1) O documento discute as leis de Kepler sobre o movimento planetário e a teoria da gravitação universal de Newton. 2) É apresentada a história da astronomia desde Ptolomeu até Kepler e Newton, incluindo as contribuições de Copérnico, Tycho Brahe e Galileu. 3) Kepler formulou três leis que descrevem o movimento dos planetas em órbitas elípticas em torno do Sol.

1. Gravitação

2. Leis de Kepler e Teoria da Gravitação UniversalPtolomeu, Copérnico, Tycho Brahe, Galileu,Kepler, Newton…1473 - 15431546-1601?87-1501571 - 16301642-17271564 - 1642

3. É sabido, mas muitas vezes esquecido que a ciência é uma construção humana e como tal, está repleta de contradições e dúvidas, mas, ainda assim, é determinante para o domínio político e econômico. “A ciência contemporânea, construída especialmente no mundo ocidental nos últimos três séculos, tornou-se uma cultura global como parte de um processo amplo e contraditório, de caráter político e também econômico, que promoveu ganhos e perdas culturais, progresso e miséria material, equívocos e conquistas intelectuais. De toda forma ela se tornou um instrumento de pensar e do fazer de tal forma essencial, que privar qualquer sociedade atual da cultura científica é, em muitos aspectos, sentenciá-la a duradoura submissão econômica e a provável degradação social e, porque não dizer, é também excluí-la de uma bela aventura do espírito humano”(Menezes, notas de aula, 2001, p.4).

4. Os modelos de Universo de Ptolomeu e de Copérnico.Geocêntrico: Terra (centro) – Lua, Mercúrio, Vênus, Sol, Marte, Júpiter, Saturno e EstrelasHeliocêntrico: Sol (centro) – Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno e Estrelas

5. A percepção da relação com os corpos celestes varia entre as pessoas de acordo com culturas e tradições diversas. Existem pessoas, por exemplo, que não saem de casa sem consultar o horóscopo, mas ignoram ou desconhecem a relação entre as marés diárias e a Lua e que a vida na Terra depende da conveniente distância entre a Terra e o Sol. Os astros influenciam na vida desde seu surgimento e não é preciso horóscopo para saber disso, as migrações de aves e as hibernações de mamíferos atestam a viagem anual de nosso planeta girante a redor do Sol.A visão contemporânea do Universo não é uma simples negação das práticas religiosas e convicções míticas, mas sim uma nova elaboração conceitual e experimental com o respeito de quem examina o próprio passado, a fim de compreender como as civilizações, que nos distinguem dos demais seres vivos, se fundaram.

6. Desafio: Observando a fotografia (abaixo) do céu noturno, estime o tempode exposição do filme fotográfico. Para isso, leve em conta que uma volta completa, que seria um arco completo de 360°,corresponde a 24 horas.

7. As leis de Kepler para o movimento planetário

8. Primeira lei (1609): Lei das órbitas.Um planeta se move descrevendo uma órbita elíptica tendo o Sol como um dos focos. Como consequência da órbita ser elíptica, a distância do Sol ao planeta varia ao longo de sua órbita.periélioafélioObs.: a excentricidade da elipse acima está exagerada

9. (

10. Motivo das Estações do Ano

11. 23,5ºEixo derotaçãoPlano da EclípticaPeriélioAfélioÓrbita da Terra em torno do SolEclípticaSol

12. Relembrando: Paralelos importantesPNCírculo Polar Ártico23,5oTrópicode Câncer23,5oeclípticaEquadorTrópico deCapricórnioCírculo Polar AntárticoPS

13. InvernoVerãoSolInvernoVerãoPrimaveraouOutonoSolOutonoouPrimaveraMotivo das EstaçõesSolstício SolstícioEquinócio

14. O Sol nasce no leste?23/09Equinócio de Primavera22/1222/06LesteSolstício de InvernoSolstício de Verão21/03NorteSulEquinócio de Outono

15. Trajetórias diurnasdo Sol nas proximidades dos trópicos12111013914Verão(22/12)8715657Inverno(22/06)1617181719LesteNorteSulOeste

16. Eixo derotaçãoEsfera CelestePolo celeste norteEquadorpolo celeste sul

17. o arco descrito pelos astros em seu movimento aparente é observado em ângulos diferentes, De acordo com a latitude do local.

