Resumo de gravitação - powerpoint

1. Gravitação

2. Leis de Kepler e Teoria da Gravitação Universal Ptolomeu, Copérnico, Tycho Brahe, Galileu, Kepler, Newton… 1473 - 1543 1546-1601 ?87-150 1571 - 1630 1642-1727 1564 - 1642

3. É sabido, mas muitas vezes esquecido que a ciência é uma construção humana e como tal, está repleta de contradições e dúvidas, mas, ainda assim, é determinante para o domínio político e econômico. “A ciência contemporânea, construída especialmente no mundo ocidental nos últimos três séculos, tornou-se uma cultura global como parte de um processo amplo e contraditório, de caráter político e também econômico, que promoveu ganhos e perdas culturais, progresso e miséria material, equívocos e conquistas intelectuais. De toda forma ela se tornou um instrumento de pensar e do fazer de tal forma essencial, que privar qualquer sociedade atual da cultura científica é, em muitos aspectos, sentenciá-la a duradoura submissão econômica e a provável degradação social e, porque não dizer, é também excluí-la de uma bela aventura do espírito humano”(Menezes, notas de aula, 2001, p.4).

4. Os modelos de Universo de Ptolomeu e de Copérnico. Geocêntrico: Terra (centro) – Lua, Mercúrio, Vênus, Sol, Marte, Júpiter, Saturno e Estrelas Heliocêntrico: Sol (centro) – Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno e Estrelas

5. A percepção da relação com os corpos celestes varia entre as pessoas de acordo com culturas e tradições diversas. Existem pessoas, por exemplo, que não saem de casa sem consultar o horóscopo, mas ignoram ou desconhecem a relação entre as marés diárias e a Lua e que a vida na Terra depende da conveniente distância entre a Terra e o Sol. Os astros influenciam na vida desde seu surgimento e não é preciso horóscopo para saber disso, as migrações de aves e as hibernações de mamíferos atestam a viagem anual de nosso planeta girante a redor do Sol. A visão contemporânea do Universo não é uma simples negação das práticas religiosas e convicções míticas, mas sim uma nova elaboração conceitual e experimental com o respeito de quem examina o próprio passado, a fim de compreender como as civilizações, que nos distinguem dos demais seres vivos, se fundaram.

6. Desafio: Observando a fotografia (abaixo) do céu noturno, estime o tempo de exposição do filme fotográfico. Para isso, leve em conta que uma volta completa, que seria um arco completo de 360°,corresponde a 24 horas.

7. As leis de Kepler para o movimento planetário

8. Primeira lei (1609): Lei das órbitas. Um planeta se move descrevendo uma órbita elíptica tendo o Sol como um dos focos. Como consequência da órbita ser elíptica, a distância do Sol ao planeta varia ao longo de sua órbita. periélio afélio Obs.: a excentricidade da elipse acima está exagerada

9. (

10. Motivo das Estações do Ano

11. 23,5º Eixo de rotação Plano da Eclíptica Periélio Afélio Órbita da Terra em torno do Sol Eclíptica Sol

12. Relembrando: Paralelos importantes PN Círculo Polar Ártico 23,5o Trópico de Câncer 23,5o eclíptica Equador Trópico de Capricórnio Círculo Polar Antártico PS

13. Inverno Verão Sol Inverno Verão Primavera ou Outono Sol Outono ou Primavera Motivo das Estações Solstício Solstício Equinócio

14. O Sol nasce no leste? 23/09 Equinócio de Primavera 22/12 22/06 Leste Solstício de Inverno Solstício de Verão 21/03 Norte Sul Equinócio de Outono

15. Trajetórias diurnasdo Sol nas proximidades dos trópicos 12 11 10 13 9 14 Verão (22/12) 8 7 15 6 5 7 Inverno (22/06) 16 17 18 17 19 Leste Norte Sul Oeste

16. Eixo de rotação Esfera Celeste Polo celeste norte Equador polo celeste sul

17. o arco descrito pelos astros em seu movimento aparente é observado em ângulos diferentes, De acordo com a latitude do local.

18. )

19. Segunda lei (1609): Lei das áreas. O raio vetor que liga o planeta a estrela varre áreas iguais em intervalos de tempos iguais.

