Este documento apresenta conceitos introdutórios sobre geoestatística e interpolação espacial. Define interpolação espacial como o processo de estimar valores em locais não amostrados com base em pontos de dados conhecidos. Discute tipos de interpoladores como exatos vs não exatos, globais vs locais, e determinísticos vs estocásticos. Explora o método de interpolação por Ponderação pelo Inverso da Distância.

1. MÓDULO 5
Geoestatística: Introdução à
interpolação espacial
Ana Cristina Costa
ccosta@novaims.unl.pt
Janeiro 2015
www.novaims.unl.pt

2. Módulo 5 -Geoestatística 2
Conteúdos
1. Introdução............................................................................................................................................................ 3
Objetivos............................................................................................................................................................... 3
Organização do eBook..................................................................................................................................... 4
2. Conceitos sobre interpolação espacial ..................................................................................................... 5
O que é a Geoestatística?................................................................................................................................ 5
Definição e objetivo da interpolação espacial....................................................................................... 5
Tipos de interpoladores espaciais.............................................................................................................. 7
Interpoladores exatos..........................................................................................................................................7
Interpoladores não exatos.................................................................................................................................8
Interpoladores globais.........................................................................................................................................8
Interpoladores locais............................................................................................................................................9
Interpoladores determinísticos....................................................................................................................10
Interpoladores estocásticos ...........................................................................................................................10
3. Interpolação espacial determinística......................................................................................................12
Caracterização dos interpoladores determinísticos.........................................................................12
Ponderação pelo Inverso da Distância (IDW).....................................................................................13
4. Descrição espacial...........................................................................................................................................15
Referências .............................................................................................................................................................20

3. Módulo 5 -Geoestatística 3
1. Introdução
A obtenção de modelos matemáticos para caracterizar o comportamento de uma
variável no espaço tem essencialmente por objetivo estimar o comportamento das
variáveis para situações não conhecidas, quer no domínio temporal quer em pontos
do espaço não amostrados. Este objetivo específico é designado por interpolação,
que no caso do domínio espacial, adquire particular relevância para a Ciência da
Informação Geográfica.
O módulo de Geoestatística aborda conceitos de interpolação espacial, bem como
uma ferramenta útil à exploração de dados e modelação matemática de processos
espacialmente explícitos.
Neste documento são apresentados conceitos introdutórios ao campo de estudo da
geoestatística. Em particular, analisam-se os principais conceitos associados à
interpolação espacial e ao método de interpolação por Ponderação pelo Inverso da
Distância (IDW).
Objetivos
No final do módulo de Geoestatística deverá ser capaz de:
 Definir interpolação espacial
 Discutir as diferenças entre interpoladores exatos e não exatos
 Discutir as diferenças entre interpoladores espaciais globais e locais
 Discutir as diferenças entre métodos de interpolação determinísticos e
estocásticos
 Discutir as vantagens e desvantagens dos interpoladores determinísticos
 Compreender o método de interpolação Ponderação pelo Inverso da
Distância (IDW)
 Produzir superfícies através de interpolação espacial
 Descrever as características espaciais de um conjunto de dados
 Definir e identificar atributos anisotrópicos

4. Módulo 5 -Geoestatística 4
Organização do eBook
Este documento está organizado em três capítulos, que correspondem aos tópicos
abordados no módulo de Geoestatística:
 Conceitos sobre interpolação espacial
 Interpolação espacial determinística
 Descrição espacial
No primeiro capítulo, define-se interpolação espacial e discutem-se as diferenças
entre interpoladores exatos e não exatos, entre interpoladores espaciais globais e
locais, e entre métodos de interpolação determinísticos e estocásticos.
As vantagens e desvantagens dos métodos de interpolação espacial determinística
são discutidos no segundo capítulo, bem como a formulação do método de
interpolação Ponderação pelo Inverso da Distância (IDW).
Por fim, no terceiro capítulo, analisam-se as principais características do padrão
espacial de um conjunto de dados. Em particular, é aqui abordado o conceito de
anisotropia.