18. )

19. Segunda lei (1609): Lei das áreas.O raio vetor que liga o planeta a estrela varre áreas iguais em intervalos de tempos iguais.

20. Segunda lei (1609): Lei das áreas.O raio vetor que liga o planeta a estrela varre áreas iguais em intervalos de tempos iguais.32Dt1,2 = Dt3,4A1 = A2A1A214Consequências:A velocidade de translação do planeta não é constante.Máxima no periélio;

21. Mínima no afélio.2. A velocidade areolar é constante (Va = A/Dt (m²/s) SI)

22. Terceira lei (1618): Lei Harmônica.O quadrado do período orbital dos planetas é diretamente proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol. Esta lei estabelece que planetas com órbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso sugere que a força entre o Sol e o planeta decresce com a distância ao Sol. T² = k.R³T – período orbitalR – raio médio da órbitak – cte que depende da Massa do astro central RpRjT² / R³ = kT²p / R³p = T²j / R³jAs leis de Kepler aplicam-se a quaisquer corpos que gravitem em órbita de uma grande massa central. Por isso, elas são aplicáveis não apenas ao nosso Sistema Solar, como também a outros sistemas do Universo. Elas podem ser também aplicadas, por exemplo, para um satélite que gravite em órbita de um planeta qualquer.

23. d DR = semi-eixo maior2R = d+DR = (d+D) / 2

25. Exemplos:1)Marte tem dois satélites: Fobos, que se move em órbita circular de raio 10000 km e período 3.104 s, e Deimos, que tem órbita circular de raio 24000 km. Determine o período de Deimos.Rf = 10000 kmTf = 3.104 sRd = 24000 KmTd = ?T²d = 24³.109. (3.104)²/ 1012T²d = 24².24.10-3.(3.104)²Td = 24.3.104.10-1.√2,4Td ≈ 72.10³.1,55Td ≈ 111,6.10³Td ≈ 11,2 .104 sT² = k.R³T²d/ R³d = T²f / R³fT²d = R³d. T²f / R³fT²d = 24000³. (3.104)²/ 10000³

26. Exemplos:2) A Terra descreve uma elipse em torno do Sol cuja área é A=6,98.1022 m2. Qual é a área varrida pelo raio que liga a Terra ao Sol entre 0,0 h do dia 1º de abril até 24 h do dia 30 de maio do mesmo ano.6,98.1022m²_______12 meses A____________2 mesesA =6,98.1022.2 / 12A ≈ 1,16.1022m²

27. A1) Primeira lei (1609): Lei das órbitas.Um planeta se move descrevendo uma órbita elíptica tendo o Sol como um dos focos. Como consequência da órbita ser elíptica, a distância do Sol ao planeta varia ao longo de sua órbita.Segunda lei (1609): Lei das áreas.O raio vetor que liga o planeta a estrela varre áreas iguais em intervalosde tempos iguais.Consequências:A velocidade de translação do planeta não é constante.Máxima no periélio;

28. Mínima no afélio.2. A velocidade areolar é constante (Va = A / Dt (m²/s) SI)Terceira lei (1618): Lei Harmônica.O quadrado do período orbital dos planetas é diretamente proporcional aocubo de sua distância média ao Sol. Esta lei estabelece que planetas com órbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso sugere que a força entre o Sol e o planeta decresce com a distância ao Sol. T² = k.R³Resp.: e

29. A2)Segunda lei (1609): Lei das áreas.O raio vetor que liga o planeta a estrela varre áreas iguais em intervalosde tempos iguais.Consequências:A velocidade de translação do planeta não é constante.Máxima no periélio;

