Este documento apresenta os conceitos fundamentais de limites e continuidade de funções de uma variável real. Na primeira seção, define-se vizinhança e os conceitos de ponto interior, exterior e fronteiro de um conjunto. Posteriormente, introduzem-se as noções de conjunto aberto, fechado e compacto. As seções seguintes abordam pontos de acumulação, isolados e limites de funções segundo Cauchy e Heine. Por fim, discutem-se propriedades dos limites, limites laterais, limites infinitos e no infinito.
O documento descreve as regras de um jogo escolar realizado por duas turmas. Cada turma escolhe dois alunos para realizar provas que, se concluídas com sucesso, dão pontos à turma. A turma vencedora é aquela com mais pontos no final.
O documento apresenta um poema de Almeida Garrett intitulado "Pescador da barca bela" dividido em 5 quadras com rima emparelhada. A narrativa descreve um pescador indo pescar à noite e alerta sobre os perigos da sereia que canta bela, tentando enganá-lo. A análise formal indica que as quadras seguem o esquema rimático AAAB com heptassílabos e tetrassílabos.
As regras para a combinação de pronomes pessoais com verbos no português são:
1) Quando o verbo termina em -r, -s ou -z, o pronome é -lo, -la, -los, -las.
2) Se o verbo terminar em -m ou ditongo nasal, o pronome é -no, -na, -nos, -nas.
3) No futuro e condicional, o pronome é -lo, -la, -los, -las entre o radical e a terminação, caindo o R.
Este documento descreve o processo de purificação de compostos orgânicos sólidos chamado recristalização. A técnica envolve dissolver o composto em um solvente a temperatura elevada, quando é mais solúvel, e depois resfriar lentamente para cristalizar o composto puro, deixando as impurezas na solução. As etapas incluem escolher o solvente correto, dissolver o composto a quente, resfriar lentamente para cristalizar e filtrar para remover o composto puro dos resíduos.
O documento discute definições recorrentes, sequências, conjuntos e operações definidos por recorrência. As principais ideias são:
1) Uma definição recorrente define um item em termos de si mesmo, como a definição de fatorial;
2) Sequências e conjuntos podem ser definidos por recorrência, onde o primeiro elemento é definido explicitamente e os demais são definidos em termos dos anteriores;
3) Existem estratégias como "expandir, conjecturar e verificar" e solução geral para resolver relações de recorrência e encontrar sol
Este documento fornece um resumo sobre Portugal. Ele descreve que Portugal está localizado no sudoeste da Europa e fornece detalhes sobre sua capital, população, PIB e moeda. Ele também discute a natureza, fauna e flora de Portugal, incluindo parques nacionais, rios e espécies de animais. Finalmente, o documento aborda brevemente a economia de Portugal.
Este documento resume uma crítica de um livro da coleção "Uma Aventura". A crítica elogia os aspectos positivos do livro como desvendar o mistério da história e as ilustrações que ajudam a compreender a narrativa, mas aponta que comportamentos violentos nas histórias podem influenciar negativamente algumas crianças. No geral, o crítico acredita que os benefícios do livro superam este único aspecto negativo.
1) O documento resume vários testes de convergência para séries infinitas, incluindo o teste da divergência, o teste da comparação e o teste da comparação no limite.
2) Estes testes fornecem critérios para determinar se uma série infinita converge ou diverge baseado nas propriedades dos termos da série.
3) Os testes incluem comparar uma série com outra série conhecida, analisar o limite da razão ou raiz dos termos e verificar se a integral associada converge.
O documento descreve as regras de um jogo escolar realizado por duas turmas. Cada turma escolhe dois alunos para realizar provas que, se concluídas com sucesso, dão pontos à turma. A turma vencedora é aquela com mais pontos no final.
O documento apresenta um poema de Almeida Garrett intitulado "Pescador da barca bela" dividido em 5 quadras com rima emparelhada. A narrativa descreve um pescador indo pescar à noite e alerta sobre os perigos da sereia que canta bela, tentando enganá-lo. A análise formal indica que as quadras seguem o esquema rimático AAAB com heptassílabos e tetrassílabos.
As regras para a combinação de pronomes pessoais com verbos no português são:
1) Quando o verbo termina em -r, -s ou -z, o pronome é -lo, -la, -los, -las.
2) Se o verbo terminar em -m ou ditongo nasal, o pronome é -no, -na, -nos, -nas.
3) No futuro e condicional, o pronome é -lo, -la, -los, -las entre o radical e a terminação, caindo o R.
Este documento descreve o processo de purificação de compostos orgânicos sólidos chamado recristalização. A técnica envolve dissolver o composto em um solvente a temperatura elevada, quando é mais solúvel, e depois resfriar lentamente para cristalizar o composto puro, deixando as impurezas na solução. As etapas incluem escolher o solvente correto, dissolver o composto a quente, resfriar lentamente para cristalizar e filtrar para remover o composto puro dos resíduos.
O documento discute definições recorrentes, sequências, conjuntos e operações definidos por recorrência. As principais ideias são:
1) Uma definição recorrente define um item em termos de si mesmo, como a definição de fatorial;
2) Sequências e conjuntos podem ser definidos por recorrência, onde o primeiro elemento é definido explicitamente e os demais são definidos em termos dos anteriores;
3) Existem estratégias como "expandir, conjecturar e verificar" e solução geral para resolver relações de recorrência e encontrar sol
Este documento fornece um resumo sobre Portugal. Ele descreve que Portugal está localizado no sudoeste da Europa e fornece detalhes sobre sua capital, população, PIB e moeda. Ele também discute a natureza, fauna e flora de Portugal, incluindo parques nacionais, rios e espécies de animais. Finalmente, o documento aborda brevemente a economia de Portugal.
Este documento resume uma crítica de um livro da coleção "Uma Aventura". A crítica elogia os aspectos positivos do livro como desvendar o mistério da história e as ilustrações que ajudam a compreender a narrativa, mas aponta que comportamentos violentos nas histórias podem influenciar negativamente algumas crianças. No geral, o crítico acredita que os benefícios do livro superam este único aspecto negativo.
1) O documento resume vários testes de convergência para séries infinitas, incluindo o teste da divergência, o teste da comparação e o teste da comparação no limite.
2) Estes testes fornecem critérios para determinar se uma série infinita converge ou diverge baseado nas propriedades dos termos da série.
3) Os testes incluem comparar uma série com outra série conhecida, analisar o limite da razão ou raiz dos termos e verificar se a integral associada converge.
O documento resume a história "A Aia" de Eça de Queirós. Conta que após a morte do rei em batalha, a rainha tentou proteger o príncipe herdeiro, mas o tio ambicioso planejava matá-lo. Uma noite, a aia trocou as crianças para salvar o príncipe, sacrificando seu próprio filho. Em gratidão, a rainha ofereceu riquezas, mas a aia escolheu o suicídio.
O poema descreve um pescador em sua barca bela sendo advertido por um narrador sobre os perigos de continuar pescando tarde da noite, quando as sereias podem atraí-lo com seu canto e levá-lo a naufragar. O narrador pede ao pescador que colha a vela e fuja da barca antes que seja tarde demais.
Este livro contém 12 contos fantásticos para crianças, incluindo uma história sobre um barco feito de chocolate e uma menina que cura pesadelos com remédios caseiros. A autora, Cristina Norton, nasceu na Argentina mas vive em Portugal há mais de 30 anos e escreveu vários outros livros.
O documento discute séries de Taylor e de Maclaurin. Apresenta a fórmula para os coeficientes das séries e exemplos de como encontrar as séries de funções como exponencial, seno, cosseno e outras. Explica as condições para uma função ser igual à soma de sua série de Taylor.
Maria Alberta Meneres é uma escritora portuguesa nascida em 1930. Ela teve uma longa carreira como professora e escreveu diversos livros infantis, poesias e ensaios ao longo de 58 anos. Meneres recebeu vários prêmios literários importantes por seu trabalho.
O poema descreve o conflito dramático entre um pescador, uma sereia e uma voz que avisa o pescador sobre os perigos da sereia. Ao longo do poema, a voz suplica ao pescador para não cair na sedução da sereia, que pode levar à perda da sua barca e de si mesmo, representando os perigos da tentação na vida humana.
Este documento apresenta uma aula sobre adição e subtração de números naturais. A aula introduz os conceitos de adição e subtração, mostrando exemplos de situações que envolvem aumentar e diminuir quantidades. Vídeos e atividades são fornecidos para que os alunos pratiquem cálculos de adição e subtração e entendam melhor estas operações matemáticas básicas.
O documento discute as marcas gráficas e verbos introdutores utilizados no diálogo narrativo. As três principais marcas gráficas são dois pontos, parágrafo e travessão. Os verbos introdutores adequam a intensidade da voz e sentimentos das personagens e podem aparecer antes, durante ou depois da fala. Alguns exemplos comuns de verbos introdutores incluem dizer, perguntar, espantar-se, explicar, desejar.
O documento discute razão, proporção e suas propriedades. Define razão como a divisão entre dois números e proporção como igualdade entre duas razões. Explica que uma proporção contém quatro termos - dois extremos e dois meios - e que numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Este documento explica o que são potências e como calcular operações com potências. Potências são produtos de fatores iguais onde a base é o fator que se repete e o expoente indica quantas vezes se repete. Ao multiplicar potências com a mesma base, soma-se os expoentes, e ao multiplicar potências com o mesmo expoente, multiplica-se as bases. Ao dividir potências com a mesma base, subtrai-se os expoentes, e ao dividir potências com o mesmo expoente, divide-se as bases.
O documento descreve a epopeia renascentista "Os Lusíadas", escrita por Luís Vaz de Camões em homenagem aos feitos heroicos dos portugueses. A obra é composta por 10 cantos em estrofes de oito versos decassílabos, narrando a história de Portugal desde a Era dos Descobrimentos até a chegada de Vasco da Gama à Índia.
Este documento descreve experimentos sobre osmose e plasmólise em células vegetais. Ele explica como colocar folhas de cebola e elodea em solução salina hipertônica causa plasmólise, ou a retração da membrana celular devido à saída de água por osmose. A osmose ocorre quando a solução é hipertônica em relação ao conteúdo celular, forçando a água a sair da célula para igualar as concentrações.
O poema descreve o conflito dramático entre um pescador, uma sereia e o sujeito poético que suplica ao pescador para não ir pescar. A sereia canta com sua bela voz e tenta atrair o pescador para a morte, enquanto o sujeito poético repetidamente adverte o pescador dos perigos fatais. O poema tem cinco quadras seguindo o mesmo esquema rimático de setes silabas e quatro silabas.
O documento descreve as principais espécies florestais em Portugal, como carvalho, amendoeira e sobreiro. Detalha como as florestas fornecem matérias-primas como frutos, madeira e cortiça, e sua importância para purificar o ar, influenciar o clima e proteger o solo. Também lista atividades relacionadas como extração de resina e serragem, e produtos derivados como móveis, rolhas e papel.
Este documento fornece uma lista de 206 títulos literários para leitura autónoma no ensino secundário. A lista inclui obras de autores portugueses e estrangeiros de diferentes géneros como poesia, ficção, não ficção e banda desenhada. Os títulos estão organizados por autor e fornecem informações sobre o editor e o ISBN.
1) O documento fornece uma tabela de derivadas e integrais comuns, incluindo fórmulas para derivadas de funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas.
2) Também apresenta regras úteis como a regra da cadeia, do produto, do quociente e L'Hospital, além de fórmulas para produtos notáveis, expoentes inteiros e fracionários, logaritmos, mudança de base e arco trigonométrico.
