1. O documento apresenta 15 exercícios sobre cálculo vetorial e eletromagnetismo, incluindo cálculo de divergência, rotacional, integral de linha e equações de Maxwell. 2. Os exercícios envolvem campos escalares e vetoriais em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas. 3. São abordados conceitos como campo conservativo, equação de Laplace e identidades vetoriais.

1. Lista 6: CDCI2
Turmas: 2AEMN e 2BEMN
Prof. Alexandre Alves
Universidade S˜ao Judas Tadeu
1 Divergente e Rotacional de Campos Vetoriais
Exerc´ıcio 1: Calcule a divergˆencia e o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
(a) F(x, y) = −yi + x j
(b) F(x, y) = (x2
+ y2
)i
(c) F(x, y) = xyi − x2
j
(d) F(x, y, z) = zi + (x + y) j + z2
k
(e) F(x, y, z) = yzi + xz j + xyk
(f) F(r) = cos(x2
+ y2
)i + sin(x2
+ y2
)j
(g) F(r) =
x
x2 + y2 + z2
i +
y
x2 + y2 + z2
j +
z
x2 + y2 + z2
k
Exerc´ıcio 2: O divergente de um campo vetorial em coordenadas esf´ericas ´e dado
por
· F =
1
r2
∂(rFr)
∂r
+
1
r sin θ
∂(sin θFθ)
∂θ
+
1
r sin θ
∂(Fφ)
∂φ
e o rotacional por
×F =
1
r sin θ
∂(sin θFφ)
∂θ
−
∂(Fθ)
∂φ
ˆer+
1
r
1
sin θ
∂(Fr)
∂φ
−
∂(rFφ)
∂r
ˆeθ+
1
r
∂(rFθ)
∂r
−
∂(Fr)
∂θ
ˆeφ ,
onde o campo vetorial em coordenadas esf´ericas ´e escrito como
F = Fr ˆer + Fθ ˆeθ + Fφ ˆeφ ,
onde ˆer, ˆeθ e ˆeφ, s˜ao os versores nas direc¸˜oes radial, polar e azimutal, respectiva-
mente.
Usando essas express˜oes, calcule o divergente e o rotacional dos campos ve-
toriais:
(a) F =
r
r
(b) F =
r
r2
1

2. (c) F =
r
r3
(d) F = r−n
ˆer
(e) F =
f(r)
r
ˆer
(f) F = ln(r)ˆer + sin(θ)ˆeθ + e−φ
ˆeφ
(g) v = cos(θ)ˆer − r2
ˆeθ + rθˆeφ
Exerc´ıcio 3: Seja Φ um campo escalar e F um campo vetorial. Denotemos o gra-
diente por grad, o divergente por div e o rotacional por rot. Diga se cada express˜ao
tem significado. Em caso negativo, explique porquˆe. Em caso afirmativo, diga se
´e um campo vetorial ou escalar.
(a) rotΦ (b) gradΦ
(c) divF (d) rot(gradΦ)
(e) gradF (f) grad(divF)
(g) div(gradΦ) (h) grad(divΦ)
(i) rot(rotF) ( j) div(divF)
(k) (gradΦ) × (divF) (l) div(rot(gradΦ))
Exerc´ıcio 4: Demonstre as seguintes identidades, admitindo que as derivadas par-
ciais dos campos escalar (Φ) e vetorial (F) existem e sejam cont´ınuas.
(a) · (ΦF) = Φ · F + F · Φ
(b) × (ΦF) = Φ × F + Φ × F
(c) · (F × G) = G · × F − F · × G
(d) · ( Φ × Ψ) = 0
(e) × ( × F) = ( · F) − 2
F
( f) · ( × F) = 0
(g) × ( Φ) = 0
Exerc´ıcio 5: As equac¸˜oes de Maxwell do eletromagnetismo, relacionam o campo
el´etrico E e o campo magn´etico B, quando eles variam com o tempo em regi˜oes
2