30. Mínima no afélio.2. A velocidade areolar é constante (Va = A / Dt (m²/s) SI)32Dt1,2 = Dt3,4A1 = A2A1A214Resp.: c

31. A3) R1 = RT1 = 2 anosR2 = 2.RT2 = ?Considerando que os dois planetas orbitam o mesmoAstro central (Sol), temos:T² = k.R³T2² = 8.R³.4/ R³T²1/ R³1 = T²2 / R³2T2² =32T2 = √32T2 ≈ 5,66 anos terrestresT²2 = R³2T²1/ R³1T²2 = (2.R)³.2² / R³

32. A4)T1 / T2 = ?T² = k.R³T1² / T2² = 64T1 / T2 = 8T²1/ R³1 = T²2 / R³2T1² / T2² = R1³ / R2³Resp.: cT1² / T2² = (4R)³ / R³T1² / T2² = 64.R³ / R³

33. A gravitação universalPor que os corpos caem?Se a Lua é atraída pela Terra, por que ela não cai sobre a Terra?O que é força gravitacional?

34. A gravitação universalUm pouco de HistóriaXEmbora o modelo Heliocêntrico parecesse mais simples que o modelo Geocêntrico, tal “simplicidade” não existia, pois, tal qual o modelo de Ptolomeu, exigia uma complexa combinação de movimentos para explicar o que era observado no céu.Tanto o modelo ptolomaico quanto o modelo copernicano não eram capazes de prever as posições dos planetas de forma precisa e, com relação a Copérnico, quandoquestionado sobre ausência de ventos que deveriam existir caso a Terra se movesse, faltavam-lhe argumentos para provar tal movimento.

35. A gravitação universalUm pouco de HistóriaEm 1546, três anos após a morte de Copérnico, nascia na Dinamarca Tycho Brahe,o último grande astrônomo observacional antes da invenção do telescópio. Utilizando seus próprios instrumentos Tycho Brahe fez excelentes medidas das posições de planetas e estrelas que lhe renderam o patrocínio do rei da Dinamarca,Frederic II, para construção de seu próprio laboratório. Mais tarde Tycho Brahe foitrabalhar como astrônomo para o imperador da Bohemia e, em 1600, um ano antesde sua morte, cotratou um jovem matemático alemão, Johannes Kepler, com quemanalisou 20 anos de dados colhidos sobre os planetas, embora Tycho Brahe nãoacreditasse na hipótese heliocêntrica de Copérnico, foram as suas observações quecontribuiram para que Kepler formulasse as três leis dos movimentos planetários.

36. A gravitação universalUm pouco de HistóriaA grande contribuição ao modelo heliocêntrico foi dada pelo italiano Galileo Galilei.Além de olhar para o céu como os demais astrônomos de sua época, Galileo buscavacausas físicas para os fenômenos observados. Com sua própria luneta, construida em1609, com um poder de aumento de cerde de 30 vezes, Galileu pode observar:crateras na Lua e manchas no Sol, novas estrelas, as fases de Vênus e quatro satélitesorbitando Júpiter. Com essas observações foi possível mostrar que os corpos celestesnão possuiam a perfeição a eles outrora atribuída. Essas observações não provarama veracidade dos trabalhos de Copérnico, mas abalaram ainda mais a crença na imutabilidade do cosmos, além de apontar para falsidade do modelo geocêntricoadotado como verdade intocável pela igreja desde os tempos de Ptolomeu.

37. A gravitação universalSintetisandoGalileo em seu trabalho percebeu que o movimento é tão natural quanto o repousoe esses permanecem inalterados se nenhum agente externo interferir.Kepler foi capaz de descrever o movimento dos planetas, mas não pode explicar opor quê desses movimentos. Coube a Newton, no século XVII, usando as teorias deGalileo e Kepler desenvolver a teoria da gravitação universal e as Leis do movimento.Nesse trabalho ele expressou matematicamente o movimento dos planetas e explicoupor que ocorrem daquela forma. Com sua obra Newton unificou as mecânicas celestee terrestre, ou seja, as leis que regem o movimento da Lua ao redor da Terra são as mesmas que regem os movimentos dos corpos na superfície da Terra.

