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Interpolação e
Geoestatística em RÂngela Terumi Fushita
Vitor Vieira Vasconcelos
Introdução ao uso de dados espaciais para estudos ambientais
Programa de Pós-Graduação em Ciência e Tecnologia Ambiental
Universidade Federal do ABC
Abril, 2019
Santo André - SP
Objetivo
Adquirir os conhecimentos e
habilidades básicas relacionados
a interpolação e geoestatística
no ambiente R
Conteúdo
•Vizinho mais próximo
•Inverso da distância
•Superfícies de tendência
•Funções de base radial
•Krigagem
Materiais de aula disponíveis em:
Baixar os dados em: D:/R_CTA/aula9/
https://app.box.com/s/i4ka2t08gf8t1er8542jfvhyhhovmpf1
Leitura Prévia
Capítulos
3 - Análises de Superfícies por Geoestatística Linear
DRUCK, S.; CARVALHO, M. S.; CÂMARA, G.;
MONTEIRO, A.V.M (eds). Análise Espacial de Dados
Geográficos. Brasília: EMBRAPA, 2004. Disponível
em: http://www.dpi.inpe.br/gilberto/livro/analise/
Livros de Referência
Bivand, Roger. S., Pebesma, E. J., Gomez-Rubio, V., &
Pebesma, E. J. (2013). Applied spatial data analysis with R.
New York: Springer..
https://app.box.com/s/uti6bqyiscqpoqu2dsmd06yk5xw5m9qw
Site de apoio: https://asdar-book.org/
●
Capítulo 8 – Interpolação e Geoestatística
Livros de Referência
Hengl, T., 2009. A practical guide to geostatistical mapping.
University of Amsterdan.
PDF:
http://spatial-analyst.net/book/system/files/Hengl_2009_GEOSTATe2c1w.pdf
Site de apoio: http://spatial-analyst.net/book/
Conteúdos:
●
Krigagem
●
Regressão de dados espaciais
Tutoriais
https://geokrigagem.com.br/categoria/licoes-de-geoestatistica-no-r/
Principais pacotes para interpolação e
geoestatística em R
●
dismo
– Vizinho mais próximo
●
gstat
– Inverso da distância
– Superfícies de tendência
– Krigagem
●
automap
– Krigagem
●
geoR
– Krigagem
●
fields e geospt
– Funções de base radial - Spline
Interpolação
Como estimar um parâmetro para o qual não
há informação espacial disponível?
Solução 1 – Usar o valor do ponto mais próximo
Interpolação
Solução 2 – Usar a média de todos os dados
Interpolação
Solução 3 – Usar a média ponderada pela distância
Interpolação
Interpolação
A interpolação transforma dados pontuais em campos contínuos
Temperatura média anual em Portugal
Estações metereológicas Raster Intepolado
Temperatura
(ºC)
8
10
12
14
16
18
Interpolação
Exato: o valor interpolado sempre coincide com o do ponto
Aproximado: os valores interpolados se aproximam aos dos pontos
Interpolador Exato Interpolador Aproximado
Interpolação
Temperatura
(ºC)
8
10
12
14
16
18
• Interpoladores graduais
§ Geram uma superfície contínua
• Interpoladores abruptos
§ Geram uma superfície discreta
Interpolador
gradual
Interpolador
abrupto
Interpolação
Locais: usa dados apenas de N vizinhos mais próximos
Globais: usa dados de todos os pontos
BÉLA, M. 2010. Spatial Analysis 4, Digital elevation modeling. University of West Hungary Faculty of Geoinformatics. Em:
http://www.tankonyvtar.hu/en/tartalom/tamop425/0027_SAN4/index.html
Interpolação
• Determinísticos: um valor único para cada pixel no espaço
• Geoestatísticos: utiliza dados de autocorrelação espacial
entre os pontos e gera dados quanto à
incerteza de predição (desvio padrão)
LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP.
CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004
Interpolação Desvio Padrão
(incerteza)Estimação da
autocorrelação espacial
Conteúdo
•Vizinho mais próximo
•Inverso da distância
•Superfícies de tendência
•Funções de base radial
•Krigagem
Interpolação
Métodos discretos
Polígonos de Thiessen,
Polígonos de Voronoi,
Vizinho mais Próximo,
Alocação Euclideana
d/2
d/2
Prática de interpolação em R
●
Estações climáticas
– Localização: Pluviômetros da rede
hidrometeorológica nacional
http://metadados.ana.gov.br/geonetwork/srv/pt/main.home
– Dados de precipitação e temperatura média
anuais simulados de WorldClim 2
http://worldclim.org/version2
Atividade
●
Novo projeto
●
Criar um novo script de
programação
●
Abrir o script aula9.R
●
Configurar o diretório de trabalho
●
Exemplo de código:
setwd("D:/R_CTA/aula9")
●
Confirmando o diretório de trabalho
getwd()
●
É sempre recomendável verificar
atualizações nos pacotes instalados antes
de começar a trabalhar
Pacotes básicos:
install.packages("sf")
install.packages("sp")
install.packages("rgdal")
install.packages("tmap")
library(sf)
library(rgdal)
library(sp)
library(raster)
library(tmap)
Comando:
update.packages(ask=FALSE)
Importando os dados
estacoes <- st_read("estacoes.shp")
View(estacoes)
Importando os dados
tm_shape(estacoes) + tm_dots(col="chuva", pal="Blues") +
tm_shape(mun) + tm_borders(col="black")
Para interpolação,
é importante
amostrar pontos ao
redor da área de
interesse
Vizinho mais próximo
install.packages("dismo")
library(dismo)
estacoes_sp <- as(estacoes,"Spatial")
voronoi <- voronoi(estacoes_sp)
voronoi_sf <- st_as_sf(voronoi)
View(voronoi_sf)
Vizinho mais próximo
plot(st_geometry(voronoi_sf))
plot(st_geometry(estacoes), pch=20, cex=0.4, col="blue", add=TRUE)
Vizinho mais próximo - Chuva
plot(voronoi_sf["chuva"], breaks="quantile")
Vizinho mais próximo
Temperatura
plot(voronoi_sf["temperat"], breaks="quantile")
Conteúdo
•Vizinho mais próximo
•Inverso da distância
•Superfícies de tendência
•Funções de base radial
•Krigagem
Wij peso da amostra j no ponto i da grade
k é o expoente da distância,
dij é o valor de distância da amostra j ao ponto i da grade
Exemplo para K=2
CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de
dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004.
Inverso da Distância
Inverso da Distância
Efeito do expoente:
- Baixos (>2): destacam anomalias locais
- 2: inverso do quadrado da distância, o mais usado
- Altos: (3-5): suavizam anomalias locais
- ≥ 10: estimativas poligonais (planas)
LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP.
Brusilovskiy, E. 2009. Spatial Interpolation: a brief introduction. Business Intelligence Solutions.
Em: http://www.bisolutions.us/A-Brief-Introduction-to-Spatial-Interpolation.php
Inverso da Distância
Diferentes expoentes para a ponderação de inverso da distância
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Shepard_interpolation_2.png
Inverso da Distância
●
Expoente mais adequado pode ser calibrado por validação cruzada
●
Etapas da Validação Cruzada:
1. Retira 1 dos pontos
2. Usa os demais pontos para estimar o valor no local do ponto retirado
3. Compara com o valor do ponto retirado
4. Repete para todos os pontos e todos
os coeficientes
5. O coeficiente que produzir o menor
erro geral é escolhido
Chang, K.T. 2006. Kriging. Using Geostatistical Analyst, ESRI. Introduction to
Geographic Information Systems. Em:
https://www.yumpu.com/en/document/view/21394397/kriging/31
Inverso da Distância
Características:
• Destaca anomalias locais -> gera efeito mira (olho de búfalo)
o Deve-se justificar se o fenômeno modelado possui esse
efeito (exemplo: pontos de contaminação)
• Valores sempre entre o máximo e o mínimo das amostras
LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP.
Inverso da Distância
Interpolação
Vizinho mais próximo
Inverso do Quadrado
da Distância
Teor de argila nos solos
da Fazenda Chanchim
CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de
dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004.
