O documento apresenta conceitos básicos de cálculo como derivada, diferencial, integral indefinida e propriedades da constante de integração. Explica que a derivada mede a taxa de variação de uma função e que a integral é a operação inversa da derivada. A constante de integração surge ao se integrar indefinidamente e representa geometricamente a interseção da curva com o eixo y.

1. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
amanda@fcav.unesp.br
MATEMÁTICA II

2. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
 Considere a função 𝑓 𝑥 : ℝ → ℝ tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥). Então:
 Derivada: Mede a taxa de variação de 𝑓 em relação a variável
𝑥 que é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 𝑓.
 Notação: 𝑓′ 𝑥 , 𝑓 𝑥 ′ ou
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥
 A derivada 𝑓′
𝑎 é o coeficiente angular da reta que melhor aproxima a
função no ponto (𝑎, 𝑓 𝑎 ).
 Diferencial:
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥
= 𝑓′
𝑥 ⇒ 𝑑𝑓 𝑥 = 𝑓′
𝑥 𝑑𝑥
 Vamos usar o diferencial como na definição acima.
 O uso da diferencial permite resolver problemas envolvendo mudança de
variáveis (como regra de cadeia e integração) com facilidade.

3. CONCEITO DE INTEGRAÇÃO
 A integração é a operação que nos dá a função quando
conhecemos sua diferencial.
 Considere:
 Note que as funções acima:
Função Derivada Diferencial
𝑦 = 𝑥2 − 4 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥2
+ 1 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥2
+ 𝐶 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
 diferem entre si apenas no termo constante;
 possuem a mesma diferencial.

4. CONCEITO DE INTEGRAÇÃO
• Dada diferencial 𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥 podemos encontrar as
infinitas funções que a produziram, através da relação
inversa.
• A integral indefinida de
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
é dada por:
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥2 + 𝐶

5. CONCEITO DE INTEGRAÇÃO
 Considere:
 𝑑 a relação que leva a função à sua derivada;
 𝑑−1
a relação inversa de 𝑑.
então 𝑑−1 leva a derivada às infinitas funções correspondentes.

6. Constante de integração
(pode assumir infinitos
valores)
Integrando
INTEGRAL INDEFINIDA
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
 Sua determinação só é possível quando se fixa uma condição
inicial.
 𝐹 𝑥 + 𝐶 é a solução geral;
 𝐹 𝑥 + 10 é uma solução particular
 𝐶 = 10 é obtido pela fixação de uma condição inicial.

7. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA CONSTANTE C
Problema: Determine a equação da família de curvas sabendo-se
que o declive da tangente a ela em qualquer de seus pontos é o dobro
da abcissa do ponto considerado.
 O declive 𝑎 da tangente à curva é a derivada da função (curva)
no ponto considerado, logo:
𝑎 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 De acordo com o problema:
𝑎 = 2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
Integrando:
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥.
Assim,
𝑦 = 𝑥2 + 𝐶.

8. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA CONSTANTE C
• Uma vez que
𝑦 = 𝑥2 + 𝐶
Para 𝐶 = −4, 𝑦 = 𝑥2 − 4.
Para 𝐶 = 0, 𝑦 = 𝑥2.
Para 𝐶 = 2, 𝑦 = 𝑥2 + 2.
 Representação gráfica

9. A CONSTANTE C
 A constante 𝐶 de integração é a altura onde a curva intercepta o
eixo das ordenadas.
 Considerando o problema anterior, pede-se: Determine a
curva da família que passa pelo ponto 1, 3 .
 A equação da família de curvas é: 𝑦 = 𝑥2 + 𝐶.
 Da condição fixada, 𝑦 = 3 e 𝑥 = 1, então:
3 = 1 + 𝐶 ⇒ 𝐶 = 2.
 Portanto a curva é a parábola:
𝑦 = 𝑥2 + 2.

10. PROPRIEDADES
P1: Considere 𝑎 uma constante, assim
𝑎 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Exemplo. Determine 4𝑥 𝑑𝑥.
4𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∙ 2𝑥 𝑑𝑥 = 2 2𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥2 + 𝐶

11. PROPRIEDADES
P2: A integral da soma é igual a soma das integrais.
𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑡.
Exemplo: Determine 3𝑥2
− 4𝑥3
− 6 𝑑𝑥
3𝑥2 − 4𝑥3 − 6 𝑑𝑥 = 3𝑥2 𝑑𝑥 − 4𝑥3𝑑𝑥 − 6𝑑𝑥
= 𝑥3 + 𝐶1 + −𝑥4 + 𝐶2 + −6𝑥 + 𝐶3
= −𝑥4 + 𝑥3 − 6𝑥 + 𝐶,
sendo 𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3.