5. Módulo 5 -Geoestatística 5
2. Conceitos sobre interpolação espacial
O que é a Geoestatística?
Segundo Deutsch e Journel (1998), a Geoestatística oferece um conjunto de
ferramentas determinísticas e estatísticas para compreender e modelar a
variabilidade espacial. Para estes autores, a Geoestatística engloba todos os métodos
de interpolação (determinísticos ou estocásticos), entre outras técnicas que
permitem compreender e modelar a variabilidade espacial. A distinção entre
técnicas determinísticas e estocásticas será abordada em mais detalhe
posteriormente.
Por outro lado, alguns autores não consideram os métodos determinísticos como
fazendo parte do conjunto de técnicas da Geoestatística, englobando na definição de
Geoestatística apenas os métodos de Kriging (técnicas estocásticas ou estatísticas).
Por exemplo, Isaaks e Srivastava (1989) consideram que a Geoestatística permite
descrever a dependência espacial [autocorrelação espacial], a qual é uma
característica essencial de muitos fenómenos naturais, e adapta as técnicas de
regressão clássica para tirar vantagem dessa continuidade. Esta definição considera
apenas os métodos de Kriging como técnicas da Geoestatística.
A Krigagem, ou Kriging, é uma técnica de interpolação espacial que considera tanto
a distância como o grau de variação entre os pontos de dados conhecidos, ao estimar
valores em localizações desconhecidas. Por outras palavras, os métodos de Kriging
têm em conta a autocorrelação espacial que quantifica a primeira lei da geografia
de acordo com Waldo Tobler: todas as coisas estão relacionadas entre si, no entanto,
as coisas mais próximas estão mais relacionadas que as distantes.
Uma estimativa de krigagem é obtida através de uma adaptação da técnica de
regressão linear múltipla, e corresponde a uma combinação linear ponderada dos
valores das amostras conhecidas em torno do ponto a ser estimado. Os ponderadores
dos valores das amostras são determinados tendo em conta a autocorrelação
espacial (isto é, a dependência espacial).
Definição e objetivo da interpolação espacial
A interpolação espacial é o processo de utilização de pontos com valores
conhecidos para um atributo, para prever (isto é, estimar) os valores do atributo em
localizações (pontos) onde não existem dados. A superfície interpolada é por vezes
chamada de superfície estatística.

6. Módulo 5 -Geoestatística 6
Uma superfície é um campo contínuo de valores que podem variar ao longo de um
número infinito de pontos. Por exemplo, os pontos numa área da superfície da Terra
podem variar em elevação, pressão atmosférica, ou concentração de uma
determinada substância química. Qualquer um destes valores pode ser representado
no eixo z através de um sistema de coordenadas tridimensionais x, y, z. Por este
motivo, esses valores são frequentemente chamados de valores z.
O objetivo da interpolação espacial é estimar o valor de um atributo Z(x0) na
localização não amostrada x0 com base num conjunto de valores de amostras
vizinhas Z(xα), α=1,…,N (Figura 1).
Figura 1 – Ilustração do processo de interpolação espacial da precipitação no sul de
Portugal Fonte: Goovaerts (1999)
Em Sistemas de Informação Geográfica (SIG), os problemas de interpolação espacial
implicam passar de ficheiros de pontos, aos quais está associada informação, para
ficheiros de tipo raster, que permitem a visualização, análise e modelação dos
fenómenos em estudo (Mitas e Mitasova, 1999). Estes últimos ficheiros constituem
coberturas com valores contínuos, numérica e espacialmente.
Por exemplo, para se gerar um mapa contínuo da altitude (mapa digital de elevação)
de uma dada região, é usual obter-se pontos de elevação medidos com um dispositivo
de GPS, e depois usar-se um método de interpolação espacial para estimar os valores
nos locais onde não foram obtidas amostras ou medições. A superfície interpolada
que se obtém pode então ser utilizada para análises que cobrem toda a região e para
modelação.
Existem muitos métodos de interpolação espacial. Neste documento, iremos
caracterizar os diversos tipos de métodos e estudar em mais detalhe apenas o
método de Ponderação pelo Inverso da Distância (IDW – Inverse Distance
Z(x0
) = ?
INPUT: amostras de valores
(pontos)
OUTPUT: superfície interpolada
(raster)

