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Documento tirado do:
Site do 2º Ano Eliezer 2013
www.turma2anoeliezer2013.xpg.com.br
Conteúdo sobre Arranjo Simples passado no dia 20 / 05 / 2013
Chamam-se Arranjos Simples todos os agrupamentos simples de P elementos que
podemos formar com n elementos distintos, sendo P ≤ n. Cada um desses
agrupamentos se diferencia de outro pela a ordem ou natureza de seus elementos.
A notação para o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p é: 𝐴 𝑛,𝑝.
Ex.1.: Uma escola possui 18 professores. Entre eles serão escolhidos, um diretor, um
vice-diretor e um coordenador pedagógico. Quantas são as possibilidades de escolha?
Usando a fórmula do arranjo:
𝐴18,3 =
18!
(18 − 3)!
=
18!
15!
=
18 ∙ 17 ∙ 16 ∙ 15
15!
= 18 ∙ 17 ∙ 16 = 4.896
Usando o princípio da contagem:
CARGO Diretor Vice-Diretor Coordenador
POSSIBILIDADES 18 17 16
18 ∙ 17 ∙ 16 = 4.896
Fórmula do Arranjo Simples
𝐴 𝑛,𝑝 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑝)!
, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝 ≤ 𝑛.
Obs.: Quando n = p calculamos assim: 𝐴 𝑛,𝑛 = 𝑃𝑛 = 𝑛!
Ex.2.: Resolva:
𝑎) 𝐴5,2 =
5!
(5 − 2)!
=
5!
3!
=
5 ∙ 4 ∙ 3
3!
= 5 ∙ 4 = 20
𝑏) 𝐴12,3 =
12!
(12 − 3)!
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= 12 ∙ 11 ∙ 10 = 1.320
𝑐) 𝐴6,5 =
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Ex.3.: Uma corrida possui 15 pilotos, que estão disputando os prêmios, 1º, 2º e 3º.
Quantas são as possibilidades de escolha?
𝐴15,3 =
15!
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=
15!
12!
=
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= 15 ∙ 14 ∙ 13 = 2.730
Ex.4.: Resolver a equação 𝐴 𝑛,2 = 6. Encontre o valor de n.
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www.turma2anoeliezer2013.xpg.com.br
𝐴 𝑛,2 = 6 →
𝑛!
(𝑛 − 2)!
= 6 →
𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2)
(𝑛 − 2)!
= 6 → 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) = 6 → 𝑛2
− 𝑛
= 6 → 𝑛2
− 𝑛 − 6 = 0
𝑛2
− 𝑛 − 6 = 0
∆= 𝑏2
− 4𝑎𝑐
∆= (−1)2
− 4 ∙ 1 ∙ (−6)
∆= 1 − 4 ∙ (−6)
∆= 1 + 24
∆= 25
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
→ 𝑥 =
−(−1) ± √25
2 ∙ 1
→ 𝑥 =
1 ± 5
2
{
𝑥1
=
1 + 5
2
=
6
2
= 3
𝑥2
=
1 − 5
2
=
−4
2
= −2
Exercício
1. Calcule:
𝑎) 𝐴4,3 =
𝑏) 𝐴6,2 =
𝑐) 𝐴12,4 =
𝑑) 𝐴4,2 =
𝑒) 𝐴15,2 =
𝑓) 𝐴20,3 =
2. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com o conjunto
𝐸 = {1, 2, 3, 4, 5}.
3. Uma empresa possui 16 funcionários administrativos, entre os quais serão
escolhidos 3, que disputarão para os cargos, de diretor, vice-diretor e
tesoureiro. De quantas maneiras pode ser feita a escolha?
4. Júlio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma
cor em cada letra. De quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe de 8
cores de tinta?
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maneiras diferentes as 2 pessoas podem ocupar esses lugares?

