Este documento fornece o gabarito de respostas para questões sobre matemática financeira, progressões aritméticas e geométricas, logaritmos e equações. As questões abordam tópicos como cálculo de juros compostos, determinação do valor de uma dívida no tempo, cálculo do número de termos em uma progressão e resolução de equações logarítmicas.

1. mAtEmÁticA 1 – VolumE 4
Gabarito – Volume 4
gABArito
01. Resposta A.
Substituindo M = 550
C = 500
i = 0,01
na fórmula M = C . (1 + i)T
550 = 500 . (1 + 0,01)T
11
,
= 1 01T
10
 11 
log1,01   = T
 10 
T = log1,0111 – log1,0110
T = 240,9 – 231,4
T = 9,5
Portanto: 9 meses e 15 dias.
02. Resposta D.
2n
,
=16
20
04. Resposta A.
De acordo com a definição e os dados do problema, temos:


1
−8
pH = log10 
 = log10 1− log10 (4, 8 . 10 ) ⇒
4, 8 . 10−8 

pH = log10 1− log10 4, 8 − log10 10−8 ⇒
pH = 0 − log10 4, 8 − ( −8) = 8 − log10 4,8=8 − 0, 68 = 7, 3
Volume do prisma ⇒ V = a . b . c = 32

log  a

b c

a .b . c
100  = log
100 =

1
1
. log100 =
abc
2
1
1
.2=
=
32 16
32
= log100 abc =
AulA 17 – Função
16
16
→ log2
=n
10
10
n = log2 16 − log2 10
2n =
logArítmicA
01. Resposta C.
Observe o gráfico:
log 10
n = log2 2 − 10
log10 2
o
4
f
1
10 12 − 10 2
= 4−
=
=
0, 3
3
3
3
2 8
n= =
3 12
n = 4−
y
B(2, y) = (2, 9)  f( x ) = x 2 + 2x + 1



g( x ) = log2 x
03. Resposta B.

log8 



(
a+ b
(a . b )
1
2
g
)
2

 = log  a + 2 ab + b  =

8 

ab




 ab (30 + 2) 
 30 ab + 2 ab 
=
= log8 
 = log8 
ab


ab




= log8 32 = log23 25 = 5 .
1 5
,
= =16
3 3
1
05. Resposta E.
matemática 1
AulA 16 – logAritmos
C
A(x, 1) = (2, 1)
x
log2x = 1 → x = 21 = 2
(0, 1) → f(0) = 02 + 2(0) + 1 = 1
Para o ponto B(2, y), teremos:
f(2) = (2)2 + 2(2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9
Portanto, a distância AB = 9 – 1 = 8

2. Gabarito – Volume 4
02. Resposta A.
02. Resposta C.
A fórmula que determina o valor da dívida em função
do tempo, em meses é M(t) = 700 . (1,08)t. Logo:
Observe o gráfico:
y (altura)
M( t ) = 1200
18
700 . (1 08)t = 1200
,
L
13
0,4
0
12 00
7 00
12
(1 08)t =
,
7
12
log1,08
=t
7
12
log
0, 234
7
= =
= 7 meses
t
log1 08 0, 033
,
(1 08)t =
,
6
0,25 1
2
x (idade)
3
Pela posição da curva a > 1 a função é crescente.
03. Resposta C.
Calculando:
f(2) = log22 = 1
f(8) = log882 = 3
03. Resposta D.
log2 ( x − 2) − log4 x = 1
A2
A1
1
log2 ( x − 2) − log22 x = 1
3
log2 ( x − 2) −
8
6
(3 + 16
)
= 4 . 3 = 12cm2
2
A 2 = 8 . 3 = 24cm2
A1 =
2
1
. log2 x = 1
2
log2
x−2
x
x=
=1
 x − 2
2