Inverso da Distância
install.packages("stars")
install.packages("gstat")
library(stars)
library(gstat)
●
“gstat” cria modelos de interpolação
gs_idw_2 <- gstat(formula=chuva~1, locations=estacoes, set=list(idp=2))
“variável~1” significa
interpolação da variável
principal sem auxílio de
outras variáveis
arquivo sf ou sp de
pontos com a variável
peso do
inverso da
distância
parâmetros
do modelo
Inverso da Distância
●
Avaliar a eficiência do modelo por
validação cruzada (cross-validation)
cv_idw_2 <- gstat.cv(gs_idw_2)
View(as.data.frame(cv_idw_2))
Inverso da Distância
●
Raiz do erro médio quadrático
(Root Mean Square Error – RMSE) =
sqrt(mean(cv_idw_2$residual^2))
[1] 117.8616
●
Estimativa de % de explicação da variância
(análogo ao R2)
1-(var(cv_idw_2$residual)/var(cv_idw_2$observed))
[1] 0.9360051
Inverso da Distância
●
Preparar um modelo de raster vazio para a interpolação
modelo_raster <- raster("srtm_abc.tif", values=FALSE)
●
Diminuir resolução do raster
(para agilizar processamento)
modelo_raster <- aggregate(modelo_raster, fact = 10)
●
Gerar o raster interpolado
chuva_idw_2 <- interpolate(object=modelo_raster, model=gs_idw_2)
Raster com pixels vazios
Função do
pacote raster
Reduz resolução
em 10 vezes
Inverso da Distância
plot(chuva_idw_2)
plot(st_geometry(mun), add=TRUE)
Exercício 1
●
Faça a interpolação do inverso da
distância com pesos 1 e 6, comparando
os mapas a validação cruzada
Otimização da interpoloação
erro_medio_quadrado <- function(peso) {
gs <- gstat(formula=chuva~1, locations=estacoes, set=list(idp=peso))
cv <- gstat.cv(gs)
sqrt(mean(cv$residual^2)) }
erro_medio_quadrado(2)
peso_otimo <- optimize(f=erro_medio_quadrado, interval=c(1,10))
peso_otimo$minimum
peso_otimo$objective
Cria função para otimizar o peso do inverso da distância
Resultado da função
Parâmetro
da função
Limites mínimos e
máximos para o
parâmetro “peso”
[1] 117.8616
[1] 4.846275
Retorna erro quadrático médio
para peso = 2
Retorna peso com menor erro
quadrático médio
Raiz do erro quadrático médio
do peso otimizado
[1] 55.79638
Otimização da interpoloação
gs_otimo <- gstat(formula=chuva~1,
locations=estacoes, set=list(idp=peso_otimo$minimum))
cv_otimo <- gstat.cv(gs_otimo)
1-(var(cv_otimo$residual)/var(cv_otimo$observed))
[1] 0.9853082
Inverso da Distância
chuva_idw_otimo <- interpolate(modelo_raster, gs_otimo)
plot(chuva_idw_otimo)
plot(st_geometry(mun), add=TRUE)
É possível otimizar
outros parâmetros
da interpolação,
como o número
máximo de vizinhos
a serem utilizados
Conteúdo
•Vizinho mais próximo
•Inverso da distância
•Superfícies de tendência
•Funções de base radial
•Krigagem
1ª Ordem: Z = a + bX + cY
2ª Ordem: Z = a + bX + cY + dXY+ eX2+ fY2
3ª Ordem: Z= a + bX + cY + dXY+ eX2+ fY2+gXY2+hX2Y+iX3+jY3
Onde:
Z é o valor estimado na célula
X e Y são as coordenadas geográficas
a…j são os coeficientes que melhor
se ajustam aos dados
LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP.
DEMPSEY,C. 2013. Statistical surfaces in GIS. Em: https://www.gislounge.com/statistical-surfaces-in-gis/
1ª ordem
2ª ordem
3ª ordem
Polinômios – Superfícies de tendência
• Pode ser estimado para além da área amostrada
o Quanto mais longe da área amostrada, menor a
confiabilidade
• Estima valores acima e abaixo do conjunto amostrado
• Valores não coincidem exatamente com os pontos
amostrados
o Pode-se gravar o resíduos nos pontos amostrados
§ Os resíduos podem ser interpolados por outro método e
somados à superfície de tendência
LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP.
Polinômios – Superfícies de tendência
Superfície de tendência
gs_superficie_1 <- gstat(formula=chuva~1, location=estacoes, degree=1)
Grau da
superfície de
tendência
cv_superficie_1 <- gstat.cv(gs_superficie_1)
sqrt(mean(cv_superficie_1$residual^2))
1-(var(cv_superficie_1$residual)/var(estacoes$chuva))
superficie_1 <- interpolate(modelo_raster, gs_superficie_1)
[1] 169.5668
[1] 0.8627123
Superfície de Tendência
plot(superficie_1)
plot(st_geometry(mun), add=TRUE)
Superfície de Tendência
persp(superficie_1,border=NA, col="blue", theta = 320, phi=40)
Não desenhar
quadrículas
Exercício 2
Fazer a superfície de tendência de 2ª ordem,
avaliando a regressão,
avaliando a validação cruzada,
e visualizando o mapa e a perspectiva 3D
Fórmula de superfície de 2ª ordem:
Z = a + bX + cY + dXY+ eX2+ fY2
Conteúdo
•Vizinho mais próximo
•Inverso da distância
•Superfícies de tendência
•Funções de base radial
•Krigagem
Agrupa superfícies por
polinômios ajustados para
diversos grupos vizinhos de
pontos
http://help.arcgis.com/en/arcgisdesktop/10.0/help/index.html#/How_
radial_basis_functions_work/00310000002p000000/
Função de Base Radial
(Splines)
Imagine uma capa de borracha (elástica) sendo colocada
sobre os pontos amostrados
• Pode-se ajustar um coeficiente de “elasticidade”
• Pode-se calibrar esse coeficiente por validação cruzada
DEMPSEY,C. 2013. Statistical surfaces in GIS.
Em: https://www.gislounge.com/statistical-surfaces-in-gis/
Função de Base Radial
(Splines)
• Interpolador exato
• Gera valores acima ou abaixo dos amostrados (topos e vales)
• Curvas suaves
o Não adequado para dados com variações bruscas
DEMPSEY,C. 2013. Statistical surfaces in GIS.
Em: https://www.gislounge.com/statistical-surfaces-in-gis/
Função de Base Radial
(Splines)
Thin Plate Spline
install.packages("fields")
library(fields)
modelo_tps <- Tps(x=st_coordinates(estacoes), Y=estacoes$chuva)
sqrt(mean(modelo_tps$residual^2))
1-(var(modelo_tps$residual)/var(estacoes$chuva))
chuva_tps <- interpolate(modelo_raster, modelo_tps)
Variáveis preditoras Variável predita
Erro médio quadrático[1] 17.55077
Funções de spline mais avançadas são
encontradas no pacote geospt
% de explicação
[1,] 0.9985292
Thin Plate Spline
plot(chuva_tps)
plot(st_geometry(mun), add=TRUE)
Thin Plate Spline
persp(chuva_tps, border=NA, col="blue", shade=0.3, theta = 320, phi=40)
Exercício 3
Fazer uma interpolação Spline para os
dados de temperatura, avaliando a
validação cruzada,
e visualizando o mapa e a perspectiva 3D
Conteúdo
•Vizinho mais próximo
•Inverso da distância
•Superfícies de tendência
•Funções de base radial
•Krigagem
Permite incorporar 3 fatores:
• Flutuações locais: autocorrelação espacial
• Ruído: mudanças aleatórias independentes do espaço
• Tendências gerais: polinômios e variáveis auxiliares
Autocorrelação espacial - Lei de Tobler
“No mundo, todas as coisas se parecem, mas coisas mais
próximas são mais parecidas que aquelas mais distantes”
(Waldo Tobler, 1970)
DEMPSEY,C. 2013. Statistical surfaces in GIS. Em: https://www.gislounge.com/statistical-surfaces-in-gis/
TOBLER, W. R. (1970). A computer movie simulating urban growth in the Detroit region. Economic Geography, 46(2): 234-240.
Krigagem
Variograma
C = Variância
C0 = Efeito Pepita
C+C0 = Patamar
a = Alcance
SANTOS, Carlos Eduardo dos  y  BIONDI, João Carlos. Utilização de elipsoide de anisotropia variográfica como indicador cinemático em maciços rochosos
fragmentados por falhas: o exemplo do depósito de asbestos crisotila cana brava (Minaçu, GO). Geol. USP, 2011, vol.11, n.3, pp. 65-77.
CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004.
