O documento introduz o conceito de função quadrática através do software Geogebra. Apresenta a origem histórica da função quadrática e sua definição matemática. Explora as características gráficas da parábola, raízes e aplicações práticas da função quadrática no cotidiano.

1. Introduzindo função
quadrática através do
Geogebra
Curso de pós graduação em novas
tecnologias no ensino da
matemática – Universidade Federal
Fluminense – UFF
Aluno: Tiago Felix dos Santos
Tutora: Denise Gomes Santanna

2. Apresentação da teoria de função quadrática
Origem histórica: Associa-se a ideia de equação do 2º grau, por volta
de 300 a.C., aos estudos do matemático grego Euclides (325;265 a.C),
quando ele desenvolveu uma nova técnica denominada Álgebra
Geométrica.

3. Foi no Renascimento que destacou-se as tentativas de explicar o movimento de queda livre de um objeto ou
trajetória de uma bola de canhão, que faz o formato de uma parábola. Inúmeros teóricos dos séculos XVI e XVII
tentaram explicar essa trajetória, sem obter a parábola.
Essas explicações foram sendo aperfeiçoadas até se chegarem à parábola associada à curva de 2º grau, o que
acelerou a necessidade de se relacionar curvas a equações, de modo geral, álgebra à geometria.
O adjetivo quadrática tem como origem a palavra latina quadratum, que significa quadrado. Um termo como x2 é
chamado de quadrado em álgebra, porque representa a área de um quadrado de lado x.

4. Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer
função f de IR em IR definida na forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c
são números reais e a é diferente de zero.
Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas:
1.f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2.f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3.f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4.f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
5.f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

5. O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a
Diferente de 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor
correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

7. Apresentação do software Geogebra e o estudo da
função quadrática
Software Geogebra
O Geogebra é um software dinâmico para o estudo da
Matemática, juntando Geometria, Álgebra e Cálculo.
Nesse programa computacional, podemos desenhar
pontos, vetores, segmentos, linhas e funções, e isso de
forma simples e dinâmica. No uso de funções, podemos
mostrar no gráfico as coordenadas, os vértices, etc.
Estudaremos o conceito de Funções Quadráticas com o
auxílio do Geogebra, que inclusive pode ser baixado
gratuito no site:
http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.

8. Telainicialdosoftware(Áreadetrabalho)

9. As funções de segundo grau têm a variável independente
com grau 2, ou seja, o seu maior expoente é 2. O gráfico
da função quadrática é uma parábola, com as seguintes
características:
•se a>0 concavidade da parábola voltada para cima.
•se a<0 concavidade da parábola voltada para baixo.

10. Onde é possível encontrar aplicações de
uma
Função Quadrática no cotidiano?

11. A trajetória de uma bola
forma uma parábola

12. Zero da função, ou raízes, são os valores que atribuímos a “x” que anulam a função, ou seja, torna a função f(x)=0,
através dos valores encontrados na fórmula de Bháskara:
a
acbb
xcbxaxxf
2
4
00)(
2
2 

O Discriminante (representado pela letra grega delta), mostrará a quantidade de raízes reais da função quadrática pela
fórmula abaixo:
∆ = b2 – 4.a.c

13. ∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes
∆ < 0 → não tem raiz real
∆ = 0 → duas raízes reais e iguais ∆ > 0 ∆ < 0 ∆ = 0
a > 0
a < 0

14. ∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes
f(x) = x2 - 6x - 16
a > 0
A= (8, 0)
B= (-2, 0)
f(x) = -x2 + 6x + 16
a < 0
A= (8, 0)
B= (-2, 0)

15. ∆ < 0 → não tem raiz real
f(x) = x2 + 3x + 7
a > 0
A= indefinido
B= indefinido
f(x) = - x2 - 3x - 7
a < 0
A= indefinido
B= indefinido

16. Ao Analisar os sinais de uma função quadrática, verificamos os intervalos do domínio onde a função tem
imagem positiva, negativa ou nula, considerando também o valor de a e o valor de ∆.

19.  a>0, o Vértice é Ponto de Mínimo da função
 a<0, o Vértice é Ponto de Máximo da função
Im (f) = {y Є R / y ≤ yv}Im (f) = {y Є R / y ≥ yv}

20. 20
Em nosso cotidiano, encontramos várias aplicações da parábola.
E uma curiosidade : o nome parábola vem do grego com o
significado “lançar ao longe”. Com isso, ao longo do tempo, esse
significado foi associado a trajetória de um corpo lançado formando
um ângulo.
E no ponto de Máximo ou ponto Mínimo, encontramos em
determinadas situações como construções, análises presentes na
Física, Biologia, Administração e outros, assim como em relação
com o prejuízo, crescimento, lucro, etc. Muito usado em economia
por exemplo.

21.  Gráfico do crescimento da população
21

22.  O lançamento de uma bola de futebol

24. • DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. 1, 2 e 3.
Editora Ática, 2003.
• GIOVANNI e BONJORNO. Matemática Fundamental: uma nova
abordagem. Volume único. Editora FTD, 2002
• Guilhermina Lobato Miranda, Maio – Agosto 2007. Limites e
das TIC na Educação. Acesso em 30 nov. de 2010. Disponível em:
http://sisifo.fpce.ul.pt/pdfs/sisifo03PT03.pdf
• Manual “Ajuda GeoGebra - Manual Oficial da Versão 3.2”. Acesso em 29
nov. de 3010. Disponível em
Sites:
• http://hsa.zip.net/
• http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php
• Software Geogebra http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
• http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php