Ser sábio é aprender com erros e fracassos. Newton unificou as leis do movimento celeste e terrestre, explicando porque os planetas se movem da forma observada. As forças newtonianas e a inércia explicam o movimento dos corpos.

1. Para tatuar na alma: Ser sábio é aprender a usar cada dor como uma oportunidade para aprender lições, cada erro como uma ocasião para corrigir rotas, cada fracasso como uma chance para ter mais coragem. Nas vitórias os sábios são amantes da alegria; nas derrotas, são amigos da reflexão. “Se enxerguei longe foi porque subi em ombros de gigantes.” Newton (1642-1727)

2. As causas do movimento. Enquanto os corpos se movimentam pelo espaço-tempo, com suas massas e velocidades, eles interagem uns com os outros por meio de diversas forças que podem ser de campo – como o peso – ou de contato – como a força elástica. Existem no Universo outras interações de campo, como as elétricas e as magnéticas que serão exploradas mais tarde.

3. Newton e a dinâmica do movimento (1571-1630) (1564 – 1642) (1642 – 1727) Galileu em seu trabalho percebeu que o movimento é tão natural quanto o repouso e esses permanecem inalterados se nenhum agente externo interferir. Kepler foi capaz de descrever o movimento dos planetas, mas não pode explicar o por quê desses movimentos. Coube a Newton, no século XVII, usando as teorias de Galileo e Kepler desenvolver a teoria da gravitação universal e as Leis do movimento. Nesse trabalho ele expressou matematicamente o movimento dos planetas e explicou por que ocorrem daquela forma. Com sua obra Newton unificou as mecânicas celeste e terrestre, ou seja, as leis que regem o movimento da Lua ao redor da Terra são as mesmas que regem os movimentos dos corpos na superfície da Terra.

4. Princípio da inércia: Elaborado a partir das percepções de Galileu, afirma que a quantidade de movimento de qualquer corpo permanece inalterada se não for submetida a ação de forças externas. Em outras palavras, se o corpo estiver em repouso ou em movimento retilíneo com velocidade constante a tendência natural é permanecer em tal ou qual estado, determinado pela condição inicial, repouso ou movimento retilíneo e uniforme.

5. Lei da variação da quantidade de movimento: A quantidade de movimento definida por Newton é dada pelo produto entre a massa (m) e a velocidade (v), uma medida que representa a inércia do movimento. A variação nessa quantidade de movimento, segundo Newton, é proporcional ao tempo de ação das forças externas. Fr.Dt = m.Dv Fr = m.Dv/Dt Fr = m.a (P.F.D.) Fr.Dt – impulso (N.s) SI m.Dv – variação da quantida- de de movimento (kg.m/s) Fr – soma vetorial de todas as forças (N) SI

6. Princípio da ação e reação: A interação entre os corpos, denominda força tem a mesma intensidade e sentido oposto para um par de corpos, isso significa que a força com a qual a Terra puxa uma maçã, tem a mesma intesidade da força com a qual a maçã puxa a Terra, diferindo somente em sentido.

7. Exemplos: 1)O carrinho está parado quando o seu passageiro resolve jogar um pacote. O carrinho continua parado ou entra em movimento? Despreze qualquer força externa. Par ação e reação: atua em corpos diferentes, têm mesma intensidade, mesma direção, mas os sentidos são opostos. Par ação e reação Pelo princípio da ação e reação, a força que o passageiro aplicou no pacote tem a mesma intesidade da força que o pacote aplicou no passageiro, diferindo somente em sentido, assim sendo, e, desprezando forças externas, o carrinho entrou em movimento.

8. F 2) Na situação do esquema acima, não há atrito entre os blocos e o plano, m2=2kg e m3=3kg. Sabe-se que o fio que une 2 com 3 suporta, sem romper-se, uma tração T = 32N. Calcule a força (F) máxima, para que o fio não se rompa. bloco 2: 32 = 2.a a= 16m/s² bloco 3: F – 32 = 3.16 F = 80 N Fr = m.a bloco 2: Fr = T = m2.a bloco 3: Fr = F – T = m3.a

9. F 3) Na situação do esquema acima, não há atrito entre os blocos e o plano, m2=2kg e m3=3kg. Sabe-se que F = 35 N. Calcule a tração no fio. T = m2.a F – T = m3.a Fr = m.a bloco 2: Fr = T = m2.a bloco 3: Fr = F – T = m3.a F = m2.a + m3.a 35 = 2.a + 3.a 35 = 5.a a = 7m/s² T = m2.a T = 2.7 = 14 N