Variograma
C0 = Efeito Pepita
Variação ao acaso
Fatores não relacionados ao espaço
Erros de Amostragem
A = Alcance
Distância até onde ocorre autocorrelação espacial
CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de dados geográficos. Embrapa Cerrados,
Planaltina, 2004.
Variograma
C = Variância
C0 = Efeito Pepita
C+C0 = Patamar
A = Alcance
SANTOS, C. E., BIONDI, J. C. Utilização de elipsoide de anisotropia variográfica como indicador cinemático em maciços rochosos fragmentados por falhas: o exemplo do
depósito de asbestos crisotila cana brava (Minaçu, GO). Geol. USP, 2011, vol.11, n.3, pp. 65-77.
CRUZ-CARDENAS, G. et al . Distribución espacial de la riqueza de especies de plantas vasculares en México. Rev. Mex. Biodiv.,  México ,  v. 84, n. 4, p. 1189-1199,  2013 .
Ajustando um variograma
http://help.arcgis.com/en/arcgisdesktop/10.0/help/index.html#/Components_of_geostatistical_models/003100000034000000/
Ajustando um variograma
https://www.e-education.psu.edu/geog486/node/1878
Ajustando um variograma
Variograma
IDH no Estado de São Paulo
Distância
Variância
Nem todo variograma chega no patamar de estabilização
Interpolação
Vizinho mais próximo
Inverso do Quadrado
da Distância
Teor de argila nos solos
da Fazenda Chanchim
CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de
dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004.
Interpolação
Krigagem Variância da Krigagem
Teor de argila nos solos
da Fazenda Chanchim
CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de
dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004.
Passos para a Krigagem
Normalizar a variável
de entrada
Modelar o variograma
Interpolar o mapa
Validação cruzada
Distribuição normal
Normalização de variáveis
install.packages("rcompanion")
library(rcompanion)
plotNormalHistogram(estacoes_sp$chuva)
Normalização de variáveis
install.packages("bestNormalize")
library(bestNormalize)
modelo_normal <- bestNormalize(estacoes_sp$chuva)
modelo_normal
Best Normalizing transformation with 352 Observations
Estimated Normality Statistics (Pearson P / df, lower => more normal):
- No transform: 7.1037
- Box-Cox: 4.5371
- Log_b(x+a): 5.7155
- sqrt(x+a): 6.3629
- arcsinh(x): 5.7155
- Yeo-Johnson: 2.7903
- orderNorm: 1.0612
Estimation method: Out-of-sample via CV with 10 folds and 5 repeats
Based off these, bestNormalize chose:
orderNorm Transformation with 352 nonmissing obs and ties
Normalização de variáveis
plotNormalHistogram(modelo_normal$x.t)
Desnormalização de Variáveis
chuva_original <- predict(modelo_normal, newdata = modelo_normal$x.t,
inverse=TRUE)
plotNormalHistogram(chuva_original)
usa o modelo de
trás para frente
Variograma
variograma <- variogram(chuva_n~1, estacoes_sp)
plot(variograma)
Variograma
variograma <- variogram(chuva_n~1, estacoes_sp, cutoff=100000)
plot(variograma, plot.numbers=TRUE) Mostra quantos pares de ponto
foram agrupados em cada classe
Distância do
variograma
Variograma
install.packages("geoR")
library("geoR")
estacoes_geodata <- as.geodata(estacoes_sp[,"chuva_n"])
variograma_geor <- variog(estacoes_geodata)
plot(variograma_geor)
dev.new()
eyefit_geor <- eyefit(variograma_geor)
Distância do
variograma
Alcance
(domínio
estruturado)
Patamar de
semivariância
Efeito pepita
Variáveis
auxiliares da
função Depois grave
os parâmetros
e saia
Ao terminar,
exporte o gráfico
Exercício 4 - Ajuste de Variograma
Ajuste de Variograma
dev.off()
eyefit_geor
plot(variograma_geor)
lines(eyefit_geor)
cov.model sigmasq phi tausq kappa kappa2 practicalRange
1 gaussian 3.66 53267.5 0.04 <NA> <NA> 92196.3681808671
Ajuste de Variograma
variofit_geor <- variofit(variograma_geor, ini.cov.pars = eyefit_geor)
variofit_geor
variofit: model parameters estimated by WLS (weighted least squares):
covariance model is: gaussian
parameter estimates:
tausq sigmasq phi
0.0729 4.7607 72507.7672
Practical Range with cor=0.05 for asymptotic range: 125497.8
variofit: minimised weighted sum of squares = 1263.923
Parâmetros iniciais
obtidos no ajuste visual
tausq = efeito pepita (nugget)
sigmasq = patamar (sill)
phi = alcance do domínio estruturado (range)
Practical Range: distância (maximum distance)
plot(variograma_geor)
lines(variofit_geor)
Ajuste de Variograma
●
Parâmetros obtidos na etapa anterior:
variofit_geor$nugget # efeito pepita
variofit_geor$cov.pars[1] # patamar
variofit_geor$cov.pars[2] # alcance
install.packages("automap")
library(automap)
variogram_auto <- autofitVariogram(chuva_n~1, estacoes_sp,
start_vals=c(variofit_geor$nugget, variofit_geor$cov.pars[2],
variofit_geor$cov.pars[1]))
View(variogram_auto$var_model)
[1] 0.07287448
[1] 4.760725
[1] 72507.77
Parâmetros iniciais para ajuste do variograma
Ajuste de Variograma
plot(variogram_auto)
Krigagem
●
Preparar o modelo raster para formado sp (grid)
writeRaster(modelo_raster,"modelo_raster.tif")
modelo_grid <- readGDAL("modelo_raster.tif")
●
Realizar a krigagem
krigagem_auto = autoKrige(chuva_n~1, estacoes_sp,
new_data = modelo_grid, start_vals = c(variofit_geor$nugget,
variofit_geor$cov.pars[2], variofit_geor$cov.pars[1]))
Krigagem
plot(krigagem_auto)
Krigagem
par(mfrow=c(1,1))
plot(krigagem_auto$krige_output["var1.pred"])
Krigagem
plot(krigagem_auto$krige_output["var1.stdev"])
par(mfrow=c(1,1))
Converter à escala original
krigagem_auto$krige_output$original <- predict(modelo_normal,
newdata=krigagem_auto$krige_output$var1.pred, inverse=TRUE)
plot(krigagem_auto$krige_output["original"])
Exportando para formato raster
krigagem_raster <- raster(krigagem_auto$krige_output["original"])
par(mfrow=c(1,1))
plot(krigagem_raster)
plot(st_geometry(mun), add=TRUE)
persp(krigagem_raster, border=NA, col="blue", shade=1, theta = 320, phi=40)
Validação cruzada da krigagem
krigagem_cv <- autoKrige.cv(chuva_n~1, estacoes_sp,
start_vals=c(variofit_geor$nugget, variofit_geor$cov.pars[2],
variofit_geor$cov.pars[1]))
sqrt(mean(krigagem_cv$krige.cv_output$residual^2))
[1] 0.1710764
Raiz do erro médio quadrado
em escala normalizada
1-(var(krigagem_cv$krige.cv_output$residual)/
var(krigagem_cv$krige.cv_output$observed))
[1] 0.9699433
% de explicação da variância
(adimensional)
Exercício 5
Faça uma krigagem dos dados de temperatura,
visualize os mapas de predição e de desvio
padrão e analise a validação cruzada
Krigagem Indicativa
LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP.
http://help.arcgis.com/en/arcgisdesktop/10.0/help/index.html#/Understanding_thresholds/00310000004p000000/
Usa o desvio-padrão para calcular a probabilidade de um
determinado valor
1 = 100% chance de
ultrapassar o valor
0 = 0% chance de
ultrapassar o valor
Krigagem
Ordinária
Desvio-
Padrão da
Krigagem
Krigagem Indicativa
Chance de estar abaixo de 7,95ppm
LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP.
