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Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano
Tema: Introdução ao círculo trigonométrico
Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.1
1. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. xOy, uma
circunferência centrada na origem e raio 2.
P é o ponto de interseção da linha de circunferência com o lado
extremidade do ângulo de amplitude α.
O ponto P tem ordenada -1.
Mostra que
6
33
cos

 sentg
2. Considera verdadeiras as seguintes condições:
 0 tgsen
 0cos sen
A que quadrante pertence o ângulo α?
Escolhe a opção correta.
(A) 1.º Q (B) 2.º Q (C) 3.º Q (D) 4.º Q
3. Para cada uma das seguintes alíneas, determina os valores de k que tornam as condições possíveis.
3.1.
2
2 k
sen

 e º180º45 
3.2.
2
1
cos
k
 e 







 ,
2
3.3. 2
2 kktg  e 




 

2
3
,
3.4.
2
1
cos
4
1 



kk
sen
Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano
Tema: Introdução ao círculo trigonométrico
Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.2
4. Relativamente a um ângulo de amplitude α sabemos que
 




 

2
,0
 0cos sen
Relativamente a tg , qual das opções abaixo é necessariamente verdadeira?
(A) 1tg (B) 3tg (C) 1tg (D) 3tg
5. Sem recorrer à calculadora, determina o valor exato da expressão





 





 





 





 
64
cos
36
5
sentgsen
6. Determina o valor exato da expressão  cos.sin , sabendo que:
3
1
tg e 



 

 2,
2
3
7. Seja α um valor pertencente ao intervalo 



 0,
2

.
Qual das expressões seguintes designa um número real negativo?
(A)  tgsen  (B)  sencos (C)  sentg  (D)  cossen
8. Seja α um valor pertencente ao intervalo 





,
2
.
Qual das expressões seguintes designa um número real positivo?
(A)  tgsen  (B)  sencos (C)  tgsen  (D)  cossen
Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano
Tema: Introdução ao círculo trigonométrico
Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.3
9. Na figura ao lado está representado o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
 A é um ponto da circunferência com ordenada nula e abcissa
negativa.
 α é a amplitude de um ângulo no 1.º quadrante, cujo lado
extremidade contém o segmento de reta [OB] e o lado origem
coincide com a parte positiva do eixo das abcissas.
 O ponto B pertence à circunferência.
 O ponto C é simétrico do ponto B relativamente ao eixo das abcissas.
Qual das opções abaixo representa, em função de α, a área do quadrilátero [ABOC]?
(A) sen (B) cos (C)
2
cossen 
(D)
2
cos21 
10. Relativamente à figura sabe-se que:
 cmOC 1 ;
 O trapézio [ABCD] está inscrito na circunferência e
é isósceles.
 O ângulo COB tem amplitude  .
 




2
,0

 .
Mostre que a área do trapézio [ABCD] é dada, em função de  , por:
   sensenA  cos
Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano
Tema: Introdução ao círculo trigonométrico
Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.4
11. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n. xOy, o
círculo trigonométrico.
Os pontos A, B, C e D são os pontos de intersecção da circunferência
com os eixos do referencial.
Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco BC, nunca
coincidindo com B nem com C.
Para cada posição do ponto P, seja Q o ponto do arco AB que tem ordenada igual à ordenada do ponto P e
seja R o ponto do eixo Ox que tem abcissa igual à abcissa do ponto Q.
Seja α a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e
por lado extremidade a semirreta 











 ,
2
PO
.
.
Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.
11.1. Mostre que a área do trapézio OPQR é dada por  cossen
2
3
.
11.2. Para uma certa posição do ponto P, a reta OP intersecta a reta de equação 1x  num ponto de
ordenada
24
7
 .
Determine, para essa posição do ponto P, a área do trapézio [OPQR].
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

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Introdução ao círculo trigonométrico

  • 1. Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano Tema: Introdução ao círculo trigonométrico Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.1 1. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. xOy, uma circunferência centrada na origem e raio 2. P é o ponto de interseção da linha de circunferência com o lado extremidade do ângulo de amplitude α. O ponto P tem ordenada -1. Mostra que 6 33 cos   sentg 2. Considera verdadeiras as seguintes condições:  0 tgsen  0cos sen A que quadrante pertence o ângulo α? Escolhe a opção correta. (A) 1.º Q (B) 2.º Q (C) 3.º Q (D) 4.º Q 3. Para cada uma das seguintes alíneas, determina os valores de k que tornam as condições possíveis. 3.1. 2 2 k sen   e º180º45  3.2. 2 1 cos k  e          , 2 3.3. 2 2 kktg  e         2 3 , 3.4. 2 1 cos 4 1     kk sen
  • 2. Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano Tema: Introdução ao círculo trigonométrico Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.2 4. Relativamente a um ângulo de amplitude α sabemos que          2 ,0  0cos sen Relativamente a tg , qual das opções abaixo é necessariamente verdadeira? (A) 1tg (B) 3tg (C) 1tg (D) 3tg 5. Sem recorrer à calculadora, determina o valor exato da expressão                             64 cos 36 5 sentgsen 6. Determina o valor exato da expressão  cos.sin , sabendo que: 3 1 tg e         2, 2 3 7. Seja α um valor pertencente ao intervalo      0, 2  . Qual das expressões seguintes designa um número real negativo? (A)  tgsen  (B)  sencos (C)  sentg  (D)  cossen 8. Seja α um valor pertencente ao intervalo       , 2 . Qual das expressões seguintes designa um número real positivo? (A)  tgsen  (B)  sencos (C)  tgsen  (D)  cossen
  • 3. Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano Tema: Introdução ao círculo trigonométrico Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.3 9. Na figura ao lado está representado o círculo trigonométrico. Sabe-se que:  A é um ponto da circunferência com ordenada nula e abcissa negativa.  α é a amplitude de um ângulo no 1.º quadrante, cujo lado extremidade contém o segmento de reta [OB] e o lado origem coincide com a parte positiva do eixo das abcissas.  O ponto B pertence à circunferência.  O ponto C é simétrico do ponto B relativamente ao eixo das abcissas. Qual das opções abaixo representa, em função de α, a área do quadrilátero [ABOC]? (A) sen (B) cos (C) 2 cossen  (D) 2 cos21  10. Relativamente à figura sabe-se que:  cmOC 1 ;  O trapézio [ABCD] está inscrito na circunferência e é isósceles.  O ângulo COB tem amplitude  .       2 ,0   . Mostre que a área do trapézio [ABCD] é dada, em função de  , por:    sensenA  cos
  • 4. Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano Tema: Introdução ao círculo trigonométrico Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.4 11. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n. xOy, o círculo trigonométrico. Os pontos A, B, C e D são os pontos de intersecção da circunferência com os eixos do referencial. Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco BC, nunca coincidindo com B nem com C. Para cada posição do ponto P, seja Q o ponto do arco AB que tem ordenada igual à ordenada do ponto P e seja R o ponto do eixo Ox que tem abcissa igual à abcissa do ponto Q. Seja α a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semirreta              , 2 PO . . Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora. 11.1. Mostre que a área do trapézio OPQR é dada por  cossen 2 3 . 11.2. Para uma certa posição do ponto P, a reta OP intersecta a reta de equação 1x  num ponto de ordenada 24 7  . Determine, para essa posição do ponto P, a área do trapézio [OPQR]. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.