38. Enfim a Teoria da gravitação universalNewton pôde explicar o movimento dos planetas em torno do Sol, assumindo a existência de uma força dirigida ao Sol, que produzuma aceleração que obriga a velocidade do planeta a mudar de direção, continuamente.

39. A lua e a aceleração centrípeta.V1V1RV.DtV.DtaDVaV2RaRV2Lembrando que a velocidade V, de tangência,é constante, assim como a distância ao centro,R. Em um curto intervalo de tempo, por semelhança de triângulos, temos:V.Dt / R = DV / VV.V / R = DV / DtV² / R = acpacp = V² / R

40. Como foi que Newton desenvolveu a Lei da gravitação universal?Com os três princípios (inércia, variação da quantidade de movimento e ação e reação) mais as leis de Kepler e coma convicção de que as forças nos corpos celestes ou nos corpos nasuperfície terrestre são de mesma natureza Newton desenvolveua Teoria da gravitação universal.Raciocínio de Newton:

41. Usando este raciocínio “temperado” com um pouco de Matemática,Newton chegou a seguinte expressão para força gravitacional.rMFgmFgFg = G.M.m/r²G – cte universal da gravitaçãoM,m – massas r – distância entreos centros das massasvamos à demonstração

42. Demonstração matemáticaComo ponto de partida para encontrara força gravitacional, entre as massas,consideraremos a força centrípeta quea Terra excerce sobre a Lua.Pelo princípio da conservação da quantidade de movimento temos:Fr = m.a, neste caso a = acp, assim,temos que:Frcp = m.acp = m.V² / rA velocidade linear da Lua é dada por:V = DS / DT = 2.p.r / TmVFrcprM

43. Demonstração matemáticaFrcp = m.V² / r (I)V = 2.p.r / T (II)Usando a terceira lei de Kepler:T² = k. r³ e elevando a equação (II) aoquadrado temos:V² = 4.p².r²/T² = 4.p2.r² / k.r³V² = 4.p²/k.r (III) (III) em (I) Frcp = m.4.p² / k.r²mVFrcprM

44. Como a atração gravitacional é entre um parde corpos, Newton concluiu que, além deladiminuir com o quadrado da distância entreo centro de massa do par deveria, também, aumentar na proporção direta de suas massas. Assim eleesceveu que:mVFrcp = m.4.p² / k.r²Fg = G.M.m/r²,onde G =4.p²/M.krFrcp = FgMFg = G.M.m / r² (N) SI

45. A primeira medida da constante G foi feita por Henry Cavendish(1731-1810) em 1798, usando um aparelho extremamentesensível, a balança de torção. Com esse experimento, Cavendishencontrou o valor 6,71.10-11m³/kg².s².G =4.p²/M.kk = T²/r³T²/r³ = 4.p²/G.MFio de quartzoExperiências mais sofisticadasdão o valor de G atualmenteaceito como:G = 6,67.10-11N.m²/kg²EspelhoFonte de luz

46. FFg = G.M.m/r² (N) SImFdMFrM m R F M m 2R M m 3R M 2m 2R F/4F/9F/2

47. O efeito da força gravitacional da Lua sob asmarésresultado final das marés altasMassa gravitacionalM. inercial M. gravitacionalMassa inercial

48. Você é capaz de responder as questões abaixo?Por que os corpos caem?Se a Lua é atraída pela Terra, por que ela não cai sobre a Terra?O que é força gravitacional?

49. A5) m=5.10³kgM=6.1024kgd = 3,6.106mFg = G.M.m/r² (N)G = 6,7.10-11N.m²/kg²R = 6,4.106mFg = G.M.m / (R+d)²Fg = 6,7.10-11.6.1024.5.10³ / (6,4.106+3,6.106)²Fg = 201.1016/1014Fg = 2,01.104NFg ≈ 2.104N