Krigagem Indicativa
Exemplo: níveis seguros de contaminação por Cádmio
Krigagem Indicativa
chuva_2000 <- predict(modelo_normal, newdata=2000)
chuva_2000
fit_indicadora <- autofitVariogram(formula=I(chuva_n<chuva_2000)~1,
estacoes_sp)
plot(fit_indicadora)
fit_indicadora$var_model
[1] 0.5810335
model psill range kappa
1 Nug 9.331463e-04 0 0.0
2 Ste 1.007782e+04 19635560 1.1
Krigagem Indicativa
krigagem_indicadora <- krige(formula=I(chuva_n<chuva_2000)~1,
locations=estacoes_sp, model=fit_indicadora$var_model, nmax=12,
newdata=modelo_grid)
plot(krigagem_indicadora["var1.pred"])
plot(st_geometry(mun), add=TRUE)
Máximo de
vizinhos a
interpolar, para
não sobrecarregar
o processador
Exercício 6
Faça uma krigagem indicadora com a
probabilidade de uma região do mapa ter
menos do que 18 graus centígrados
Co-krigagem (Regression Kriging)
•Utiliza uma amostragem de pontos correlacionada para ajudar na
interpolação
•Exemplo: dados de elevação do terreno para ajudar a estimar a elevação do
nível freático
LANDIM, P. M. B., STURARO, J. R., & MONTEIRO, R. C. (2002). Exemplos
de aplicação da cokrigagem. Rio Claro: UNESP.
LANDIM, P. M. B., STURARO, J. R., & MONTEIRO, R. C. (2002). Exemplos de aplicação da cokrigagem. Rio Claro: UNESP.
Co-krigagem (Regression Kriging)
•Utiliza uma amostragem de pontos correlacionada para ajudar na interpolação
•Exemplo: dados de elevação do terreno para ajudar a estimar a elevação do
nível freático
Variáveis auxiliares
srtm <- raster("srtm_abc.tif")
srtm <- aggregate(srtm, fact=10)
par(mfrow=c(1,1))
plot(srtm)
Correlação das variáveis
estacoes_sp$elevacao <- extract(srtm, estacoes_sp)
plot(estacoes_sp$temperat ~ estacoes_sp$elevacao)
Regressão Linear
lm_temperatura <- lm(data=estacoes_sp, temperat ~ elevacao)
summary(lm_temperatura)
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 2.261e+01 4.695e-02 481.63 <2e-16 ***
elevacao -5.387e-03 6.706e-05 -80.33 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.3731 on 350 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9486, Adjusted R-squared: 0.9484
F-statistic: 6454 on 1 and 350 DF, p-value: < 2.2e-16
Correlação das variáveis
plot(estacoes_sp$temperat ~ estacoes_sp$elevacao)
abline(lm_temperatura, col="red", lwd=2)
Variograma dos resíduos
variograma_temp_el <- variogram(temperat~elevacao, estacoes_sp)
plot(variograma_temp_el)
Modelagem do variograma
variogram_fit_temp_el <- autofitVariogram(temperat ~ elevacao, estacoes_sp)
plot(variogram_fit_temp_el)
Preparar a variável auxiliar
●
Transformar do formato raster para sp
writeRaster(srtm, "srtm_agregado.tif")
srtm_grid <- readGDAL("srtm_agregado.tif")
View(srtm_grid@data)
●
Mudar o nome da coluna
colnames(srtm_grid@data) <- "elevacao"
View(srtm_grid@data)
Co-krigagem
krigagem_temp_el = autoKrige(temperat~elevacao, estacoes_sp, new_data=srtm_grid)
plot(krigagem_temp_el)
Validação Cruzada
krigagem_cv_temp_el <- autoKrige.cv(temperat ~ elevacao,
estacoes_sp)
sqrt(mean(krigagem_cv_temp_el$krige.cv_output$residual^2))
[1] 0.1718555
1-(var(krigagem_cv_temp_el$krige.cv_output$residual)/
var(krigagem_cv_temp_el$krige.cv_output$observed))
[1] 0.9890234
Krigagem Universal
- Modela uma superfície de tendência geral
- Faz a krigagem sobre o resíduo do polinômio
Como decidir entre krigagem
ordinária ou universal?
§ Menor desvio padrão
§ Usar validação cruzada
Coordenada X (ou Y)
Valordoatributo
Superfícies de
Tendência
Krigagem ordinária vs. universal
Krigagem da temperatura em Western Cape, África do Sul
Khuluse, S., Dowdeswell, M., Debba, P., & Stein, A. (2010). Mapping the N-year design rainfall-a case study for the Western Cape. In South African
Statistical Journal, Proceedings of the 52nd Annual Conference of the South African Statistical Association for 2010 (SASA 2010): Congress 1 (pp. 91-
100). Sabinet Online.
Ordinária
Universal
Exercício 7
Faca uma co-krigagem universal, usando
elevação, latitude e longitude para prever a
temperatura.
Dica: formula = temperat ~ elevacao + x + y
Dependência espacial
Estacionário: mesma auto-correlação em toda a região estudada
(suposição para a krigagem)
Isotrópico
mesma autocorrelação em
todas as direções
Anisotrópico
autocorrelação muda de
acordo com a direção
Exemplo de
anisotropia
Chang, K.T. 2006. Kriging. Using Geostatistical Analyst, ESRI. Introduction to
Geographic Information Systems. Em:
https://www.yumpu.com/en/document/view/21394397/kriging/31
Dependência
espacial
Interpolação
Krigagem Isotrópica Variância da Krigagem
Teor de argila nos solos
da Fazenda Chanchim
CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de
dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004.
Interpolação
Krigagem Anisotrópica Variância da Krigagem
Teor de argila nos solos
da Fazenda Chanchim
CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de
dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004.
Mapa variograma
mapa_variograma <- variogram(chuva_n~1,
estacoes_sp, cutoff=90000, width=2000, map=TRUE)
plot(mapa_variograma)
Distância
máxima entre
pares
Cria mapaAgrupamento
(lag) a cada
2000 metros
Mapa variograma
Azimutes
●
Qual é o ângulo de maior autocorrelação espacial?
●
Qual é o ângulo de menor autocorrelação espacial?
Variograma anisotrópico
variograma_anis <- variogram(chuva_n~1, estacoes_sp,
cutoff=90000, alpha=c(55, 65, 75, 85, 95, 130, 140, 150, 160, 170))
plot(variograma_anis)
Cria um modelo para cada azimute
Cria um gráfico para cada direção
Variograma anisotrópico
variograma_anis <- variogram(chuva_n~1, estacoes_sp,
cutoff=90000, alpha=c(75, 150))
plot(variograma_anis)
Exercício 8
Avalie a anisotropia para os dados de
temperatura
RGeostats
http://rgeostats.free.fr/
Funções mais avançadas de geoestatística
Krigagem
Vantagens
◦ Incorpora a autocorrelação espacial
◦ Valores estatísticamente robustos
◦ Gera mapa de “incerteza” (variância ou desvio padrão)
◦ Pode orientar novas campanhas de coleta
◦ Diversas variantes (ordinária, universal, anisotrópia, co-krigagem)
Desvantagens:
◦ Método pode ser complexo para os leitores do mapa
Quando não usar a krigagem
◦ Menos de 30 amostras -> difícil calibrar o variograma
◦ Efeito pepita muito grande -> pouca autocorrelação espacial
LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP.
Comparando técnicas
Inverso da Distância
Spline Krigagem
ESRI. Surface creation and analysis. Em:
http://resources.esri.com/help/9.3/arcgisengine/java/gp_toolref/geoprocessing/surface_creation_and_analysis.htm
Comparando as técnicas
Pontos Polígonos de
Thiessen
Inverso da
distância
Polinômio
de 1º grau
Polinômio
de 2º grau
Krigagem Universal
de 1º grau
GILMOND, M. 2016. Intro to GIS and Spatial Analysis. ES2014. Em: https://mgimond.github.io/Spatial/
Contaminação por Cádmio
Pontos de amostragem
Inverso do quadrado da distância
Polinômio de 1º Grau Polinômio de 2º Grau Krigagem Ordinária
LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP.
Estudos comparativos
Em geral, a comparação entre os métodos mostra a
seguinte ordem de eficácia:
1º - Krigagem
2º - Spline (com suposições mais simples que a krigagem)
3º - Estimadores locais
4º - Superfícies de Tendência
Precipitação no ABC
Método
Raiz do erro
médio quadrado
% de explicação
da variância
Inverso da
distância
(peso 4.846275)
55.8 0.985
Superfície de 1ª
ordem
169.6 0.863
Superfície de 2ª
ordem
154.8 0.886
Thin Plate Spline 17.6 0.999
Krigagem ordinária 0.1 0.969
Escala
normalizada
Temperatura no ABC
Método
Raiz do erro
médio quadrado
% de explicação
da variância
Thin Plate Spline 0.008 0.9999
Krigagem ordinária 0.327 0.8902
Co-krigagem
(elevação)
0.172 0.9890
Co-krigagem
universal
0.165 0.9899
Escala
normalizada
Usar mapa de Kernel ou Interpolação?
