Gravitação Universal de Newton
Professor: Carlos Alberto Aragão dos Santos
11/02/2014

Nesta aula abordaremos o estudo da
gravitação universal de Newton, onde
faremos uma introdução histórica vendo os
principais cientista da época.

Gravitação Universal
 É a parte da física que estuda o comportamento e
movimento dos astros, ou seja, estuda a
movimentação dos planetas e dos corpos que os
cercam.

Gravitação Universal
 Desde cedo, na história da humanidade, há registros
de observações dos corpos celestes;
 Antigos escritos chineses falam de fenômenos
astronômicos, como eclipses, surgimento de cometas, etc.;
 Os antigos navegantes orientavam-se pelo movimento
da Lua e pelas estrelas;

Um Pouco de Historia
Geocêntrico
Modelos:
Heliocêntrico

Modelo Geocêntrico
Cláudio Ptolomeu de Alexandria
 Ptolomeu, no século II d.C. formulou o universo com a terra ao
centro. Modelo que duraria até o século XVI, com discussões
de Galileu e Corpérnico.
Os planetas giram em órbitas concêntricas, em torno da Terra.

Modelo Heliocêntrico
Nicolau Copérnico (1473 – 1543)
Galileu Galilei (1564 -1642)
 O Sol é o centro do universo.

Leis de Kepler
 A partir das observações feitas por Galileu Galilei, o
alemão Johanes Kepler chegou em três leis básicas do
movimento orbital.
1ª : Lei das Órbitas.
2ª : Lei das áreas.
3ª : Lei dos períodos.

1ª Lei – A Lei das Trajetórias
Todos os planetas se movem em órbitas elípticas,
com Sol ocupando um dos focos.
•
•
f2
f1
Periélio
( V máx )
Orbitas Elípticas.
f1 , f 2 ⇒
Focos
Afélio
( Vmín )

2ª Lei de Kepler – Lei das Áreas
 A linha imaginária que liga o Sol a um planeta varre áreas
iguais em intervalos de tempo iguais.
tC

rC
A2
∆t 2

rD

rB

rA
tB
A1
tD
A1 ∆t1
=
A2 ∆t2
∆t1
tA
An
A1
A2
=
= ... =
= cte ( Va = velocidade areolar )
∆t1 ∆t2
∆tn
se ∆t1 = ∆t 2 = ... = ∆tn , então A1 = A2 = ... An

3ª Lei de Kepler – Lei dos Períodos
Os quadrados dos períodos de revolução de dois
planetas são proporcionais aos cubos dos raios
médios de suas órbitas.
2
1
3
1
2
2
3
2
T
T
=
= ... = cte
R
R

Raio Médio da Órbita
Periélio
•
•
•
F1
d mín
F2
d máx
d mín + d máx
R=
2
• Afélio

Os Planetas do Sistema Solar

Observações Gerais:
• As três leis de Kepler são válidas para quaisquer
sistemas em que corpos gravitam em torno de um
corpo central;
• A lei das órbitas não exclui a possibilidade de a órbita
descrita por um planeta ser circular, já que a
circunferência é um caso particular de elipse;
• Se considerarmos circular a trajetória descrita por um
planeta em torno do Sol, o raio médio de órbita
corresponderá ao raio da circunferência e o período do
movimento corresponderá ao período do movimento
circular uniforme;
• No caso de corpos orbitando ao redor da Terra, o
ponto da órbita mais próximo da Terra recebe o nome
perigeu e o mais afastado recebe o nome apogeu.

Lei de Kepler
Exemplo: A distância média da Terra ao Sol é
aproximadamente RT = 1,5. 1011 m e a distância média de
Marte ao Sol é aproximadamente RM = 2,3.1011 m.
Calcule o período de translação do planeta Marte, isto é, o
tempo que Marte gasta para dar uma volta em torno do
Sol.

Lei de Kepler
• As leis de Kepler descreveram geometricamente
os movimentos, mas faltava explicar porque os
planetas se moviam daquela maneira.