50. A6)FFg = G.M.m/r² (N) SImFdMFrResp.: c)M m R F M m 2R M m 3R M m 4R F/4F/9F/16

51. A7)2mFg = G.M.m/r² (N) SI2MFFRResp.: c)mFMFRM m R F 2M 2m R 4FDepois:Fg = G.2.M.2.m/R²Fg = 4.G.M.m/R²Fg = 4FAntes:Fg = F = G.M.m/R²

52. A8 )Fg = G.M.m / r²MdmFL,f81.MFT,fxFr = 0FT,f = FL,fG.MT.m/(d-x)² = G.ML.m /x²81.M / (d-x)² = M / x²81/ (d-x)² = 1 / x²9 / (d-x) = 1 / x9x = d-x10x = dx = d/10r = d – d/10r = (10d – d)/10r = 9 d/10 = 0,9dr=d - x

53. Resumindo:Leis de Kepler: Órbitas elípticas Áreas iguais em tempos iguais T²/ r³ = kT – Período orbitalr – raio médio da órbitak – constante que depende da massa docorpo central.Gravitação Universal:Fg = G.M.m/r²,onde G =4.p²/M.k = 6,67.10-11N.m²/kg²é a cosntante de gravitação universal.r – distância entre os centros de massasdos corpos.Nota: k = 4.p²/G.M,Onde M é a massado corpo central emtorno do qual os satélites gravitam

54. Fim

55. Satélites em órbita circularFrcp = m.v²/r (N)Fg = G.M.m/r² (N)V = w.r (m/s)w = 2.p.f = 2.p/T (rad/s)Velocidade linear (v):Frcp = Fgm.v² / r = G.M.m / r²v² = G.M / rv = √G.M / rVelocidade angular ( w)√G.M / r = w.r(√G.M / r) /r = w= √G.M / r³Período:√G.M / r³ = 2p/TT = 2p / (√G.M/r³)mVrFrcp = FgM

56. A9)Frcp = m.v²/r (N)Fg = G.M.m/r² (N)V = w.r (m/s)w = 2.p.f = 2.p/T (rad/s)Velocidade linear (v):Frcp = Fgm.v² / r = G.M.m / r²v² = G.M / rv = √G.M / rv = √G.M/RResp.: b)mVRFrcp = FgM

57. A10)Frcp = m.v²/r (N)Fg = G.M.m/r² (N)V = w.r (m/s)w = 2.p.f = 2.p/T (rad/s)Velocidade linear (v):Frcp = Fgm.v² / r = G.M.m / r²v² = G.M / rv = √G.M / rVelocidade angular ( w)√G.M / r = w.r(√G.M / r) /r = w= √G.M / r³Período:√G.M / r³ = 2p/TT = 2p / (√G.M/r³)Resp.: a)mVRFrcp = FgMrVm

58. A11)Frcp = m.v²/r (N)Fg = G.M.m/r² (N)V = w.r (m/s)w = 2.p.f = 2.p/T (rad/s)Velocidade linear (v):Frcp = Fgm.v² / r = G.M.m / r²v² = G.M / rv = √G.M / rVelocidade angular ( w)√G.M / r = w.r(√G.M / r) /r = w = √G.M / r³

59. = √G.M / R³Resp.: a)mVRFrcp = FgM

60. A12)Velocidade linear (v):Frcp = Fgm.v² / r = G.M.m / r²v² = G.M / rv = √G.M / rVelocidade angular ( w)√G.M / r = w.r(√G.M / r) /r = w= √G.M / r³Período:√G.M / r³ = 2p/TT = 2p / (√G.M/r³)T = 2p √r³ / √G.MResp.: a)Frcp = m.v²/r (N)Fg = G.M.m/r² (N)V = w.r (m/s)w = 2.p.f = 2.p/T (rad/s)mVrFrcp = FgM

61. Campo gravitacional (g) velocidade de escapeEspaço sem matériaEspaço com matéria

62. Vetor Campo gravitacionalg = G.M /r² (p/ r≥R)g= (G.M/R³).r (p/ r<R)gS = G.M / R² ≈ 9,8 m/s²G.M/R²G.M/4.R²G.M/9.R²rMRr0 R 2.R 3.R Sdistância do centro da Terra