10. 4) Um corpo de massa m=2kg encontra-se apoiado em uma superfície horizontal, perfeitamente lisa. Aplica-se a esse corpo uma força F, como mostra a figura abaixo: Determine o valor da aceleração do corpo na direção “x”. Considere F = 10 N. 60° Fr=m.a (força resultante) m=2Kg; F=10N Fr=Fx=F.cos60°=m.a a = F.cos60°/m =10.0,5/2=2,5m/s² F Fy 60° x Fx

11. 5) (UFRJ) O bloco 1, de 4 kg, e o bloco 2, de 1 kg, representados na figura, estão justapostos e apoiados sobre uma superfície plana e horizontal. Eles são acelerados pela força horizontal F , de módulo igual a 10 N, aplicada ao bloco 1 e passam a deslizar sobre a superfície com atrito desprezível. a) Determine a direção e o sentido da força F1,2 exercida pelo bloco 1 sobre o bloco 2 e calcule seu módulo. b) Determine a direção e o sentido da força F2,1 exercida pelo bloco 2 sobre o bloco 1 e calcule seu módulo. F1,2=F2,1 (par ação e reação) Fr=m.a a) direção: horizontal; sentido: para direita 1: Fr = m1.a = F – F2,1 F 1 2 2: Fr = m2.a = F1,2 a. (m1+m2) = F a = F/(m1+m2) = 10/(4+1) = 2m/s2 F1,2 = m2.a = 1.2 = 2N b) direção: horizontal; sentido: para esquerda F2,1 = 2N F 1 F2,1 F1,2 2

12. Força Normal (Fn) Uma outra consequência das leis de Newton é a força normal, que recebe esse nome por ser perpendicular às superfícies que se tocam.

13. A aceleração gravitacional (g) e força peso (P) gl gt

14. Peso de um corpo na superfície da Terra Força de atração exercida pela Terra sobre um corpo de massa m. P=m.g (N) SI m – massa (Kg) g – aceleração da gravidade (m/s²) m R M

15. Em y: (Fr=0) Fn = Py = P.cosa Fn = 50.0,5 = 25 N Em x: Fr = Px = P.sen60 m.a = mg.sen60 a = gsen60 a = 10.√3 / 2 = 5.√3 m/s² Exemplos F = 30N Fn = 80 N Fn = 50 N Fn Py Px P = 50 N P = 50 N a = 60°

16. O problema do elevador: Considere que a massa de uma pessoa no interior do elevador é de 70 kg. Nessas condições, estabeleça a indicação da balança, em newtons, nas seguintes situações: Adote g = 10m/s². O elevador está em repouso ou em M.R.U. O elevador sobe retardado ou desce acelerado com aceleração de 2m/s². c) O elevador desce retardado ou sobe acelerado com aceleração de 2 m/s². d) O elevador cai em queda livre.

17. a) Fr = 0 Fn = P = m.g = 700 N b) sobe retardado ou desce acelerado: P – Fn = m.a 700 – Fn = 70.2 Fn = 560 N c) desce retardado ou sobe acelerado Fn – P = m.a Fn – 700 = 70.2 Fn = 840 N d) queda livre P – Fn = m.a 700 – Fn = 700 Fn = 0

18. m = 10 kg g = 10m/s² a =? T =? Vermelho: Fr = m.a T = m.a (I) Verde: Fr = m.a Psenq – T = m.a (II) (I) e (II) P.senq – m.a = m.a m.g.senq = ma + ma g.senq = 2a 10.3/5 = 2a a = 6/2 = 3m/s² T = m.a = 10.3 = 30N

19. Força de atrito. É uma força que atua na superfície de um corpo e sempre se opõe a tendência de escorregamento (atrito estático) ou ao efetivo escorregamento (cinético ou dinâmico). Fat = m.Fn (N)

20. Força de atrito estático e cinético ou dinâmico Fat Fatemáx = me.Fn Fatc = mc.Fn me > mc F corpo em repouso: Fr = 0 Fat = Fate = F corpoemmovimento: Fat = Fatc Movimentoacelerado: F – Fatc = m.a, ondea é a aceleração instantânea. Movimentouniforme: F = Fatc

21. Exemplo 1) Um tijolo de massa 1,5 kg é lançado a 10 m/s, escorregando num plano horizontal. Ele pára 5s após o lançamento por causa da força de atrito cinético. adotando g = 10 m/s². Calcule: a intensidade da força de atrito cinético. o coeficiente de atrito cinético entre o tijolo e o plano. Fn V = Vo + a.t O = 10 +a.5 a = - 2m/s² 1,5.2 = Fat Fat = 3 N b) m=? Fat = m.Fn m = Fat/Fn m = 3/15 m = 0,2 m = 1,5 kg Vo = 10 m/s V = 0 p/ t = 5s Fat =? N P Vo = 10m/s Fr =Fat m.|a| = Fat