Lei da Gravitação Universal de Newton
 Dois corpos atraem-se gravitacionalmente com forças de
intensidades diretamente proporcional ao produto de suas
massas e inversamente proporcional ao quadrado da
distância que separa seus centros de gravidade.
m1.m2
F =G
2
d
G⇒
É a constante de gravitação
universal:
G ≅ 6, 67.10−11
N . m2
kg 2

Lei da Gravitação Universal de Newton
Observação
mA
⋅

FBA

FAB
d
⋅
mB
u
u
F AB e F BA São forças de ação e reação:
u
u
F AB = F BA = F

Lei da Gravitação Universal de Newton
Intensidade do Campo Gravitacional
m2
h
m1
g =G 2
R
m2
R
m1
F=P
m1. m2
G
= m2 . g
2
R
Caso o corpo esteja a uma altura h
em relação à superfície teremos:
m1
g =G
2
( R + h)

Lei da Gravitação Universal de Newton

Lei da Gravitação Universal de Newton
Exemplo: A figura abaixo, ilustra duas pessoas paradas,
de pé, separadas por uma distância de
aproximadamente 3 metros. Qual é o valor
aproximado da intensidade da força de atração
gravitacional entre elas?
mA = 70kg
mB = 60kg

Comprovação das Leis de Kepler
 Combinando as três leis do movimento e a lei da gravitação
universal, Newton demonstra a 3ª Lei de Kepler (Lei dos
períodos). Supondo que um planeta tenha órbita circular
(permitida pela 1ª Lei de Kepler, a força gravitacional
torna-se uma força centrípeta, então:
 Assim
uu

v2
FR = m. a onde a = ac =
R
v2
2π R
M .m
FR = m. , v =
e F=G. 2
R
T
d
 Substituindo as equações
T 2 4π 2
=
=K
3
R
GM
(comprovação da 3ª Lei de Kepler)

Lei da Gravitação Universal de Newton
•
Corpos em Órbita

v
Fcp = F
Fcp = F
2
d =r
v
M .m
m
=G 2
r
r
G. M
v=
r

Lei da Gravitação Universal de Newton
Exemplo: Suponhamos que a Terra seja um corpo esférico,
homogêneo, de massa M = 5,98. 1024 kg, raio R = 6,37.106 m
e que não tenha movimento de rotação.
a) Calcule a aceleração da gravidade num ponto próximo á
superfície da terra.
b) Calcule a aceleração da gravidade num ponto situado a 130
km de altitude.

Lei da Gravitação Universal de Newton
• Quando lançamos um corpo a partir da superfície de
um planeta, com velocidade inicial v 0, é possível que
esse corpo não mais retorne ao planeta, desde que o
valor de v0 seja igual ou maior que uma velocidade ve
denominada velocidade de escape.
2GM
ve =
R
Para Terra ⇒ ve = 11, 2 Km/s
Se v < 8 Km/s: ele retorna à Terra
Se v ≥ 11, 2 Km/s: ele não retorna à Terra
Se 8 Km/s < v < 11, 2 Km/s: ele entra em órbita elíptica da Terra

Satélite Estacionário
• Recebem este nome pelo fato de se
apresentarem “parados” em relação a um
referencial solidário à superfície do planeta.

Condições para que um satélite fique
em órbita geo-estacionária
 Sua órbita deve ser circular e contida no plano
equatorial da Terra.
 Seu período de translação deve coincidir com o
período de rotação da Terra ao redor de seu eixo, isto
é, 24 horas.
 Seu raio de órbita deverá ser de 6,7 raios terrestres,
aproximadamente.

Efeito da Marés
 Os navegantes sempre souberam que havia conexão
entre as marés e a Lua, mas nem um deles foi capaz de
formular uma teoria satisfatória para explicar as duas
marés altas que ocorrem diariamente;
 Newton mostrou que as marés eram causadas pelas
diferenças na atração gravitacional entre a Lua e a
Terra sobre os lados opostos desta;
 A força gravitacional entre a Lua e a Terra é a mais
forte sobre o lado da Terra que está mais próximo da
Lua e mais fraca o lado oposto, que está mais afastado
da Lua;

FIM!!
Muito
obrigado!!!
Carlosaragaosantos.blogspot.com