3) Por fim, lista identidades trigonométricas fundament
Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométricaDiego Oliveira
Este documento fornece instruções passo-a-passo para resolver integrais trigonométricas por substituição, incluindo exemplos resolvidos. Explica como identificar a substituição correta, resolver a integral em termos da variável substituta, e retornar ao resultado em termos da variável original.
O documento apresenta 11 exercícios sobre probabilidade e estatística aplicada. Os exercícios envolvem distribuições como binomial, hipergeométrica, Poisson, normal e exponencial. As soluções calculam probabilidades de eventos como a ocorrência de um determinado número de resultados em uma amostragem aleatória.
1. O capítulo aborda sequências e séries numéricas, reconhecendo suas propriedades e analisando convergência.
2. As sequências estudadas incluem sequências convergentes e divergentes, limites de sequências, subseqüências e sequências limitadas.
3. Séries numéricas como séries geométricas, harmônicas e de potências também são introduzidas, analisando convergência através de critérios.
O documento lista 14 atividades a serem realizadas em sala de aula, incluindo resolução de expressões matemáticas, sistemas de equações e cálculo de valores.
O documento discute como abordar os produtos notáveis de forma não mecânica, mostrando suas aplicações geométricas através da comparação com áreas de figuras planas como quadrados e retângulos. Exemplos como a.(b+c), c.(a-b) e (a+b)2 são explicados geometricamente representando áreas de retângulos e quadrados divididos em setores.
O documento resume a história "A Aia" de Eça de Queirós. Conta que após a morte do rei em batalha, a rainha tentou proteger o príncipe herdeiro, mas o tio ambicioso planejava matá-lo. Uma noite, a aia trocou as crianças para salvar o príncipe, sacrificando seu próprio filho. Em gratidão, a rainha ofereceu riquezas, mas a aia escolheu o suicídio.
O poema descreve um pescador em sua barca bela sendo advertido por um narrador sobre os perigos de continuar pescando tarde da noite, quando as sereias podem atraí-lo com seu canto e levá-lo a naufragar. O narrador pede ao pescador que colha a vela e fuja da barca antes que seja tarde demais.
Este livro contém 12 contos fantásticos para crianças, incluindo uma história sobre um barco feito de chocolate e uma menina que cura pesadelos com remédios caseiros. A autora, Cristina Norton, nasceu na Argentina mas vive em Portugal há mais de 30 anos e escreveu vários outros livros.
O documento discute séries de Taylor e de Maclaurin. Apresenta a fórmula para os coeficientes das séries e exemplos de como encontrar as séries de funções como exponencial, seno, cosseno e outras. Explica as condições para uma função ser igual à soma de sua série de Taylor.
Maria Alberta Meneres é uma escritora portuguesa nascida em 1930. Ela teve uma longa carreira como professora e escreveu diversos livros infantis, poesias e ensaios ao longo de 58 anos. Meneres recebeu vários prêmios literários importantes por seu trabalho.
O poema descreve o conflito dramático entre um pescador, uma sereia e uma voz que avisa o pescador sobre os perigos da sereia. Ao longo do poema, a voz suplica ao pescador para não cair na sedução da sereia, que pode levar à perda da sua barca e de si mesmo, representando os perigos da tentação na vida humana.
Este documento apresenta uma aula sobre adição e subtração de números naturais. A aula introduz os conceitos de adição e subtração, mostrando exemplos de situações que envolvem aumentar e diminuir quantidades. Vídeos e atividades são fornecidos para que os alunos pratiquem cálculos de adição e subtração e entendam melhor estas operações matemáticas básicas.
O documento discute as marcas gráficas e verbos introdutores utilizados no diálogo narrativo. As três principais marcas gráficas são dois pontos, parágrafo e travessão. Os verbos introdutores adequam a intensidade da voz e sentimentos das personagens e podem aparecer antes, durante ou depois da fala. Alguns exemplos comuns de verbos introdutores incluem dizer, perguntar, espantar-se, explicar, desejar.
O documento discute razão, proporção e suas propriedades. Define razão como a divisão entre dois números e proporção como igualdade entre duas razões. Explica que uma proporção contém quatro termos - dois extremos e dois meios - e que numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Este documento explica o que são potências e como calcular operações com potências. Potências são produtos de fatores iguais onde a base é o fator que se repete e o expoente indica quantas vezes se repete. Ao multiplicar potências com a mesma base, soma-se os expoentes, e ao multiplicar potências com o mesmo expoente, multiplica-se as bases. Ao dividir potências com a mesma base, subtrai-se os expoentes, e ao dividir potências com o mesmo expoente, divide-se as bases.
O documento descreve a epopeia renascentista "Os Lusíadas", escrita por Luís Vaz de Camões em homenagem aos feitos heroicos dos portugueses. A obra é composta por 10 cantos em estrofes de oito versos decassílabos, narrando a história de Portugal desde a Era dos Descobrimentos até a chegada de Vasco da Gama à Índia.
Este documento descreve experimentos sobre osmose e plasmólise em células vegetais. Ele explica como colocar folhas de cebola e elodea em solução salina hipertônica causa plasmólise, ou a retração da membrana celular devido à saída de água por osmose. A osmose ocorre quando a solução é hipertônica em relação ao conteúdo celular, forçando a água a sair da célula para igualar as concentrações.
O poema descreve o conflito dramático entre um pescador, uma sereia e o sujeito poético que suplica ao pescador para não ir pescar. A sereia canta com sua bela voz e tenta atrair o pescador para a morte, enquanto o sujeito poético repetidamente adverte o pescador dos perigos fatais. O poema tem cinco quadras seguindo o mesmo esquema rimático de setes silabas e quatro silabas.
O documento descreve as principais espécies florestais em Portugal, como carvalho, amendoeira e sobreiro. Detalha como as florestas fornecem matérias-primas como frutos, madeira e cortiça, e sua importância para purificar o ar, influenciar o clima e proteger o solo. Também lista atividades relacionadas como extração de resina e serragem, e produtos derivados como móveis, rolhas e papel.
Este documento fornece uma lista de 206 títulos literários para leitura autónoma no ensino secundário. A lista inclui obras de autores portugueses e estrangeiros de diferentes géneros como poesia, ficção, não ficção e banda desenhada. Os títulos estão organizados por autor e fornecem informações sobre o editor e o ISBN.
1) O documento fornece uma tabela de derivadas e integrais comuns, incluindo fórmulas para derivadas de funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas.
2) Também apresenta regras úteis como a regra da cadeia, do produto, do quociente e L'Hospital, além de fórmulas para produtos notáveis, expoentes inteiros e fracionários, logaritmos, mudança de base e arco trigonométrico.
3) Por fim, lista identidades trigonométricas fundament
Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométricaDiego Oliveira
Este documento fornece instruções passo-a-passo para resolver integrais trigonométricas por substituição, incluindo exemplos resolvidos. Explica como identificar a substituição correta, resolver a integral em termos da variável substituta, e retornar ao resultado em termos da variável original.
O documento apresenta 11 exercícios sobre probabilidade e estatística aplicada. Os exercícios envolvem distribuições como binomial, hipergeométrica, Poisson, normal e exponencial. As soluções calculam probabilidades de eventos como a ocorrência de um determinado número de resultados em uma amostragem aleatória.
1. O capítulo aborda sequências e séries numéricas, reconhecendo suas propriedades e analisando convergência.
2. As sequências estudadas incluem sequências convergentes e divergentes, limites de sequências, subseqüências e sequências limitadas.
3. Séries numéricas como séries geométricas, harmônicas e de potências também são introduzidas, analisando convergência através de critérios.
O documento lista 14 atividades a serem realizadas em sala de aula, incluindo resolução de expressões matemáticas, sistemas de equações e cálculo de valores.
O documento discute como abordar os produtos notáveis de forma não mecânica, mostrando suas aplicações geométricas através da comparação com áreas de figuras planas como quadrados e retângulos. Exemplos como a.(b+c), c.(a-b) e (a+b)2 são explicados geometricamente representando áreas de retângulos e quadrados divididos em setores.
1) O documento discute produtos notáveis e fatoração.
2) São explicados o quadrado da soma e diferença de termos, a diferença e cubo de quadrados e a aplicação da propriedade distributiva.
3) Exemplos mostram como decompor volumes de cubos e áreas em fatores para aplicar fatoração.
Este documento apresenta um livro didático de Matemática Básica com 24 aulas sobre frações, números decimais, potenciação, radiciação, fatoração, equações do 1o e 2o grau, progressão aritmética e geométrica, conjuntos, funções, trigonometria e equações trigonométricas. O objetivo é fornecer um alicerce sólido de conteúdos matemáticos essenciais para os estudos de Licenciatura em Matemática.
- O documento apresenta uma apostila de matemática para concursos públicos, com resumos de diversos tópicos como álgebra, conjuntos numéricos, equações, funções, geometria, probabilidade e estatística. A apostila contém mais de 1000 questões resolvidas de matemática.
Este documento discute a importância da educação para o desenvolvimento econômico e social de um país. A educação é essencial para formar cidadãos produtivos e informados que podem impulsionar o progresso de uma nação por meio da inovação e do empreendedorismo. Investimentos contínuos em educação de qualidade são cruciais para garantir um futuro próspero.
A empresa de tecnologia anunciou um novo smartphone com câmera aprimorada, maior tela e bateria de longa duração. O dispositivo também possui processador mais rápido e armazenamento expansível. O novo modelo será lançado em outubro por um preço inicial de US$799.
O documento discute limites de funções. Apresenta a definição formal de limite e exemplos de cálculo de limites à direita, esquerda e bilateral. Também aborda limites infinitos e casos em que o limite não existe devido a limites laterais diferentes.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de cálculo diferencial, incluindo limites, continuidade e operações com funções.
2) São definidas as noções de limite à direita, esquerda e no ponto, assim como continuidade.
3) São apresentadas propriedades das funções trigonométricas e suas funções inversas.
O documento discute limites de funções reais de variável real. Apresenta a definição formal de limite, casos particulares como limites laterais e no infinito, propriedades dos limites e exemplos de cálculo de limites e resolução de indeterminações.
1) O documento descreve diferentes tipos de funções elementares, incluindo funções constantes, identidade, lineares, do primeiro grau, módulo, quadráticas e racionais.
2) As funções constantes, identidade e lineares têm domínio R, enquanto funções do primeiro grau e quadráticas mapeiam R para R.
3) A função módulo mapeia R para [0, +∞) e funções racionais têm domínio excluindo valores que tornam o denominador zero.
O documento define e explica funções polinomiais, incluindo sua forma geral, exemplos, comportamento para valores extremos de x, raízes, divisão longa de polinômios e teoremas sobre restos e fatoração.
1. O documento discute cálculo de áreas sob curvas e integral definida, apresentando fórmulas e exemplos para calcular áreas e somar retângulos de Riemann.
2. É introduzido o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais definidas, permitindo calcular integrais através de primitivas.
3. Propriedades das integrais definidas são listadas, como adição, multiplicação por constante e integração por partes.
O documento discute conceitos fundamentais sobre limites de funções, incluindo: (1) a definição formal de limite de funções, (2) a relação entre limites e sequências, (3) propriedades aritméticas dos limites e (4) limites laterais e no infinito.
1. O documento apresenta um relatório sobre cálculo de integrais.
2. Nele são definidas integral indefinida, integral definida e integração trigonométrica.
3. Exemplos resolvidos são fornecidos para cada tópico a fim de ilustrar os conceitos apresentados.
O documento apresenta exercícios sobre coordenadas cartesianas e funções. Os exercícios incluem marcar pontos no plano cartesiano, desenhar regiões definidas por fórmulas, calcular distâncias entre pontos, encontrar domínios de funções, avaliar funções em pontos específicos, verificar se funções são limitadas ou periódicas. As respostas devem conter todo o raciocínio lógico desenvolvido.
