Este documento fornece exercícios sobre lugares geométricos usando o produto escalar. Inclui determinar equações de mediatrizes, circunferências, planos, esferas e cones circunscritos a figuras geométricas dadas em um referencial cartesiano tridimensional.

1. Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano
Tema: Lugares geométricos usando o produto escalar
Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.1
1. Considere num referencial o.n. Oxy os pontos A )1,2(  e B )7,9( .
1.1. Determine a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta [AB] usando o produto escalar.
1.2. Uma equação da circunferência de diâmetro [AB] usando o produto escalar.
2. Na figura ao lado está representado, num referencial o.n. Oxyz, o prisma triangular não regular
[AEKGHI].
Sabe-se que:
 As bases são triângulos retângulos isósceles ( EKAE  e
HIGH  ) com hipotenusa de comprimento igual a 22 ;
 A base [AEK] está contida no plano xOy;
 As arestas laterais do prisma são perpendiculares à base;
 O ponto A coincide com a origem do referencial e o ponto G
tem cota 2;
 O ponto M é o ponto médio de [IG];
Determine uma equação do plano mediador do segmento de reta [EM] usando o produto escalar.
3. Na figura seguinte está representado, num referencial o.n. Oxyz, um
prisma quadrangular regular.
 A base [EOFG] está contida no plano xOy.
 O ponto D tem de coordenadas (3 , 3, 5).
Determine uma equação da superfície esférica que passa nos oito vértices
do prisma.
4. Considere, num referencial o.n. Oxy, a circunferência de equação 8222
 yyx .
4.1. Determine uma equação da reta r que é tangente à circunferência no ponto T )51,2(  .
4.2. Determine as coordenadas do ponto de tangência à circunferência pela reta s que é paralela à reta r.

2. Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano
Tema: Lugares geométricos usando o produto escalar
Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.2
5. Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [ABCDEFGO].
Admita que, o ponto D tem coordenadas )4,3,2( e o ponto E tem
coordenadas )1,1,2(  .
Determine uma equação:
5.1. da superfície esférica circunscrita ao cubo [ABCDEFGO];
5.2. do plano tangente, à superfície esférica circunscrita ao cubo, no
ponto E.
6. Na figura ao lado está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução.
Sabe-se que:
 A base do cone está contida no plano xOy e tem o seu
centro na origem do referencial;
 [AB] é um diâmetro da base;
 O vértice C tem coordenadas (0 , 0, 3);
 O ponto B tem coordenadas (0, 2, 0).
6.1. Escreva uma equação vetorial da reta BC.
6.2. Calcule o ângulo formado pelas retas AC e CB. Apresente o resultado arredondado às unidades.
6.3. Determine uma equação do plano mediador do segmento de reta [AC].
6.4. Determine uma equação da superfície esférica de diâmetro [BC].
7. Na figura seguinte está representada, num referencial o.n. Oxyz, uma
esfera de diâmetro [BC].
Sabe-se que o ponto B coincide com a origem do referencial e que o ponto
C tem coordenadas (0 , 0 , 4).
7.1. Defina por uma condição a esfera representada na figura.
7.2. Determine uma equação do plano tangente à esfera no ponto de coordenadas )1,2,1(