic()dic).(dic(v.u
dicbiau
dicvdicv
+≠−=−−=⇒



−=+=
−=⇒+=
.
b) Verdadeiro. 1v²d²c²i²d²c)dic).(dic(v.u ==+≠−=+−=
.
c) Falso. 0di2c2)dic()dic(vu ≠−=−+−=+ .
d) Falso. 01v²d²c²i²d²c)dic).(dic(v.u ≠==+≠−=+−=
.

3. 5. (CESGRANRIO) O módulo do complexo z, tal que z2
= i, é:
a) 0 b)
2
2
c) 1 d) 2 e) 2
Solução. Considerando z = a +bi, temos:







=⇒+−=







+−=
=⇒+=







−=
⇒±=⇒−=⇒=−⇒−=









=







−+







−=−−⇒−−=
=







+







=+⇒+=
⇒±=⇒=⇒=⇒=
⇒




=⇒=
−==⇒=−
⇒



=
+−=++=+=
1z
2
2
i
2
2
i
2
2
i
2
2
iz
1z
2
2
i
2
2
i
2
2
i
2
2
iz
2
2
ia
2
1
²a
2
1
²aba)ii
1
2
2
2
2
2
2
i
2
2
2
2
i
2
2
z
1
2
2
2
2
2
2
i
2
2
2
2
i
2
2
z
2
2
a
2
1
²a
2
1
a.aba)i
2
1
ab1ab2
baouba0²b²a
i²z
abi2²)b²a(²i²babi2²a)²bia(²z
44
33
22
2
22
1
.
6. (UFPA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10
Solução. Um número complexo é imaginário puro, se sua parte real for nula.
[ ] 6m0m60i)m2()m6Re)ii
i)m2()m6(mmi3i26²mimi3i26)i3).(mi2()i
=⇒=−⇒=++−
++−=−++=+++=++
.
7. (MACK) O conjugado de
i
i2 −
vale:
a) 1 – 2i b) 1 + 2i c) 1 + 3i d) –1 – 2i e) 2 - i
Solução. Multiplicando o numerador e o denominador por i, vem:
i21
1
1i2
)1(
1i2
²i
²ii2
i
i
.
i
i2
i
i2
−−=
−−
=
−−
−−
=
−
+−
=





−
−−
=
−
.
8. Calcule [(1 + i)80
+ (1 + i)82
] ÷ i96
.240
.
Solução. Aplicando as propriedades das potências de i, temos:

4. [ ] [ ] [ ][ ] ( )
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] i21)i21()i(
2
)i21(i.2
2)i2.(i2i22.1)i1.(i2i2
2.i)i1.()i1()i1(2.i)i1()i1()ii
i21i21²ii21)²i1()i
104
40
4040
4040404024040
40244240240240968280
+=+=
+
=÷+=÷++=
=÷++++=÷+++
=−+=++=+
.
9. Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi, sabendo-se que z + w é um número
real e z.w é um imaginário puro, pede-se calcular o valor de b2
- 2a.
Solução. Efetuando e utilizando o fato que número real possui a parte imaginária for nula, temos:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
502525
2
25
2)²5(a2²b)iii
2
25
a25a2025a20²i25ai5i10a2Re0)i5a).(i52(Re)ii
5b0b50)b5(i)a2(Im0)bia()i52(Im)i
=+=





−−=−
−=⇒−=⇒=+⇒=−−+⇒=+−
=⇒=+−⇒=+−++⇒=++−
.
10. Determine o número complexo z tal que 0i1z.2z.i =−++ .
Solução. Considerando z = a + bi e substituindo na equação, temos:
i1z,Então.1b2b21b2)1(,Logo
1a3a3
1b2a
2b2a4
1b2a
)2(1ba2
0)1b2a(i)1ba2(0i1bi2a2²biai0i1)bia(2)bia(i
biaz
biaz
−−=−=⇒−=⇒=−−
−=⇒=−⇒



=−
=+−
⇒



=−
−×→−=−
⇒
⇒=−−++−⇒=−+−++⇒=−+−++⇒



−=
+=
.
11. (UEFS) Encontre o valor da expressão E = x-1
+ x2
, para x = 1 – i.
a) -3i b) 1 – i c) i
2
5
2
5
+ d) i
2
3
2
5
− e) i
2
3
2
1
−
Solução. Desenvolvendo, temos:
i
2
3
2
1
2
i4i1
i2
2
i1
1i21
²i1
i1
²ii21
i1
i1
.
i1
1
)²i1(
i1
1
E
²xxE
i1x
1
−=
−+
=−
+
=−−+
−
+
=+−+