1) O documento discute limites de sequências e funções, introduzindo conceitos como limite à esquerda, direita e geral.
2) É apresentado o paradoxo de Zenão sobre a corrida de Aquiles e a tartaruga, ilustrando o conceito de limite de uma sequência.
3) Definições formais de limite são fornecidas, incluindo limites laterais e unicidade do limite. Exemplos ilustram como calcular limites.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de cálculo, como:
1) Limites, definidos como a aproximação de uma função quando sua variável independente tende a um valor;
2) Derivadas, definidas como a razão entre o incremento da função e o incremento da variável independente, representando a taxa de variação da função;
3) Continuidade, relacionada à ausência de descontinuidades no gráfico da função.
Este documento resume conceitos básicos de matemática, incluindo definições de função, conjuntos, sequências, matrizes e operações com eles. Aborda também equações e inequações envolvendo diferentes tipos de funções como linear, quadrática, exponencial e logarítmica.
... a1n ⎞
⎜ a21 a22 ... a2 n ⎟
Am x n = ⎜
⎟
...
⎜
⎟
⎝ am1 am 2 ... amn ⎠
Operações com matrizes:
Double Triple Integrals (integrais duplas e triplas)bedrock128
O documento discute cálculo vetorial aplicado, abordando conceitos como integrais duplas e triplas. Apresenta motivação histórica do cálculo de áreas sob curvas e volumes sob superfícies, introduzindo aproximações de Riemann e o cálculo exato via integrais. Explica o cálculo de volumes por integração iterada ou mudança de variáveis para coordenadas polares. Por fim, lista exercícios sobre diferentes aplicações dessas técnicas.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre limites infinitos e no infinito, teoremas do confronto e anulamento, e limites trigonométricos. Inclui 33 exercícios para calcular limites ou verificar a continuidade de funções.
2. As respostas fornecem os valores dos limites ou justificam a não existência para cada exercício, demonstrando o uso correto dos conceitos apresentados no documento.
3. Alguns exercícios pedem também a determinação de assíntotas ou verificação da extensão
O documento discute derivadas direcionais, que representam a taxa de variação de uma função em determinado ponto na direção de um vetor unitário. A derivada direcional depende do ponto e da direção do vetor e generaliza as derivadas parciais. O vetor gradiente fornece a direção de maior taxa de crescimento da função.
Este capítulo introduz o conceito de derivada de uma função. Primeiro define-se a reta tangente ao gráfico de uma função num ponto e apresenta-se a definição formal de derivada. Em seguida, define-se funções deriváveis e explica-se a interpretação geométrica da derivada como o coeficiente angular da reta tangente.
O capítulo descreve a integração dupla de funções de duas variáveis sobre retângulos. A integral dupla é definida como o limite da soma de Riemann quando a partição tende a zero. A integral dupla tem significado geométrico como o volume de um sólido limitado por um plano e a função. O teorema de Fubini relaciona a integral dupla com as integrais iteradas.
[Robson] 7. Programação Não Linear Irrestritalapodcc
O documento discute conceitos fundamentais de programação não linear, incluindo: (1) o problema geral de otimização, (2) classes de problemas de otimização dependendo das propriedades da função objetivo e do conjunto de restrições, (3) condições necessárias e suficientes de primeira e segunda ordem para otimalidade de problemas contínuos e (4) aplicação destes conceitos em problemas quadráticos.
1. O documento discute propriedades de funções como domínio, valores em pontos específicos, limites superior e inferior, monotonia e periodicidade.
2. Exemplos de funções analisadas incluem f(x) = 1/x2-x, f(x) = √9-x2 e f(x) = cos 2x.
3. As respostas fornecem desenvolvimentos lógicos completos com conclusões sobre o domínio, valores, limites e propriedades de cada função analisada.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo: (1) noção intuitiva de limites, (2) limites laterais, (3) definição formal de limite, (4) propriedades dos limites e (5) continuidade de funções.
1. C´alculo I 1
Limites e Continuidade
Ricardo Pereira
Departamento de Matem´atica
Universidade de Aveiro
Setembro de 2012
2. Vizinhan¸ca 2
Def 1.1
Sejam a ∈ R e ε ∈ R+.
Chamamos vizinhan¸ca-ε de a ou vizinhan¸ca de centro a e raio ε
ao conjunto
Vε(a) := {x ∈ R: |x − a| < ε} =]a − ε, a + ε[
Exe 1.2
Determine os conjuntos:
(a) V2(3)
(b) V1
3
(−2)
3. Ponto interior, exterior e fronteiro 3
Def 1.3
Sejam a ∈ R e S ⊂ R.
a ´e ponto interior de S se existe ε > 0 tal que Vε(a) ⊂ S
a ´e ponto exterior de S se a ´e ponto interior do
complementar de S em R
a ´e ponto fronteiro de S se a n˜ao ´e ponto interior nem ponto
exterior de S
Obs 1.4
O complementar de S em R ´e o conjunto R S
4. Interior, exterior, fronteira e fecho 4
Def 1.5
Interior de S: int(S) conjunto dos pontos interiores de S
Exterior de S: ext(S) conjunto dos pontos exteriores de S
Fronteira de S: frt(S) conjunto dos pontos fronteiros de S
Fecho de S ¯S = int(S) ∪ frt(S)
Exe 1.6
Indique int(S), ext(S), frt(S) e ¯S, sendo:
(a) S = [1, 4[ ∪ {2π, 10}
(b) S = [−1, 1] ∪ {3}
5. Conjunto aberto, fechado e compacto 5
Def 1.7
S ´e um conjunto aberto se int(S) = S
S ´e um conjunto fechado se ¯S = S
S ´e um conjunto compacto se S ´e fechado e limitado
Obs 1.8
S ⊂ R ´e limitado se existe L > 0 tal que |x| ≤ L, ∀x ∈ S
Exe 1.9
Verifique se S ´e fechado, aberto e/ou compacto, sendo:
(a) S = [1, 4[ ∪ {2π, 10} (b) S = [−1, 1] ∪ {3}
Obs 1.10
R ´e aberto e fechado; R n˜ao ´e compacto
6. Ponto de acumula¸c˜ao e ponto isolado 6
Def 1.11
a ∈ R ´e um ponto de acumula¸c˜ao de S ⊂ R se toda a
vizinhan¸ca de a cont´em um ponto de S distinto de a, isto ´e,
se,
∀ε > 0, (Vε(a) {a}) ∩ S = ∅
a ∈ S ´e um ponto isolado de S se n˜ao ´e ponto de
acumula¸c˜ao de S.
Exe 1.12
Indique os pontos de acumula¸c˜ao e os pontos isolados de:
(a) S = [1, 4[ ∪ {2π, 10}
(b) S = 1
n : n ∈ N
7. Fun¸c˜ao real de vari´avel real 7
Def 1.13
Uma fun¸c˜ao real de vari´avel real f ´e uma correspondˆencia que a
cada elemento de Df ⊂ R (dom´ınio de f ) faz corresponder um e
um s´o elemento de R. Nota¸c˜ao: f : Df → R
Obs 1.14
1 As fun¸c˜oes que consideraremos ter˜ao sempre dom´ınio em R.
Assim, os dom´ınios para elas considerados dever˜ao ser sempre
tomados como subconjuntos de R, mesmo que tal esteja
omisso.
2 Os alunos devem recapitular, de forma aut´onoma, as v´arias
defini¸c˜oes b´asicas relativas a f.r.v.r., tais como dom´ınio,
contradom´ınio, injetividade, sobrejetividade, monotonia, etc.
Recomenda-se a leitura atenta do texto“Pr´e-requisitos”e dos
apontamentos da Prof. Virg´ınia Santos, pp. 14-24, ambos
dispon´ıveis no Moodle@UA.
8. Limite segundo Cauchy 8
Def 1.15
Seja f : Df → R uma f. r. v. r.. Sejam a um ponto de acumula¸c˜ao
de Df e ∈ R. Dizemos que ´e o limite de f no ponto a ou que
f (x) tende para quando x tende para a e escrevemos
lim
x→a
f (x) =
se,
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df , 0 <| x − a |< δ ⇒| f (x) − |< ε
Caso a seja um ponto isolado de Df , por defini¸c˜ao, lim
x→a
f (x)=f (a)
Obs 1.16
Esta defini¸c˜ao traduz que f (x) est´a t˜ao pr´oximo de quanto se
queira desde que x, distinto de a, esteja suficientemente pr´oximo
de a.
9. Limite segundo Heine 9
Def 1.17
Sendo a um ponto de acumula¸c˜ao de Df , diz-se que
lim
x→a
f (x) = se para toda a sucess˜ao (xn)n∈N de elementos de Df
convergente para a, a correspondente sucess˜ao das imagens
f (xn)n∈N converge para .
Caso a seja um ponto isolado de Df , por defini¸c˜ao, lim
x→a
f (x)=f (a)
Obs 1.18
As defini¸c˜oes de limite de uma fun¸c˜ao num ponto segundo Cauchy
e segundo Heine s˜ao equivalentes
Prop 1.19
Sejam f : Df −→ R uma fun¸c˜ao e a ∈ R um ponto de acumula¸c˜ao
de Df . Se existe lim
x→a
f (x), esse limite ´e ´unico.
10. Propriedades dos limites 10
Prop 1.20
Sejam f : Df −→ R uma fun¸c˜ao, a ∈ R um ponto de acumula¸c˜ao
de Df e ∈ R. Ent˜ao, lim
x→a
f (x) = sse lim
x→a
(f (x) − ) = 0
Prop 1.21
Sejam f e g f.r.v.r. e a um ponto de acumula¸c˜ao de D = Df ∩ Dg .
Se lim
x→a
f (x) = 1 ∈ R e lim
x→a
g(x) = 2 ∈ R, ent˜ao
1 lim
x→a
(f (x) ± g(x)) = 1 ± 2
2 lim
x→a
(αf (x)) = α 1, para todo o α ∈ R
3 lim
x→a
(f (x).g(x)) = 1 2
4 Se 2 = 0 ent˜ao lim
x→a
f (x)
g(x)
=
1
2
11. Lei do enquadramento 11
Prop 1.22
Sejam f , g e h f.r.v.r. e a um ponto de acumula¸c˜ao de
D = Df ∩ Dg ∩ Dh. Se existir δ > 0 tal que
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) , para todo o x ∈ (Vδ(a) {a}) ∩ D ,
e lim
x→a
f (x) = lim
x→a
h(x) = ent˜ao lim
x→a
g(x) = .
Exe 1.23
Sabendo que, ∀x ∈ R {0}, −|x| ≤ x sen 1
x ≤ |x|, calcule
lim
x→0
sen 1
x
1
x
12. Produto de infinit´esimo por fun¸c˜ao limitada 12
Prop 1.24
Sejam f : Df → R, g : Dg → R e a um ponto de acumula¸c˜ao de
Df ∩ Dg . Se
lim
x→a
f (x) = 0 e g ´e limitada em(Vδ(a) {a}) ∩ Dg ,
para algum δ > 0 , ent˜ao
lim
x→a
f (x)g(x) = 0.
Exe 1.25
Calcule lim
x→0
x cos
1
x
13. Pontos de acumula¸c˜ao laterais 13
Def 1.26
Sejam S = ∅, S ⊂ R e a ∈ R.
a ´e ponto de acumula¸c˜ao `a esquerda de S se
]a − δ, a[∩S = ∅, qualquer que seja δ > 0 .
a ´e ponto de acumula¸c˜ao `a direita de S se
]a, a + δ[∩S = ∅, qualquer que seja δ > 0 .