63. Peso de um corpo na superfície da TerraFg = G.M.m/r²g = G.M/r²Fg = m.gNa superfície r = Rg = G.M/R²P=m.g (N) SImRM

64. Velocidade de escapeVelocidade de escape é um conceito físico. Sua utilidade maior é dar uma noção da intensidade do campo gravitacional de um astro e de sua gravidade superficial. O escape, no caso, significa libertar-se de um campo gravitacional. Qual é a tradução ideal deste libertar-se? A atuação da força gravitacional se extende ao infinito. Logo, o libertar-se dela só pode se dar no infinito (não se esqueca que estamos lidando com a definição de um conceito físico). Mas é preciso ainda uma outra consideração: qual é a condição mínima deste libertar-se? Senão lidarmos com este mínimo, algum outro fator físico estará sendo erroneamente considerado. Evidentemente, se o corpo chegar no infinito, não precisará ir além. Logo, não é necessário que ele esteja dotado de nenhuma velocidade. Esta é a condição mínima. É por esta razão que a velocidade de escape é definida como a velocidade inicial que dote um dado corpo na superfície de um astro qualquer da energia capaz de fazê-lo chegar ao infinito com velocidade zero. Como é uma medida do campo gravitacional, que exerce uma força sobre o corpo, nenhuma outra força está envolvida neste conceito. Em termos um pouco mais técnicos, é a velocidade de escape aquela capaz de dotar um dado corpo da energia cinética de igual módulo ao da energia associada ao campo gravitacional. A formulação matemática deste conceito é obtida desta forma:

65. Energia Cinética (T): Ec = mv²/2 (J) SI Energia Gravitacional(P): Epg = - mgh Velocidade de Escape (ve): Na superfície:Ec = mve²/2Epg = - mgRNo infinito (v = 0):Ec = 0Epg = - mgr = - GMm/r = 0Pelo princípio da conser-vação da Energia temos:mve²/2 – mgR = 0ve = √2RgTerra:ve = √2.6,4.106.9,8ve ≈ 11,2.10³ m/sve ≈ 11,2 km/s

66. Nota:Na prática, para se vencer um campo gravitacional e se atingir uma distância arbitrariamente grande - que é o significado prático de uma tal vitória, por exemplo, sair da superfície terrestre e chegar na Lua - basta que seja exercida permanentemente uma força sobre o corpo que seja superior àquela exercida pela atração gravitacional. Para que você mantenha um corpo a uma velocidade constante você terá que dotá-lo de uma aceleração que se contraponha exatamente àquela produzida pela atração gravitacional, desde que ele já esteja dotado de uma dada velocidade. Os foguetes que chegaram à Lua partiram da Terra a uma velocidade muito inferior à velocidade de escape da Terra. Neste caso, o motor é a origem da força a se contrapor a força gravitacional.

67. Velocidade de escape para alguns astros

68. Exemplos1) Considere a terra esférica e homogenia de raio R=6,4.106m e g=10N/Kg na superfície. Usando G=6,7.10-11 N.m²/Kg², calcule:a) a massa da terra;b) a intensidade do campo gravitacional criado pela terra num ponto P a uma altitude igual ao seu raio.a)g=G.M/r2M = g.d²/G = 10.(6,4.106)²/6,7.10-11 = 6.1024kgb) g=G.M/r² g= G.M/(2R)² g= 6,7.10-11.6.1024/(2.6,4.106)² = 2,5 N/KgRR

69. 2 ) A massa da Terra é cerca de 100 vezes maior que a massa da Lua, a distância entre o centro dos dois corpos é aproximadamente 4. 108m. Determine em que ponto da reta que une os centros dos dois corpos a atração gravitacional é nula.g = G.M / r²m4.108mgL = gTG.MT /rT² = G.ML / rL²100.m / (4.108)² = m / x²100 / (4.108 -x)² = 1 / x²10 / (4.108 -x) = 1 / x11x =4.108x ≈ 4.107 m 100.mx4.108 - xPortanto, a atração gravitacional será nula a 40000 km da Lua