21. Mínima no afélio.2. A velocidade areolar é constante (Va = A/Dt (m²/s) SI)

22. Terceira lei (1618): Lei Harmônica. O quadrado do período orbital dos planetas é diretamente proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol. Esta lei estabelece que planetas com órbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso sugere que a força entre o Sol e o planeta decresce com a distância ao Sol. T² = k.R³ T – período orbital R – raio médio da órbita k – cte que depende da Massa do astro central Rp Rj T² / R³ = k T²p / R³p = T²j / R³j As leis de Kepler aplicam-se a quaisquer corpos que gravitem em órbita de uma grande massa central. Por isso, elas são aplicáveis não apenas ao nosso Sistema Solar, como também a outros sistemas do Universo. Elas podem ser também aplicadas, por exemplo, para um satélite que gravite em órbita de um planeta qualquer.

23. d D R = semi-eixo maior 2R = d+D R = (d+D) / 2

25. Exemplos: 1)Marte tem dois satélites: Fobos, que se move em órbita circular de raio 10000 km e período 3.104 s, e Deimos, que tem órbita circular de raio 24000 km. Determine o período de Deimos. Rf = 10000 km Tf = 3.104 s Rd = 24000 Km Td = ? T²d = 24³.109. (3.104)²/ 1012 T²d = 24².24.10-3.(3.104)² Td = 24.3.104.10-1.√2,4 Td ≈ 72.10³.1,55 Td ≈ 111,6.10³ Td ≈ 11,2 .104 s T² = k.R³ T²d/ R³d = T²f / R³f T²d = R³d. T²f / R³f T²d = 24000³. (3.104)²/ 10000³

26. Exemplos: 2) A Terra descreve uma elipse em torno do Sol cuja área é A=6,98.1022 m2. Qual é a área varrida pelo raio que liga a Terra ao Sol entre 0,0 h do dia 1º de abril até 24 h do dia 30 de maio do mesmo ano. 6,98.1022m²_______12 meses A____________2 meses A =6,98.1022.2 / 12 A ≈ 1,16.1022m²

28. Mínima no afélio.2. A velocidade areolar é constante (Va = A / Dt (m²/s) SI) Terceira lei (1618): Lei Harmônica. O quadrado do período orbital dos planetas é diretamente proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol. Esta lei estabelece que planetas com órbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso sugere que a força entre o Sol e o planeta decresce com a distância ao Sol. T² = k.R³ Resp.: e

30. Mínima no afélio.2. A velocidade areolar é constante (Va = A / Dt (m²/s) SI) 3 2 Dt1,2 = Dt3,4 A1 = A2 A1 A2 1 4 Resp.: c

31. A3) R1 = R T1 = 2 anos R2 = 2.R T2 = ? Considerando que os dois planetas orbitam o mesmo Astro central (Sol), temos: T² = k.R³ T2² = 8.R³.4/ R³ T²1/ R³1 = T²2 / R³2 T2² =32 T2 = √32 T2 ≈ 5,66 anos terrestres T²2 = R³2T²1/ R³1 T²2 = (2.R)³.2² / R³

32. A4) T1 / T2 = ? T² = k.R³ T1² / T2² = 64 T1 / T2 = 8 T²1/ R³1 = T²2 / R³2 T1² / T2² = R1³ / R2³ Resp.: c T1² / T2² = (4R)³ / R³ T1² / T2² = 64.R³ / R³

33. A gravitação universal Por que os corpos caem? Se a Lua é atraída pela Terra, por que ela não cai sobre a Terra? O que é força gravitacional?

34. A gravitação universal Um pouco de História X Embora o modelo Heliocêntrico parecesse mais simples que o modelo Geocêntrico, tal “simplicidade” não existia, pois, tal qual o modelo de Ptolomeu, exigia uma complexa combinação de movimentos para explicar o que era observado no céu. Tanto o modelo ptolomaico quanto o modelo copernicano não eram capazes de prever as posições dos planetas de forma precisa e, com relação a Copérnico, quando questionado sobre ausência de ventos que deveriam existir caso a Terra se movesse, faltavam-lhe argumentos para provar tal movimento.

35. A gravitação universal Um pouco de História Em 1546, três anos após a morte de Copérnico, nascia na Dinamarca Tycho Brahe, o último grande astrônomo observacional antes da invenção do telescópio. Utilizando seus próprios instrumentos Tycho Brahe fez excelentes medidas das posições de planetas e estrelas que lhe renderam o patrocínio do rei da Dinamarca, Frederic II, para construção de seu próprio laboratório. Mais tarde Tycho Brahe foi trabalhar como astrônomo para o imperador da Bohemia e, em 1600, um ano antes de sua morte, cotratou um jovem matemático alemão, Johannes Kepler, com quem analisou 20 anos de dados colhidos sobre os planetas, embora Tycho Brahe não acreditasse na hipótese heliocêntrica de Copérnico, foram as suas observações que contribuiram para que Kepler formulasse as três leis dos movimentos planetários.

