Teoria das Variáveis Regionalizadas

1. Geomatemática e geoestatística
Variáveis regionalizadas
discentes:
Antonia Beth
Biute Elisa
Chirley Vasco
Eric Chissico
Dernélio Langa Docente: Serafim Matusse

2. Introdução
Os procedimentos usados na época baseavam-se na estatística clássica e
utilizavam grandes quantidades de dados amostrais, visando caracterizar
ou descrever a distribuição espacial da característica em estudo.
mais tarde concluiu-se se que haviam limitações em certos estudos
usando a estatística clássica dai surgiu o conceito da geoestatística, que
leva em consideração a localização geográfica e a dependência espacial
Matheron (1963, 1971), baseado nas observações de Krige, desenvolveu
a teoria das variáveis regionalizadas.

3. Variáveis regionalizadas
Uma variável regionalizada é uma função numérica com distribuição
espacial, que varia de um ponto a outro com continuidade aparente, mas cujas
variações não podem ser representadas por uma função matemática simples.
A teoria das variáveis regionalizadas pressupõe que a variação de uma
variável pode ser expressa pela soma de três componentes (Burrough, 1987):
• uma componente estrutural, associada a um valor médio constante ou a uma
tendência constante;
• uma componente aleatória, espacialmente correlacionada;
• um ruído aleatório ou erro residual.

4. Cont…
Se x representa uma posição em uma, duas ou três dimensões, então o
valor da variável Z, em x, é dada por (Burrough, 1987):
Z(x) = m(x) + 𝜺´(x) + 𝜺´´
Onde:
• m(x) - é uma função determinística que descreve a componente
estrutural de Z em x;
• 𝜺 ´(x) é um termo estocástico, que varia localmente e depende
espacialmente de m(x);
• 𝜺´´ é um ruído aleatório não correlacionado, com distribuição normal
com média zero e variância 𝜎2
.

5. Fig.1: Principais componentes da variação espacial

6. Cont…
O elemento básico da Geoestatística é a variável regionalizada, cuja
variação espacial caracteriza o fenômeno regionalizado que a originou.
Estas variáveis possuem características casuais e estruturadas
Devido à amostragem singular, que é feita num ponto, torna-se
praticamente impossível conhecer a função de densidade de
probabilidade que governa uma variável regionalizada
mas pode-se fazer inferências, conhecendo-se alguns parâmetros desta
função. Na geoestatística linear utilizam-se os momentos da função
casual, que serão definidos a seguir, conforme Journel e Huijbregts
(1978):

7. Cont…

8. Para tornar aplicáveis estes momentos e fazer inferências, utilizar-se a
hipótese de estacionaridade espacial, que assume ser constante o valor
médio esperado para as diversas localizações, ou ainda, que todos os
elementos avaliados pertencem a mesma população.
Assim, cada par de dados z(x) e z(x+h), separados pela distância h, é
considerado uma realização diferente das variáveis regionalizadas
dentro de um fenômeno regionalizante. Sob esta ótica, a
estacionaridade de segunda ordem reavalia os momentos para as
seguintes formas:

10. Devido à fenômenos físicos de elevada capacidade de dispersão, que
não
possuem variância finita a priori e tampouco covariância, define-se em
geoestatística a hipótese intrínseca. Esta hipótese afirma que os
primeiros dois momentos das diferenças das variáveis z(x) e z(x+h), são
independentes de suas localizações, sendo função somente do vetor h
que as separam (Olea, 1984).

11. Aplicações na geociências
• Na cartografia de variáveis originadas de um fenômeno que tenha continuidade no
espaço;
• Na geologia mineira para a avaliação dos mais diversos recursos naturais;
• Em Hidrogeologia, a ampla aplicação dos métodos das diferenças ou elementos
finitos para o modelamento do fluxo e o transporte em subsuperfície, considera os
parâmetros representativos das propriedades dos materiais com fixos ou com
ligeira variação sobre discretas áreas do campo de análise;
• Em Geotecnia, a aplicação principal de Geoestatística tem sido na caracterização
da variabilidade espacial dos parâmetros geotécnicos “in-situ”. Dentro de um
projeto geotécnico, o emprego de técnicas da Geoestatística constitui-se numa
importante ferramenta para o modelamento de variáveis de natureza estratigráfica
e hidráulica do 12 local a ser implantada uma obra, bem como, na avaliação da
quantidade, distribuição e representatividade dos parâmetros geotécnicos (Soulié,
1984).

12. Krigagem
O termo krigagem é derivado do nome Daniel G. Krige, que foi o
pioneiro a introduzir o uso de médias móveis para evitar a super
estimação sistemática de reservas de mineração (Delfiner e Delhomme,
1975).
A krigagem constitui-se num método de estimação linear e local,
efetuado dentro de vizinhanças estacionárias, que procura minimizar,
sem viés, o erro de estimação.

13. Cont…
Segundo Oliver e Webster (1990), a krigagem engloba um conjunto de
métodos de estimação, a saber:
• krigeagem simples;
• krigeagem ordinária;
• krigeagem universal, Co-krigeagem;
• krigeagem disjuntiva, etc.
Este trabalho limita-se somente à apresentação de algumas krigeagem,
descrita a seguir.