7. Módulo 5 -Geoestatística 7
Weighting). Outras técnicas são, por exemplo, a interpolação por Polinómios, a
interpolação através de Splines e o vasto conjunto de métodos de Kriging.
Tipos de interpoladores espaciais
Os interpoladores espaciais podem ser classificados de três formas distintas:
 Exatos x Não exatos
 Globais x Locais
 Determinísticos x Estocásticos
Por exemplo, o interpolador por Ponderação pelo Inverso da Distância (IDW –
Inverse Distance Weighting) é exato, local e determinístico. Em seguida, veremos em
detalhe cada um destes conceitos.
Interpoladores exatos
Diz-se que um interpolador é exato quando os valores estimados nas localizações
onde existem amostras são exatamente iguais aos valores observados das amostras.
Consequentemente, a superfície interpolada passa nos valores dos dados (Figura 2).
Alguns exemplos de métodos de interpolação exatos são: Polígonos de Thiessen /
Mapas de Voronoi; Ponderação pelo Inverso da Distância (IDW – Inverse Distance
Weighting); RBF - Radial basis functions, tais como Splines; e a maioria dos métodos
de Kriging.
Figura 2 – Ilustração de superfícies obtidas com interpoladores exatos (Fonte:
Johnston et al., 2001)

8. Módulo 5 -Geoestatística 8
Interpoladores não exatos
Diz-se que um interpolador não é exato quando os valores estimados nas
localizações onde existem amostras não são iguais aos valores observados das
amostras. Consequentemente, a superfície interpolada não passa nos valores das
amostras (Figura 3), mas é desejável que passe próximo desses valores.
Figura 3 – Ilustração de superfície obtida com interpolador não exato
A adoção de valores aproximados na superfície de interpolação origina erros
residuais (desvios) cuja minimização se pretende. Deste modo, a função de
interpolação é neste caso restringida por critérios do tipo mini-max (minimização do
desvio máximo) ou mínimos quadrados (minimização do somatório dos quadrados
dos desvios). Os métodos não exatos são muitas vezes descritos na literatura como
métodos de aproximação ou de alisamento.
Alguns exemplos de métodos de interpolação não exatos são a interpolação
polinomial e os métodos de regressão clássica.
Interpoladores globais
Os interpoladores globais consideram todos os pontos da área amostrada,
permitindo interpolar o valor da função em qualquer ponto dentro do domínio dos
dados originais. Uma vez que usam todos os valores amostrados, estes
interpoladores filtram os detalhes (valores mais baixos e mais elevados) e portanto
têm dificuldades na representação de atributos com variações complexas.
Estes métodos determinam apenas uma função que é mapeada através de toda a
região. Esta função é geralmente um polinómio. A adição ou remoção de um valor
tem consequências no domínio de definição da função; ou seja, afeta todo o mapa.
Os interpoladores globais são usados essencialmente em projetos de engenharia
para modelar curvas e superfícies suaves, com pouca variabilidade, pois o objetivo é
analisar apenas a tendência global (Figura 4).

9. Módulo 5 -Geoestatística 9
Figura 4 – Ilustração de superfície obtida com interpolador global (Fonte: Johnston et
al., 2001)
Interpoladores locais
Diz-se que um interpolador é local quando usa apenas as amostras que se encontram
numa vizinhança do ponto a estimar (Figura 5). Estes interpoladores são definidos
por funções que variam de localização para localização, e portanto a alteração de um
valor afeta localmente os pontos próximos ao mesmo.
Os métodos que operam localmente baseiam-se no pressuposto que cada observação
só influencia a superfície de interpolação até certa distância em redor da sua
localização. Os métodos que operam sobre vizinhanças (janelas móveis) permitem
reproduzir com maior fidelidade os fenómenos que evidenciam continuidade
espacial, uma vez que na produção de cada estimativa recorrem a um conjunto
variável de observações que possibilitam um ajustamento à variabilidade local do
fenómeno.
Figura 5 – Ilustração de superfície obtida com um interpolador local e das amostras
incluídas na vizinhança (circunferência) de um ponto a estimar (sinal +)