3. livres de fontes de cargas el´etricas e de correntes el´etricas no v´acuo, atrav´es das
f´ormulas:
· E = 0 × E = −
1
c
∂B
∂t
· B = 0 × B =
1
c
∂E
∂t
onde c ´e a velocidade da luz no v´acuo.
Usando as equac¸˜oes de Maxwell mostre que as componentes do campo el´etrico
e magn´etico satisfazem as seguintes equac¸˜oes diferenciais parciais de segunda or-
dem
2
E =
1
c2
∂2
E
∂t2
2
B =
1
c2
∂2
B
∂t2
,
que s˜ao equac¸˜oes de onda para os campos eletromagn´eticos e que descrevem,
entre outros fenˆomenos, a propagac¸˜ao de ondas luminosas no v´acuo.
Dica: Comece mostrando que
× ( × E) = −
1
c2
∂2
E
∂t2
× ( × B) = −
1
c2
∂2
B
∂t2
usando as equac¸˜oes de Maxwell que envolvem rotacionais. A ordem com que as
derivadas espaciais e temporais aparecem no resultado n˜ao importa, de modo que
×
∂F
∂t
=
∂( × F)
∂t
.
Finalmente, use a identidade (e) do exerc´ıcio 4 em conjunto com as equac¸˜oes de
Maxwell que envolvem divergentes dos campos para obter as equac¸˜oes de onda.
2 O Laplaciano de Um Campo Escalar
Exerc´ıcio 6: Verifique que a func¸˜ao
Φ(x, y) = (Aekx
+ Be−kx
)(C sin(ky) + D cos(ky))
3

4. ´e soluc¸˜ao da equac¸˜ao de Laplace em duas dimens˜oes
2
Φ(x, y) = 0 ,
onde A, B,C,D e k s˜ao constantes a serem determinadas pelas condic¸˜oes de con-
torno do problema.
Exerc´ıcio 7: Verifique que a func¸˜ao potential
V(r, θ) = Ar +
B
r2
P1(cos θ)
onde P1(x) = x ´e o chamado polinˆomio de Legendre de ordem 1, ´e soluc¸˜ao da
equac¸˜ao de Laplace em coordenadas esf´ericas com simetria azimutal, ou seja, V
n˜ao depende de φ,
2
V(r, θ) =
∂
∂r
r2 ∂V
∂r
+
1
sin(θ)
∂
∂θ
sin(θ)
∂V
∂θ
= 0 .
3 Integrais de Linha
Exerc´ıcio 8: Calcule a integral de linha do campo vetorial F sobre a curva γ nos
casos abaixo:
(a) F(r) = (x + y + z)k e γ : r(t) = (t, t, 1 − t2
), 0 ≤ t ≤ 1
(b) F(r) = x2
j e γ : r(t) = (t2
, 3), −1 ≤ t ≤ 1
(c) F(r) = (x + y)i + (x − y)j e γ : r(t) = (t, t2
), 0 ≤ t ≤ 1
(d) F(r) = −yi + x j + zk e γ : r(t) = (cos t, sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2π
(e) E(x, y) =
1
x2 + y2
xi + y j
x2 + y2
e γ : r(t) = (t, 1), −1 ≤ t ≤ 1
(f) F(r) = xi − zj + yk e γ : r(t) = 2ti + 3t j − t2
k, −1 ≤ t ≤ 1
(g) F(r) = sin(x)i + cos(y)j + xzk e γ : r(t) = t3
i − t2
j + tk, 0 ≤ t ≤ 1
Exerc´ıcio 9: Calcule as integrais de linha
(a)
γ
3
√
xdx +
dy
1 + y2
(b)
γ
(x + y2
)dy
(c)
γ
4x3
dx + 4y3
dy
(d)
γ
x2
dx + y2
dy + z2
dz
4

5. x
y
1
1
1
1
Γ
Figura 1: Exerc´ıcio 9. Caminho de integrac¸˜ao.
onde a curva γ ´e a representada na figura 1 acima.
Exerc´ıcio 10: Considere um campo escalar diferenci´avel Φ dado por Φ(x, y) =
f(x) + f(y). Mostre que a integral de linha do campo vetorial F = Φ ´e nula
sobre um caminho fechado parametrizado por uma func¸˜ao r(t), a ≤ t ≤ b, tal que
r(b) = r(a).
Exerc´ıcio 10: O Teorema da Energia Cin´etica afirma que o trabalho realizado por
uma forc¸a F desde um ponto A at´e um ponto B ´e igual `a variac¸˜ao da energia
cin´etica da part´ıcula, ou seja,
WAB =
γ
F · dr =
1
2
mv2
B −
1
2
mv2
A .
Se uma part´ıcula de massa 2Kg se desloca desde o ponto A = (1, 0, 2) ao ponto
B = (2, 1, 4) em linha reta sob a ac¸˜ao de um campo de forc¸as (em Newtons)
F = xi−y j+z2
k, e se sua velocidade era de 1m/s no ponto A, com qual velocidade
ela ir´a chegar ao ponto B? Assuma distˆancias em metros. Dica: A equac¸˜ao da reta
parametrizada ´e dada por: (x, y, z) = A + (B − A)t.
Exerc´ıcio 11: Uma part´ıcula carregada massiva entra em uma regi˜ao do espac¸o
onde existem campos el´etricos, magn´eticos e gravitacionais. A forc¸a devida ao
campo magn´etico faz a part´ıcula percorrer uma trajet´oria circular no plano y0z de
raio
√
2, enquanto o campo el´etrico, que aponta na direc¸˜ao x positiva, acelera a
5