+
+
−
=++
−
=⇒



+=
−=
−
.
12. (UEFS) Simplificando-se a expressão E = i7
+ i5
+ ( i3
+ 2i4
)2
, obtêm-se:
a) -1 + 2i b) 1 + 2i c) 1 - 2i d) 3 - 4i e) 3 + 4i
Solução. Utilizando as propriedades das potências de i, temos:
i434i414i4)²i(ii)²2i(i³i)²i2³i(ii 457
−=+−−=+−−++−=+−++=+++ .
13. (FUVEST) Nos itens abaixo, z denota um número complexo e i a unidade imaginária. Suponha z ≠ i.

5. Para quais valores de z tem-se 2
iz1
iz
=
+
+
?
Solução. Considerando z = a + bi e substituindo na equação, temos:
i
5
3
5
4
z:R
.
5
4
2
1
.
5
8
a
5
8
a21
5
3
a21
5
3
a2,Logo.
5
3
b3b5
1ba2
4b4a2
1ba2
)2(2b2a
0)1a2b(i)2b2a(0b2ai2i2bia
0²bi2ai2i2bia0)bia(i2i2)bia(0iz2i2ziz22iz2
iz1
iz
+=
==⇒=⇒+=⇒−=+−=⇒=⇒
⇒



−=+−
=+
⇒



−=+−
×→=+
⇒=+−+−+⇒=+−+−+⇒
⇒=−−+−+⇒=+−+−+⇒=−+−⇒+=+⇒=
+
+
.
14. (FGV) A figura indica a representação dos números Z1 e Z2‚ no plano complexo. Se Z1.Z2‚ = a + bi, calcule
a + b.
Solução. Observando o gráfico podemos escrever z2 = x + iy. Os ângulos u e v são os argumentos.
Temos:
( )( )
( )314434ba
4b
34a
bia.z.z
i43432i2i6323i1.i232.z.z
)iii
3i1z
3
2
3
.2º60sen.2senv.2y
1
2
1
.2º60cos.2vcos.2x
)ii
º60vº30u
3
3
3
1
32
2
tgu
i232z
)i
21
21
2
1
−=+−=+⇒



=
−=
⇒
⇒




+=
+−=−−+−=+−+=
+−=⇒







=







===
=





===





=⇒=⇒===
+=
.

6. Para quais valores de z tem-se 2
iz1
iz
=
+
+
?
Solução. Considerando z = a + bi e substituindo na equação, temos:
i
5
3
5
4
z:R
.
5
4
2
1
.
5
8
a
5
8
a21
5
3
a21
5
3
a2,Logo.
5
3
b3b5
1ba2
4b4a2
1ba2
)2(2b2a
0)1a2b(i)2b2a(0b2ai2i2bia
0²bi2ai2i2bia0)bia(i2i2)bia(0iz2i2ziz22iz2
iz1
iz
+=
==⇒=⇒+=⇒−=+−=⇒=⇒
⇒



−=+−
=+
⇒



−=+−
×→=+
⇒=+−+−+⇒=+−+−+⇒
⇒=−−+−+⇒=+−+−+⇒=−+−⇒+=+⇒=
+
+
.
14. (FGV) A figura indica a representação dos números Z1 e Z2‚ no plano complexo. Se Z1.Z2‚ = a + bi, calcule
a + b.
Solução. Observando o gráfico podemos escrever z2 = x + iy. Os ângulos u e v são os argumentos.
Temos:
( )( )
( )314434ba
4b
34a
bia.z.z
i43432i2i6323i1.i232.z.z
)iii
3i1z
3
2
3
.2º60sen.2senv.2y
1
2
1
.2º60cos.2vcos.2x
)ii
º60vº30u
3
3
3
1
32
2
tgu
i232z
)i
21
21
2
1
−=+−=+⇒



=
−=
⇒
⇒




+=
+−=−−+−=+−+=
+−=⇒







=







===
=





===





=⇒=⇒===
+=
.