36. A gravitação universal Um pouco de História A grande contribuição ao modelo heliocêntrico foi dada pelo italiano Galileo Galilei. Além de olhar para o céu como os demais astrônomos de sua época, Galileo buscava causas físicas para os fenômenos observados. Com sua própria luneta, construida em 1609, com um poder de aumento de cerde de 30 vezes, Galileu pode observar: crateras na Lua e manchas no Sol, novas estrelas, as fases de Vênus e quatro satélites orbitando Júpiter. Com essas observações foi possível mostrar que os corpos celestes não possuiam a perfeição a eles outrora atribuída. Essas observações não provaram a veracidade dos trabalhos de Copérnico, mas abalaram ainda mais a crença na imutabilidade do cosmos, além de apontar para falsidade do modelo geocêntrico adotado como verdade intocável pela igreja desde os tempos de Ptolomeu.

37. A gravitação universal Sintetisando Galileo em seu trabalho percebeu que o movimento é tão natural quanto o repouso e esses permanecem inalterados se nenhum agente externo interferir. Kepler foi capaz de descrever o movimento dos planetas, mas não pode explicar o por quê desses movimentos. Coube a Newton, no século XVII, usando as teorias de Galileo e Kepler desenvolver a teoria da gravitação universal e as Leis do movimento. Nesse trabalho ele expressou matematicamente o movimento dos planetas e explicou por que ocorrem daquela forma. Com sua obra Newton unificou as mecânicas celeste e terrestre, ou seja, as leis que regem o movimento da Lua ao redor da Terra são as mesmas que regem os movimentos dos corpos na superfície da Terra.

38. Enfim a Teoria da gravitação universal Newton pôde explicar o movimento dos planetas em torno do Sol, assumindo a existência de uma força dirigida ao Sol, que produz uma aceleração que obriga a velocidade do planeta a mudar de direção, continuamente.

39. A lua e a aceleração centrípeta. V1 V1 R V.Dt V.Dt a DV a V2 R a R V2 Lembrando que a velocidade V, de tangência, é constante, assim como a distância ao centro, R. Em um curto intervalo de tempo, por semelhança de triângulos, temos: V.Dt / R = DV / V V.V / R = DV / Dt V² / R = acp acp = V² / R

40. Como foi que Newton desenvolveu a Lei da gravitação universal? Com os três princípios (inércia, variação da quantidade de movimento e ação e reação) mais as leis de Kepler e com a convicção de que as forças nos corpos celestes ou nos corpos na superfície terrestre são de mesma natureza Newton desenvolveu a Teoria da gravitação universal. Raciocínio de Newton:

41. Usando este raciocínio “temperado” com um pouco de Matemática, Newton chegou a seguinte expressão para força gravitacional. r M Fg m Fg Fg = G.M.m/r² G – cte universal da gravitação M,m – massas r – distância entre os centros das massas vamos à demonstração

42. Demonstração matemática Como ponto de partida para encontrar a força gravitacional, entre as massas, consideraremos a força centrípeta que a Terra excerce sobre a Lua. Pelo princípio da conservação da quantidade de movimento temos: Fr = m.a, neste caso a = acp, assim, temos que: Frcp = m.acp = m.V² / r A velocidade linear da Lua é dada por: V = DS / DT = 2.p.r / T m V Frcp r M

43. Demonstração matemática Frcp = m.V² / r (I) V = 2.p.r / T (II) Usando a terceira lei de Kepler: T² = k. r³ e elevando a equação (II) ao quadrado temos: V² = 4.p².r²/T² = 4.p2.r² / k.r³ V² = 4.p²/k.r (III) (III) em (I) Frcp = m.4.p² / k.r² m V Frcp r M

44. Como a atração gravitacional é entre um par de corpos, Newton concluiu que, além dela diminuir com o quadrado da distância entre o centro de massa do par deveria, também, aumentar na proporção direta de suas massas. Assim ele esceveu que: m V Frcp = m.4.p² / k.r² Fg = G.M.m/r², onde G =4.p²/M.k r Frcp = Fg M Fg = G.M.m / r² (N) SI

45. A primeira medida da constante G foi feita por Henry Cavendish (1731-1810) em 1798, usando um aparelho extremamente sensível, a balança de torção. Com esse experimento, Cavendish encontrou o valor 6,71.10-11m³/kg².s². G =4.p²/M.k k = T²/r³ T²/r³ = 4.p²/G.M Fio de quartzo Experiências mais sofisticadas dão o valor de G atualmente aceito como: G = 6,67.10-11N.m²/kg² Espelho Fonte de luz

