Medidas de Tendência Central - Resumo de Aulas

Wadiley Sousa do Nascimento
Mestre em Estatística, Matemática e Computação – Ramo Estatística
Computacional
MEDIDAS DE
TENDÊNCIA CENTRAL

ESTATÍSTICA I
Estatística Descritiva Univariada
MEDIDAS-RESUMO
– ESTATÍSTICA UNIVARIADA
Wadiley Nascimento (Mestre em Estatística) Telm.: (+239) 980 1045 / 906 0200 E-mail: wadmiguel547@yahoo.com
As informações contidas em um conjunto de dados podem ser
resumidas por meio de medidas numéricas adequadas, chamadas
medidas-resumo.
As medidas-resumo mais utilizadas em estatística descritiva
univariada têm como objetivo principal a representação do
comportamento da variável em estudo por meio de seus valores
centrais e não centrais, suas dispersões ou formas de distribuição dos
seus valores em torno da média.
Essas medidas são calculadas para variáveis métricas, ou
quantitativas.

ESTATÍSTICA I
MEDIDAS-RESUMO
– ESTATÍSTICA UNIVARIADA
A única excepção é em relação à moda, que é uma medida de
tendência central que fornece o valor mais frequente de determinada
variável, podendo assim também ser calculada para variáveis não
métricas ou qualitativas.
➢ Medidas de posição ou localização
Essas medidas fornecem valores que caracterizam o comportamento
de uma série de dados, indicando a posição ou localização dos dados
em relação ao eixo dos valores assumidos pela variável ou
característica em estudo.

ESTATÍSTICA I
Medidas de posição ou
localização
As medidas de posição ou localização são subdivididas em medidas
de tendência central (média, mediana e moda) e medidas separatrizes
(quartis, decis e percentis).
✓ Medidas de tendência central
As medidas de tendência central mais utilizadas referem-se à média
aritmética, à mediana e à moda.
♠ Média aritmética
A média aritmética pode ser a medida representativa de uma
população com 𝑁 elementos, representada pela letra grega 𝜇, ou de
uma amostra com 𝑛 elementos, representada por ҧ
𝑥.

ESTATÍSTICA I
Medidas de tendência
central
✓ Média aritmética - Simples para dados discretos e contínuos não
agrupados
A média aritmética simples, ou simplesmente média, é a soma do
total de valores de determinada variável (discreta ou contínua)
dividida pelo número total de observações.
ҧ
𝑥 =
1
𝑛
∙ ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
em que 𝑛 é o número total de observações no conjunto de dados e 𝑥𝑖,
para 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛, representa cada um dos valores da variável 𝑋.

ESTATÍSTICA I
central
✓ Média aritmética - Ponderada para dados discretos e contínuos
não agrupados
No cálculo da média aritmética simples, todas as ocorrências têm a
mesma importância ou peso.
Quando se deseja atribuir diferentes pesos (𝑝𝑖) para cada valor 𝑖 da
variável 𝑋, utiliza-se a média aritmética ponderada:

ESTATÍSTICA I
central
✓ Média aritmética - Ponderada para dados discretos e contínuos
não agrupados
ҧ
𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 ∙ 𝑝𝑖
σ𝑖=1
𝑛
𝑝𝑖
Se os pesos estiverem expressos em termos percentuais (peso relativo
- 𝑝𝑟), a expressão resume-se a:
ҧ
𝑥 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 ∙ 𝑝𝑟𝑖

ESTATÍSTICA I
central

ESTATÍSTICA I
central
✓ Média aritmética – para dados Discretos agrupados
Quando os valores discretos de 𝑥𝑖 se repetem, os dados são agrupados
em uma tabela de frequência.
Para o cálculo da média aritmética, utilizaremos o mesmo critério da
média ponderada, porém, os pesos para cada 𝑥𝑖 passam a ser
representados por frequências absolutas ( 𝐹𝑖 ) e, ao invés de 𝑛
observações com 𝑛 diferentes valores, teremos 𝑛 observações com 𝑚
diferentes valores (dados agrupados):
ҧ
𝑥 =
σ𝑖=1
𝑚
𝑥𝑖 ∙ 𝐹𝑖
σ𝑖=1
𝑚
𝐹𝑖
=
1
𝑛
∙ ෍
𝑖=1
𝑚
𝑥𝑖 ∙ 𝐹𝑖

ESTATÍSTICA I
central
Se a frequência dos dados estiver expressa em termos de percentagem
relativa à frequência absoluta (frequência relativa - 𝐹𝑟𝑖), a expressão
resume-se a:
ҧ
𝑥 = ෍
𝑖=1
𝑚
𝑥𝑖 ∙ 𝐹𝑟𝑖
✓ Média aritmética – para dados Contínuos agrupados
1. 𝑥𝑖 → Representa o ponto médio ou central da classe 𝑖 (
)
𝑖 =
1, 2, … , 𝑛
2. 𝑚 → Representa o número de classes.