14. Krigagem ordinária
A Krigagem ordinária é a krigagem simples com a média local calculada pela krigagem da média.
• A krigagem ordinária é muito utilizada nos dias actuais e isso se deve a simplicidade do método
(média ponderada), que usa a informação estrutural fornecida pelo modelo de variograma e também
por proporcionar a incerteza associada à estimativa, por meio da variância de krigagem.
• O estimador da krigagem ordinária é baseado na fórmula da média ponderada, onde os ponderadores
dependem da informação estrutural fornecida pelo variograma. Esta é a principal diferença em relação
aos outros métodos de estimativa como, por exemplo, o inverso da distância.
• O valor da variável de interesse em um ponto não amostrado (xo) é calculado como a combinação
linear dos pontos de dados vizinhos (Z(xi), i=1,n), conforme segue:
Onde:
• Z*(x) – Valor a estimar;
• λi -Peso que é dado a cada um dos valores observados da variável no lugar X;
• Z(xi) – Valor em pontos amostrados próximo do local a ser interpolado;
• Os pesos da krigagem ordinária são calculados pressupondo-se duas condições de restrição: A) que o
estimador não seja enviesado; e B) que a variância de estimativa seja mínima.

15. Cont…
A variância de estimativa ou a variância do erro de estimativa é calculada por:
A minimização da variância do erro, sujeita à condição não fiés, resulta no sistema de equações de krigagem, conforme
Yamamoto e Landim (2013, p. 69-70). Os ponderadores da krigagem ordinária são obtidos a partir da resolução desse
sistema de equações.
Os elementos são dados em termos de covariâncias e não em termos da função variograma, com o qual estamos
acostumados. Geralmente, se obtém a função variograma, que pode ser transformada em função covariância usando a
relação:

16. A krigagem ordinária, graficamente representada conforme ilustra a Figura 1, ao contrário da
função variograma, a função covariância é alta para distâncias pequenas, ou seja, dados próximos
estão correlacionados, e baixa para distâncias grandes quando a correlação desaparece.

17. •Krigagem Simples (KS)
•Ė o método de estimação da Geoestatística em que se assume a função média do processo estocástica
conhecida. A krigagem simples é utilizada quando a média é assumida como estatisticamente constante
para toda a área.
•A Krigagem Simples assume o modelo da equação acima, onde a média m(x) deve ser conhecida e
constante. E como m (x) é conhecida, pode-se conhecer o e também, o que melhora as estimativas. Mas
geralmente é difícil se conhecer a média geral, em função de uma possível tendência nos dados. O
método utiliza a krigagem nos resíduos, a diferença entre os valores preditos e os observados,
assumindo que a tendência nos resíduos é zero.

18. •Krigagem lognormal
•A krigagem lognormal se destina à solução de problemas de estimativa quando a variável deinteresse Z(x) segue uma
distribuição lognormal. A distribuição lognormal se caracteriza por uma distribuição com grande quantidade de valores
baixos e uns poucos valores altos, originando uma forte assimetria positiva na distribuição de frequências.
•A krigagem lognormal é uma técnica adotada para a estimativa de dados que apresentam uma forte distribuição
assimétrica, que pode ser aproximada por um modelo de distribuição lognormal. A distribuição logmormal muito
comum em Depositos de minerais raros, diamantes, uranio, ouro, platina e outros minerais.
•A Krigagem Lognormal Usada quando:
• A variável de interesse segue uma distribuição lognormal;
• A distribuição com muitos valores baixos e poucos altos, com forte assimetria positiva na distribuição
dasfrequencias;
• Poucos valores altos contaminam regiões de valores baixos.

19. •Estimadores da krigagem lognormal
• Estimadores baseados na transformação logarítmica são denominados krigagem lognormal. Tanto a krigagem simples
como a ordinária podem ser usadas como estimadores, porém a variável de interesse Z(x) deve ser substituída por sua
transformada logarítmica Y(x) para estimativa de pontos, áreas ou blocos, por meio da técnica da krigagem ordinária.
O estimador da krigagem lognormal .
Y:0 (Xo)= ∑ iY(Xi)
• Exemplo de aplicação da krigagem lognormal:
• Para mostrar o procedimento da krigagem lognormal é tomado como exemplo a amostra extraída do conjunto
lognormal composta por 64 pontos de dados. É necessário o modelo de variograma de dados transformados para o
domínio logarítmico
Fig.2 Modelo de variograma para os dados de
amostra do conjunto lognormal após
transformada logarítmica

20. Referencias bibliográficas
JOURNEL , A.G. & ROSSI , M. ( 1989 When do we need a trend model in kriging ?: Math .
Geology 21 : 715-739
KIM , Y.C. ( 1988 ) - Advanced geostatistics for highly skewed data . Arizona : Department of
Mining and Geological Engineering - The University of Arizona.
KIM , Y.C. ( 1990 ) - Introductory geostatistics and mine planning . The University of Arizona ,
Department of Mining and Geological Engineering , 139 p .
KOCH JR . , G.S. ; LINK , R.F. ( 1970 ) - Statistical Analysis of Geological Data ( vol . 1 ) - John
Wiley and Sons .
KRAJEWSKI , S.A. & GIBBS , B.L. ( 1966 ) - Understanding Contouring : A pratical Guide to
Spatial Estimation and Contouring Using a Computer and Basics of Using Variograms : Gibbs
Associates .