Exe 1.27
Considere o conjunto
S = [1, 4[ ∪ {2π, 10}
Indique os pontos de acumula¸c˜ao `a esquerda e os pontos de
acumula¸c˜ao `a direita de S
14. Limites laterais 14
Def 1.28
Sejam f uma f.r.v.r., a um ponto de acumula¸c˜ao `a esquerda de Df
e ∈ R. Dizemos que ´e o limite de f (x) quando x tende para
a por valores inferiores a a e escrevemos
lim
x→a−
f (x) =
se ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df , a − δ < x < a ⇒| f (x) − |< ε.
Def 1.29
Sejam f uma f.r.v.r., a um ponto de acumula¸c˜ao `a direita de Df e
∈ R. Dizemos que ´e o limite de f (x) quando x tende para a
por valores superiores a a e escrevemos
lim
x→a+
f (x) =
se ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df , a < x < a + δ ⇒| f (x) − |< ε.
15. Existˆencia de limite 15
Prop 1.30
Sejam f uma f.r.v.r., a um ponto de acumula¸c˜ao `a direita de Df e
`a esquerda de Df e ∈ R. Ent˜ao
lim
x→a
f (x) = sse lim
x→a−
f (x) = = lim
x→a+
f (x).
Exe 1.31
Calcule, caso exista, lim
x→1
f (x), onde:
(a) f (x) =
x2 − 2x + 1 se x ≥ 1
1
x+1 se x < 1
(b) f (x) =
x se x < 1
3 se x = 1
1
2x−1 se x > 1
16. Limites finitos no infinito 16
Def 1.32
Sejam f : Df ⊂ R −→ R, Df tal que ]a, +∞[⊂ Df e ∈ R
lim
x→+∞
f (x) = se
∀ε > 0 ∃M > 0 ∀x ∈ Df , x > M ⇒| f (x) − |< ε
Sejam f : Df ⊂ R −→ R, Df tal que ] − ∞, a[⊂ Df e ∈ R
lim
x→−∞
f (x) = se
∀ε > 0 ∃M > 0 ∀x ∈ Df , x < −M ⇒| f (x) − |< ε
Obs 1.33
1 Estes limites, quando existem, s˜ao ´unicos.
2 As propriedades operat´orias s˜ao an´alogas `as do slide 10
17. Limites laterais infinitos 17
Def 1.34
Sejam f :Df ⊆R−→R e a um ponto de acumula¸c˜ao `a direita de Df
lim
x→a+
f (x) = +∞ se
∀L > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df , a < x < a + δ ⇒ f (x) > L
lim
x→a+
f (x) = −∞ se
∀L > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df , a < x < a + δ ⇒ f (x) < −L
Exe 1.35
Escreva as defini¸c˜oes de
lim
x→a−
f (x) = +∞ e lim
x→a−
f (x) = −∞
18. Limites infinitos 18
Def 1.36
Sejam f : Df ⊆ R −→ R e a um ponto de acumula¸c˜ao de Df .
lim
x→a
f (x) = +∞ se
∀L > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df , 0 <| x − a |< δ ⇒ f (x) > L
lim
x→a
f (x) = −∞ se
∀L > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df , 0 <| x − a |< δ ⇒ f (x) < −L
Obs 1.37
Tamb´em neste caso
lim
x→a
f (x) = +∞ sse lim
x→a−
f (x) = +∞ = lim
x→a+
f (x)
lim
x→a
f (x) = −∞ sse lim
x→a−
f (x) = −∞ = lim
x→a+
f (x)
19. Limites infinitos no infinito 19
Def 1.38
Sejam f : Df ⊆ R −→ R, Df tal que ]a, +∞[⊂ Df ,
lim
x→+∞
f (x) = +∞ se
∀L > 0 ∃M > 0 ∀x ∈ Df , x > M ⇒ f (x) > L
Sejam f : Df ⊆ R −→ R, Df tal que ] − ∞, a[⊂ Df ,
lim
x→−∞
f (x) = +∞ se
∀L > 0 ∃M > 0 ∀x ∈ Df , x < −M ⇒ f (x) > L
Exe 1.39
Escreva as defini¸c˜oes de
lim
x→+∞
f (x) = −∞ e lim
x→−∞
f (x) = −∞
21. Conven¸c˜oes: 0+
e 0−
21
Obs 1.41
Caso f : Df ⊂ R −→ R seja tal que lim
x→a
f (x) = 0 e que, para
algum δ > 0, f (x) > 0 [resp.f (x) < 0], para todo o
x ∈ (Vδ(a) {a}) ∩ Df , escrevemos lim
x→a
f (x) = 0+
[resp. lim
x→a
f (x) = 0−
].
Prop 1.42
1 Se lim
x→a
f (x) = ±∞, ent˜ao lim
x→a
1
f (x)
= 0;
2 Se lim
x→a
f (x) = 0+
, ent˜ao lim
x→a
1
f (x)
= +∞;
3 Se lim
x→a
f (x) = 0−
, ent˜ao lim
x→a
1
f (x)
= −∞.
22. Exerc´ıcios de limites 22
Exe 1.43
Calcule, caso existam, os limites seguintes:
(a) lim
x→+∞
1
x2 − 1
(b) lim
x→+∞
3x2 + 2x − 1
5x2 − x
(c) lim
x→−∞
x − 1
x3 − 2x − 1
(d) lim
x→−∞
x2 + 1
1 − x
(e) lim
x→1+
1
x2 − 1
(f) lim
x→−1
1
x2 − 1
(g) lim
x→1
√
x − 1
x − 1
(h) lim
x→2
x4 − 16
x − 2
23. Fun¸c˜ao Cont´ınua 23
Def 1.44
Sejam f : Df −→ R, a ∈ Df e ∅ = S ⊂ Df um conjunto aberto.
Dizemos que f ´e cont´ınua em a se o limite lim
x→a
f (x) existe e
´e finito e lim
x→a
f (x) = f (a).
Caso contr´ario, dizemos que f ´e descont´ınua em a.
f ´e cont´ınua em S se f ´e cont´ınua em todo o ponto de S
Exe 1.45
Seja a ∈ R e
f (x) =
x + a2 + 6 se x < 3
9 − a se x = 3
3x + a se x > 3
Para que valores de a
(a) existe lim
x→3
f (x)
(b) f ´e cont´ınua em x = 3
24. Continuidade `a direita e `a esquerda 24
Obs 1.46
1 Se S = [a, b] podemos falar em continuidade lateral:
se lim
x→a+
f (x)=f (a) diz-se que f ´e cont´ınua `a direita em a
se lim
x→b−
f (x)=f (b) diz-se que f ´e cont´ınua `a esquerda em b
2 Se S = [a, +∞[ (resp. S =] − ∞, a]) podemos falar de conti-
nuidade `a direita em a (resp. continuidade `a esquerda em a)
3 Sendo S um intervalo, dizemos que f ´e cont´ınua em S se f ´e
cont´ınua no interior de S e cont´ınua lateralmente nos
extremos de S que pertencem a S.
Exe 1.47
Estude a continuidade em x = 0 da fun¸c˜ao
f (x) =
x + 2 se x ≥ 0
−x + 1 se x < 0
25. Propriedades de fun¸c˜oes cont´ınuas 25
Prop 1.48
Sejam f e g duas fun¸c˜oes cont´ınuas num ponto a.
Ent˜ao as fun¸c˜oes f + g, αf (α ∈ R) e fg s˜ao cont´ınuas em a.
Se g(a) = 0, ent˜ao f /g ´e tamb´em uma fun¸c˜ao cont´ınua em a.
Prop 1.49
Sejam f :Df −→ R e g :Dg −→ R tais que a fun¸c˜ao composta
g ◦ f est´a definida.
Se f ´e cont´ınua em a e g ´e cont´ınua em f (a), ent˜ao g ◦ f ´e
cont´ınua em a.
26. Teorema de Bolzano 26
Teo 1.50
Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao. Se f ´e cont´ınua em [a, b] e
f (a) = f (b), ent˜ao,
para todo o y entre f (a) e f (b), existe c ∈]a, b[ tal que f (c) = y.
Cor 1.51
Seja f : [a, b] −→ R uma fun¸c˜ao cont´ınua.
Se f (a) · f (b) < 0, ent˜ao existe c ∈]a, b[ tal que f (c) = 0.
Exe 1.52
1 Considere a fun¸c˜ao f (x) = x2 + 2x. Mostre, usando o
Teorema de Bolzano, que existe c ∈ ]0, 3[ tal que f (c) = 5.
2 Mostre que, no intervalo ] − 1, 0[, a fun¸c˜ao f definida por
f (x) = −2 + 3x2 tem pelo menos um zero.
27. Teorema de Weierstrass 27
Teo 1.53
Se f : Df −→ R ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua e Df ´e um conjunto
compacto de R, ent˜ao f atinge em Df o m´aximo e o m´ınimo
globais (isto ´e, existem x1, x2 ∈ Df tais que
f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2), ∀x ∈ Df ).
Obs 1.54
Notar que um intervalo [a, b], com a < b, ´e um conjunto compacto
de R. Assim, toda a fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] tem a´ı m´aximo e
m´ınimo globais.
Exe 1.55
Seja f (x) =
x + 2 se x ≥ 0
−x + 1 se x < 0
(a) A fun¸c˜ao f tem m´ınimo global em [−1, 1] ?
(b) A al´ınea (a) contradiz o teorema de Weierstrass?
29. Derivada num ponto 29
Def 2.1
Sejam f : Df −→ R uma fun¸c˜ao e a ∈ Df um ponto interior de Df .
Chama-se derivada da fun¸c˜ao f no ponto a, e denota-se por
f (a) ou df
dx (a), ao limite
lim
h→0
f (a + h) − f (a)
h
se este limite existir, podendo ser finito, +∞ ou −∞.
Neste caso, f diz-se deriv´avel em a.
Se o limite for finito dizemos que f ´e diferenci´avel em a.
Obs 2.2
Recordar que lim
h→0
f (a + h) − f (a)
h
= lim
x→a
f (x) − f (a)
x − a
Exe 2.3
Seja f (x) = x2 + 1. Calcular, por defini¸c˜ao, f (3).
30. Interpreta¸c˜ao geom´etrica da derivada 30
Caso f (a) seja finita, f (a) ´e o declive da reta tangente ao
gr´afico de f no ponto (a, f (a)).
x
y
x−a
f (x) − f (a)
mt = f (a) = lim
x→a
f (x) − f (a)
x − a
ms = f (x)−f (a)
x−a
a x
f (x)
f (a)
s
t
Quando f (a) = +∞ ou f (a) = −∞, essa reta tangente ´e x = a.
31. Reta tangente e reta normal 31
Def 2.4
A equa¸c˜ao da reta tangente `a curva y = f (x) no ponto
(a, f (a)) ´e
y − f (a) = f (a)(x − a)
Chamamos normal `a curva y = f (x) no ponto (a, f (a)) `a
reta que passa nesse ponto e ´e perpendicular `a tangente `a
curva nesse ponto.
Exe 2.5
Determine a equa¸c˜ao da reta tangente e da normal
`a curva y = x2 + 1:
(a) no ponto (3, 10)
(b) no ponto (0, 1)
32. Derivadas Laterais 32
Def 2.6
Seja a ∈ Df um ponto de acumula¸c˜ao `a esquerda de Df .
Chama-se derivada lateral de f `a esquerda de a, e
denota-se por f−(a), ao limite
lim
h→0−
f (a + h) − f (a)
h
se este limite existir, podendo ser finito, +∞ ou −∞.