 = (2)
 x 
04. Resposta B.
 10−11 
N = 10 . log  −12  = 10 . log10−11−( −12) ⇒
 10 
⇒ 10 . log10−11+12 = 10 . log10 = 10 . 1 ⇒
log10 ( x + 1) + log10 ( x + 3) = log10 3
x + 1 > 0
C.E. 
log10 ( x + 1) . ( x + 3) = log10 3
x + 3 > 0
( x + 1) . ( x + 3) = 3
05. Resposta B.
Aula 18 – Equações
e
inequações logarítmicas
f( t ) = 0,1
t
2
0−4= −
t
=4
2
t = 8h
= 0,1
−t
2
1
2 =
16
t
1
log2
=−
16
2
log2 1− log2 16 = −
x 2 + 3x + x +3 −3 = 0
x 2 + 4x = 0
x( x + 4) = 0
x=0
x = −4 (não serve)
No de soluções: 1
05. Resposta D.
(log n)2 − 3 . (log n) + 2 ≤ 0
Fazemos log n = y
01. Resposta A.
−
x '' = 4 − 2 3 (não serve
pois x<2)
04. Resposta A.
N = 10dB
Como h(t) = 3,5, teremos;
3,5 = 1,5 + log3(t + 1)
3,5 – 1,5 = log3(t + 1)
log3(t + 1)= 2 → t + 1 = 9
t=9–1=8
Então, a árvore foi cortada 8 anos após a sua plantação.
8±4 3
2
x' = 4+ 2 3
2
16 . 2
,
x 2 − 8x + 4 = 0
log2 ( x − 2) − log2 x = 1
A total = 12 + 24 = 36cm
x 2 − 4 x − 4x + 4 = 0
1
2
2
matemática 1
x 2 − 4x + 4
=4
x
x 2 − 4x + 4 = 4x
t
2
y 2 − 3y + 2 ≤ 0
. ( −1)
y ' = 1
y 2 − 3y + 2 = 0 
y '' = 2
m/a
+
c/a
–
1
t
2
m/a
+
2
1≤y≤2
1 ≤ log n ≤ 2
10 ≤ n ≤ 100
S = {n ∈ Z* / 10 ≤ n ≤ 100}
+

3. f(n) =
Para n = 1 → f(1) =
AulA 19 – sEquÊnciAs numéricAs
01. Resposta A.
10
9
100 esferas 10
8
81 esferas
2 camada
a
1a camada
64 esferas 8
9
3a camada
No total → 100 + 81 + 64 = 245 esferas
02. Resposta E.
posição
1a → q = 4 = 2 2
2a → q = 2 2 . 2 = 2 3
3a → q = 2 3 . 2 = 2 4
4a → q = 2 4 . 2 = 2 5
.
.
.
p→?
De um modo geral a figura da posição p é formada
por q = 2p . 2 = 2p + 1
03. Resposta D.
an = 3 n − 1
Para n = 1 ⇒ a1 = 3 1− 1 = 3 0 = 0
Para n = 2 ⇒ a2 = 2 − 1 = 1 = 1
3
1
1
=
2
4
(2)
Para n = 3 → f(3) =
1
1
=
(3)2 9
Para n = 4 → f(4) =
1
1
=
(4)2 16
Soma → 1+
1 1 1 205
+ +
=
4 9 16 144
05. Resposta A.
a1 = 1o triângulo = 3 palitos
a2 = 2o triângulo = 5 palitos P de r = 2
.A.
a3 = 3o triângulo = 7 palitos
a20= 20o triângulo = ?
an = a1 + (n – 1)r
a20 = a1 + 19r
a20 = 3 + 19 . 2
a20 = 3 + 38 = 41 palitos
AulA 20 – ProgrEssão
Para n = 28 ⇒ a28 = 3 28 − 1 = 3 27 = 3
Para n = 65 ⇒ a65 = 3 65 − 1 = 3 64 = 4
{0, 1 2, 3, 4} → 5 termos
,
04. Resposta E.
1
n2
01. Resposta B.
A sequência (87,9; 88,1; 88,3; ...; 107,9) é uma
P de r = 0,2 e a1 = 87,9 e an = 107,9.
.A.
Então:
an = a1 + (n – 1)r
107,9 = 87,9 + (n – 1) . 0,2
20 = (n – 1) . 0,2
20
n–1=
0, 2
n – 1 = 100 → n = 101
02. Resposta C.
Temos a P A. (9,8; 19,6; 29,4; ...) →
.
a1 = 9,8
r = 9,8
a10 = ?
an = a1 + (n – 1)r
a10 = a1 + 9r
a10 = 9,8 + 9 . (9,8)
a10 = 98 m/s
03. Resposta C.
Na P
.A.:
1 1
Para n = 1 → f(1) = 2 = = 1
1
(1)
Para n = 2 → f(2) =
1
1
=
(2)2 4
Para n = 3 → f(3) =
1
1
=
2
9
(3)
3
AritméticA
3
Para n = 9 ⇒ a9 = 3 9 − 1 = 3 8 = 2
f(n) =
Para n = 2 → f(2) =