Base de pontos Mapa de Kernel Interpolação
Vazão extraída por poços
Atendimentos por
hospital
Precipitação
Valor roubado por
assalto
Área queimada por
incêndio
Impacto no aquífero
Densidade de casos
por região
X
Maior prejuízo por área
Regiões mais danificadas
Melhor lugar para
furar poços
Porte dos hospitais
Precipitação média
Melhor faturamento
por assalto
Regiões onde
incêndios se espalham
mais facilmente
Pensando tudo junto
GILMOND, M. 2016. Intro to GIS and Spatial Analysis. ES2014.
Em: https://mgimond.github.io/Spatial/
Efeitos de
1ª ordem
Características
que variam de
lugar para lugar
devido a
mudanças em
uma propriedade
subjacente
Efeitos de 2ª
ordem
Características que
variam de lugar para
lugar devido a
interações entre os
elementos
Obrigado!
Ângela Terumi Fushita
Vitor Vieira Vasconcelos

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Interpolação e Geoestatística em R

  • 1. Interpolação e Geoestatística em RÂngela Terumi Fushita Vitor Vieira Vasconcelos Introdução ao uso de dados espaciais para estudos ambientais Programa de Pós-Graduação em Ciência e Tecnologia Ambiental Universidade Federal do ABC Abril, 2019 Santo André - SP
  • 2. Objetivo Adquirir os conhecimentos e habilidades básicas relacionados a interpolação e geoestatística no ambiente R
  • 3. Conteúdo •Vizinho mais próximo •Inverso da distância •Superfícies de tendência •Funções de base radial •Krigagem
  • 4. Materiais de aula disponíveis em: Baixar os dados em: D:/R_CTA/aula9/ https://app.box.com/s/i4ka2t08gf8t1er8542jfvhyhhovmpf1
  • 5. Leitura Prévia Capítulos 3 - Análises de Superfícies por Geoestatística Linear DRUCK, S.; CARVALHO, M. S.; CÂMARA, G.; MONTEIRO, A.V.M (eds). Análise Espacial de Dados Geográficos. Brasília: EMBRAPA, 2004. Disponível em: http://www.dpi.inpe.br/gilberto/livro/analise/
  • 6. Livros de Referência Bivand, Roger. S., Pebesma, E. J., Gomez-Rubio, V., & Pebesma, E. J. (2013). Applied spatial data analysis with R. New York: Springer.. https://app.box.com/s/uti6bqyiscqpoqu2dsmd06yk5xw5m9qw Site de apoio: https://asdar-book.org/ ● Capítulo 8 – Interpolação e Geoestatística
  • 7. Livros de Referência Hengl, T., 2009. A practical guide to geostatistical mapping. University of Amsterdan. PDF: http://spatial-analyst.net/book/system/files/Hengl_2009_GEOSTATe2c1w.pdf Site de apoio: http://spatial-analyst.net/book/ Conteúdos: ● Krigagem ● Regressão de dados espaciais
  • 9. Principais pacotes para interpolação e geoestatística em R ● dismo – Vizinho mais próximo ● gstat – Inverso da distância – Superfícies de tendência – Krigagem ● automap – Krigagem ● geoR – Krigagem ● fields e geospt – Funções de base radial - Spline
  • 10. Interpolação Como estimar um parâmetro para o qual não há informação espacial disponível?
  • 11. Solução 1 – Usar o valor do ponto mais próximo Interpolação
  • 12. Solução 2 – Usar a média de todos os dados Interpolação
  • 13. Solução 3 – Usar a média ponderada pela distância Interpolação
  • 14. Interpolação A interpolação transforma dados pontuais em campos contínuos Temperatura média anual em Portugal Estações metereológicas Raster Intepolado Temperatura (ºC) 8 10 12 14 16 18
  • 15. Interpolação Exato: o valor interpolado sempre coincide com o do ponto Aproximado: os valores interpolados se aproximam aos dos pontos Interpolador Exato Interpolador Aproximado
  • 16. Interpolação Temperatura (ºC) 8 10 12 14 16 18 • Interpoladores graduais § Geram uma superfície contínua • Interpoladores abruptos § Geram uma superfície discreta Interpolador gradual Interpolador abrupto
  • 17. Interpolação Locais: usa dados apenas de N vizinhos mais próximos Globais: usa dados de todos os pontos BÉLA, M. 2010. Spatial Analysis 4, Digital elevation modeling. University of West Hungary Faculty of Geoinformatics. Em: http://www.tankonyvtar.hu/en/tartalom/tamop425/0027_SAN4/index.html
  • 18. Interpolação • Determinísticos: um valor único para cada pixel no espaço • Geoestatísticos: utiliza dados de autocorrelação espacial entre os pontos e gera dados quanto à incerteza de predição (desvio padrão) LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP. CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004 Interpolação Desvio Padrão (incerteza)Estimação da autocorrelação espacial
  • 19. Conteúdo •Vizinho mais próximo •Inverso da distância •Superfícies de tendência •Funções de base radial •Krigagem
  • 20. Interpolação Métodos discretos Polígonos de Thiessen, Polígonos de Voronoi, Vizinho mais Próximo, Alocação Euclideana d/2 d/2
  • 21. Prática de interpolação em R ● Estações climáticas – Localização: Pluviômetros da rede hidrometeorológica nacional http://metadados.ana.gov.br/geonetwork/srv/pt/main.home – Dados de precipitação e temperatura média anuais simulados de WorldClim 2 http://worldclim.org/version2
  • 23.
  • 24. ● Criar um novo script de programação ● Abrir o script aula9.R
  • 25. ● Configurar o diretório de trabalho ● Exemplo de código: setwd("D:/R_CTA/aula9") ● Confirmando o diretório de trabalho getwd()
  • 26. ● É sempre recomendável verificar atualizações nos pacotes instalados antes de começar a trabalhar Pacotes básicos: install.packages("sf") install.packages("sp") install.packages("rgdal") install.packages("tmap") library(sf) library(rgdal) library(sp) library(raster) library(tmap) Comando: update.packages(ask=FALSE)
  • 27. Importando os dados estacoes <- st_read("estacoes.shp") View(estacoes)
  • 28. Importando os dados tm_shape(estacoes) + tm_dots(col="chuva", pal="Blues") + tm_shape(mun) + tm_borders(col="black") Para interpolação, é importante amostrar pontos ao redor da área de interesse
  • 29. Vizinho mais próximo install.packages("dismo") library(dismo) estacoes_sp <- as(estacoes,"Spatial") voronoi <- voronoi(estacoes_sp) voronoi_sf <- st_as_sf(voronoi) View(voronoi_sf)
  • 31. Vizinho mais próximo - Chuva plot(voronoi_sf["chuva"], breaks="quantile")
  • 33. Conteúdo •Vizinho mais próximo •Inverso da distância •Superfícies de tendência •Funções de base radial •Krigagem
  • 34. Wij peso da amostra j no ponto i da grade k é o expoente da distância, dij é o valor de distância da amostra j ao ponto i da grade Exemplo para K=2 CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004. Inverso da Distância
  • 35. Inverso da Distância Efeito do expoente: - Baixos (>2): destacam anomalias locais - 2: inverso do quadrado da distância, o mais usado - Altos: (3-5): suavizam anomalias locais - ≥ 10: estimativas poligonais (planas) LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP.
  • 36. Brusilovskiy, E. 2009. Spatial Interpolation: a brief introduction. Business Intelligence Solutions. Em: http://www.bisolutions.us/A-Brief-Introduction-to-Spatial-Interpolation.php Inverso da Distância
  • 37. Diferentes expoentes para a ponderação de inverso da distância https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Shepard_interpolation_2.png Inverso da Distância
  • 38. ● Expoente mais adequado pode ser calibrado por validação cruzada ● Etapas da Validação Cruzada: 1. Retira 1 dos pontos 2. Usa os demais pontos para estimar o valor no local do ponto retirado 3. Compara com o valor do ponto retirado 4. Repete para todos os pontos e todos os coeficientes 5. O coeficiente que produzir o menor erro geral é escolhido Chang, K.T. 2006. Kriging. Using Geostatistical Analyst, ESRI. Introduction to Geographic Information Systems. Em: https://www.yumpu.com/en/document/view/21394397/kriging/31 Inverso da Distância
  • 39. Características: • Destaca anomalias locais -> gera efeito mira (olho de búfalo) o Deve-se justificar se o fenômeno modelado possui esse efeito (exemplo: pontos de contaminação) • Valores sempre entre o máximo e o mínimo das amostras LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP. Inverso da Distância
  • 40. Interpolação Vizinho mais próximo Inverso do Quadrado da Distância Teor de argila nos solos da Fazenda Chanchim CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004.