Seja a ∈ Df um ponto de acumula¸c˜ao `a direita de Df .
Chama-se derivada lateral de f `a direita de a, e denota-se
por f+(a), ao limite
lim
h→0+
f (a + h) − f (a)
h
se este limite existir, podendo ser finito, +∞ ou −∞.
33. Diferenciabilidade 33
Prop 2.7
Sejam f : Df ⊂ R → R uma fun¸c˜ao e a ∈ Df um ponto interior de
Df . Ent˜ao f ´e diferenci´avel em a sse f−(a) e f+(a) existem, s˜ao
finitas e f−(a) = f+(a).
Exe 2.8
Considere a fun¸c˜ao f definida por
f (x) =
x2 + x4 se x ≥ 0
x3 se x < 0
(a) f ´e diferenci´avel em x = 0?
(b) Qual o valor de f (0)?
34. Continuidade e diferenciabilidade 34
Prop 2.9
Sejam f : Df ⊂R→R uma fun¸c˜ao e a∈Df um ponto interior de Df
Se f ´e diferenci´avel em a, ent˜ao f ´e cont´ınua em a.
Cor 2.10
Se f n˜ao ´e cont´ınua em a, ent˜ao f n˜ao ´e diferenci´avel em a.
Exe 2.11
Verifique se as seguintes fun¸c˜oes s˜ao diferenci´aveis no ponto x = 0.
(a) f (x) =
sen 1
x se x = 0
0 se x = 0
(b) g(x) =
x se x ≥ 0
−x se x < 0
35. Regras de deriva¸c˜ao 35
Prop 2.12
Sejam f e g duas fun¸c˜oes diferenci´aveis em a. Ent˜ao
f + g ´e diferenci´avel em a e
(f + g) (a) = f (a) + g (a)
f − g ´e diferenci´avel em a e
(f − g) (a) = f (a) − g (a)
f · g ´e diferenci´avel em a e
(f · g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a)
αf , com α ∈ R, ´e diferenci´avel em a e
(αf ) (a) = αf (a)
36. Regras de deriva¸c˜ao 36
Prop 2.12 (cont.)
se g(a) = 0, ent˜ao f
g ´e diferenci´avel em a e
f
g
(a) =
f (a)g(a) − f (a)g (a)
(g(a))2
Prop 2.13
Regra da Cadeia: Sejam f : Df → R e g : Dg → R duas fun¸c˜oes
tais que g ◦ f est´a definida.
Se f ´e diferenci´avel em a e g ´e diferenci´avel em f (a), ent˜ao g ◦ f ´e
diferenci´avel em a e
(g ◦ f ) (a) = g (f (a)) · f (a)
37. Formul´ario de derivadas 37
Obs 2.14
Sejam u e v fun¸c˜oes de x, k ∈ R e a ∈ R+ {1}
• (k) = 0
• uk = kuk−1u
• (eu) = u eu
• (au) = u au ln a
• (ln u) =
u
u
• (loga u) =
u
u ln a
• (sen u) = u cos u
• (cos u) = −u sen u
• (tan u) = u
cos2 u
• (u + v) = u + v
• (uv) = u v + uv
•
u
v
=
u v − uv
v2
38. Exerc´ıcios 38
Exe 2.15
Calcule a derivada das seguintes fun¸c˜oes:
(a) f (x) = x2
ex2
(b) f (x) = (x − 1)(x2
+ 3x)
(c) f (x) =
cos x
1 − sen x
(d) f (x) = 3
(2x − 1)2
(e) f (x) = 3tg x
(f) f (x) = cos log2 x2
(g) f (x) = 1 − x2
ln x
(h) f (x) = x2
−
ln x2
x
Exe 2.16
Calcule, usando a regra da cadeia, (g ◦ f ) (1) sendo
f (x) = ex3−1 e g(x) = sen x2 .
39. Fun¸c˜ao Derivada 39
Def 2.17
Seja f : Df −→ R uma fun¸c˜ao. Seja D ⊆ Df o conjunto dos
pontos interiores de Df onde f ´e diferenci´avel.
Chamamos fun¸c˜ao derivada de f `a fun¸c˜ao:
f : D −→ R
x −→ f (x)
Exe 2.18
Caracterize a fun¸c˜ao derivada das seguintes fun¸c˜oes:
(a) f (x) = x
(b) f (x) = |x|
40. Derivadas de ordem superior 40
Def 2.19
A f tamb´em se chama fun¸c˜ao derivada de primeira ordem de f .
A partir de f podemos determinar a sua fun¸c˜ao derivada, f ,
definida nos pontos onde f ´e diferenci´avel, tal que
f (x) = (f ) (x),
f ´e a chamada fun¸c˜ao derivada de ordem dois ou fun¸c˜ao derivada
de segunda ordem de f .
Dada a fun¸c˜ao derivada de ordem n − 1 de f , f (n−1), a fun¸c˜ao
derivada de ordem n ´e a fun¸c˜ao f (n), cujo dom´ınio ´e o conjunto de
pontos onde f (n−1) ´e diferenci´avel e f (n)(x) := (f (n−1)) (x).
Exe 2.20
Seja f (x) = 1
x , cujo dom´ınio ´e R {0}. Por deriva¸c˜ao sucessiva,
intua a express˜ao anal´ıtica de f (n)(x), ∀n ∈ N.
41. M´etodo de indu¸c˜ao matem´atica 41
Obs 2.21
Para provar que a express˜ao anal´ıtica de f (n)(x) que se obteve no
exerc´ıcio 2.20 est´a correta pode-se usar um m´etodo de prova
designado por m´etodo de indu¸c˜ao matem´atica.
Def 2.22
Seja P(n) uma propriedade que depende de n ∈ N.
O m´etodo de indu¸c˜ao matem´atica ´e uma t´ecnica de demonstra¸c˜ao
que tem como objetivo: mostrar que P(n) ´e verdadeira ∀n ∈ N.
Este m´etodo consiste em dois passos:
1 Passo de base: mostrar que P(1) ´e verdadeira;
2 Passo de indu¸c˜ao (ou hereditariedade): assumindo que P(k) ´e
verdadeira, mostrar que P(k + 1) ´e verdadeira, para k ∈ N
arbitr´ario.
42. M´etodo de indu¸c˜ao matem´atica 42
Obs 2.23
1 P(k) chama-se hip´otese de indu¸c˜ao e P(k+1) tese de indu¸c˜ao
2 Este m´etodo pode generalizar-se para situa¸c˜oes onde se
pretenda mostrar que
P(n) ´e verdadeira ∀n ∈ Z, com n ≥ n0, n0 ∈ Z.
Para tal basta, no passo base tomar n0 em vez de 1 e no
passo de indu¸c˜ao considerar k inteiro e k ≥ n0.
Exe 2.24
(a) Prove que a express˜ao anal´ıtica de f (n)(x) que se obteve no
exerc´ıcio 2.20 est´a correta.
(b) Prove que a soma dos n primeiros n´umeros naturais ´e dada
por n(1+n)
2
43. Exerc´ıcios 43
Exe 2.25
1 Considere a fun¸c˜ao f (x) =
ex−1 − 1 se x < 1
sen(x − 1) se x ≥ 1
.
(a) Estude f quanto `a continuidade em x = 1.
(b) Calcule as derivadas laterais f−(1) e f+(1).
(c) A fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel em x = 1? Justifique.
2 Considere a fun¸c˜ao f definida por f (x) = x2 ln x + 11x − x2
2 .
Determine o valor de a ∈ R+ por forma a que a tangente ao
gr´afico de f no ponto de abcissa x = a tenha declive m = 11.
3 Calcule a derivada das seguintes fun¸c˜oes:
(a) f (x) = 2x2
−5
(b) f (x) = (1 + cos x)3
(c) f (x) =
ex
− 1
ex + 1
(d) f (x) = 3 sen2
x + 1
(e) f (x) = ln(ln x)
(f) f (x) = (5x)x
, com x > 0
44. C´alculo I 44
Fun¸c˜oes Inversas
Ricardo Pereira
Departamento de Matem´atica
Universidade de Aveiro
Outubro de 2012
45. Inversa de uma fun¸c˜ao 45
Def 3.1
f : Df → R ´e uma fun¸c˜ao injetiva se, para todo o ∀x1, x2 ∈ Df ,
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2
Exe 3.2
Verifique se as fun¸c˜oes f (x) = 2x − 1 e g(x) = x2 s˜ao injetivas.
Def 3.3
Seja f : Df ⊂ R → R uma fun¸c˜ao injetiva. A fun¸c˜ao
f −1 : CDf → R
y → x
onde x ´e tal que f (x) = y, ´e designada por fun¸c˜ao inversa de f .
Dizemos que uma fun¸c˜ao ´e invert´ıvel se admite inversa.
46. Consequˆencias da defini¸c˜ao de inversa 46
Obs 3.4
f ´e invert´ıvel sse f ´e injetiva
O contradom´ınio de f −1 ´e Df
∀x ∈ Df , f −1 ◦ f (x) = x
∀y ∈ CDf , f ◦ f −1 (y) = y
∀x ∈ Df , ∀y ∈ CDf , f (x) = y ⇔ x = f −1(y)
Os gr´aficos de f e f −1 s˜ao sim´etricos relativamente
`a reta y = x
Exe 3.5
Caracterize a inversa das fun¸c˜oes f (x) = 2x − 1 e g(x) = x−1
x+2.
47. Algumas propriedades das fun¸c˜oes invert´ıveis 47
Prop 3.6
Se f :Df ⊂ R → R ´e estritamente mon´otona em Df , ent˜ao
f ´e injetiva.
Prop 3.7
Se f :Df ⊂ R → R ´e estritamente crescente (resp. estritamente
decrescente) em Df , ent˜ao f −1 ´e estritamente crescente (resp.
estritamente decrescente) em CDf .
Prop 3.8
Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua e estritamente crescente
(resp. estritamente decrescente) num intervalo [a, b].
Sejam c, d ∈ R tais que f (a) = c e f (b) = d. Ent˜ao:
(i) f −1 ´e estritamente crescente em [c, d]
(resp. estritamente decrescente em [d, c]);
(ii) f −1 ´e cont´ınua.
48. Inversa da fun¸c˜ao exponencial 48
Def 3.9
Fun¸c˜ao exponencial de base e: f : R −→ R
x −→ ex
onde e ´e o n´umero de Neper, i.e., lim
n→+∞
1 + 1
n
n
= e.
Def 3.10
f ´e estritamente crescente, logo invert´ıvel. A sua inversa ´e a fun¸c˜ao
f −1 : R+ −→ R
x −→ y = ln x
onde y = ln x sse ey = x, ∀y ∈ R, ∀x ∈ R+.
Obs 3.11
ln x lˆe-se logaritmo de x ou logaritmo neperiano de x
50. Propriedades do logaritmo neperiano 50
Prop 3.12
Para todos x, y ∈ R+ e todo α ∈ R,
1 ln(xy) = ln x + ln y
2 ln(x
y ) = ln x − ln y
3 ln(xα) = α ln x
Exe 3.13
1 Prove que as propriedades anteriores s˜ao v´alidas.
2 Caracterize a inversa das fun¸c˜oes:
(a) f (x) = e1−2x
(b) f (x) = 5 ln(x−3)−1
4
51. Inversa da fun¸c˜ao exponencial de base a 51
Def 3.14
Fun¸c˜ao exponencial de base a:
(a > 0, a = 1, a = e)
g : R −→ R
x −→ ax
Def 3.15
g ´e estrit. crescente se a > 1 e estrit. decrescente se a < 1.
