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Integral indefinida
Funções integráveis
Propriedade da Integral indefifida
Teorema fundamental do cálculo
Integral definida
Uma ampla classe de funções usadas no cálculo é a classe das
funções contı́nuas. O teorema a seguir, cuja demonstração será
omitida, garante que elas são integráveis.
Teorema 2
se f for contı́nua em [a, b], então f é integrável em [a, b]
Teorema 3
se f for limitada em [a, b] e descontı́nua em apenas um número
finito de pontos de [a, b], então f será integrável em [a, b]
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Propriedade da Integral indefifida
Teorema fundamental do cálculo
Integral definida
Teorema 4
Se f for contı́nua sobre [a, b], então f é integrável em [a, b] e se
F for uma primitiva de f no intervalo [a, b], então
Z b
a
f(x)dx = F(b) − F(a)
Quando aplicarmos este teorema, usamos a seguinte notação:
Z b
a
f(x)dx = [F(x)]b
a = F(b) − F(a)
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Integral indefinida
Funções integráveis
Propriedade da Integral indefifida
Teorema fundamental do cálculo
Integral definida
Definição
Definição 3
Se f(x) uma função definida no intervalo [a, b] e seja P uma
partição qualquer de [a, b]. A integral definida de f(x) de a até
b, denotada por
Z b
a
f(x)dx,
é dada por:
Z b
a
f(x)dx = lim
max∆xi →0
n
X
i=1
f(ci)∆xi,
desde que o limite do segundo membro exista.
Se
Z b
a
f(x)dx existe, dizemos que f é integrável em [a, b]
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Integral indefinida
Funções integráveis
Propriedade da Integral indefifida
Teorema fundamental do cálculo
Integral definida
Definição
Quando a função f é contı́nua e não negativa em [a, b], a
definição de integral definida coincide com a definição de área.
Portanto nesse caso a integral definida
Z b
a
f(x)dx
é a área da região sob o gráfico de f de a até b.
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- 1. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Cálculo II Universidade Federal do Pará Campus Universitário do Tocantins Polo Limoeiro do Ajurú- FAMAT/ 2023 Julio Roberto 24 de julho de 2023 Cálculo II
- 2. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida 1 Primitivas Relação entre Funções com Derivadas Iguais Definição Proposições Exercı́cios 2 Integral indefinida Definição 3 Funções integráveis 4 Propriedade da Integral indefifida Tabela de integrais imediatas Exercı́cios 5 Teorema fundamental do cálculo 6 Integral definida Definição Cálculo II
- 3. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Relação entre Funções com Derivadas Iguais Definição Proposições Exercı́cios Se f0(x) = 0 para todo x ∈ Df , então o que podemos falar de f. Observe a função a seguir e responda o questionamento: f(x) = 1 se x 0 −1 se x 0 Cálculo II
- 4. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Relação entre Funções com Derivadas Iguais Definição Proposições Exercı́cios Teorema 1 Seja f contı́nua no intervalo I. Se f0(x) = 0 em todo x interior a I, então existirá uma constante K tal que f(x) = k para todo x em I Cálculo II
- 5. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Relação entre Funções com Derivadas Iguais Definição Proposições Exercı́cios Corolário 1 Sejam f e g contı́nuas no intervalo I. Se f0(x) = g0(x) em todo x interior a I, então existirá uma constante K tal que f(x) = g(x) + k para todo x em I Cálculo II
- 6. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Relação entre Funções com Derivadas Iguais Definição Proposições Exercı́cios Exemplo 1 Seja f definida e derivável em R e tal que, para todo x, f0(x) = f(x). Prove que existe uma constante k tal que, para todo x, tem-se f(x) = kex. Cálculo II
- 7. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Relação entre Funções com Derivadas Iguais Definição Proposições Exercı́cios Definição 1 Uma função F(x) é chamada primitiva da função f(x) em um intervalo I, se, para todo x ∈ I, temos F0(x) = f(x) Exemplo 2 F(x) = x3 3 é uma primitiva de f(x) = x2, pois F0 (x) = 1 3 · 3x2 = x2 = f(x) Exemplo 3 F(x) = √ x é uma primitiva de f(x) = 1 2 √ x , pois F0 (x) = 1 2 x−1 2 = 1 2 √ x = f(x) Cálculo II