6. 21012
2
1
0
1
2
0
1
2
3
4
Figura 2: Exerc´ıcio 11. Trajet´oria de uma part´ıcula sujeita a forc¸as magn´eticas,
el´etricas e gravitacionais..
part´ıcula. Ao mesmo tempo, a part´ıcula sofre a ac¸˜ao da gravidade, que a puxa na
direc¸˜ao −z. Se o campo gravitacional ´e dado por P = −mgk, onde m ´e a massa da
part´ıcula e g a acelerac¸˜ao da gravidade local, qual o trabalho realizado por uma
forc¸a F para manter a part´ıcula na trajet´oria resultante da ac¸˜ao das forc¸as el´etrica
e magn´etica? Essa trajet´oria, representada na figura 2, pode ser parametrizada por
r(t) = (2 cos(t), 2 sin(t), t2
/20), 0 ≤ t ≤ 3π.Dica: A forc¸a F deve, em cada ponto
da trajet´oria, anular a ac¸˜ao da forc¸a peso.
Exerc´ıcio 12: Se o potencial gravitacional ´e dado por Φ(r) = mgz, calcule o tra-
balho realizado pela forc¸a peso no exerc´ıcio anterior nos casos em que:
(a) 0 ≤ t ≤
π
2
(b) 0 ≤ t ≤
3π
2
(c) 0 ≤ t ≤ π (d) 0 ≤ t ≤
5π
2
(e) 0 ≤ t ≤ 2π (f) 1 ≤ t ≤ 4
Exerc´ıcio 13: Um campo vetorial conservativo F ´e dado pelo gradiente da func¸˜ao
Φ(r) =
e−r2
r
, r = ||r(t)||.
6

7. Calcule a integral de linha de F sobre a trajet´oria γ em cada um dos casos seguintes:
(a) γ : r(t) = (sin(t), cos(t)), 0 ≤ t ≤ π
(b) γ : r(t) = (− cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ π/2
(c) γ : r(t) = (sin(t), cos(t), t3
), 0 ≤ t ≤ π
(d) γ : r(t) = (t,
√
t, 1/t), 1 ≤ t ≤ 4
(e) γ : r(t) = ( ln(t), 0, 0) 1 ≤ 2 ≤ π
Exerc´ıcio 14: Responda `as seguintes quest˜oes a respeito de um campo vetorial
F : Ω ⊂ R3
→ R3
:
(a) Se o rotacional de F ´e nulo, o campo ´e conservativo?
(b) Se integral de linha de F sobre um caminho fechado ´e diferente de zero,
mas seu o rotacional ´e nulo, podemos afirmar que o campo ´e conservativo?
(c) Se integral de linha de F sobre um caminho fechado ´e zero, mas seu o
rotacional ´e n˜ao nulo, podemos afirmar que o campo ´e conservativo?
(d) Se integral de linha de F sobre qualquer caminho fechado em Ω ´e nula,
podemos afirmar que o campo ´e conservativo?
(e) Se o rotacional de F ´e nulo em uma regi˜ao Ω que n˜ao ´e simplesmente
conexa, mas onde integral de linha de F sobre qualquer caminho fechado
em Ω ´e nula, ent˜ao F ´e conservativo?
(f) Se o campo vetorial puder ser escrito em termos de uma func¸˜ao potencial
que n˜ao seja cont´ınua em todo Ω, ainda assim o campo ser´a conservativo?
Exerc´ıcio 15: Um campo vetorial deriva de um potencial Φ(x, y) = 1/2 ln(x2
+y2
)
em uma regi˜ao Ω = R2
− (0, 0). Calcule a integral de linha desse campo ao longo
das seguintes trajet´orias:
(a) γ : r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2π
(b) γ : r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ π/4
(c) γ : r(t) = (t, t2
+ t4
), 1 ≤ t ≤ 3
(d) γ : r(t) = (−et
, tet
), 0 ≤ t ≤ 1
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8. EXERC´ICIOS PARA SEREM ENTREGUES EM 12/09: 2(d), 4(e), 5, 6, 10,
13(a,d).
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