Observando que na sequência (10, 12, 14, ..., 100)
Temos:
an = a1 + (n − 1)r
a1 = 10
an = 100
100 = 10 + (n − 1).2
r=2
100 = 10 + 2n − 2
n=?
100 = 2n + 8
2n = 92
92
n=
= 46
2
1 1
= =1
(1)2 1
a5 = 30 → a1 + 4r = 30 . ( −1)

a20 = 50 → a1 + 19r = 50
matemática 1
Gabarito – Volume 4
1
n2

4. Gabarito – Volume 4
02. Resposta A.
 −a1 − 4r = −30

⊕

 a1 + 19r = 50

15r = 20
20 ÷ 5 4
=
15 ÷ 5 3
4
4
para r = → a1 + 4 . = 30
3
3
16 90 − 16 74
a1 = 30 −
=
=
3
3
3
Logo: a8 = a1 + 7r
Portanto:
a3 = a 1 . q 2
a3 = 2,5 . (1,1)2 = 3,025km
r=
=
74
4 74 28 102
= 34
+7 . =
+
=
3
3
3
3
3
04. Resposta D.
Preço →
1o ano →
2o ano →
3o ano →
4o ano →
5o ano →
4
r = –1500,00
q
=
5
= 5 (P.G.)
1
a5 = a 1 . q 4
a5 = 1 . 54 = 625 pontos
04. Resposta C.
Observe os valores:
2011 → 10 000 unidades → a1
2012 → 12 000 unidades → a2
n=5
2015
Sn =
05. Resposta B.
S5 = 74 416 unidades
a1 + 10r − (a1 + 5r ) = 200
Perímetro do 1o D → 30
a1 + 10r −a1 − 5r = 200 → r = 40
matemática 1
05. Resposta E.
Perímetro do 2o D → 15
Perímetro do 3o D →
910 = a1 + 400 → a1 = 510
Então: a8 = a1 + 7r
a8 = 510 + 280
a8 = 790
Aula 21 – Progressão geométrica
01. Resposta B.
Teremos a P (x, 2x, 4x, 8x, 16x, 32x)
.G.
Logo: q =
2x
=2
x
Na fórmula: Sn =
a1 . (qn − 1)
q −1
a . (q6 − 1)
S6 = 1
q −1
x . (26 − 1)
2 −1
x . 63
1134 =
1
63x = 1134 → x = 18
1134 =
Portanto, o grupo resolveu 18 problemas em janeiro.
15
2
15 

, ...
Temos a P infinita  30, 15,
.G.


2
15 1
= =
q
30 2
Sn =
q = 1,20
a1 . (qn − 1)
,
10 000 . (1 205 − 1)
→ S5 =
1 20 − 1
,
q −1
a11 − a6 = 200

a11 = 910
a11 = a1 + 10r
2, 75
,
= 11
2, 25
03. Resposta B.
45 000
43 500
42 000
40 500
39 000
37 500
=
Temos a P (2,5; 2,75; ...) de razão q
.G.
a1
1− q
30
1
1−
2
2
30
Sn =
= 30 . = 60
1
1
2
Sn =
Anotações