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Astronomia e astrof´+¢sica parte 001

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Astronomia e astrof´+¢sica parte 001

  1. 1. Cap´ıtulo 10As leis de KeplerA Teoria Heliocˆentrica conseguiu dar explica¸c˜oes mais simples e naturaispara os fenˆomenos observados (por exemplo, o movimento retr´ogrado dosplanetas), por´em Cop´ernico n˜ao conseguiu prever as posi¸c˜oes dos planetasde forma precisa, nem conseguiu provar que a Terra estava em movimento.10.1 TychoTrˆes anos ap´os a morte de Cop´ernico, nasceu o dinamarquˆes Tycho Brahe(1546-1601), o ´ultimo grande astrˆonomo observacional antes da inven¸c˜aodo telesc´opio. Usando instrumentos fabricados por ele mesmo, Tycho fezextensas observa¸c˜oes das posi¸c˜oes de planetas e estrelas, com uma precis˜aoem muitos casos melhor do que 1 minuto de arco (1/30 do diˆametro do Sol).O excelente trabalho de Tycho como observador lhe propiciou o pa-troc´ınio do rei da Dinamarca, Frederic II (1534-1588), e assim Tycho pˆodeconstruir seu pr´oprio observat´orio, na ilha b´altica de Hveen. Ap´os a mortedo rei, entretanto, seu sucessor se desentendeu com Tycho e retirou seus pri-vil´egios. Assim, em 1597, Tycho, for¸cado a deixar a Dinamarca, foi trabalharcomo astrˆonomo da corte para o imperador da Boˆemia, em Praga.Tycho Brahe n˜ao acreditava na hip´otese heliocˆentrica de Cop´ernico, masforam suas observa¸c˜oes dos planetas que levaram `as leis de Kepler do movi-mento planet´ario.Em 1600 (um ano antes de sua morte), Tycho contratou para ajud´a-lona an´alise dos dados sobre os planetas, colhidos durante 20 anos, um joveme h´abil matem´atico alem˜ao chamado Johannes Kepler.73
  2. 2. 10.2 KeplerJohannes Kepler (1571-1630) estudou inicialmente para seguir carreira teol´o-gica. Na Universidade, leu sobre os princ´ıpios de Cop´ernico e logo se tornouum entusi´astico defensor do heliocentrismo. Em 1594, conseguiu um postode professor de matem´atica e astronomia em uma escola secund´aria em Graz,na ´Austria, mas, poucos anos depois, por press˜oes da Igreja Cat´olica coma Contra-Reforma, Kepler, que era protestante, foi expulso da cidade, e foi,ent˜ao, para Praga trabalhar com Tycho Brahe.Quando Tycho morreu, Kepler “herdou” seu posto e seus dados, a cujoestudo se dedicou pelos vinte anos seguintes.O planeta para o qual havia o maior n´umero de dados era Marte. Ke-pler conseguiu determinar as diferentes posi¸c˜oes da Terra ap´os cada per´ıodosideral de Marte e, assim, conseguiu tra¸car a ´orbita da Terra. Verificou queessa ´orbita era muito bem ajustada por um c´ırculo excˆentrico, isto ´e, com oSol um pouco afastado do centro.Kepler conseguiu tamb´em determinar a ´orbita de Marte, mas, ao tentarajust´a-la com um c´ırculo, n˜ao teve sucesso. Ele continuou insistindo nessatentativa por v´arios anos e, em certo ponto, encontrou uma ´orbita circularque concordava com as observa¸c˜oes com um erro de 8 minutos de arco.Mas sabendo que as observa¸c˜oes de Tycho n˜ao poderiam ter um erro dessetamanho (apesar disso significar um erro de apenas 1/4 do tamanho do Sol),Kepler, com a integridade que lhe era peculiar, descartou essa possibilidade.Finalmente, passou `a tentativa de representar a ´orbita de Marte comuma oval, e rapidamente descobriu que uma elipse ajustava muito bem osdados. A posi¸c˜ao do Sol coincidia com um dos focos da elipse. Ficou assimexplicada tamb´em a trajet´oria quase circular da Terra, com o Sol afastadodo centro.10.2.1 Propriedades das elipses• Em qualquer ponto da curva, a soma das distˆancias desse ponto aosdois focos ´e constante. Sendo F e F os focos, P um ponto sobre aelipse, e a o seu semi-eixo maior, ent˜ao:FP + F P = constante = 2a74