22. 2) O blocoindicadonafiguraestánaiminência de escorregar. Determine o coeficiente de atritoestático entre o bloco e o plano inclinado de um ânguloaemrelação a horizontal. Fn me = Fat / Fn me = P.sen a / P.cos a me = sena / cosa me = tga Obs.: Caso o blocoestivesse descendoemmovimento retilíneo e uniforme, teriamos um coeficiente de atritocinético, dado por: mc = tga Fat Px Py a a P Fn = Py = P.cos a Fat = Px = P.sen a Fat = me.Fn

23. 3) Ainda com relação a questão anterior, suponha que o bloco desça o plano em movimento acelerado. Sendo m a sua massa e g a intensidade do campo gravitacional, determine a intensidade de sua aceleração Fn Fat m.a = P.sena - mc .P.cosa m.a = m.g.sen a – mc.m.g.cos a a = g.sen a - mc.g.cos a a = g.(sen a - mc.cos a) Note que, se mc = 0 (sem atrito) a = g.sena. Px Py a a P Fn = Py = P.cos a Px = P.sen a Fat = mc.Fn = mc.P.cosa Fr = Px - Fat

24. 4) FEI-SP Um automóvel de massa 1375 kg encontra-se em uma ladeira que forma 37° em relação à horizontal. Qual é o mínimo coeficiente de atrito para que o automóvel permaneça parado? Dados: sen (37°) = 0,6 e cos (37°) = 0,8. me = tg 37° me = 0,6 / 0,8 me = 0,75

25. 5) UFRN O Sr. Nilson dirige distraidamente, a uma velocidade de 108 km/h, pela BR-101, em linha reta (direção do eixo x), quando percebe que há, a 50 m, um redutor eletrônico de velocidade (“lombada eletrônica”), indicando a velocidade máxima permitida: 72 km/h. No mesmo instante, para obedecer à sinalização e evitar multa, aciona os freios do automóvel, ultrapassando a lombada com a velocidade máxima permitida. A massa total (carro + motorista) é m = 1296 kg. Lembrando a equação de Torricelli, para as componentes da velocidade e da aceleração ao longo do eixo x, V² = Vo² + 2.a.ΔS e a Segunda Lei de Newton, F = m a , pode-se concluir que os módulos da aceleração e da força de atrito, supondo ambas constantes naqueles 50 m, são, respectivamente: 20² = 30² + 2.a.50 400 – 900= 100.a -500/100 = a a = - 5 m/s² |a| = 5m/s² 1296.5 = Fat Fat = 6480 N m = 1296 kg Vo = 108 km/h = 30m/s V = 72 km/h = 20m/s DS = 50 m V² = Vo² + 2.a.DS Fr = Fat m.|a| = Fat

28. Dinamômetro: Dispositivo utilizado para medir a intensidade de uma força. Fel P F (N) K = Fel /d (N/m) Fel = K.d (N) 1 2 Fel x x/2 d (m)

29. Exemplo O gráfico abaixo representa a força elástica em função do estiramento que caracteriza três molas diferentes A,B e C. Qual delas é a mola mais dura? Por quê? A mola A é a de maior constante elástica (K), portanto a mais dura. A maior inclinação em relação à horizontal da reta que a caracteriza indica que para uma mesma elongação é necessário aplicar-lhe uma força maior do que às molas B e C. Fa Fb Fc x

30. A mola da figura abaixo sofreu uma elongação de 30 cm. Sabendo-se que a constante elástica dessa mola vale 15 N/m, Determine o valor de F. Fel = K.d Fel = F = 15.0,3 F = 4,5 N

31. Se um objeto de massa 1 kg for dependurado num dinamômetro, na superfície da Terra, a escala deverá apontar uma força de 9,8 N. Sabendo disso, se o dinamômetro indicar uma força de 14,7 N, qual deverá ser o valor da massa do objeto que está dependurado. Fel P Fel = P 9,8 = 1.g g = 9,8 N/kg 1kg P = m.g (N) Fel P Fel = P 14,7 = m.9,8 m = 1,5 kg m

32. O gráfico mostra a elongação x sofrida por uma mola em função da força aplicada. A partir do gráfico determine as elongações sofridas por essa mola nas situações: da fig 1; b) da fig 2. Adote g = 10 N/kg. 8 6 x(cm) 4 2 0 0 5 10 15 20 Força (N) P = 1.10 P = 10 N De acordo com o gráfico, para uma força de 10 N, temos uma elongação de 4 cm. Na fig 1 a mola troca uma força de 10 N com o suporte, já na fig 2 a mola troca a mesma força (10N) com o objeto dependurado, dessa forma podemos concluir que, nos dois casos, fig1 e fig 2, a mola sofrerá uma elongação de 4 cm.