Portanto g ´e invert´ıvel nos dois casos. A inversa de g ´e a fun¸c˜ao
g−1 : R+ −→ R
x −→ y = loga x
onde y = loga x sse ay = x, ∀y ∈ R, ∀x ∈ R+.
Obs 3.16
loga x lˆe-se logaritmo de x na base a
52. Gr´aficos das fun¸c˜oes y = ax
e y = loga x 52
x
y
a
1
1
a
y = loga x
y = ax
y = x
Caso a > 1
x
y
a
1
1
a
y = loga x
y = ax
y = x
Caso 0 < a < 1
53. Propriedades dos logaritmos 53
Prop 3.17
Sejam x, y ∈ R+, α ∈ R e a, b ∈ R+ {1}
1 loga(xy) = loga x + loga y
2 loga(x
y ) = loga x − loga y
3 loga(xα) = α loga x
4 loga x = logb x
logb a
Exe 3.18
1 Prove que as propriedades anteriores s˜ao v´alidas.
2 Caracterize a inversa das fun¸c˜oes:
(a) f (x) = log3(2 − x)
(b) f (x) = ex
ex +1
54. Fun¸c˜ao seno 54
Def 3.19
Fun¸c˜ao seno: sen : R −→ R
x −→ sen x
Prop 3.20
Propriedades da fun¸c˜ao seno:
Dom´ınio: R
Contradom´ınio: [−1, 1]
Fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2π, isto ´e,
sen x = sen(x + 2kπ), ∀x ∈ R e k ∈ Z
Fun¸c˜ao ´ımpar
N˜ao ´e injetiva
55. Gr´afico da fun¸c˜ao seno 55
x
y
π
2
−π
2
3π
2
−3π
2
π 2π−π−2π
y = sen x
1
−1
Obs 3.21
A fun¸c˜ao seno n˜ao ´e injetiva em R.
No entanto, a sua restri¸c˜ao ao intervalo −π
2 , π
2 j´a ´e injetiva.
56. Inversa da fun¸c˜ao seno 56
Def 3.22
A restri¸c˜ao principal da fun¸c˜ao seno ´e a fun¸c˜ao
f : [−π
2 , π
2 ] −→ R
x −→ sen x
que j´a ´e injetiva.
A inversa de f ´e chamada de fun¸c˜ao arco seno,
denota-se por arcsen, e define-se do seguinte modo
arcsen : [−1, 1] −→ R
x −→ y = arcsen x
onde
y = arcsen x sse sen y = x, ∀x ∈ [−1, 1], ∀y ∈ −π
2 , π
2 .
Obs 3.23
arcsen x lˆe-se arco cujo seno ´e x
57. Gr´afico da fun¸c˜ao arco seno 57
x
y
•
1
π
2
•
−1
−π
2
y = arcsen x
Exe 3.24
Caracterize a inversa das seguintes fun¸c˜oes:
(a) f (x) = 1
2 sen x + π
2
(b) f (x) = π
2 − 2 arcsen(1−x)
3
58. Fun¸c˜ao cosseno 58
Def 3.25
Fun¸c˜ao cosseno: cos : R −→ R
x −→ cos x
Prop 3.26
Propriedades da fun¸c˜ao cosseno:
Dom´ınio: R
Contradom´ınio: [−1, 1]
Fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2π, isto ´e,
cos x = cos(x + 2kπ), ∀x ∈ R e k ∈ Z
Fun¸c˜ao par
N˜ao ´e injetiva
59. Gr´afico da fun¸c˜ao cosseno 59
x
y
π
2
−π
2
3π
2
−3π
2
π
2π
−π
−2π
y = cos x
1
−1
Obs 3.27
A fun¸c˜ao cosseno n˜ao ´e injetiva em R.
No entanto, a sua restri¸c˜ao ao intervalo [0, π] j´a ´e injetiva.
60. Inversa da fun¸c˜ao cosseno 60
Def 3.28
A restri¸c˜ao principal da fun¸c˜ao cosseno ´e a fun¸c˜ao
f : [0, π] −→ R
x −→ cos x
que j´a ´e injetiva.
A inversa de f ´e chamada de fun¸c˜ao arco cosseno,
denota-se por arccos, e define-se do seguinte modo
arccos : [−1, 1] −→ R
x −→ y = arccos x
onde
y = arccos x sse cos y = x, ∀x ∈ [−1, 1], ∀y ∈ [0, π].
Obs 3.29
arccos x lˆe-se arco cujo cosseno ´e x
61. Gr´afico da fun¸c˜ao arco cosseno 61
x
y
•
1
π
2
•
−1
π
y = arccos x
Exe 3.30
Caracterize a inversa das seguintes fun¸c˜oes:
(a) f (x) = 1
2+cos x
(b) f (x) = 2π − arccos x
2
62. Fun¸c˜ao tangente 62
Def 3.31
Fun¸c˜ao tangente: tg : D ⊂ R −→ R
x −→ tg x = sen x
cos x
Prop 3.32
Propriedades da fun¸c˜ao tangente:
Dom´ınio: {x ∈ R : x = π
2 + kπ, k ∈ Z}
Contradom´ınio: R
Fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo π, isto ´e,
tg x = tg(x + kπ), ∀x ∈ D e k ∈ Z
Fun¸c˜ao ´ımpar
N˜ao ´e injetiva
63. Gr´afico da fun¸c˜ao tangente 63
x
y
π
2
−π
2
3π
2
−3π
2
π 2π−π−2π
y = tg x
Obs 3.33
A fun¸c˜ao tangente n˜ao ´e injetiva no seu dom´ınio.
No entanto, a sua restri¸c˜ao ao intervalo −π
2 , π
2 j´a ´e injetiva.
64. Inversa da fun¸c˜ao tangente 64
Def 3.34
A restri¸c˜ao principal da fun¸c˜ao tangente ´e a fun¸c˜ao
f : −π
2 , π
2 −→ R
x −→ tg x
que j´a ´e injetiva.
A inversa de f ´e chamada de fun¸c˜ao arco tangente,
denota-se por arctg, e define-se do seguinte modo
arctg : R −→ R
x −→ y = arctg x
onde
y = arctg x sse tg y = x, ∀x ∈ R, ∀y ∈ −π
2 , π
2 .
Obs 3.35
arctg x lˆe-se arco cuja tangente ´e x
65. Gr´afico da fun¸c˜ao arco tangente 65
x
y
y = arctg x
π
2
−π
2
Exe 3.36
Caracterize a inversa das seguintes fun¸c˜oes:
(a) f (x) = tg π
2−x
(b) f (x) = π
2 − 2
3 arctg(1 − x)
66. Fun¸c˜ao cotangente 66
Def 3.37
Fun¸c˜ao cotangente: cotg : D ⊂ R −→ R
x −→ cotg x = cos x
sen x
Prop 3.38
Propriedades da fun¸c˜ao cotangente:
Dom´ınio: {x ∈ R : x = kπ, k ∈ Z}
Contradom´ınio: R
Fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo π, isto ´e,
cotg x = cotg(x + kπ), ∀x ∈ D e k ∈ Z
Fun¸c˜ao ´ımpar
N˜ao ´e injetiva
67. Gr´afico da fun¸c˜ao cotangente 67
x
y
π
2
−π
2
3π
2
−3π
2
π 2π−π−2π
y =cotg x
Obs 3.39
A fun¸c˜ao cotangente n˜ao ´e injetiva no seu dom´ınio.
No entanto, a sua restri¸c˜ao ao intervalo ]0, π[ j´a ´e injetiva.
68. Inversa da fun¸c˜ao cotangente 68
Def 3.40
A restri¸c˜ao principal da fun¸c˜ao cotangente ´e a fun¸c˜ao
f : ]0, π[ −→ R
x −→ cotg x
que j´a ´e injetiva.
A inversa de f ´e chamada de fun¸c˜ao arco cotangente,
denota-se por arccotg, e define-se do seguinte modo
arccotg : R −→ R
x −→ y = arccotg x
onde
y = arccotg x sse cotg y = x, ∀x ∈ R, ∀y ∈]0, π[.
Obs 3.41
arccotg x lˆe-se arco cuja cotangente ´e x
69. Gr´afico da fun¸c˜ao arco cotangente 69
x
y
y = arccotg x
π
π
2
Exe 3.42
Caracterize a inversa das seguintes fun¸c˜oes:
(a) f (x) = 2 cotg x
3
(b) f (x) = π + arccotg x−1
2
70. Fun¸c˜ao secante 70
Def 3.43
Fun¸c˜ao secante: sec : D ⊂ R −→ R
x −→ sec x = 1
cos x
Prop 3.44
Propriedades da fun¸c˜ao secante:
Dom´ınio: {x ∈ R : x = π
2 + kπ, k ∈ Z}
Contradom´ınio: ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[
Fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2π, isto ´e,
sec x = sec(x + 2kπ), ∀x ∈ D e k ∈ Z
Fun¸c˜ao par
N˜ao ´e injetiva
(sec x) = tg x sec x, ∀x ∈ D
71. Gr´afico da fun¸c˜ao secante 71
x
y
π
2
−π
2
3π
2
−3π
2
π
2π
−π
−2π
y = sec x
1
−1
Obs 3.45
A fun¸c˜ao secante n˜ao ´e injetiva no seu dom´ınio.
No entanto, a sua restri¸c˜ao ao intervalo 0, π
2 ∪ π
2 , π j´a ´e injetiva.
72. Inversa da fun¸c˜ao secante 72
Def 3.46
A restri¸c˜ao principal da fun¸c˜ao secante ´e a fun¸c˜ao
f : 0, π
2 ∪ π
2 , π −→ R
x −→ sec x
que j´a ´e injetiva.
A inversa de f ´e chamada de fun¸c˜ao arco secante,
denota-se por arcsec, e define-se do seguinte modo
arcsec : ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[ −→ R
x −→ y = arcsec x
onde, ∀x ∈] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[, ∀y ∈ [0, π] π
2
y = arcsec x sse sec y = x
Obs 3.47
arcsec x lˆe-se arco cuja secante ´e x
74. Fun¸c˜ao cossecante 74
Def 3.48
Fun¸c˜ao cossecante: cosec : D ⊂ R −→ R
x −→ cosec x = 1
sen x
Prop 3.49
Propriedades da fun¸c˜ao cossecante:
Dom´ınio: {x ∈ R : x = kπ, k ∈ Z}
Contradom´ınio: ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[
Fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2π, isto ´e,
cosec x = cosec(x + 2kπ), ∀x ∈ D e k ∈ Z
Fun¸c˜ao ´ımpar
N˜ao ´e injetiva
(cosec x) = − cotg x cosec x, ∀x ∈ D
75. Gr´afico da fun¸c˜ao cossecante 75
x
y
π
2
−π
2
3π
2
−3π
2
π 2π−π−2π
y = cosec x
1
−1
Obs 3.50
A fun¸c˜ao cossecante n˜ao ´e injetiva no seu dom´ınio.
No entanto, a sua restri¸c˜ao ao intervalo −π
2 , 0 ∪ 0, π
2 j´a ´e
injetiva. `A inversa dessa restri¸c˜ao chama-se fun¸c˜ao arco cossecante
Exe 3.51
Defina formalmente e esboce o gr´afico da fun¸c˜ao arco cossecante.