- 8. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Relação entre Funções com Derivadas Iguais Definição Proposições Exercı́cios As funções G(x) = x3 3 + 4, H(x) = 1 3 (x3 + 3) também são primitivas da função f(x) = x2, pois G0(x) = H0(x) = f(x). Obs.: Os exemplos anteriores nos mostram que uma mesma função f(x) admite mais de uma primitiva. Temos as seguintes proposições Proposição 1 Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c é uma constante qualquer, a função G(x) = F(x) + c também é primitiva de f(x). Cálculo II
- 9. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Relação entre Funções com Derivadas Iguais Definição Proposições Exercı́cios Proposição 2 Seja f0(x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I. Cálculo II
- 10. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Relação entre Funções com Derivadas Iguais Definição Proposições Exercı́cios Proposição 3 Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então existe uma constante c tal que G(x) − F(x) = c. Para todo x ∈ I. A famı́lia de todas as pri- mitivas de f(x) é represen- tada por G(x) = F(x) + c, onde c representa generica- mente uma constante. Figura: Membros da famı́lia de primitivas de f(x) = x2 Cálculo II
- 11. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Relação entre Funções com Derivadas Iguais Definição Proposições Exercı́cios Exercı́cio 1 Determine as primitivas das funções abaixo 1. f(x) = 4x3 − 3x2 + 1 3. f(x) = √ x 5. f(x) = x 5 3 7. f(x) = 1 (x+a)3 2. f(x) = 1 √ x 4. f(x) = x 2 3 6. f(x) = x √ x 8. f(x) = xr, r 6= −1 Cálculo II
- 12. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Relação entre Funções com Derivadas Iguais Definição Proposições Exercı́cios Exercı́cio 2 Determine as primitivas das funções abaixo 1. f(x) = 5 3. f(x) = 2x 5. f(x) = 6x2 + cos(x) 7. f(x) = −2 sin(2x) 2. f(x) = 4x + 6 4. f(x) = 5x 6. f(x) = x7 8. f(x) = xr, r 6= −1 Cálculo II
- 13. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Definição A operação de encontrar a famı́lia de todas as primitivas de uma função é chamada de integral indefinida(ou primitivação) e é representada na forma Observação 1 A diferenciação e a integração são operações inversas, no mesmo sentido de que a divisão e a multiplicação são operações inversas. Cálculo II
- 14. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Definição Definição 2 Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada de integral indefinida da função f(x) e é denotada por Z f(x)dx = F(x) + c Da definição da integral, decorre que i R f(x)dx = F(x) + c ⇔ F0(x) = f(x). ii R f(x)dx representa uma famı́lia de funções (a famı́lia de todas as primitivas da função integrando) Cálculo II
- 15. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Uma ampla classe de funções usadas no cálculo é a classe das funções contı́nuas. O teorema a seguir, cuja demonstração será omitida, garante que elas são integráveis. Teorema 2 se f for contı́nua em [a, b], então f é integrável em [a, b] Teorema 3 se f for limitada em [a, b] e descontı́nua em apenas um número finito de pontos de [a, b], então f será integrável em [a, b] Cálculo II
- 16. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Tabela de integrais imediatas Exercı́cios Sejam f, g : I −→ R e K uma constante. Então: i R Kf(x)dx = k R f(x)dx. ii R (f(x) + g(x))dx = R f(x)dx + R g(x)dx Como vimos em primitivas, é possı́vel obter integrais imediatas a partir das derivadas de funções elementares. Veja nos exemplos a seguir Exemplo 4 i Sabemos que ( sen x)0 = cos x. Então R cos x dx = sen x + c. ii Como − cos θ = sen θ. Então R sen θ dθ = − cos θ + c. iii R ex dx = ex + c, pois (ex)0 = ex iv R x 2 3 dx = 3 5x 5 3 + c, pois (3 5x 5 3 )0 = x 2 3 v R 1 √ t dt = 2 √ t + c, pois (2 √ t)0 = 1 √ t Cálculo II