10. Módulo 5 -Geoestatística 10
A definição da vizinhança a adotar pode basear-se em diversos critérios, sendo a
distância Euclidiana o critério mais frequentemente utilizado. Existem, no entanto,
outros tipos de critérios tais como a distância económica (associada a um custo), a
especificação de um número fixo de observações circundantes da posição a estimar,
e a adjacência.
Alguns exemplos de métodos de interpolação local são a Ponderação pelo Inverso da
Distância (IDW – Inverse Distance Weighting), as Radial Basis Functions (RBF), tais
como os Splines, e a maioria dos métodos de Kriging.
Interpoladores determinísticos
A interpolação determinística pressupõe que a cada localização está associado
apenas um valor. Ou seja, a cada localização está associada uma variável
determinística (isto é, não aleatória). Estes métodos consideram apenas relações
baseadas na distância, e não têm em consideração a dependência (correlação)
espacial dos dados.
Uma vez que não pressupõem a existência de uma distribuição de probabilidade
associada aos valores do atributo, na interpolação determinística não é possível
associar incerteza às estimativas.
Alguns exemplos de métodos de interpolação determinísticos são os Polígonos de
Thiessen / Mapas de Voronoi, a Ponderação pelo Inverso da Distância (IDW – Inverse
Distance Weighting), e as Radial Basis Functions (RBF), tais como os Splines.
Interpoladores estocásticos
A natureza determinística ou estocástica do processo dependente das leis que regem
as variáveis nele envolvidas. Se estas têm um comportamento que é descrito por leis
probabilísticas, o processo será estocástico.
A interpolação estocástica pressupõe que a cada localização (amostrada, ou não) está
associada uma variável aleatória, que tem uma certa distribuição de probabilidade.
Esta distribuição não é geralmente conhecida, nem é uma limitação destes métodos.
O facto dos interpoladores estocásticos se basearem no conceito de variável
aleatória, permite usar conceitos da teoria das probabilidades para determinar a
formulação dos interpoladores e para avaliar a incerteza das estimativas.
Os interpoladores estocásticos fazem então uso da teoria das probabilidades, e
incorporam critérios estatísticos na determinação dos pesos atribuídos aos pontos
amostrais para o cálculo das estimativas nas localizações não amostradas.

11. Módulo 5 -Geoestatística 11
Exemplos de interpoladores estocásticos são os Métodos de Kriging, tais como
Simple kriging, Ordinary kriging, Universal kriging, Cokriging, etc.

12. Módulo 5 -Geoestatística 12
3. Interpolação espacial determinística
Caracterização dos interpoladores determinísticos
Quando os dados são abundantes e regularmente distribuídos, diferentes
metodologias de interpolação geram resultados similares. Por outro lado, quando os
dados são escassos, há uma grande variação dos resultados gerados. Cada método de
interpolação pode ser útil para uma utilização específica, que depende
principalmente do fenómeno estudado e da distribuição espacial dos pontos
amostrais.
Como foi referido anteriormente, os métodos determinísticos consideram apenas
relações baseadas na distância. Têm portanto a desvantagem, de não terem em
consideração a dependência espacial dos dados. Contudo, podem fornecer
resultados muito satisfatórios se o conjunto das amostras estiver bem distribuído no
espaço e for muito denso.
Por outro lado, os métodos determinísticos não são muito precisos quando o
conjunto de dados tem poucas amostras ou tem amostras agrupadas (em clusters),
ou quando a continuidade espacial do atributo é anisotrópica1.
As principais vantagens dos interpoladores determinísticos são:
 Estão disponíveis em muitos programas de Sistema de Informação Geográfica
(SIG) e aplicações computacionais fáceis de obter na internet (ex.: GeoDA);
 São métodos muito fáceis de aplicar, porque o número de parâmetros é
reduzido;
 Permitem fazer uma interpolação rápida de dados esparsos;
 São úteis na análise exploratória espacial pois a superfície interpolada
permite visualizar a distribuição espacial do atributo em toda a área de
estudo.
Tal como referido anteriormente, a principal desvantagem dos interpoladores
determinísticos é o facto de não considerarem a correlação espacial das observações,
pois apenas têm em conta as relações de distância.
1 O padrão espacial é diferente para diferentes direções. Este conceito será discutido no último
capítulo.

13. Módulo 5 -Geoestatística 13
Ponderação pelo Inverso da Distância (IDW)
O método da Ponderação pelo Inverso da Distância (IDW) é um interpolador local
exato que não assume qualquer pressuposto sobre os dados. O método IDW estima
cada ponto não amostrado como uma média ponderada dos valores conhecidos na
sua vizinhança, utilizando como ponderadores o inverso da potência das distâncias
aos mesmos:
 


p
i
p
ii
n
1i
ii0 dd,)x(z)x(*z (1)
onde:
z*(x0) denota o valor previsto na localização a estimar (x0);
i é o peso associado ao valor do atributo z localizado em xi; ou seja, os i são
os pesos associados às amostras z(xi) que serão usadas para prever z*(x0);
di é a distância entre a localização a prever (x0) e a localização xi de cada uma
das amostras incluídas na vizinhança do ponto a estimar;
p é o parâmetro potência; à medida que a distância di aumenta o peso i
diminui por um fator p.
Quanto maior for a distância da amostra ao ponto a estimar, menor será o peso que
lhe está associado (Figura 6). A potência p determina o ritmo de diminuição do peso
de uma amostra conforme a distância aumenta.
O valor mais utilizado para o parâmetro potência é p = 2, e neste caso o método
chama-se Inverso do Quadrado da Distância. Para p = 2, o peso da amostra diminui
em função do inverso do quadrado da distância. Ou seja, se a distância duplicar, o
peso associado à amostra diminui quatro vezes.