  • 41. Inverso da Distância install.packages("stars") install.packages("gstat") library(stars) library(gstat) ● “gstat” cria modelos de interpolação gs_idw_2 <- gstat(formula=chuva~1, locations=estacoes, set=list(idp=2)) “variável~1” significa interpolação da variável principal sem auxílio de outras variáveis arquivo sf ou sp de pontos com a variável peso do inverso da distância parâmetros do modelo
  • 42. Inverso da Distância ● Avaliar a eficiência do modelo por validação cruzada (cross-validation) cv_idw_2 <- gstat.cv(gs_idw_2) View(as.data.frame(cv_idw_2))
  • 43. Inverso da Distância ● Raiz do erro médio quadrático (Root Mean Square Error – RMSE) = sqrt(mean(cv_idw_2$residual^2)) [1] 117.8616 ● Estimativa de % de explicação da variância (análogo ao R2) 1-(var(cv_idw_2$residual)/var(cv_idw_2$observed)) [1] 0.9360051
  • 44. Inverso da Distância ● Preparar um modelo de raster vazio para a interpolação modelo_raster <- raster("srtm_abc.tif", values=FALSE) ● Diminuir resolução do raster (para agilizar processamento) modelo_raster <- aggregate(modelo_raster, fact = 10) ● Gerar o raster interpolado chuva_idw_2 <- interpolate(object=modelo_raster, model=gs_idw_2) Raster com pixels vazios Função do pacote raster Reduz resolução em 10 vezes
  • 46. Exercício 1 ● Faça a interpolação do inverso da distância com pesos 1 e 6, comparando os mapas a validação cruzada
  • 47. Otimização da interpoloação erro_medio_quadrado <- function(peso) { gs <- gstat(formula=chuva~1, locations=estacoes, set=list(idp=peso)) cv <- gstat.cv(gs) sqrt(mean(cv$residual^2)) } erro_medio_quadrado(2) peso_otimo <- optimize(f=erro_medio_quadrado, interval=c(1,10)) peso_otimo$minimum peso_otimo$objective Cria função para otimizar o peso do inverso da distância Resultado da função Parâmetro da função Limites mínimos e máximos para o parâmetro “peso” [1] 117.8616 [1] 4.846275 Retorna erro quadrático médio para peso = 2 Retorna peso com menor erro quadrático médio Raiz do erro quadrático médio do peso otimizado [1] 55.79638
  • 48. Otimização da interpoloação gs_otimo <- gstat(formula=chuva~1, locations=estacoes, set=list(idp=peso_otimo$minimum)) cv_otimo <- gstat.cv(gs_otimo) 1-(var(cv_otimo$residual)/var(cv_otimo$observed)) [1] 0.9853082
  • 49. Inverso da Distância chuva_idw_otimo <- interpolate(modelo_raster, gs_otimo) plot(chuva_idw_otimo) plot(st_geometry(mun), add=TRUE) É possível otimizar outros parâmetros da interpolação, como o número máximo de vizinhos a serem utilizados
  • 50. Conteúdo •Vizinho mais próximo •Inverso da distância •Superfícies de tendência •Funções de base radial •Krigagem
  • 51. 1ª Ordem: Z = a + bX + cY 2ª Ordem: Z = a + bX + cY + dXY+ eX2+ fY2 3ª Ordem: Z= a + bX + cY + dXY+ eX2+ fY2+gXY2+hX2Y+iX3+jY3 Onde: Z é o valor estimado na célula X e Y são as coordenadas geográficas a…j são os coeficientes que melhor se ajustam aos dados LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP. DEMPSEY,C. 2013. Statistical surfaces in GIS. Em: https://www.gislounge.com/statistical-surfaces-in-gis/ 1ª ordem 2ª ordem 3ª ordem Polinômios – Superfícies de tendência
  • 52. • Pode ser estimado para além da área amostrada o Quanto mais longe da área amostrada, menor a confiabilidade • Estima valores acima e abaixo do conjunto amostrado • Valores não coincidem exatamente com os pontos amostrados o Pode-se gravar o resíduos nos pontos amostrados § Os resíduos podem ser interpolados por outro método e somados à superfície de tendência LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP. Polinômios – Superfícies de tendência
  • 53. Superfície de tendência gs_superficie_1 <- gstat(formula=chuva~1, location=estacoes, degree=1) Grau da superfície de tendência cv_superficie_1 <- gstat.cv(gs_superficie_1) sqrt(mean(cv_superficie_1$residual^2)) 1-(var(cv_superficie_1$residual)/var(estacoes$chuva)) superficie_1 <- interpolate(modelo_raster, gs_superficie_1) [1] 169.5668 [1] 0.8627123
  • 55. Superfície de Tendência persp(superficie_1,border=NA, col="blue", theta = 320, phi=40) Não desenhar quadrículas
  • 56. Exercício 2 Fazer a superfície de tendência de 2ª ordem, avaliando a regressão, avaliando a validação cruzada, e visualizando o mapa e a perspectiva 3D Fórmula de superfície de 2ª ordem: Z = a + bX + cY + dXY+ eX2+ fY2
  • 57. Conteúdo •Vizinho mais próximo •Inverso da distância •Superfícies de tendência •Funções de base radial •Krigagem
  • 58. Agrupa superfícies por polinômios ajustados para diversos grupos vizinhos de pontos http://help.arcgis.com/en/arcgisdesktop/10.0/help/index.html#/How_ radial_basis_functions_work/00310000002p000000/ Função de Base Radial (Splines)
  • 59. Imagine uma capa de borracha (elástica) sendo colocada sobre os pontos amostrados • Pode-se ajustar um coeficiente de “elasticidade” • Pode-se calibrar esse coeficiente por validação cruzada DEMPSEY,C. 2013. Statistical surfaces in GIS. Em: https://www.gislounge.com/statistical-surfaces-in-gis/ Função de Base Radial (Splines)
  • 60. • Interpolador exato • Gera valores acima ou abaixo dos amostrados (topos e vales) • Curvas suaves o Não adequado para dados com variações bruscas DEMPSEY,C. 2013. Statistical surfaces in GIS. Em: https://www.gislounge.com/statistical-surfaces-in-gis/ Função de Base Radial (Splines)
  • 61. Thin Plate Spline install.packages("fields") library(fields) modelo_tps <- Tps(x=st_coordinates(estacoes), Y=estacoes$chuva) sqrt(mean(modelo_tps$residual^2)) 1-(var(modelo_tps$residual)/var(estacoes$chuva)) chuva_tps <- interpolate(modelo_raster, modelo_tps) Variáveis preditoras Variável predita Erro médio quadrático[1] 17.55077 Funções de spline mais avançadas são encontradas no pacote geospt % de explicação [1,] 0.9985292
  • 63. Thin Plate Spline persp(chuva_tps, border=NA, col="blue", shade=0.3, theta = 320, phi=40)
  • 64. Exercício 3 Fazer uma interpolação Spline para os dados de temperatura, avaliando a validação cruzada, e visualizando o mapa e a perspectiva 3D
  • 65. Conteúdo •Vizinho mais próximo •Inverso da distância •Superfícies de tendência •Funções de base radial •Krigagem
  • 66. Permite incorporar 3 fatores: • Flutuações locais: autocorrelação espacial • Ruído: mudanças aleatórias independentes do espaço • Tendências gerais: polinômios e variáveis auxiliares Autocorrelação espacial - Lei de Tobler “No mundo, todas as coisas se parecem, mas coisas mais próximas são mais parecidas que aquelas mais distantes” (Waldo Tobler, 1970) DEMPSEY,C. 2013. Statistical surfaces in GIS. Em: https://www.gislounge.com/statistical-surfaces-in-gis/ TOBLER, W. R. (1970). A computer movie simulating urban growth in the Detroit region. Economic Geography, 46(2): 234-240. Krigagem
  • 67. Variograma C = Variância C0 = Efeito Pepita C+C0 = Patamar a = Alcance SANTOS, Carlos Eduardo dos  y  BIONDI, João Carlos. Utilização de elipsoide de anisotropia variográfica como indicador cinemático em maciços rochosos fragmentados por falhas: o exemplo do depósito de asbestos crisotila cana brava (Minaçu, GO). Geol. USP, 2011, vol.11, n.3, pp. 65-77. CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004.