76. Fun¸c˜oes inversas trigonom´etricas - resumo 76
Obs 3.52
Fun¸c˜ao Dom´ınio Contradom´ınio
arcsen x [−1, 1] −π
2 , π
2
arccos x [−1, 1] [0, π]
arctg x R −π
2 , π
2
arccotg x R ]0, π[
arcsec x ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[ [0, π] π
2
arccosec x ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[ −π
2 , π
2 {0}
77. Algumas f´ormulas trigonom´etricas 77
Prop 3.53
1 sen2 x + cos2 x = 1
2 cosec2 x = 1 + cotg2 x, para x = kπ, k ∈ Z
3 sec2 x = 1 + tg2 x, para x = π
2 + kπ, k ∈ Z
4 cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y
5 cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y
6 sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y
7 sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y
8 cos(2x) = cos2 x − sen2 x
9 sen(2x) = 2 sen x cos x
10 cos2 x = 1+cos(2x)
2
11 sen2 x = 1−cos(2x)
2
78. Deriva¸c˜ao da inversa de uma fun¸c˜ao 78
Teo 3.54
Teorema da derivada da fun¸c˜ao inversa
Sejam f :[a, b] −→ R uma fun¸c˜ao estritamente mon´otona e
cont´ınua e f −1 a inversa de f . Se f ´e diferenci´avel em x0 ∈]a, b[ e
f (x0) = 0, ent˜ao f −1 ´e diferenci´avel em y0 = f (x0) e
f −1
(y0) =
1
f (x0)
.
Exe 3.55
1 Sendo f : [1, 4] → R cont´ınua e estritamente crescente tal que
f (2) = 7 e f (2) = 2
3, calcule, caso exista, (f −1) (7).
2 Sabendo que f (x) = 4x3+x+2 ´e invert´ıvel, calcule f −1 (2).
3 Seja f (x) = x3. Determine f −1 (x) utilizando o teorema da
fun¸c˜ao inversa.
79. Deriva¸c˜ao das fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas 79
Obs 3.56
Resulta do teorema da derivada da fun¸c˜ao inversa que:
1 (arcsen x) =
1
√
1 − x2
, ∀x ∈] − 1, 1[
2 (arccos x) = −
1
√
1 − x2
, ∀x ∈] − 1, 1[
3 (arctg x) =
1
1 + x2
, ∀x ∈ R
4 (arccotg x) = −
1
1 + x2
, ∀x ∈ R
Exe 3.57
Prove as f´ormulas anteriores usando o teorema da derivada da
fun¸c˜ao inversa.
80. Formul´ario de derivadas trigonom´etricas 80
Obs 3.58
Seja u uma fun¸c˜ao de x
• (sen u) = u cos u • (cosec u) = −u cotg u cosec u
• (cos u) = −u sen u • (arcsen u) = u√
1−u2
• (tan u) = u sec2 u • (arccos u) = − u√
1−u2
• (cotg u) = −u cosec2 u • (arctg u) = u
1+u2
• (sec u) = u tg u sec u • (arccotg u) = − u
1+u2
81. Exerc´ıcios 81
Exe 3.59
1 Seja f (x) = ln(arcsen x), com x ∈]0, 1[.
Calcule f −1 (x) utilizando o teorema da fun¸c˜ao inversa.
2 Calcule a derivada das seguintes fun¸c˜oes:
(a) f (x) = 1 + x2
arctg x
(b) f (x) = arcsen 1
x2
(c) f (x) = arccotg sen 4x3
(d) f (x) = 3
√
arccos x
3 Considere a fun¸c˜ao f (x) = arcsen(1 − x) +
√
2x − x2.
(a) Determine o dom´ınio de f .
(b) Mostre que f (x) = −
x
√
2x − x2
82. C´alculo I 82
Estudo anal´ıtico de fun¸c˜oes
Ricardo Pereira
Departamento de Matem´atica
Universidade de Aveiro
Outubro de 2012
83. Extremos locais de uma fun¸c˜ao 83
Def 4.1
Sejam f : Df ⊂ R −→ R e a ∈ Df .
a ´e um maximizante local de f e f (a) diz-se um m´aximo local
de f se existir δ > 0 tal que
f (a) ≥ f (x), ∀x ∈ Vδ(a) ∩ Df
a ´e um minimizante local de f e f (a) diz-se um m´ınimo local
de f se existir δ > 0 tal que
f (a) ≤ f (x), ∀x ∈ Vδ(a) ∩ Df
Aos m´aximos e m´ınimos locais chamamos extremos locais
Aos maximizantes e minimizantes locais chamamos
extremantes locais.
84. Extremos globais de uma fun¸c˜ao 84
Def 4.2
Sejam f : Df ⊂ R −→ R e a ∈ Df .
a ´e um maximizante global de f e f (a) diz-se um m´aximo
global de f se
f (a) ≥ f (x), ∀x ∈ Df
a ´e um minimizante global de f e f (a) diz-se um m´ınimo
global de f se
f (a) ≤ f (x), ∀x ∈ Df
Aos m´aximos e m´ınimos globais chamamos extremos globais
Aos maximizantes e minimizantes globais chamamos
extremantes globais.
85. Condi¸c˜ao necess´aria de existˆencia de extremo 85
Prop 4.3
Seja f :]a, b[−→ R uma fun¸c˜ao diferenci´avel em c ∈]a, b[.
Se c ´e um extremante local de f ent˜ao f (c) = 0.
Ilustra¸c˜ao gr´afica:
x
y
c1
c2
a b
y = f (x)
86. Observa¸c˜oes 86
Obs 4.4
1 O rec´ıproco da proposi¸c˜ao do slide anterior n˜ao ´e verdadeiro.
De facto, existem fun¸c˜oes com derivada nula em determinado
ponto e esse ponto n˜ao ´e extremante.
Por exemplo, f (x) = x3, no ponto x = 0.
2 Pode acontecer que a derivada de f n˜ao exista num dado
ponto x0, mas x0 ser extremante. Por exemplo:
f (x) = |x|, no ponto x0 = 0.
f (x) =
1
x2 se x = 0
0 se x = 0
, no ponto x0 = 0
Def 4.5
Seja f : Df −→ R uma fun¸c˜ao diferenci´avel em c ∈ int(Df ). Se
f (c) = 0 dizemos que c ´e ponto cr´ıtico de f .
87. Teorema de Rolle 87
Teo 4.6
Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] e diferenci´avel em ]a, b[.
Se f (a) = f (b), ent˜ao existe c ∈]a, b[ tal que f (c) = 0
Ilustra¸c˜ao Gr´afica:
x
y
c
a b
y = f (x)
88. Corol´arios do Teorema de Rolle 88
Cor 4.7
Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] e diferenci´avel em ]a, b[.
(i) Entre dois zeros de f existe pelo menos um zero de f .
(ii) Entre dois zeros consecutivos de f existe, no m´aximo, um
zero de f .
Exe 4.8
1 Mostre que se a > 0 a equa¸c˜ao x3 + ax + b = 0 n˜ao pode ter
mais que uma raiz real, qualquer que seja b ∈ R.
2 Mostre que a fun¸c˜ao definida por f (x) = sen x + x tem um
´unico zero no intervalo [−π, π].
3 Seja f (x) =
x ln x se x > 0
sen x se x ≤ 0
Mostre que ´e poss´ıvel aplicar o Teorema de Rolle a f em [0, 1]
e determine o ponto c ∈ [0, 1[ tal que f (c) = 0.
89. Teorema de Lagrange 89
Teo 4.9
Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] e diferenci´avel em ]a, b[.
Ent˜ao, existe c ∈]a, b[ tal que
f (c) =
f (b) − f (a)
b − a
.
Ilustra¸c˜ao Gr´afica:
x
y
ca
f (a)
b
f (b)
y = f (x)
90. Exerc´ıcios 90
Exe 4.10
1 Seja f (x) =
x2 sen 1
x se x < 0
0 se x = 0
π
2 − arctg 1
x se x > 0
(a) Estude f quanto `a continuidade em x = 0.
(b) Mostre que existe pelo menos um c ∈ − 2
π , 0
tal que f (c) = 2
π .
2 Seja f (x) = arcsen(ln x).
(a) Determine o dom´ınio de f .
(b) Mostre que existe pelo menos um c ∈ ]1, e[
tal que f (c) = π
2(e−1) .
3 Seja f (x) = x
x+1.
Determine, caso existam, os valores de c ∈ R para os quais a
tangente ao gr´afico de f no ponto (c, f (c)) seja paralela `a
reta que passa pelos pontos (1, f (1)) e (3, f (3)).
91. Consequˆencias do Teorema de Lagrange 91
Prop 4.11
Sejam I ⊂ R um intervalo e f : I −→ R uma fun¸c˜ao cont´ınua em I
e diferenci´avel em int(I). Ent˜ao
(i) Se f (x) = 0, ∀x ∈ int(I), ent˜ao f ´e constante em I.
(ii) Se f (x) ≥ 0, ∀x ∈ int(I), ent˜ao f ´e crescente em I.
(iii) Se f (x) ≤ 0, ∀x ∈ int(I), ent˜ao f ´e decrescente em I.
(iv) Se f (x) > 0, ∀x ∈ int(I), ent˜ao f ´e estritamente crescente
em I.
(v) Se f (x) < 0, ∀x ∈ int(I), ent˜ao f ´e estritamente decrescente
em I.
92. Cond. suficientes para a existˆencia de extremo 92
Prop 4.12
Seja f : Df −→ R uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] ⊂ Df e
diferenci´avel em ]a, b[, exceto possivelmente em c ∈]a, b[. Ent˜ao,
(i) se f (x) > 0, ∀x < c e f (x) < 0, ∀x > c,
ent˜ao f (c) ´e um m´aximo local de f .
(ii) se f (x) < 0, ∀x < c e f (x) > 0, ∀x > c,
ent˜ao f (c) ´e um m´ınimo local de f .
Prop 4.13
Seja c um ponto cr´ıtico de f num intervalo ]a , b[. Admitamos que
f ´e cont´ınua em ]a, b[ e f existe e ´e finita em todo o ponto de
]a, b[. Ent˜ao verificam-se as condi¸c˜oes seguintes:
(i) se f (c) < 0, ent˜ao f admite em c um m´aximo local.
(ii) se f (c) > 0, ent˜ao f admite em c um m´ınimo local.
93. Exerc´ıcios 93
Exe 4.14
1 Seja f (x) = ln x
x .
(a) Determine o dom´ınio de f .
(b) Estude f quanto `a monotonia e existˆencia de extremos locais.
2 Mostre que f (x) = ex
ex +1 ´e estritamente crescente em R.
3 Seja f (x) = x
x+1 + ln(x + 1).
(a) Determine o dom´ınio de f .
(b) Estude f quanto `a monotonia e existˆencia de extremos locais.
4 Seja h(x) = x + 2 sen x − 1.
(a) Mostre que h tem pelo menos um zero no intervalo ]0, π
2 [.
(b) Prove que a equa¸c˜ao x + 2 sen x − 1 = 0 tem uma ´unica
solu¸c˜ao no intervalo ]0, π
2 [.
94. Concavidades 94
Def 4.15
Seja f uma fun¸c˜ao diferenci´avel em ]a, b[.
Dizemos que o gr´afico de f tem a concavidade voltada para
cima em ]a, b[ se, para todo o c ∈]a, b[,
f (x) > f (c) + f (c)(x − c) , para todo o x ∈]a, b[{c} ,
isto ´e, o gr´afico de f est´a situado acima da tangente ao
gr´afico de f no ponto (c, f (c)).
Dizemos que o gr´afico de f tem a concavidade voltada para
baixo em ]a, b[ se, para todo o c ∈]a, b[,
f (x) < f (c) + f (c)(x − c) , para todo o x ∈]a, b[{c} ,
isto ´e, o gr´afico de f est´a situado abaixo da tangente ao
gr´afico de f no ponto (c, f (c)).