- 17. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Tabela de integrais imediatas Exercı́cios (1) Z du = u + c (2) Z du u = ln |u| + c (3) Z uα du = uα+1 α + 1 + c (α é constante 6= 1) (4) Z αu du = αu ln α + c (5) Z eu du = eu + c Cálculo II
- 18. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Tabela de integrais imediatas Exercı́cios (6) Z sen u du = − cos u + c (7) Z cos u du = sen u du + c (8) Z sec2 u du = tg u + c (9) R cosec2u du = −cotgu + c Cálculo II
- 19. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Tabela de integrais imediatas Exercı́cios (10) Z sec u · tg u du = secu + c (11) Z cosec u · cotg u du = −cosec u + c (12) Z du √ 1 − u2 = arcsec u + c (13) Z du 1 + u2 = arc tg u + c (14) Z du u √ u2 − 1 = arc sec u + c Cálculo II
- 20. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Tabela de integrais imediatas Exercı́cios (15) Z sech2 u du = tgh u + c (16) Z cosech2 u du = −cotghu + c (17) Z sech u · tgh udu = − sech u + c Cálculo II
- 21. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Tabela de integrais imediatas Exercı́cios (18) Z cosech u · cotgh u du = −cosech u + c (19) Z du √ 1 + u2 = arg senh u + c = ln|u + p u2 + 1| + c (20) Z du √ u2 − 1 = arg cosh u + c = ln|u + p u2 − 1| + c Cálculo II
- 22. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Tabela de integrais imediatas Exercı́cios (21) Z du 1 − u2 = arg tgh u + c se |u| ≤ 1 arg cotgh u + c se |u| ≥ 1 = 1 2 ln 1 + u 1 − u + c (22) Z du u √ 1 − u2 = −arg sech|u| + c (23) Z du u √ 1 + u2 = −arg cosech|u| + c Cálculo II
- 23. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Tabela de integrais imediatas Exercı́cios Exercı́cio 3 Nos exercı́cios 1 a 10 calcular as integrais indefinidas e em seguida derivar as respostas para conferir os resultados 1. Z dx x3 2. Z 9t2 + 1 √ t3 dt 3. Z (ax + bx + 3c)dx 4. Z 1 √ x + x √ x √ 3 dx 5. Z (2x−3 )dx 6. Z dx sen2x 7. Z p 2y + 1 √ 2y dy 8. Z 2 3t2 + 3 dt 9. Z x3√ xdx 10. Z x5 + 2x2 − 1 x4 dx Cálculo II
- 24. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Teorema 4 Se f for contı́nua sobre [a, b], então f é integrável em [a, b] e se F for uma primitiva de f no intervalo [a, b], então Z b a f(x)dx = F(b) − F(a) Quando aplicarmos este teorema, usamos a seguinte notação: Z b a f(x)dx = [F(x)]b a = F(b) − F(a) Cálculo II
- 25. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Exemplo 5 Calcule R 2 1 x2 dx Exemplo 6 Calcule R 3 −1 4 dx Exemplo 7 Calcule R 2 0 (x3 + 3x − 1) dx Exemplo 8 Calcule R 2 1 1 x2 dx Cálculo II
- 26. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Exemplo 9 Calcule R 2 1 1 x + 1 x3 dx Exemplo 10 Calcule R π 8 0 sin(2x) dx Exemplo 11 Calcule R 1 0 e−x dx Exemplo 12 Calcule R 2 1 1+x x3 dx Cálculo II
- 27. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Definição Definição 3 Se f(x) uma função definida no intervalo [a, b] e seja P uma partição qualquer de [a, b]. A integral definida de f(x) de a até b, denotada por Z b a f(x)dx, é dada por: Z b a f(x)dx = lim max∆xi →0 n X i=1 f(ci)∆xi, desde que o limite do segundo membro exista. Se Z b a f(x)dx existe, dizemos que f é integrável em [a, b] Cálculo II
- 28. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Definição Na notação Z b a f(x)dx, os valores de a e b são chamados limites de integração (a = limite inferior e b = limite superior) tal que a ≤ b. Cálculo II
- 29. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Definição Quando a função f é contı́nua e não negativa em [a, b], a definição de integral definida coincide com a definição de área. Portanto nesse caso a integral definida Z b a f(x)dx é a área da região sob o gráfico de f de a até b. Cálculo II
- 30. Primitivas Integral indefinida Funções integráveis Propriedadeda Integral indefifida Teorema fundamental do cálculo Integral definida Definição Definição 4 (a) Se a b, então: Z b a f(x)dx = − Z a b f(x)dx se a integral a direita existir (b) Se a = b, então: Z b a f(x)dx = 0 Cálculo II