O documento apresenta os conceitos fundamentais do cálculo integral, incluindo sua história, métodos de aproximação de áreas, a definição formal de integral definida e propriedades importantes como o Teorema do Valor Médio.

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1
Integral
Definida
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 Problemas clássicos do Cálculo
Cálculo de retas tangentes e áreas
 Subdivisão
Cálculo Diferencial
 Determinação de tangentes e taxas de
variação
Cálculo Integral
 Determinação de áreas e volumes
Introdução

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 Cálculo Integral – Grécia Antiga
 Arquimedes / Eudoxo
Método da Exaustão
 Esgotar a figura por outras de áreas ou
volumes conhecidos
 Egípcios
 Recalculavam áreas de suas terras por conta da
variação das águas do Rio Nilo
Um pouco de história
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 Considere a área
da região limitada
pelo gráfico de
uma função
y=f(x), não
negativa, num
intervalo [a,b], o
eixo OX e as retas
x = a e x = b.
Calculando Áreas

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 Divisão do intervalo [a,b] em n
subintervalos
 Subintervalo: [xi-1, xi]
 O retângulo que se estende desde o eixo OX
até algum ponto da curva y=f(x) terá por:
 Base: comprimento do subintervalo
 xi = xi – xi-1
 Altura: f(i), onde i  [xi-1, xi]
 Área aproximada
 S = 𝑓(𝜀𝑖)𝑛
𝑖=1 ∙ ∆𝑥𝑖
Aproximação por retângulos
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 Generalizar conceito
para f(x) < 0
 Esses somatórios são
chamados Somas de
Riemann e existem
muitas para cada
curva variando
comprimento dos
subintervalos e o
ponto da curva f(x)
Soma de Riemann

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 A norma de uma partição 𝑃, denotada por
𝑃 , é o maior de todos os comprimentos
dos subintervalos de [a,b]. Se 𝑃 é um
número pequeno, então os subintervalos de
𝑃 são ditos estreitos.
 Uma partição de subintervalos estreitos
fornece uma melhor aproximação para a
área calculada pela soma de Riemann.
Norma de uma Partição
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 Aumentando o número n de subintervalos
Refinando a Área
0.5 1.0
0.5
1.0
y = x^2
n = 10 n = 20
0.5 1.0
0.5
1.0
y = x^2
20 sub-intervalos

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Refinando a Área
n = 40 n = 80
0.5 1.0
0.5
1.0
y = x^2
40 sub-intervalos
1.0
1.0
x
y
y = x^2
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 “O conceito de Integral Definida baseia-se
na ideia de que, para certas funções,
quando a norma das partições de [a,b]
tende a zero, os valores das somas de
Riemann correspondentes tendem a um
valor limite I.” (Thomas)
 𝑃 → 0 ou, analogamente, 𝑛 → ∞  S → I
 É possível mostrar que, quando a
convergência é satisfeita (limite existe), I é
o mesmo, independente da partição e da
altura f(i).
A Integral Definida

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 Definição
 Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e seja 𝑃 uma
partição qualquer de [a,b]. A integral definida de f de a
até b, denotada por 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
é dada por:
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑃 →0
𝑓(𝜀𝑖)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 Desde que esse limite exista
 Se 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
existe, dizemos que f é integrável em
[a,b].
 a e b são os limites de integração (inferior e
superior, respectivamente)
A Integral Definida
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 Quando cada partição tem n subintervalos
iguais onde ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
, é correto afirmar
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑛→∞
𝑓(𝜀𝑖)∆𝑥𝑛
𝑖=1
 Desde que esse limite exista
 A função f é chamada integrando
 Teorema
 Uma função contínua em [a,b] é integrável em
[a,b].
 Ideia da prova: Soma Inferior < I < Soma Superior
(teorema do confronto - sanduíche)
A Integral Definida

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 Funções contínuas
 Algumas funções não contínuas
 Basta que seja possível aproximar a área por
retângulos estreitos
 Alguns pontos de descontinuidade
 Exemplo de função não integrável
 Função característica dos números racionais
 𝑓 𝑥 =
1, 𝑠𝑒 𝑥 é 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
0, 𝑠𝑒 𝑥 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
Funções Integráveis
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 Calcular, baseado em Somas de
Riemann, os valores (aproximados)
das integrais abaixo.
 2𝑥𝑑𝑥
4
0
 𝑥2
𝑑𝑥
1
0
Exemplos

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 Se a = b, então 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑏
𝑎
 Se a > b, então 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
− 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
 Se f é uma função contínua e não negativa
em [a,b], então
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
Área sob o gráfico de f até o eixo OX
de a até b.
Consequências Imediatas
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 Supondo que f e g sejam funções integráveis
 𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 (𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 f(x)  g(x) x  [a,b]  𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Propriedades

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 Se f é integrável em [a,b], [a,c] e [c,b],
então
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
 Repartir a área
 Se M e m são respectivamente os valores
máximo e mínimo de f em [a,b] (mf(x)M),
então
 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
𝑏
𝑎
 Preparação para Valor Médio
Propriedades
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 Retomando: se M e m são respectivamente
os valores máximo e mínimo de f em [a,b]
(mf(x)M), então 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
𝑏
𝑎
 Entre m e M, então deve haver um ‘meio
termo’ que, multiplicado por (b – a) seja
igual à integral
 Área sob a curva comparada à área de um
retângulo
 (b – a) é a base
 M e m são alturas
Comparação de Áreas

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 Seja f contínua em [a,b], então existe
c[a,b], tal que 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐) ∙ (𝑏 − 𝑎)
𝑏
𝑎
Teorema do Valor Médio
 O Teorema diz que a
área sob a curva é
igual à área de um
retângulo de base em
[a,b] e altura em
algum ponto de f(x) em
[a,b]
 Observações:
 f(c) é chamado de
valor médio de f em
[a,b]
 c pode não ser único
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 Calcule o valor médio das funções
abaixo nos intervalos determinados
f(x) = 2x, em [0,4]
f(x) = 1 – x, em [0,1]
Exemplos

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 Cálculo – Um Novo Horizonte – H. Anton –
vol. 1
 Cálculo A – Diva Fleming
 Cálculo com Geo. Analítica – Swokowski –
vol. 1
 Cálculo – George B. Thomas – vol. 1
 História da Matemática – C. Boyer
 Wikipedia (imagens)
Referências