46. F Fg = G.M.m/r² (N) SI m F d M F r M m R F M m 2R M m 3R M 2m 2R F/4 F/9 F/2

47. O efeito da força gravitacional da Lua sob as marés resultado final das marés altas Massa gravitacional M. inercial M. gravitacional Massa inercial

48. Você é capaz de responder as questões abaixo? Por que os corpos caem? Se a Lua é atraída pela Terra, por que ela não cai sobre a Terra? O que é força gravitacional?

49. A5) m=5.10³kg M=6.1024kg d = 3,6.106m Fg = G.M.m/r² (N) G = 6,7.10-11N.m²/kg² R = 6,4.106m Fg = G.M.m / (R+d)² Fg = 6,7.10-11.6.1024.5.10³ / (6,4.106+3,6.106)² Fg = 201.1016/1014 Fg = 2,01.104N Fg ≈ 2.104N

50. A6) F Fg = G.M.m/r² (N) SI m F d M F r Resp.: c) M m R F M m 2R M m 3R M m 4R F/4 F/9 F/16

51. A7) 2m Fg = G.M.m/r² (N) SI 2M F F R Resp.: c) m F M F R M m R F 2M 2m R 4F Depois: Fg = G.2.M.2.m/R² Fg = 4.G.M.m/R² Fg = 4F Antes: Fg = F = G.M.m/R²

52. A8 ) Fg = G.M.m / r² M d m FL,f 81.M FT,f x Fr = 0 FT,f = FL,f G.MT.m/(d-x)² = G.ML.m /x² 81.M / (d-x)² = M / x² 81/ (d-x)² = 1 / x² 9 / (d-x) = 1 / x 9x = d-x 10x = d x = d/10 r = d – d/10 r = (10d – d)/10 r = 9 d/10 = 0,9d r=d - x

53. Resumindo: Leis de Kepler: Órbitas elípticas Áreas iguais em tempos iguais T²/ r³ = k T – Período orbital r – raio médio da órbita k – constante que depende da massa do corpo central. Gravitação Universal: Fg = G.M.m/r², onde G =4.p²/M.k = 6,67.10-11N.m²/kg² é a cosntante de gravitação universal. r – distância entre os centros de massas dos corpos. Nota: k = 4.p²/G.M, Onde M é a massa do corpo central em torno do qual os satélites gravitam

54. Fim

56. A9) Frcp = m.v²/r (N) Fg = G.M.m/r² (N) V = w.r (m/s) w = 2.p.f = 2.p/T (rad/s) Velocidade linear (v): Frcp = Fg m.v² / r = G.M.m / r² v² = G.M / r v = √G.M / r v = √G.M/R Resp.: b) m V R Frcp = Fg M

59. = √G.M / R³Resp.: a) m V R Frcp = Fg M

61. Campo gravitacional (g) velocidade de escape Espaço sem matéria Espaço com matéria

62. Vetor Campo gravitacional g = G.M /r² (p/ r≥R) g= (G.M/R³).r (p/ r<R) gS = G.M / R² ≈ 9,8 m/s² G.M/R² G.M/4.R² G.M/9.R² r M R r 0 R 2.R 3.R S distância do centro da Terra

63. Peso de um corpo na superfície da Terra Fg = G.M.m/r² g = G.M/r² Fg = m.g Na superfície r = R g = G.M/R² P=m.g (N) SI m R M

64. Velocidade de escape Velocidade de escape é um conceito físico. Sua utilidade maior é dar uma noção da intensidade do campo gravitacional de um astro e de sua gravidade superficial. O escape, no caso, significa libertar-se de um campo gravitacional. Qual é a tradução ideal deste libertar-se? A atuação da força gravitacional se extende ao infinito. Logo, o libertar-se dela só pode se dar no infinito (não se esqueca que estamos lidando com a definição de um conceito físico). Mas é preciso ainda uma outra consideração: qual é a condição mínima deste libertar-se? Senão lidarmos com este mínimo, algum outro fator físico estará sendo erroneamente considerado. Evidentemente, se o corpo chegar no infinito, não precisará ir além. Logo, não é necessário que ele esteja dotado de nenhuma velocidade. Esta é a condição mínima. É por esta razão que a velocidade de escape é definida como a velocidade inicial que dote um dado corpo na superfície de um astro qualquer da energia capaz de fazê-lo chegar ao infinito com velocidade zero. Como é uma medida do campo gravitacional, que exerce uma força sobre o corpo, nenhuma outra força está envolvida neste conceito. Em termos um pouco mais técnicos, é a velocidade de escape aquela capaz de dotar um dado corpo da energia cinética de igual módulo ao da energia associada ao campo gravitacional. A formulação matemática deste conceito é obtida desta forma:

