O documento analisa a questão '1 é igual a 2?' através de demonstrações matemáticas que, embora pareçam válidas à primeira vista, são baseadas em erros de lógica e divisão por zero. Ele ilustra como manipulações algébricas podem resultar em conclusões absurdas, destacando a importância de regras matemáticas fundamentais. O texto conclui apontando que esses tipos de absurdos são comuns e serão explorados em mais detalhes no site mencionado.

1. w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

2. Pergunta:
1 é igual a 2?
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

3. Para começar, todos concordamos
que 0 é igual a 0.
0 = 0
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

4. Vamos representar a igualdade
0 = 0 através de subtrações
( 2 − 2 e 4 − 4 , por exemplo)
2 − 2 = 4 − 4
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

5. Agora, mexemos mais um pouquinho
nessa sentença. Podem ver que ela
ainda é verdadeira!
12 − 2 = 22 − 2
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

6. Usando mais uma vez as
propriedades matemáticas, podemos
“eliminar” os elementos equivalentes
( 2 − 2 ) dos dois lados da
igualdade.
1 = 2
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

7. Pára tudo: é verdade, 1 é igual a 2!
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

8. Vamos tentar novamente. Dessa vez
usaremos uma matemática mais …
elegante.
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

9. Considere dois números a e b ,
reais e diferentes de zero.
Suponha que:
a = b
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

10. Multiplique os dois lados da
igualdade por a .
a . a = a . b
2
a = ab
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

11. Agora vamos subtrair b 2 nos dois
lados da igualdade.
2 2 2
a − b = ab − b
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

12. Fatore cada uma das expressões:
2 2
a − b vira a  ba − b
(diferença de quadrados) e
2
ab − b se transforma em
b a − b (fator comum).
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

13. a  ba − b = b a − b
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

14. Divida ambos os lados da igualdade
por a − b .
a  b = b
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

15. No início da demonstração
supomos que a = b , então
substitua a por b .
b  b = b
2b = b
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

16. Divida ambos os lados da igualdade
por b para chegar novamente a
este absurdo matemático.
2 = 1 ou 1 = 2
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

17. Tudo muito bom, tudo muito bem.
Mas essas demonstrações estão …
erradas!
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

18. Na matemática mais elementar, não
há divisão por zero. Desde
pequenos aprendemos isso. Na
primeira demonstração não
poderíamos eliminar 2 − 2 da
igualdade.
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

19. Já na segunda demonstração, dividir
ambos os lados da igualdade por
a − b nos levou ao absurdo
resultado (se a = b , então
a − b é igual a zero).
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

20. Existem mais desses absurdos
matemáticos e em breve estaremos
colocando-os no site.
w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r