ESTATÍSTICA I
central
♠ Mediana
A mediana (𝑀𝑑) é uma medida de localização do centro da
distribuição de um conjunto de dados ordenados de forma crescente.
Seu valor separa a série em duas partes iguais, de modo que 50% dos
elementos são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são
maiores ou iguais à mediana.
𝑀𝑑 =
𝑋𝑛
2
+ 𝑋𝑛
2
+1
2
, se 𝑛 for par
𝑋𝑛+1
2
, se 𝑛 for impar

ESTATÍSTICA I
central
em que 𝑛 é o número total de observações e 𝑥𝑛, 𝑥2, …, 𝑥𝑛, tal que 𝑥𝑖
é a menor observação ou o valor do primeiro elemento e 𝑥𝑛 é a maior
observação ou o valor do último elemento.

ESTATÍSTICA I
central
✓ Mediana – para dados Discretos agrupados
Analogamente, se 𝑛 for ímpar, a posição do elemento central será
𝑛+1
2
.
Podemos verificar na coluna de frequência acumulada o grupo que
contém essa posição e, consequentemente, seu valor correspondente
na primeira coluna (mediana).
Se 𝑛 for par, verifica(m)-se o(s) grupo(s) que contém as posições
centrais
𝑛
2
e
𝑛
2
+ 1 na coluna de frequência acumulada.
Se ambas as posições corresponderem ao mesmo grupo, obtém-se
diretamente seu valor correspondente na primeira coluna (mediana).

ESTATÍSTICA I
central
Se cada posição corresponder a um grupo distinto, a mediana será a
média entre os valores correspondentes definidos na primeira coluna.

ESTATÍSTICA I
central
✓ Mediana – para dados Contínuos agrupados
Passo 1: Calcular a posição da mediana, independente se n é par ou
impar, por meio da seguinte expressão:
Pos 𝑀𝑑 =
𝑛
2
Passo 2: Identificar a classe que contém a mediana (classe mediana) a
partir da coluna de frequência acumulada.
Passo 3: Calcular a mediana pela seguinte expressão:
𝑀𝑑 = 𝐿𝐼𝑛𝑓𝑀𝑑
+
𝑛
2
− 𝐹𝑎𝑐 𝑀𝑑−1
𝐹𝑀𝑑
∙ 𝐴𝑀𝑑

ESTATÍSTICA I
central
em que:
𝐿𝐼𝑛𝑓𝑀𝑑
→ limite inferior da classe mediana;
𝐹𝑀𝑑 → frequência absoluta da classe mediana;
𝐹𝑎𝑐 𝑀𝑑−1 → frequência acumulada da classe anterior à classe
mediana;
𝐴𝑀𝑑 → amplitude da classe mediana;
𝑛 → número total de observações.

ESTATÍSTICA I
central
♠ Moda
A moda (𝑀𝑜) de uma série de dados corresponde à observação que
ocorre com maior frequência. A moda é a única medida de posição
que também pode ser utilizada para variáveis qualitativas.

ESTATÍSTICA I
central
✓ Moda – para dados Discretos agrupados
Para dados qualitativos ou quantitativos discretos agrupados em uma
tabela de distribuição de frequências, o cálculo da moda pode ser
obtido directamente da tabela; é o elemento com maior frequência
absoluta.

ESTATÍSTICA I
central
✓ Moda – para dados Contínuos agrupados
Para dados contínuos agrupados em classes, existem diversos
procedimentos para o cálculo da moda, como o método de Czuber e o
método de King.
O método de Czuber consiste nas seguintes etapas:
Passo 1: Identificar a classe que contém a moda (classe modal), que é
aquela com maior frequência absoluta.
Passo 2: Calcular a moda (𝑀𝑜):

ESTATÍSTICA I
central
𝑀𝑜 = 𝐿𝐼𝑛𝑓𝑀𝑜
+
𝐹𝑀𝑜
− 𝐹𝑀𝑜−1
2 ∙ 𝐹𝑀𝑜
− 𝐹𝑀𝑜−1 + 𝐹𝑀𝑜+1
∙ 𝐴𝑀𝑜
em que:
𝐿𝐼𝑛𝑓𝑀𝑜
→ limite inferior da classe Modal;
𝐹𝑀𝑜
→ frequência absoluta da classe Modal;
𝐹𝑀𝑜−1 → frequência absoluta da classe anterior à classe Moda;
𝐹𝑀𝑜+1 → frequência absoluta da classe posterior à classe Modal;
𝐴𝑀𝑑 → amplitude da classe Modal;

ESTATÍSTICA I
central
O método de King consiste nas seguintes etapas:
Passo 1: Identificar a classe modal (com maior frequência absoluta).
Passo 2: Calcular a moda (𝑀𝑜) pela seguinte expressão:
𝑀𝑜 = 𝐿𝐼𝑛𝑓𝑀𝑜
+
𝐹𝑀𝑜+1
𝐹𝑀𝑜−1 + 𝐹𝑀𝑜+1
∙ 𝐴𝑀𝑜

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