65. Energia Cinética (T): Ec = mv²/2 (J) SI Energia Gravitacional(P): Epg = - mgh Velocidade de Escape (ve): Na superfície: Ec = mve²/2 Epg = - mgR No infinito (v = 0): Ec = 0 Epg = - mgr = - GMm/r = 0 Pelo princípio da conser- vação da Energia temos: mve²/2 – mgR = 0 ve = √2Rg Terra: ve = √2.6,4.106.9,8 ve ≈ 11,2.10³ m/s ve ≈ 11,2 km/s

66. Nota: Na prática, para se vencer um campo gravitacional e se atingir uma distância arbitrariamente grande - que é o significado prático de uma tal vitória, por exemplo, sair da superfície terrestre e chegar na Lua - basta que seja exercida permanentemente uma força sobre o corpo que seja superior àquela exercida pela atração gravitacional. Para que você mantenha um corpo a uma velocidade constante você terá que dotá-lo de uma aceleração que se contraponha exatamente àquela produzida pela atração gravitacional, desde que ele já esteja dotado de uma dada velocidade. Os foguetes que chegaram à Lua partiram da Terra a uma velocidade muito inferior à velocidade de escape da Terra. Neste caso, o motor é a origem da força a se contrapor a força gravitacional.

67. Velocidade de escape para alguns astros

68. Exemplos 1) Considere a terra esférica e homogenia de raio R=6,4.106m e g=10N/Kg na superfície. Usando G=6,7.10-11 N.m²/Kg², calcule: a) a massa da terra; b) a intensidade do campo gravitacional criado pela terra num ponto P a uma altitude igual ao seu raio. a)g=G.M/r2 M = g.d²/G = 10.(6,4.106)²/6,7.10-11 = 6.1024kg b) g=G.M/r² g= G.M/(2R)² g= 6,7.10-11.6.1024/(2.6,4.106)² = 2,5 N/Kg R R

69. 2 ) A massa da Terra é cerca de 100 vezes maior que a massa da Lua, a distância entre o centro dos dois corpos é aproximadamente 4. 108m. Determine em que ponto da reta que une os centros dos dois corpos a atração gravitacional é nula. g = G.M / r² m 4.108m gL = gT G.MT /rT² = G.ML / rL² 100.m / (4.108)² = m / x² 100 / (4.108 -x)² = 1 / x² 10 / (4.108 -x) = 1 / x 11x =4.108 x ≈ 4.107 m 100.m x 4.108 - x Portanto, a atração gravitacional será nula a 40000 km da Lua

70. 3)Na Terra, a aceleração da gravidade é em média 9,8 m/s², e na Lua 1,6 m/s². Para um corpo de massa 5 kg, determine: A) o peso desse corpo na Terra. B) a massa e o peso desse corpo na Lua. P = m.g P =5.9,8 P = 49 N P P b) m = 5kg P = m.g P = 5.1,6 P = 8 N

71. 4) Na situação seguinte, despreze atritos e influências do ar e considere ideal o fio que liga o corpo A (de massa m) ao corpo B (de massa M), passando pelo furo C. Coloca-se o corpo A em movimento em torno do furo. Se sua velocidade for muito baixa, B descerá; se for muito alta, B subirá. Existe, portanto, uma velocidade de valor V para a qual B não descerá nem subirá. Nesse caso, A descreverá uma circunferência de raio r. sendo g a intensidade do campo gravitacional, determine v. T = P (Fr = 0) Frcp = T m.v²/r = P m.v²/r = M.g v = √(M.r.g/m) T m r V T M P

72. 5) A Lua realiza, ao redor da Terra, um movimento aproximadamente circular e uniforme, com velocidade de 1000 m/s. Sendo o raio de sua órbita igual a 400 000 quilômetros, determine sua aceleração centrípeta. v acp = v² / r acp = (10³)² / 4.108 acp = 106 / 4.108 acp = 0,25.10-2m/s² acp r 6) Observe a animação. O carro se move com velocidade linear constante. Em qual das curvas a aceleração centrípeta é maior? r: acp = v²/r 2r: acp = v²/2r

73. Fim