  3. 3. yxaF F´c = aeaab• Quanto maior a distˆancia entre os dois focos, maior ´e a excentricidade(e) da elipse. Sendo c a distˆancia do centro a cada foco, a o semi-eixomaior, e b o semi-eixo menor, a excentricidade ´e definida por;e =ca=a2 − b2a2j´a que quando o ponto est´a exatamente sobre b temos um triˆanguloretˆangulo, com a2 = b2 + c2.• Se imaginamos que um dos focos da ´orbita do planeta ´e ocupado peloSol, o ponto da ´orbita mais pr´oximo do Sol ´e chamado peri´elio, e oponto mais distante ´e chamado af´elio. A distˆancia do peri´elio ao foco(Rp) ´e:Rp = a − c = a − a · e = a(1 − e)e a distˆancia do af´elio ao foco (Ra) ´e:Ra = a + c = a + a · e = a(1 + e)• Equa¸c˜ao da elipse em coordenadas polaresUma elipse ´e por defini¸c˜ao um conjunto de pontos eq¨uidistantes dedois focos separados por 2ae, onde a ´e o semi-eixo maior e e a excen-tricidade.75
  4. 4. 1θyx2ac 2bP(x,y)r raeF F´Seja um ponto P(r,θ) ou P(x,y) sobre a elipse, onde θ ´e chamado deanomalia verdadeira.Pela lei dos cossenos:r21 = r2+ (2ae)2+ 2r (2ae) cos θ.Por defini¸c˜ao de elipse,r + r1 ≡ 2a,ou seja:r1 = 2a − r,(2a − r)2= r2+ 4a2e2+ 4rae cos θ,4a2+ r2− 4ar = r2+ 4a2e2+ 4rae cos θ,a2(1 − e2) = ar(1 + e cos θ),e finalmente:r =a(1 − e2)(1 + e cos θ).• ´Area da elipseEm coordenadas cartesianas:r21 = (x + ae)2+ y2. (a)r2= (x − ae)2+ y2, (b)76
  5. 5. Subtraindo-se (a) - (b) e usando r = 2a − r1, temos:r1 = a + ex. (c)Levando-se em conta que o semi-eixo menor ´e dado por b2 = a2(1 −e2), o que pode ser facilmente derivado pelo teorema de Pit´agorascolocando-se o ponto P(r,θ) em θ = 90o, e substituindo-se (c) em (a),temos a equa¸c˜ao de uma elipse em coordenadas cartesianas:xa2+yb2= 1,oux = a 1 −yb2.A ´area da elipse ´e dada por:A = 4b0dyxodx.A = 4b0a 1 −yb2dy,Substituindo-se y = b senz, e dy = b cos z dz,A = 4abπ/201 − (senz)2 cos z dze, como sen2z + cos2 z = 1, logo 1 − sen2z = cos2 z, resulta:A = 4abπ/20cos2z dz.Comoπ/20cos2z dz = π/4,A = πab.77
  6. 6. 10.2.2 As trˆes leis1. Lei das ´orbitas el´ıpticas (1609): a ´orbita de cada planeta ´e uma elipse,com o Sol em um dos focos. Como conseq¨uˆencia da ´orbita ser el´ıptica,a distˆancia do Sol ao planeta varia ao longo de sua ´orbita.2. Lei da ´areas (1609): a reta unindo o planeta ao Sol varre ´areas iguaisem tempos iguais. O significado f´ısico dessa lei ´e que a velocidade orbi-tal n˜ao ´e uniforme, mas varia de forma regular: quanto mais distanteo planeta est´a do Sol, mais devagar ele se move. Dizendo de outramaneira, essa lei estabelece que a velocidade areal ´e constante.3. Lei harmˆonica (1618): o quadrado do per´ıodo orbital dos planetas´e diretamente proporcional ao cubo de sua distˆancia m´edia ao Sol.Essa lei estabelece que planetas com ´orbitas maiores se movem maislentamente em torno do Sol e, portanto, isso implica que a for¸ca entreo Sol e o planeta decresce com a distˆancia ao Sol.Sendo P o per´ıodo sideral do planeta, a o semi-eixo maior da ´orbita,que ´e igual `a distˆancia m´edia do planeta ao Sol, e K uma constante,podemos expressar a 3a lei como:P2= Ka3Se medimos P em anos (o per´ıodo sideral da Terra), e a em unidadesastronˆomicas (a distˆancia m´edia da Terra ao Sol), ent˜ao K = 1, epodemos escrever a 3a lei como:P2= a3A tabela a seguir mostra como fica a 3a Lei de Kepler para os planetasvis´ıveis a olho nu.Semi-eixo Per´ıodoPlaneta Maior (UA) (anos) a3 P2Merc´urio 0,387 0,241 0,058 0,058Vˆenus 0,723 0,615 0,378 0,378Terra 1,000 1,000 1,000 1,000Marte 1,524 1,881 3,537 3,537J´upiter 5,203 11,862 140,8 140,7Saturno 9,534 29,456 867,9 867,778
