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Primitivas
Integral indefinida
Funções integráveis
Propriedade da Integral indefifida
Teorema fundamental do cálculo
Integral definida
Cálculo II
Universidade Federal do Pará
Campus Universitário do Tocantins
Polo Limoeiro do Ajurú- FAMAT/ 2023
Julio Roberto
24 de julho de 2023
Cálculo II

Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
1 Primitivas
Relação entre Funções com Derivadas Iguais
Definição
Proposições
Exercı́cios
2 Integral indefinida
Definição
3 Funções integráveis
4 Propriedade da Integral indefifida
Tabela de integrais imediatas
Exercı́cios
5 Teorema fundamental do cálculo
6 Integral definida
Definição
Cálculo II

Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Definição
Proposições
Exercı́cios
Se f0(x) = 0 para todo x ∈ Df , então o que podemos falar de f.
Observe a função a seguir e responda o questionamento:
f(x) =

1 se x 0
−1 se x 0
Cálculo II

Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Definição
Proposições
Exercı́cios
Teorema 1
Seja f contı́nua no intervalo I. Se f0(x) = 0 em todo x interior
a I, então existirá uma constante K tal que f(x) = k para todo
x em I
Cálculo II

Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Definição
Proposições
Exercı́cios
Corolário 1
Sejam f e g contı́nuas no intervalo I. Se f0(x) = g0(x) em todo
x interior a I, então existirá uma constante K tal que
f(x) = g(x) + k
para todo x em I
Cálculo II

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Integral indefinida
Integral definida
Definição
Proposições
Exercı́cios
Exemplo 1
Seja f definida e derivável em R e tal que, para todo x,
f0(x) = f(x). Prove que existe uma constante k tal que, para
todo x, tem-se f(x) = kex.
Cálculo II

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Integral indefinida
Integral definida
Definição
Proposições
Exercı́cios
Definição 1
Uma função F(x) é chamada primitiva da função f(x) em um
intervalo I, se, para todo x ∈ I, temos F0(x) = f(x)
Exemplo 2
F(x) = x3
3 é uma primitiva
de f(x) = x2, pois
F0
(x) =
1
3
· 3x2
= x2
= f(x)
Exemplo 3
F(x) =
√
x é uma primitiva
de f(x) = 1
2
√
x
, pois
F0
(x) =
1
2
x−1
2 =
1
2
√
x
= f(x)
Cálculo II

Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Definição
Proposições
Exercı́cios
As funções G(x) =
x3
3
+ 4, H(x) =
1
3
(x3
+ 3) também são
primitivas da função f(x) = x2, pois G0(x) = H0(x) = f(x).
Obs.: Os exemplos anteriores nos mostram que uma mesma
função f(x) admite mais de uma primitiva. Temos as seguintes
proposições
Proposição 1
Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c é uma
constante qualquer, a função G(x) = F(x) + c também é
primitiva de f(x).
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Integral indefinida
Integral definida
Definição
Proposições
Exercı́cios
Proposição 2
Seja f0(x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então
f é constante em I.
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Integral indefinida
Integral definida
Definição
Proposições
Exercı́cios
Proposição 3
Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I,
então existe uma constante c tal que G(x) − F(x) = c. Para
todo x ∈ I.
A famı́lia de todas as pri-
mitivas de f(x) é represen-
tada por G(x) = F(x) + c,
onde c representa generica-
mente uma constante.
Figura: Membros da famı́lia de
primitivas de f(x) = x2
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Integral indefinida
Integral definida
Definição
Proposições
Exercı́cios
Exercı́cio 1
Determine as primitivas das funções abaixo
1. f(x) = 4x3 − 3x2 + 1
3. f(x) =
√
x
5. f(x) = x
5
3
7. f(x) = 1
(x+a)3
2. f(x) = 1
√
x
4. f(x) = x
2
3
6. f(x) = x
√
x
8. f(x) = xr, r 6= −1
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Integral indefinida
Integral definida
Definição
Proposições
Exercı́cios
Exercı́cio 2
Determine as primitivas das funções abaixo
1. f(x) = 5
3. f(x) = 2x
5. f(x) = 6x2 + cos(x)
7. f(x) = −2 sin(2x)
2. f(x) = 4x + 6
4. f(x) = 5x
6. f(x) = x7
8. f(x) = xr, r 6= −1
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Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Definição
A operação de encontrar a famı́lia de todas as primitivas de
uma função é chamada de integral indefinida(ou primitivação) e
é representada na forma
Observação 1
A diferenciação e a integração são operações inversas, no
mesmo sentido de que a divisão e a multiplicação são operações
inversas.
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Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Definição
Definição 2
Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é
chamada de integral indefinida da função f(x) e é denotada por
Z
f(x)dx = F(x) + c
Da definição da integral, decorre que
i
R
f(x)dx = F(x) + c ⇔ F0(x) = f(x).
ii
R
f(x)dx representa uma famı́lia de funções (a famı́lia de
todas as primitivas da função integrando)
Cálculo II

Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Uma ampla classe de funções usadas no cálculo é a classe das
funções contı́nuas. O teorema a seguir, cuja demonstração será
omitida, garante que elas são integráveis.
Teorema 2
se f for contı́nua em [a, b], então f é integrável em [a, b]
Teorema 3
se f for limitada em [a, b] e descontı́nua em apenas um número
finito de pontos de [a, b], então f será integrável em [a, b]
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Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Exercı́cios
Sejam f, g : I −→ R e K uma constante. Então:
i
R
Kf(x)dx = k
R
f(x)dx.
ii
R
(f(x) + g(x))dx =
R
f(x)dx +
R
g(x)dx
Como vimos em primitivas, é possı́vel obter integrais imediatas
a partir das derivadas de funções elementares. Veja nos
exemplos a seguir
Exemplo 4
i Sabemos que ( sen x)0 = cos x. Então
R
cos x dx = sen x + c.
ii Como − cos θ = sen θ. Então
R
sen θ dθ = − cos θ + c.
iii
R
ex dx = ex + c, pois (ex)0 = ex
iv
R
x
2
3 dx = 3
5x
5
3 + c, pois (3
5x
5
3 )0 = x
2
3
v
R 1
√
t
dt = 2
√
t + c, pois (2
√
t)0 = 1
√
t
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Integral indefinida
Integral definida
Exercı́cios
(1)
Z
du = u + c
(2)
Z
du
u
= ln |u| + c
(3)
Z
uα
du =
uα+1
α + 1
+ c (α é constante 6= 1)
(4)
Z
αu
du =
αu
ln α
+ c
(5)
Z
eu
du = eu
+ c
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Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Exercı́cios
(6)
Z
sen u du = − cos u + c
(7)
Z
cos u du = sen u du + c
(8)
Z
sec2
u du = tg u + c
(9)
R
cosec2u du = −cotgu + c
Cálculo II

Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Exercı́cios
(10)
Z
sec u · tg u du = secu + c
(11)
Z
cosec u · cotg u du = −cosec u + c
(12)
Z
du
√
1 − u2
= arcsec u + c
(13)
Z
du
1 + u2
= arc tg u + c
(14)
Z
du
u
√
u2 − 1
= arc sec u + c
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Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Exercı́cios
(15)
Z
sech2
u du = tgh u + c
(16)
Z
cosech2
u du = −cotghu + c
(17)
Z
sech u · tgh udu = − sech u + c
Cálculo II

Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Exercı́cios
(18)
Z
cosech u · cotgh u du = −cosech u + c
(19)
Z
du
√
1 + u2
= arg senh u + c = ln|u +
p
u2 + 1| + c
(20)
Z
du
√
u2 − 1
= arg cosh u + c = ln|u +
p
u2 − 1| + c
Cálculo II

Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Exercı́cios
(21)
Z
du
1 − u2
=

arg tgh u + c se |u| ≤ 1
arg cotgh u + c se |u| ≥ 1
=
1
2
ln
1 + u
1 − u
+ c
(22)
Z
du
u
√
1 − u2
= −arg sech|u| + c
(23)
Z
du
u
√
1 + u2
= −arg cosech|u| + c
Cálculo II

Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Exercı́cios
Exercı́cio 3
Nos exercı́cios 1 a 10 calcular as integrais indefinidas e em
seguida derivar as respostas para conferir os resultados
1.
Z
dx
x3
2.
Z
9t2
+
1
√
t3

dt
3.
Z
(ax + bx + 3c)dx
4.
Z
1
√
x
+
x
√
x
√
3

dx
5.
Z
(2x−3
)dx
6.
Z
dx
sen2x
7.
Z
p
2y +
1
√
2y

dy
8.
Z
2
3t2 + 3
dt
9.
Z
x3√
xdx
10.
Z
x5 + 2x2 − 1
x4
dx
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Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Teorema 4
Se f for contı́nua sobre [a, b], então f é integrável em [a, b] e se
F for uma primitiva de f no intervalo [a, b], então
Z b
a
f(x)dx = F(b) − F(a)
Quando aplicarmos este teorema, usamos a seguinte notação:
Z b
a
f(x)dx = [F(x)]b
a = F(b) − F(a)
Cálculo II

Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Exemplo 5
Calcule
R 2
1 x2 dx
Exemplo 6
Calcule
R 3
−1 4 dx
Exemplo 7
Calcule
R 2
0 (x3 + 3x − 1) dx
Exemplo 8
Calcule
R 2
1
1
x2 dx
Cálculo II

Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Exemplo 9
Calcule
R 2
1
1
x + 1
x3 dx
Exemplo 10
Calcule
R π
8
0 sin(2x) dx
Exemplo 11
Calcule
R 1
0 e−x dx
Exemplo 12
Calcule
R 2
1
1+x
x3 dx
Cálculo II

Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Definição
Definição 3
Se f(x) uma função definida no intervalo [a, b] e seja P uma
partição qualquer de [a, b]. A integral definida de f(x) de a até
b, denotada por
Z b
a
f(x)dx,
é dada por:
Z b
a
f(x)dx = lim
max∆xi →0
n
X
i=1
f(ci)∆xi,
desde que o limite do segundo membro exista.
Se
Z b
a
f(x)dx existe, dizemos que f é integrável em [a, b]
Cálculo II

Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Definição
Na notação
Z b
a
f(x)dx, os valores de a e b são chamados limites
de integração (a = limite inferior e b = limite superior) tal que
a ≤ b.
Cálculo II

Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Definição
Quando a função f é contı́nua e não negativa em [a, b], a
definição de integral definida coincide com a definição de área.
Portanto nesse caso a integral definida
Z b
a
f(x)dx
é a área da região sob o gráfico de f de a até b.
Cálculo II

Primitivas
Integral indefinida
Integral definida
Definição
Definição 4
(a) Se a b, então:
Z b
a
f(x)dx = −
Z a
b
f(x)dx
se a integral a direita existir
(b) Se a = b, então:
Z b
a
f(x)dx = 0
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