  • 68. Variograma C0 = Efeito Pepita Variação ao acaso Fatores não relacionados ao espaço Erros de Amostragem A = Alcance Distância até onde ocorre autocorrelação espacial CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004.
  • 69. Variograma C = Variância C0 = Efeito Pepita C+C0 = Patamar A = Alcance SANTOS, C. E., BIONDI, J. C. Utilização de elipsoide de anisotropia variográfica como indicador cinemático em maciços rochosos fragmentados por falhas: o exemplo do depósito de asbestos crisotila cana brava (Minaçu, GO). Geol. USP, 2011, vol.11, n.3, pp. 65-77. CRUZ-CARDENAS, G. et al . Distribución espacial de la riqueza de especies de plantas vasculares en México. Rev. Mex. Biodiv.,  México ,  v. 84, n. 4, p. 1189-1199,  2013 .
  • 73. Variograma IDH no Estado de São Paulo Distância Variância Nem todo variograma chega no patamar de estabilização
  • 74. Interpolação Vizinho mais próximo Inverso do Quadrado da Distância Teor de argila nos solos da Fazenda Chanchim CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004.
  • 75. Interpolação Krigagem Variância da Krigagem Teor de argila nos solos da Fazenda Chanchim CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004.
  • 76. Passos para a Krigagem Normalizar a variável de entrada Modelar o variograma Interpolar o mapa Validação cruzada
  • 79. Normalização de variáveis install.packages("bestNormalize") library(bestNormalize) modelo_normal <- bestNormalize(estacoes_sp$chuva) modelo_normal Best Normalizing transformation with 352 Observations Estimated Normality Statistics (Pearson P / df, lower => more normal): - No transform: 7.1037 - Box-Cox: 4.5371 - Log_b(x+a): 5.7155 - sqrt(x+a): 6.3629 - arcsinh(x): 5.7155 - Yeo-Johnson: 2.7903 - orderNorm: 1.0612 Estimation method: Out-of-sample via CV with 10 folds and 5 repeats Based off these, bestNormalize chose: orderNorm Transformation with 352 nonmissing obs and ties
  • 81. Desnormalização de Variáveis chuva_original <- predict(modelo_normal, newdata = modelo_normal$x.t, inverse=TRUE) plotNormalHistogram(chuva_original) usa o modelo de trás para frente
  • 82. Variograma variograma <- variogram(chuva_n~1, estacoes_sp) plot(variograma)
  • 83. Variograma variograma <- variogram(chuva_n~1, estacoes_sp, cutoff=100000) plot(variograma, plot.numbers=TRUE) Mostra quantos pares de ponto foram agrupados em cada classe Distância do variograma
  • 85. dev.new() eyefit_geor <- eyefit(variograma_geor) Distância do variograma Alcance (domínio estruturado) Patamar de semivariância Efeito pepita Variáveis auxiliares da função Depois grave os parâmetros e saia Ao terminar, exporte o gráfico Exercício 4 - Ajuste de Variograma
  • 86. Ajuste de Variograma dev.off() eyefit_geor plot(variograma_geor) lines(eyefit_geor) cov.model sigmasq phi tausq kappa kappa2 practicalRange 1 gaussian 3.66 53267.5 0.04 <NA> <NA> 92196.3681808671
  • 87. Ajuste de Variograma variofit_geor <- variofit(variograma_geor, ini.cov.pars = eyefit_geor) variofit_geor variofit: model parameters estimated by WLS (weighted least squares): covariance model is: gaussian parameter estimates: tausq sigmasq phi 0.0729 4.7607 72507.7672 Practical Range with cor=0.05 for asymptotic range: 125497.8 variofit: minimised weighted sum of squares = 1263.923 Parâmetros iniciais obtidos no ajuste visual tausq = efeito pepita (nugget) sigmasq = patamar (sill) phi = alcance do domínio estruturado (range) Practical Range: distância (maximum distance) plot(variograma_geor) lines(variofit_geor)
  • 88. Ajuste de Variograma ● Parâmetros obtidos na etapa anterior: variofit_geor$nugget # efeito pepita variofit_geor$cov.pars[1] # patamar variofit_geor$cov.pars[2] # alcance install.packages("automap") library(automap) variogram_auto <- autofitVariogram(chuva_n~1, estacoes_sp, start_vals=c(variofit_geor$nugget, variofit_geor$cov.pars[2], variofit_geor$cov.pars[1])) View(variogram_auto$var_model) [1] 0.07287448 [1] 4.760725 [1] 72507.77 Parâmetros iniciais para ajuste do variograma
  • 90. Krigagem ● Preparar o modelo raster para formado sp (grid) writeRaster(modelo_raster,"modelo_raster.tif") modelo_grid <- readGDAL("modelo_raster.tif") ● Realizar a krigagem krigagem_auto = autoKrige(chuva_n~1, estacoes_sp, new_data = modelo_grid, start_vals = c(variofit_geor$nugget, variofit_geor$cov.pars[2], variofit_geor$cov.pars[1]))
  • 94. Converter à escala original krigagem_auto$krige_output$original <- predict(modelo_normal, newdata=krigagem_auto$krige_output$var1.pred, inverse=TRUE) plot(krigagem_auto$krige_output["original"])
  • 95. Exportando para formato raster krigagem_raster <- raster(krigagem_auto$krige_output["original"]) par(mfrow=c(1,1)) plot(krigagem_raster) plot(st_geometry(mun), add=TRUE)
  • 96. persp(krigagem_raster, border=NA, col="blue", shade=1, theta = 320, phi=40)
  • 97. Validação cruzada da krigagem krigagem_cv <- autoKrige.cv(chuva_n~1, estacoes_sp, start_vals=c(variofit_geor$nugget, variofit_geor$cov.pars[2], variofit_geor$cov.pars[1])) sqrt(mean(krigagem_cv$krige.cv_output$residual^2)) [1] 0.1710764 Raiz do erro médio quadrado em escala normalizada 1-(var(krigagem_cv$krige.cv_output$residual)/ var(krigagem_cv$krige.cv_output$observed)) [1] 0.9699433 % de explicação da variância (adimensional)
  • 98. Exercício 5 Faça uma krigagem dos dados de temperatura, visualize os mapas de predição e de desvio padrão e analise a validação cruzada
  • 99. Krigagem Indicativa LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP. http://help.arcgis.com/en/arcgisdesktop/10.0/help/index.html#/Understanding_thresholds/00310000004p000000/ Usa o desvio-padrão para calcular a probabilidade de um determinado valor 1 = 100% chance de ultrapassar o valor 0 = 0% chance de ultrapassar o valor
  • 100. Krigagem Ordinária Desvio- Padrão da Krigagem Krigagem Indicativa Chance de estar abaixo de 7,95ppm LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP. Krigagem Indicativa Exemplo: níveis seguros de contaminação por Cádmio
  • 101. Krigagem Indicativa chuva_2000 <- predict(modelo_normal, newdata=2000) chuva_2000 fit_indicadora <- autofitVariogram(formula=I(chuva_n<chuva_2000)~1, estacoes_sp) plot(fit_indicadora) fit_indicadora$var_model [1] 0.5810335 model psill range kappa 1 Nug 9.331463e-04 0 0.0 2 Ste 1.007782e+04 19635560 1.1
  • 102. Krigagem Indicativa krigagem_indicadora <- krige(formula=I(chuva_n<chuva_2000)~1, locations=estacoes_sp, model=fit_indicadora$var_model, nmax=12, newdata=modelo_grid) plot(krigagem_indicadora["var1.pred"]) plot(st_geometry(mun), add=TRUE) Máximo de vizinhos a interpolar, para não sobrecarregar o processador
  • 103. Exercício 6 Faça uma krigagem indicadora com a probabilidade de uma região do mapa ter menos do que 18 graus centígrados
  • 104. Co-krigagem (Regression Kriging) •Utiliza uma amostragem de pontos correlacionada para ajudar na interpolação •Exemplo: dados de elevação do terreno para ajudar a estimar a elevação do nível freático LANDIM, P. M. B., STURARO, J. R., & MONTEIRO, R. C. (2002). Exemplos de aplicação da cokrigagem. Rio Claro: UNESP.