  7. 7. Figura 10.1: Embora as ´orbitas dos planetas sejam elipses, as elipticidadess˜ao t˜ao pequenas que elas se parecem com c´ırculos. Nesta figura mostramosa elipse que descreve a ´orbita da Terra em torno do Sol, na forma correta.A posi¸c˜ao do Sol, no foco, est´a marcada por um pequeno c´ırculo.10.3 GalileoUma grande contribui¸c˜ao ao Modelo Heliocˆentrico foi dado pelo italiano Ga-lileo Galilei (1564 - 1642). Galileo foi o pai da moderna f´ısica experimentale da astronomia telesc´opica. Seus experimentos em mecˆanica estabeleceramos conceitos de in´ercia e de que a acelera¸c˜ao de corpos em queda livre n˜ao de-pende de seu peso, que foram mais tarde incorporados `as leis do movimentode Newton.Galileo come¸cou suas observa¸c˜oes telesc´opicas em 1610, usando um te-lesc´opio constru´ıdo por ele mesmo. No entanto, n˜ao cabe a Galileo o cr´editoda inven¸c˜ao do telesc´opio, pois o primeiro telesc´opio foi patenteado pelo79
  8. 8. holandˆes Hans Lippershey, em 1609. Galileo soube dessa descoberta em1609, e, sem ter visto o telesc´opio de Lippershey, construiu o seu pr´oprio,com aumento de 3 vezes. Em seguida, ele construiu outros instrumentos, eo melhor tinha aumento de 30 vezes. Galileo, apontando o telesc´opio parao c´eu, fez v´arias descobertas importantes, como:• descobriu que a Via L´actea era constitu´ıda por uma infinidade deestrelas;• descobriu que J´upiter tinha quatro sat´elites, ou luas, orbitando emtorno dele, com per´ıodo entre 2 e 17 dias. Esses sat´elites s˜ao chamados“galileanos”, e s˜ao: Io, Europa, Ganimedes e Calisto1. Desde ent˜ao,mais 35 sat´elites foram descobertos em J´upiter.Essa descoberta de Galileo foi particularmente importante porquemostrou que podia haver centros de movimento que, por sua vez, tam-b´em estavam em movimento e, portanto, o fato da Lua girar em tornoda Terra n˜ao implicava que a Terra estivesse parada;• descobriu que Vˆenus passa por um ciclo de fases, assim como a Lua.Heliocentrico^SolVenusTerraGeocentrico^VenusSolTerraFigura 10.2: Fases de Vˆenus.Essa descoberta tamb´em foi fundamental porque, no sistema ptole-maico, Vˆenus est´a sempre mais pr´oximo da Terra do que o Sol, e comoVˆenus est´a sempre pr´oximo do Sol, ele nunca poderia ter toda suaface iluminada voltada para n´os e, portanto, deveria sempre aparecer1O astrˆonomo alem˜ao Simon Marius (Mayr) (1573-1624) afirma ter descoberto ossat´elites algumas semanas antes de Galileo, mas Galileo, descobrindo-os independente-mente em 7 e 13 de janeiro de 1610, publicou primeiro, no seu Siderius Nuncius, em mar¸code 1610. Os nomes dos sat´elites foram dados por Marius em 1614, seguindo sugest˜ao, damitologia, de Johannes Kepler.80
  9. 9. como nova ou crescente. Ao ver que Vˆenus muitas vezes aparece emfase quase totalmente cheia, Galileo concluiu que ele viaja ao redor doSol, passando `as vezes pela frente dele e outras vezes por tr´as dele, en˜ao revolve em torno da Terra;• descobriu a superf´ıcie em relevo da Lua, e as manchas do Sol. Ao verque a Lua tem cavidades e eleva¸c˜oes assim como a Terra, e que o Soltamb´em n˜ao tem a superf´ıcie lisa, mas apresenta marcas, provou que oscorpos celestes n˜ao s˜ao esferas perfeitas, mas sim tˆem irregularidades,assim como a Terra. Portanto a Terra n˜ao ´e diferente dos outroscorpos, e pode ser tamb´em um corpo celeste.As descobertas de Galileo proporcionaram grande quantidade de evidˆen-cias em suporte ao sistema heliocˆentrico. Por causa disso, ele foi chamadoa depor ante a Inquisi¸c˜ao Romana, sob acusa¸c˜ao de heresia, e obrigado ase retratar. Somente em setembro de 1822, o Santo Of´ıcio decidiu retiraras suas obras, assim como as de Cop´ernico e de Kepler, do ´Indice de LivrosProibidos. Galileo foi redimido em 1992, quando a comiss˜ao constitu´ıda peloPapa Jo˜ao Paulo II [Karol Joseph Wojtyla (1920-2005)] reconheceu o errodo Vaticano.81

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