14. Módulo 5 -Geoestatística 14
Figura 6 – O método IDW associa um peso a cada amostra localizada em xi (i=1,…,6)
em função da distância di para estimar o ponto x0
A Figura 6 realça o facto de que as amostras que estiverem à mesma distância do
ponto a estimar terão o mesmo peso, independentemente dos seus valores estarem
mais, ou menos, correlacionados com o ponto a estimar. Ou seja, a autocorrelação
espacial não é considerada na definição dos pesos das amostras. O método IDW
considera apenas a distância ao ponto a estimar para determinar o peso de cada
amostra.
O método IDW assume que a variável é isotrópica, isto é, que varia da mesma forma
em todas as direções. O IDW garante que os valores estimados estão entre o máximo
e o mínimo dos valores amostrados. No entanto, cria máximos locais nos pontos
amostrados, reproduzindo uma geometria que raramente corresponde aos padrões
de variação espacial sugeridos pelas amostras.

15. Módulo 5 -Geoestatística 15
4. Descrição espacial
A descrição espacial consiste em identificar as principais características do padrão
espacial dos dados originais (pontos com valores conhecidos), ou de uma superfície.
A análise espacial é o processo de manipulação de informação espacial para extrair
novas informações e significado a partir dos dados originais. Normalmente, tanto a
descrição espacial como a análise espacial são realizadas com um Sistema de
Informação Geográfica (SIG).
Para muitas situações, uma determinada variável existe, não apenas para um único
ponto num espaço geográfico, mas para todos os pontos desse espaço, formando
campos ou superfícies. É o caso da temperatura, da precipitação, da poluição da água
num rio, da poluição atmosférica numa cidade e, de uma maneira geral, todas as
variáveis que se suportam na geografia física. Neste caso, interessa identificar e
quantificar a forma como estas variáveis de distribuem no espaço. Segundo um
padrão uniforme para todo o espaço? De uma forma completamente aleatória? Os
valores elevados têm tendência para se concentrarem em certos locais do espaço
geográfico? Os valores do atributo tendem a aumentar numa certa direção? A análise
espacial, e a descrição espacial em particular, permite responder a este tipo de
questões.
As principais características espaciais do conjunto de dados, ou superfície, são:
 a distribuição espacial,
 a tendência global, e
 a isotropia / anisotropia.
A análise da distribuição espacial permite determinar se o padrão é uniforme para
todo o espaço, ou se pelo contrário o padrão espacial é heterogéneo. Neste caso,
importa identificar as localizações onde se concentram os valores mais elevados e os
valores mais baixos do atributo.
No mapa da Figura 7 podemos observar uma superfície com a distribuição espacial
da temperatura na África do Sul no dia 15 de Abril de 2009 às 11:00. A análise da
distribuição espacial deste atributo permite concluir que o padrão espacial não é
uniforme em toda a área de estudo. Na região nordeste observam-se os valores mais
baixos de temperatura (inferiores a 19oC). Na região noroeste e sudeste localizam-
se os valores de temperatura mais elevados (superiores a 29oC).

16. Módulo 5 -Geoestatística 16
Figura 7 – Temperaturas na África do Sul no dia 15 de Abril de 2009 às 11:00
Fonte: “Spatial Analysis (Interpolation)”, Documentation QGIS 1.8,
http://docs.qgis.org/1.8/en/docs/gentle_gis_introduction/10_spatial_analysis_inte
rpolation.html. (Acedido: 14 novembro 2014)
A análise da tendência global corresponde a verificar se os valores do atributo
tendem a aumentar (ou a diminuir) numa certa direção.
No mapa da Figura 8 podemos observar uma superfície com a distribuição espacial
da irradiação solar anual na Europa (valores médios anuais entre Abril de 2004 e
Março de 2010). A análise da distribuição espacial deste atributo permite concluir
que o padrão espacial não é uniforme em todo a área de estudo, pois os valores da
irradiação solar aumentam de norte para sul. Ou seja, existe uma tendência global
crescente nos valores do atributo na direção norte-sul.