12. INTEGRAIS IMEDIATAS
1. 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶, sendo 𝑘 uma constante real
2. 𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶, 𝑛 ≠ −1
3. 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
4.
𝑑𝑥
𝑥
=
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶
4.1.
𝑢′𝑑𝑥
𝑢
=
𝑢′
𝑢
𝑑𝑥 = ln 𝑢 + 𝐶, sendo u uma função de x
5. 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎𝑥
ln 𝑎
+ C
6. 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

13. INTEGRAIS IMEDIATAS
7. sen 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
8. cos 𝑥 𝑑𝑥 = sen 𝑥 + 𝐶
9. sec2(𝑥) = tg(𝑥) + 𝐶
10. cossec2
𝑥 = − cotg 𝑥 + 𝐶
11. sec 𝑥 ∙ tg 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶
12. cossec 𝑥 ∙ cotg 𝑥 𝑑𝑥 = −cossec 𝑥 + 𝐶
13.
1
𝑥2+1
𝑑𝑥 = tg−1 𝑥 + 𝐶
14.
1
1−𝑥2
𝑑𝑥 = sen−1 𝑥 + 𝐶

14. EXERCÍCIOS
Determine:
a) 2𝑥 9
𝑑𝑥
b) 3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥
c) 8𝑥3
− 6𝑥2
+ 5𝑥 −
1
𝑥3 + 𝑥 𝑥 − 2 𝑑𝑥
d) 3 𝑥 − 2 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥
e)
2𝑥 𝑑𝑥
𝑥2+1

15. a) 2𝑥 9 𝑑𝑥
 Note que
𝑑 2𝑥
𝑑𝑥
= 2 ⇒ 𝑑 2𝑥 = 2𝑑𝑥
então
2𝑥 9 𝑑𝑥 = 2𝑥 9 𝑑𝑥
2
2
=
1
2
2𝑥 9 2𝑑𝑥
2𝑥 9 𝑑𝑥 =
1
2
2𝑥 9 𝑑 2𝑥 =
1
2
2𝑥 9+1
(9 + 1)
+ 𝐶
∴ 2𝑥 9
𝑑𝑥 =
2𝑥 10
20
+ 𝐶.
𝑑 2𝑥
SOLUÇÃO EXERCÍCIO A)

16. SOLUÇÃO EXERCÍCIO B)
b) 3𝑥 + 1 7
𝑑𝑥
 Note que
𝑑 3𝑥 + 1
𝑑𝑥
= 3 ⇒ 𝑑 3𝑥 + 1 = 3𝑑𝑥
então
3𝑥 + 1 7
𝑑𝑥 = 3𝑥 + 1 7
𝑑𝑥
3
3
3𝑥 + 1 7
𝑑𝑥 =
1
3
3𝑥 + 1 7
3𝑑𝑥
3𝑥 + 1 7
𝑑𝑥 =
1
3
3𝑥 + 1 7
𝑑 3𝑥 + 1
3𝑥 + 1 7
𝑑𝑥 =
1
3
3𝑥 + 1 8
8
+ 𝐶
∴ 3𝑥 + 1 7
𝑑𝑥 =
3𝑥 + 1 8
24
+ 𝐶.
𝑑 3𝑥 + 1

17. SOLUÇÃO EXERCÍCIO C)
c) 8𝑥3
− 6𝑥2
+ 5𝑥 −
1
𝑥3 + 𝑥 𝑥 − 2 𝑑𝑥
8𝑥3
− 6𝑥2
+ 5𝑥 −
1
𝑥3 + 𝑥 𝑥 − 2 𝑑𝑥=
= 8𝑥3
𝑑𝑥 − 6𝑥2
𝑑𝑥 + 5𝑥 𝑑𝑥 − 𝑥−3
𝑑𝑥 + 𝑥3 2
𝑑𝑥 − 2 𝑑𝑥 =
= 8 𝑥3
𝑑𝑥 − 6 𝑥2
𝑑𝑥 + 5 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑥−3
𝑑𝑥 + 𝑥3 2
𝑑𝑥 − 2 𝑑𝑥 =
= 8
𝑥3+1
3+1
− 6
𝑥2+1
2+1
+ 5
𝑥1+1
1+1
−
𝑥−3+1
−3+1
+
𝑥(3 2)+1
3
2
+1
− 2
𝑥0+1
0+1
+ 𝐶 =
= 8
𝑥4
4
− 6
𝑥3
3
+ 5
𝑥2
2
−
𝑥−2
−2
+
𝑥5 2
5
2
− 2𝑥 + 𝐶
∴ 8𝑥3
− 6
2
+ 5𝑥 −
1
𝑥3
+ 𝑥 𝑥 − 2 𝑑𝑥 = 2𝑥4
− 2𝑥3
+
5
2
𝑥2
+
1
2𝑥2
+
2𝑥2
𝑥
5
− 2𝑥 + 𝐶.

18. SOLUÇÃO EXERCÍCIO D)
d) 3 𝑥 − 2 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥
3 𝑥 − 2 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 9𝑥 − 4 𝑑𝑥
= 9𝑥 𝑑𝑥 − 4 𝑑𝑥
= 9 𝑥 𝑑𝑥 − 4 𝑑𝑥
= 9
𝑥1+1
1 + 1
− 4
𝑥0+1
0 + 1
+ 𝐶
∴ 3 𝑥 − 2 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥 =
9
2
𝑥2
− 4𝑥 + 𝐶.

19. SOLUÇÃO EXERCÍCIO E)
e)
2𝑥 𝑑𝑥
𝑥2+1
 Considere
𝑢 = 𝑥2
+ 1
logo
𝑢′
= 2𝑥
então de 4.1 temos que
∴
2𝑥 𝑑𝑥
𝑥2 + 1
= ln 𝑥2 + 1 + 𝐶 .