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Conteúdo sobre Arranjo Simples (20.05.2013)

  • 1. Documento tirado do: Site do 2º Ano Eliezer 2013 www.turma2anoeliezer2013.xpg.com.br Conteúdo sobre Arranjo Simples passado no dia 20 / 05 / 2013 Chamam-se Arranjos Simples todos os agrupamentos simples de P elementos que podemos formar com n elementos distintos, sendo P ≤ n. Cada um desses agrupamentos se diferencia de outro pela a ordem ou natureza de seus elementos. A notação para o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p é: 𝐴 𝑛,𝑝. Ex.1.: Uma escola possui 18 professores. Entre eles serão escolhidos, um diretor, um vice-diretor e um coordenador pedagógico. Quantas são as possibilidades de escolha? Usando a fórmula do arranjo: 𝐴18,3 = 18! (18 − 3)! = 18! 15! = 18 ∙ 17 ∙ 16 ∙ 15 15! = 18 ∙ 17 ∙ 16 = 4.896 Usando o princípio da contagem: CARGO Diretor Vice-Diretor Coordenador POSSIBILIDADES 18 17 16 18 ∙ 17 ∙ 16 = 4.896 Fórmula do Arranjo Simples 𝐴 𝑛,𝑝 = 𝑛! (𝑛 − 𝑝)! , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝 ≤ 𝑛. Obs.: Quando n = p calculamos assim: 𝐴 𝑛,𝑛 = 𝑃𝑛 = 𝑛! Ex.2.: Resolva: 𝑎) 𝐴5,2 = 5! (5 − 2)! = 5! 3! = 5 ∙ 4 ∙ 3 3! = 5 ∙ 4 = 20 𝑏) 𝐴12,3 = 12! (12 − 3)! = 12! 9! = 12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 9! = 12 ∙ 11 ∙ 10 = 1.320 𝑐) 𝐴6,5 = 6! (6 − 5)! = 6! 1! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 1! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 = 720 Ex.3.: Uma corrida possui 15 pilotos, que estão disputando os prêmios, 1º, 2º e 3º. Quantas são as possibilidades de escolha? 𝐴15,3 = 15! (15 − 3)! = 15! 12! = 15 ∙ 14 ∙ 13 ∙ 12 12! = 15 ∙ 14 ∙ 13 = 2.730 Ex.4.: Resolver a equação 𝐴 𝑛,2 = 6. Encontre o valor de n.
  • 2. Documento tirado do: Site do 2º Ano Eliezer 2013 www.turma2anoeliezer2013.xpg.com.br 𝐴 𝑛,2 = 6 → 𝑛! (𝑛 − 2)! = 6 → 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) (𝑛 − 2)! = 6 → 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) = 6 → 𝑛2 − 𝑛 = 6 → 𝑛2 − 𝑛 − 6 = 0 𝑛2 − 𝑛 − 6 = 0 ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆= (−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−6) ∆= 1 − 4 ∙ (−6) ∆= 1 + 24 ∆= 25 𝑥 = −𝑏 ± √∆ 2𝑎 → 𝑥 = −(−1) ± √25 2 ∙ 1 → 𝑥 = 1 ± 5 2 { 𝑥1 = 1 + 5 2 = 6 2 = 3 𝑥2 = 1 − 5 2 = −4 2 = −2 Exercício 1. Calcule: 𝑎) 𝐴4,3 = 𝑏) 𝐴6,2 = 𝑐) 𝐴12,4 = 𝑑) 𝐴4,2 = 𝑒) 𝐴15,2 = 𝑓) 𝐴20,3 = 2. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com o conjunto 𝐸 = {1, 2, 3, 4, 5}. 3. Uma empresa possui 16 funcionários administrativos, entre os quais serão escolhidos 3, que disputarão para os cargos, de diretor, vice-diretor e tesoureiro. De quantas maneiras pode ser feita a escolha? 4. Júlio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma cor em cada letra. De quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe de 8 cores de tinta? 5. Duas pessoas entram num ônibus que tem 7 lugares vazios. De quantas maneiras diferentes as 2 pessoas podem ocupar esses lugares?