33. Exemplo Como descrito anteriormente, um objeto de 1 kg pesa na Terra 9,8 N, pois a aceleração gravitacional de nosso planeta é 9,8 N/kg. Já em Júpiter onde a aceleração gravitacional é de 25 N/kg, o mesmo objeto pesaria 25 N. Determine, qual seria o peso de uma pessoa em cada um dos astros da tabela abaixo, que na Terra pesa 686 N. Marte: P = 70.3,9 P = 273 N Júpiter: P = 70.25 P = 1750 N Saturno: P = 70.10,9 P = 763 N Urano: P = 70.11 P = 770 N Netuno: P = 70.10,6 P = 742 N Plutão: P = 70.2,8 P = 196 N PT = 686 N P = m.g 686 = m.9,8 m = 70 kg Lua: P = 70.1,7 P = 119 N Mercúrio: P = 70.2,8 P = 196 N Vênus: P = 70. 8,9 P = 623 N

34. Polias

35. T2 T2 T2 T2 T1 T1 T1 T1 T1 T1 T1 T1 F T2 T2 T T T T F T T T1 T1 P F T T P =T T1 = T/2 T2 = T1/2 F=T2 F = T/4 F = P/4 T = P F = T F=P P P=T T1 = T/2 F=T1 F=T/2 F=P/2 P

36. Exemplos 1) UEMS No sistema, que força dever ser aplicada na corda 2 para manter em equilíbrio estático o corpo suspenso de 500 kg? Os fios são considerados inestensíveis e de massas desprezíveis: entre os fios e as polias não há atrito. Considere g = 10m/s². (Polias ideais) F = P / 2n n=3 F = 500.10/2³ F = 5000/8 F = 625 N

37. 2) No sistema representado na figura ao lado, considere ideais os fios e as polias. As massas de A e B são Ma = 2 kg e Mb = 8 kg. Despreze influências do ar e o atrito entre A e o plano horizontal e considere g = 10m/s². Abandonando o sistema a partir do repouso, calcule: a aceleração de A e de B. as trações nos fios 1 e 2. em (II) 8.aB = 8.10 – 2.4aB 8.aB + 8aB = 80 16.aB = 80 aB = 5m/s² portanto aA=2.5=10m/s² T1 = 2.10 = 20 N T2 = 2.20 = 40 N Pb = T2 T1 = T2/2 Fn Relação entre as acelerações de A e B: aA.T1 = aB.T2 aA.T2/2 = aB.T2 aA= 2.aB T1 T1 T1 T1 T1 Pa a) A: Fr = T1 mA.aA = T1 2.2.aB = T1 (I) B: Fr = Pb – T2 mB.aB = mB.g – 2.T1 8.aB = 8.10 – 2T1(II) T2 T2 Pb

38. Dinâmica do movimento circular.

39. Força resultante Fr Ft Frcp Fr² = Frcp² + Ft² P/ Movimento circular e uniforme (M.C.U.) Ft = 0 Fr = Frcp = m.acp

41. A Lua realiza, ao redor da Terra, um movimento aproximadamente circular e uniforme, com velocidade de 1000 m/s. Sendo o raio de sua órbita igual a 400 000 quilômetros, determine sua aceleração centrípeta. v acp = v² / r acp = (10³)² / 4.108 acp = 106 / 4.108 acp = 0,25.10-2m/s² acp r Observe a animação. O carro se move com velocidade linear constante. Em qual das curvas a aceleração centrípeta é maior? r: acp = v²/r 2r: acp = v²/2r

42. Na situação seguinte, despreze atritos e influências do ar e considere ideal o fio que liga o corpo A (de massa m) ao corpo B (de massa M), passando pelo furo C. Coloca-se o corpo A em movimento em torno do furo. Se sua velocidade for muito baixa, B descerá; se for muito alta, B subirá. Existe, portanto, uma velocidade de valor V para a qual B não descerá nem subirá. Nesse caso, A descreverá uma circunferência de raio r. sendo g a intensidade do campo gravitacional, determine v. T = P (Fr = 0) Frcp = T m.v²/r = P m.v²/r = M.g v = √(M.r.g/m) T m r V T M P