17. Módulo 5 -Geoestatística 17
Figura 8 – Irradiação solar anual na Europa
Fonte: “Annual Solar Irradiance, Intermittency and Annual Variations”, Green Rhino
Energy Ltd,
http://www.greenrhinoenergy.com/solar/radiation/empiricalevidence.php.
(Acedido: 14 novembro 2014)
A análise da isotropia / anisotropia consiste em verificar se o atributo tem o
mesmo comportamento em todas as direções.
Diz-se que um atributo é isotrópico quando apresenta o mesmo padrão espacial
para todas as direções. Os fenómenos isotrópicos têm um padrão espacial em forma
de circunferência. A Figura 9 exemplifica uma superfície com um padrão espacial
isotrópico. No mapa da Figura 10 podemos observar uma superfície com a
distribuição espacial isotrópica, pois a concentração de sódio no solo apresenta o
mesmo comportamento em todas as direções em Inglaterra e País de Gales.

18. Módulo 5 -Geoestatística 18
Figura 9 – Padrão espacial de um atributo isotrópico (Fonte: Araki & Tanaka, 2004)
Figura 10 – Concentração de sódio no solo em Inglaterra e País de Gales
Fonte: “NSI Topsoil Sodium”, British Geological Survey,
http://www.ukso.org/nsi/Sodium.html. (Acedido: 17 novembro 2014)
Diz-se que um atributo é anisotrópico quando apresenta um padrão espacial
diferente para direções diferentes. Na anisotropia geométrica, o padrão é mais
contínuo numa dada direção do na respetiva direção perpendicular. Portanto, o
padrão espacial tem a forma de uma elipse (Figura 11). Na direção de maior
continuidade, pontos distantes têm valores idênticos. Ou seja, a autocorrelação
espacial é maior na direção de maior continuidade.

19. Módulo 5 -Geoestatística 19
Figura 11 – Padrão espacial de um atributo anisotrópico
Fonte: “Accounting for directional influences”, Professional Library, ArcGIS Desktop
10 help, ESRI.
http://help.arcgis.com/en/arcgisdesktop/10.0/help/index.html#/Accounting_for_
directional_influences/00310000001z000000/ (Acedido: 14 novembro 2014)
Na Figura 11, ilustra-se a superfície de um atributo anisotrópico, em que a direção
de maior continuidade espacial é a direção oeste-este. Na direção perpendicular a
esta (norte-sul), a continuidade (autocorrelação ) espacial é menor.
A Figura 12 apresenta uma pluma de poluição do ar do sudeste da Ásia com um
padrão anisotrópico, em que a direção de maior continuidade é a direção oeste-este.
Figura 12 – Pluma de poluição do ar do sudeste da Ásia que se move sobre o
Oceano Pacífico e atinge a América do Norte (Março de 2000)
Fonte: NASA Goddard Space Flight Center, Scientific Visualization Studio,
http://www.usgcrp.gov/usgcrp/images/ocp2003/ocpfy2003-fig2-2.htm. (Acedido:
13 maio 2014)

20. Módulo 5 -Geoestatística 20
Referências
Araki T. & Tanaka H. (2004) Nematohydrodynamic effects on the phase separation
of a symmetric mixture of an isotropic liquid and a liquid crystal. Physical Review
Letters 93(1), 015702.
Deutsch C.V. & Journel A.G. (1998). Geostatistical Software Library and User’s Guide.
Oxford University Press, New York, USA.
Goovaerts P. (1999). “Performance comparison of geostatistical algorithms for
incorporating elevation into the mapping of precipitation”. In: Proceedings of
Geocomputation 99. http://www.geocomputation.org/1999/023/gc_023.htm
Isaaks E.H. & Srivastava R.M. (1989). An Introduction to Applied Geostatistics. Oxford
University Press, Inc, New York, USA.
Johnston K., Ver Hoef J.M., Krivoruchko K., Lucas N. (2001) Using ArcGIS™
Geostatistical Analyst. ESRI, Redlands (California), USA. Disponível em:
http://dusk2.geo.orst.edu/gis/geostat_analyst.pdf
Mitas L. & Mitasova H. (1999). Spatial Interpolation. In: Longley P.A., Goodchild M.F.,
Maguire D. & Rhind D.W. (eds). Geographical Information Systems: Principles,
Techniques, Management and Applications, Second Edition. John Wiley and Sons, N.Y.,
Vol 2, pp. 481-492.