  • 105. LANDIM, P. M. B., STURARO, J. R., & MONTEIRO, R. C. (2002). Exemplos de aplicação da cokrigagem. Rio Claro: UNESP. Co-krigagem (Regression Kriging) •Utiliza uma amostragem de pontos correlacionada para ajudar na interpolação •Exemplo: dados de elevação do terreno para ajudar a estimar a elevação do nível freático
  • 106. Variáveis auxiliares srtm <- raster("srtm_abc.tif") srtm <- aggregate(srtm, fact=10) par(mfrow=c(1,1)) plot(srtm)
  • 107. Correlação das variáveis estacoes_sp$elevacao <- extract(srtm, estacoes_sp) plot(estacoes_sp$temperat ~ estacoes_sp$elevacao)
  • 108. Regressão Linear lm_temperatura <- lm(data=estacoes_sp, temperat ~ elevacao) summary(lm_temperatura) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 2.261e+01 4.695e-02 481.63 <2e-16 *** elevacao -5.387e-03 6.706e-05 -80.33 <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 0.3731 on 350 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9486, Adjusted R-squared: 0.9484 F-statistic: 6454 on 1 and 350 DF, p-value: < 2.2e-16
  • 109. Correlação das variáveis plot(estacoes_sp$temperat ~ estacoes_sp$elevacao) abline(lm_temperatura, col="red", lwd=2)
  • 110. Variograma dos resíduos variograma_temp_el <- variogram(temperat~elevacao, estacoes_sp) plot(variograma_temp_el)
  • 111. Modelagem do variograma variogram_fit_temp_el <- autofitVariogram(temperat ~ elevacao, estacoes_sp) plot(variogram_fit_temp_el)
  • 112. Preparar a variável auxiliar ● Transformar do formato raster para sp writeRaster(srtm, "srtm_agregado.tif") srtm_grid <- readGDAL("srtm_agregado.tif") View(srtm_grid@data) ● Mudar o nome da coluna colnames(srtm_grid@data) <- "elevacao" View(srtm_grid@data)
  • 113. Co-krigagem krigagem_temp_el = autoKrige(temperat~elevacao, estacoes_sp, new_data=srtm_grid) plot(krigagem_temp_el)
  • 114. Validação Cruzada krigagem_cv_temp_el <- autoKrige.cv(temperat ~ elevacao, estacoes_sp) sqrt(mean(krigagem_cv_temp_el$krige.cv_output$residual^2)) [1] 0.1718555 1-(var(krigagem_cv_temp_el$krige.cv_output$residual)/ var(krigagem_cv_temp_el$krige.cv_output$observed)) [1] 0.9890234
  • 115. Krigagem Universal - Modela uma superfície de tendência geral - Faz a krigagem sobre o resíduo do polinômio Como decidir entre krigagem ordinária ou universal? § Menor desvio padrão § Usar validação cruzada Coordenada X (ou Y) Valordoatributo Superfícies de Tendência
  • 116. Krigagem ordinária vs. universal Krigagem da temperatura em Western Cape, África do Sul Khuluse, S., Dowdeswell, M., Debba, P., & Stein, A. (2010). Mapping the N-year design rainfall-a case study for the Western Cape. In South African Statistical Journal, Proceedings of the 52nd Annual Conference of the South African Statistical Association for 2010 (SASA 2010): Congress 1 (pp. 91- 100). Sabinet Online. Ordinária Universal
  • 117. Exercício 7 Faca uma co-krigagem universal, usando elevação, latitude e longitude para prever a temperatura. Dica: formula = temperat ~ elevacao + x + y
  • 118. Dependência espacial Estacionário: mesma auto-correlação em toda a região estudada (suposição para a krigagem) Isotrópico mesma autocorrelação em todas as direções Anisotrópico autocorrelação muda de acordo com a direção
  • 119. Exemplo de anisotropia Chang, K.T. 2006. Kriging. Using Geostatistical Analyst, ESRI. Introduction to Geographic Information Systems. Em: https://www.yumpu.com/en/document/view/21394397/kriging/31 Dependência espacial
  • 120. Interpolação Krigagem Isotrópica Variância da Krigagem Teor de argila nos solos da Fazenda Chanchim CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004.
  • 121. Interpolação Krigagem Anisotrópica Variância da Krigagem Teor de argila nos solos da Fazenda Chanchim CAMARGO, E.C.G., FUCKS, S.D., CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Em: Análise espacial de dados geográficos. Embrapa Cerrados, Planaltina, 2004.
  • 122. Mapa variograma mapa_variograma <- variogram(chuva_n~1, estacoes_sp, cutoff=90000, width=2000, map=TRUE) plot(mapa_variograma) Distância máxima entre pares Cria mapaAgrupamento (lag) a cada 2000 metros
  • 123. Mapa variograma Azimutes ● Qual é o ângulo de maior autocorrelação espacial? ● Qual é o ângulo de menor autocorrelação espacial?
  • 124. Variograma anisotrópico variograma_anis <- variogram(chuva_n~1, estacoes_sp, cutoff=90000, alpha=c(55, 65, 75, 85, 95, 130, 140, 150, 160, 170)) plot(variograma_anis) Cria um modelo para cada azimute Cria um gráfico para cada direção
  • 125. Variograma anisotrópico variograma_anis <- variogram(chuva_n~1, estacoes_sp, cutoff=90000, alpha=c(75, 150)) plot(variograma_anis)
  • 126. Exercício 8 Avalie a anisotropia para os dados de temperatura
  • 128. Krigagem Vantagens ◦ Incorpora a autocorrelação espacial ◦ Valores estatísticamente robustos ◦ Gera mapa de “incerteza” (variância ou desvio padrão) ◦ Pode orientar novas campanhas de coleta ◦ Diversas variantes (ordinária, universal, anisotrópia, co-krigagem) Desvantagens: ◦ Método pode ser complexo para os leitores do mapa Quando não usar a krigagem ◦ Menos de 30 amostras -> difícil calibrar o variograma ◦ Efeito pepita muito grande -> pouca autocorrelação espacial LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP.
  • 129. Comparando técnicas Inverso da Distância Spline Krigagem ESRI. Surface creation and analysis. Em: http://resources.esri.com/help/9.3/arcgisengine/java/gp_toolref/geoprocessing/surface_creation_and_analysis.htm
  • 130. Comparando as técnicas Pontos Polígonos de Thiessen Inverso da distância Polinômio de 1º grau Polinômio de 2º grau Krigagem Universal de 1º grau GILMOND, M. 2016. Intro to GIS and Spatial Analysis. ES2014. Em: https://mgimond.github.io/Spatial/
  • 131. Contaminação por Cádmio Pontos de amostragem Inverso do quadrado da distância Polinômio de 1º Grau Polinômio de 2º Grau Krigagem Ordinária LANDIM, P. M. B. (2000). Introdução aos métodos de estimação espacial para confecção de mapas. Rio Claro: UNESP.
  • 132. Estudos comparativos Em geral, a comparação entre os métodos mostra a seguinte ordem de eficácia: 1º - Krigagem 2º - Spline (com suposições mais simples que a krigagem) 3º - Estimadores locais 4º - Superfícies de Tendência
  • 133. Precipitação no ABC Método Raiz do erro médio quadrado % de explicação da variância Inverso da distância (peso 4.846275) 55.8 0.985 Superfície de 1ª ordem 169.6 0.863 Superfície de 2ª ordem 154.8 0.886 Thin Plate Spline 17.6 0.999 Krigagem ordinária 0.1 0.969 Escala normalizada
  • 134. Temperatura no ABC Método Raiz do erro médio quadrado % de explicação da variância Thin Plate Spline 0.008 0.9999 Krigagem ordinária 0.327 0.8902 Co-krigagem (elevação) 0.172 0.9890 Co-krigagem universal 0.165 0.9899 Escala normalizada
  • 135. Usar mapa de Kernel ou Interpolação? Base de pontos Mapa de Kernel Interpolação Vazão extraída por poços Atendimentos por hospital Precipitação Valor roubado por assalto Área queimada por incêndio Impacto no aquífero Densidade de casos por região X Maior prejuízo por área Regiões mais danificadas Melhor lugar para furar poços Porte dos hospitais Precipitação média Melhor faturamento por assalto Regiões onde incêndios se espalham mais facilmente
  • 136. Pensando tudo junto GILMOND, M. 2016. Intro to GIS and Spatial Analysis. ES2014. Em: https://mgimond.github.io/Spatial/ Efeitos de 1ª ordem Características que variam de lugar para lugar devido a mudanças em uma propriedade subjacente Efeitos de 2ª ordem Características que variam de lugar para lugar devido a interações entre os elementos