43. Pêndulo cônico Q T P Frcp tgq = CO/CA tgq = Frcp / P Frcp = P.tgq m.v²/R = m.g.tgq v = √R.g.tgq

44. Pista sobrelevada sem atrito N N q q P Frcp q q q P q R tgq = Frcp/P Frcp = P.tgq m.v²/R = m.g.tgq v = √R.g.tgq

45. Pista horizontal com atrito e massa presa a um fio em movimento circular na horizontal Frcp = Fat m.v²/R = m.N v = √m.R.N/m Nota: o coeficiente de atrito é estático. R Frcp = T m.v²/R = T v = √R.T/m

46. N Anel na vertical cosq = ca/h cosq = Py/P Py = P.cosq q C: q Py V P P N Frcp = N – Py Frcp = N – P.cosq N = m.v²/R + m.g.cosq V N q N A: Frcp = N + P N = m.v²/R - m.g B: Frcp = N-P N = m.v²/R + m.g P V P

47. Declive e lombada N v Declive: Frcp = N – P Lombada: Frcp = P – N P N v P

48. C: velocidade mínima para completar o looping: Frcp = P + N p/ V mínima N=0 mV²/R = mg V = √Rg Considerando que não há dissipação da energia mecânica, temos: Ema = Emc Epga = Epgc + Ecc mgH = mg2R + mV²/2 gH = g2R + Rg/2 H = 5R/2 H = 2,5R Looping P N Qual o valor de H mínimo para que a massa m complete o looping?

49. Pêndulo simples A,B: V = 0 ; Frcp =0 T = Py cosq = Py/P Py = P.cosq T = P.cosq Ponto mais baixo: Frcp = T - P T q T Py q V P P

50. Um motociclista realiza movimento circular num plano vertical no interior de um globo da morte. As velocidades escalares nas posições A e B são, respectivamente, 20 m/s e 10√2 m/s. A massa da moto e de seu ocupante é de 500 kg e o raio do globo é de 5m. Determine a intensidade da força normal que a pista exerce na moto nas posições A e B. Adote g = 10m/s². A: Frc = P + Fn m.v²/R = m.g + Fn Fn = 500.20² / 5 – 500.10 Fn = 100.400 – 5000 Fn = 4,5.104N B: Frc = Fn – P m.v²/R = Fn – m.g Fn = 500.200/5 + 5000 Fn = 2,5.104N P P Fn Fn

51. Resumindo: Leis de Newton: Inércia: A quantidade de movimento de qualquer corpo permanece inalterada se não for submetida a ação de forças externas. Em outras palavras, se o corpo estiver em repouso ou em movimento retilíneo com velocidade constante a tendência natural é permanecer em tal ou qual estado, determinado pela condição inicial, repouso ou movimento retilíneo e uniforme. Lei da variação da quantidade de movimento: A quantidade de movimento definida por Newton é dada pelo produto entre a massa (m) e a velocidade (v), uma medida que representa a inércia do movimento. A variação nessa quantidade de movimento, segundo Newton, é proporcional ao tempo de ação das forças externas. Princípio da ação e reação: A interação entre os corpos, denominda força tem a mesma intensidade e sentido oposto para um par de corpos, isso significa que a força com a qual a Terra puxa uma maçã, tem a mesma intesidade da força com a qual a maçã puxa a Terra, diferindo somente em sentido. Fr.Dt = m.Dv Fr = m.Dv/Dt Fr = m.a (P.F.D.) Fr.Dt – impulso (N.s) SI m.Dv – variação da quantida- de de movimento (kg.m/s) Fr – soma vetorial de todas as forças (N) SI

52. Força de atrito. É uma força que atua na superfície de um corpo e sempre se opõe a tendência de escorregamento ou ao efetivo escorregamento. Fat = m.Fn (N) Fat me.Fn mc.Fn me > mc F corpo em movimento: Fat = Fatc F – Fatc = m.a, onde a é a aceleração instantânea. corpo em repouso: Fr = 0 Fat = Fate = F

53. T2 T2 T2 T2 T1 T1 T1 T1 T1 T1 T1 T1 F T2 T2 T T T T F T T T1 T1 P F T T P =T T1 = T/2 T2 = T1/2 F=T2 F = T/4 F = P/4 T = P F = T F=P P P=T T1 = T/2 F=T1 F=T/2 F=P/2 P

54. A lua e a aceleração centrípeta. V1 V1 R V.Dt V.Dt a DV a V2 R a R V2 Para a velocidade V, de tangência, constante, assim como a distância ao centro, R e num curto intervalo de tempo, por semelhança de triângulos, temos: V.Dt / R = DV / V V.V / R = DV / Dt V² / R = acp Frcp = m.acp = mV² / R