95. Concavidades (graficamente) 95
x
y
ca b
y = f (x)
y = f (c) + f (c)(x − c)
Concavidade voltada para cima
x
y
ca b
y = f (x)
y = f (c) + f (c)(x − c)
Concavidade voltada para baixo
96. Concavidades e pontos de inflex˜ao 96
Prop 4.16
Seja f uma fun¸c˜ao diferenci´avel em ]a, b[ tal que existe e ´e finita
f (x), para todo o x ∈]a, b[.
(i) Se f (x) > 0, ∀x ∈]a, b[, ent˜ao o gr´afico de f tem
concavidade voltada para cima em ]a, b[.
(ii) Se f (x) < 0, ∀x ∈]a, b[, ent˜ao o gr´afico de f tem
concavidade voltada para baixo em ]a, b[.
Def 4.17
Seja f :]a, b[−→ R uma fun¸c˜ao duas vezes diferenci´avel excepto
possivelmente em c ∈]a, b[. Dizemos que o ponto de coordenadas
(c, f (c)) ´e um ponto de inflex˜ao do gr´afico de f se f (x) muda de
sinal em x = c.
97. Exerc´ıcios 97
Exe 4.18
1 Estude o sentido das concavidades e determine, se existirem,
os pontos de inflex˜ao da fun¸c˜ao f (x) = x4 − 8x3 + 12x − 4.
2 Seja f (x) = ln(2ex − 1).
(a) Determine o dom´ınio de f .
(b) Mostre que f tem a concavidade voltada para baixo em todo o
seu dom´ınio.
98. Teorema de Cauchy 98
Teo 4.19
Sejam f e g duas fun¸c˜oes cont´ınuas em [a, b] e diferenci´aveis em
]a, b[. Se g (x) = 0, para todo o x ∈]a, b[, ent˜ao existe c ∈]a, b[
tal que
f (c)
g (c)
=
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
.
Obs 4.20
Do Teorema de Cauchy pode estabelecer-se uma regra — Regra de
Cauchy — de grande utilidade no c´alculo de limites quando
ocorrem indetermina¸c˜oes do tipo ∞
∞ ou 0
0 .
Nos cinco slides seguintes enunciam-se as v´arias formas dessa
regra.
99. Regra de Cauchy (vers˜ao 1) 99
Prop 4.21
Sejam f e g fun¸c˜oes diferenci´aveis em I =]a, b[ tais que, ∀x ∈ I,
g(x) = 0 e g (x) = 0. Se
lim
x→a+
f (x) e lim
x→a+
g(x) s˜ao ambos nulos ou ambos infinitos
e existe o limite
lim
x→a+
f (x)
g (x)
ent˜ao
lim
x→a+
f (x)
g(x)
= lim
x→a+
f (x)
g (x)
.
100. Regra de Cauchy (vers˜ao 2) 100
Prop 4.22
Sejam f e g fun¸c˜oes diferenci´aveis em I =]a, b[ tais que, ∀x ∈ I,
g(x) = 0 e g (x) = 0. Se
lim
x→b−
f (x) e lim
x→b−
g(x) s˜ao ambos nulos ou ambos infinitos
e existe o limite
lim
x→b−
f (x)
g (x)
ent˜ao
lim
x→b−
f (x)
g(x)
= lim
x→b−
f (x)
g (x)
.
101. Regra de Cauchy (vers˜ao 3) 101
Prop 4.23
Sejam I =]a, b[ e c ∈ I. Sejam f e g fun¸c˜oes definidas em I e
diferenci´aveis em I {c}, tais que g(x) = 0, ∀x ∈ I {c}.
Se g (x) = 0, ∀x ∈ I {c},
lim
x→c
f (x) e lim
x→c
g(x) s˜ao ambos nulos ou ambos infinitos
e existe o limite
lim
x→c
f (x)
g (x)
ent˜ao
lim
x→c
f (x)
g(x)
= lim
x→c
f (x)
g (x)
.
102. Regra de Cauchy (vers˜ao 4) 102
Prop 4.24
Sejam f e g fun¸c˜oes definidas em I =]a, +∞[ e diferenci´aveis em
I, com g(x) = 0, ∀x ∈ I. Se g (x) = 0, ∀x ∈ I,
lim
x→+∞
f (x) e lim
x→+∞
g(x) s˜ao ambos nulos ou ambos infinitos
e
existe lim
x→+∞
f (x)
g (x)
ent˜ao
lim
x→+∞
f (x)
g(x)
= lim
x→+∞
f (x)
g (x)
103. Regra de Cauchy (vers˜ao 5) 103
Prop 4.25
Sejam f e g fun¸c˜oes definidas em I =] − ∞, b[ e diferenci´aveis em
I, com g(x) = 0, ∀x ∈ I. Se g (x) = 0, ∀x ∈ I,
lim
x→−∞
f (x) e lim
x→−∞
g(x) s˜ao ambos nulos ou ambos infinitos
e
existe lim
x→−∞
f (x)
g (x)
ent˜ao
lim
x→−∞
f (x)
g(x)
= lim
x→−∞
f (x)
g (x)
104. Exerc´ıcios 104
Exe 4.26
1 Calcule, caso existam, os seguintes limites:
(a) lim
x→0
2 arcsen x
3x
(b) lim
x→1
1 − x
ln(2 − x)
(c) lim
x→0
x2
arctg x
(d) lim
x→+∞
ln x
x3
(e) lim
x→0−
x2
ln(−x)
(f) lim
x→−∞
xe
1
x
(g) lim
x→0
xe
1
x2
(h) lim
x→1+
(ln x)ln x
2 Mostre que existe
lim
x→+∞
x − sen x
x + sen x
,
mas n˜ao pode aplicar-se para o seu c´alculo a regra de Cauchy.
105. Assintotas 105
Def 4.27
Seja f tal que ]a, +∞[⊂ Df , para algum a ∈ R. Dizemos que
a reta de equa¸c˜ao y = mx + b ´e uma assintota ao gr´afico de f
`a direita ou quando x → +∞ se lim
x→+∞
[f (x)−(mx + b)] = 0
Seja f tal que ] − ∞, a[⊂ Df , para algum a ∈ R. Dizemos que
a reta de equa¸c˜ao y = mx + b ´e uma assintota ao gr´afico de f
`a esquerda ou quando x → −∞ se lim
x→−∞
[f (x)−(mx + b)] = 0
Quando lim
x→+∞
f (x) = b ou lim
x→−∞
f (x) = b diz-se que y = b
´e uma assintota horizontal ao gr´afico de f
A reta de equa¸c˜ao x = a diz-se uma assintota vertical ao
gr´afico de f se se verificar uma das condi¸c˜oes:
lim
x→a+
f (x) = +∞ ou lim
x→a+
f (x) = −∞ ou
lim
x→a−
f (x) = +∞ ou lim
x→a−
f (x) = −∞ .
106. Carateriza¸c˜ao das assintotas n˜ao verticais 106
Prop 4.28
Seja f tal que ]a, +∞[⊂ Df , para algum a∈R. A reta de equa¸c˜ao
y = mx + b ´e uma assintota ao gr´afico de f `a direita se e s´o se
existem e s˜ao finitos os limites lim
x→+∞
f (x)
x e lim
x→+∞
[f (x) − mx].
Nesse caso, temos
m = lim
x→+∞
f (x)
x e b = lim
x→+∞
(f (x) − mx) .
Prop 4.29
Seja f tal que ] − ∞, a[⊂ Df , para algum a∈R. A reta de equa¸c˜ao
y = mx + b ´e uma assintota ao gr´afico de f `a esquerda se e s´o se
existem e s˜ao finitos os limites lim
x→−∞
f (x)
x e lim
x→−∞
[f (x) − mx].
Nesse caso, temos
m = lim
x→−∞
f (x)
x e b = lim
x→−∞
(f (x) − mx) .
107. Exerc´ıcios 107
Exe 4.30
1 Determine o dom´ınio e, caso existam, as assintotas ao gr´afico
das seguintes fun¸c˜oes:
(a) f (x) = π
2 − arctg 1
x
(b) f (x) = x
x+1 + ln(x + 1)
(c) f (x) = x + arctg x
(d) f (x) = 1−cos(3x)
x−2
2 Considere a fun¸c˜ao f definida em R {0} por
f (x) =
ln x
x se x > 0
xe
1
x se x < 0
Determine, caso existam, as assintotas ao gr´afico de f .
108. Esbo¸co do gr´afico de uma fun¸c˜ao 108
Obs 4.31
Para esbo¸car o gr´afico de uma fun¸cao deve-se ter em conta:
o dom´ınio da fun¸c˜ao
os pontos de interse¸c˜ao com os eixos OX e OY
o sinal da fun¸c˜ao
os pontos de descontinuidade
as assintotas ao gr´afico
os intervalos de monotonia
os extremantes locais
os pontos de inflex˜ao e as concavidades.
109. Exerc´ıcios 109
Exe 4.32
Considere a fun¸cao f definida por f (x) =
x2
x2 − 1
.
(a) Determine o dom´ınio de f .
(b) Calcule os zeros de f .
(c) Determine a fun¸c˜ao derivada de f .
(d) Estude f quanto `a monotonia.
(e) Calcule, caso existam, os extremos locais de f .
(f) Estude os intervalos de concavidade de f .
(g) Determine, caso existam, as assintotas ao gr´afico de f .
(h) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao f .
110. C´alculo I 110
Integrais indefinidos
Ricardo Pereira
Departamento de Matem´atica
Universidade de Aveiro
Outubro de 2012
111. Primitiva de uma fun¸c˜ao 111
Def 5.1
Seja f : I −→ R uma fun¸c˜ao, onde I ´e um intervalo n˜ao
degenerado de R.
Chama-se primitiva ou antiderivada de f a toda a fun¸c˜ao F
diferenci´avel em I tal que, para todo o x ∈ I,
F (x) = f (x).
Se f admite uma primitiva em I dizemos que f ´e primitiv´avel em I.
Obs 5.2
Caso I = [a, b], dizer que F ´e diferenci´avel em I significa que,
para todo o x ∈]a, b[, F ´e diferenci´avel em x e que existem e
s˜ao finitas F+(a) e F−(b).
Conven¸c˜oes an´alogas para I = [a, b[ ou I =]a, b].
Toda a primitiva de uma fun¸c˜ao ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua.
112. Primitiva de uma fun¸c˜ao (cont.) 112
Exe 5.3
Indique uma primitiva das seguintes fun¸c˜oes (no intervalo indicado)
(a) f (x) = 2x, em R
(b) f (x) = ex , em R
(c) f (x) = cos x, em R
(d) f (x) = 1
x , em R+
Prop 5.4
Seja f : I → R uma fun¸c˜ao e F : I → R uma primitiva de f em I.
Ent˜ao, para cada C ∈ R, G(x) = F(x) + C ´e tamb´em uma
primitiva de f em I.
Prop 5.5
Se F : I → R e G : I → R s˜ao duas primitivas de f : I → R, ent˜ao
existe C ∈ R tal que F(x) − G(x) = C, para todo o x ∈ I.
113. Integral Indefinido 113
Def 5.6
`A fam´ılia de todas as primitivas de uma fun¸c˜ao f chamamos
integral indefinido de f . Denota-se esse conjunto de fun¸c˜oes por
f (x) dx
A f chamamos fun¸c˜ao integranda e a x vari´avel de integra¸c˜ao
Obs 5.7
Atendendo `a segunda proposi¸c˜ao do slide anterior,
se F for uma primitiva de f , ent˜ao
f (x) dx = F(x) + C, C ∈ R
114. Alguns Integrais Indefinidos Imediatos 114
Obs 5.8
1 xp
dx =
xp+1
p + 1
+ C , C ∈ R, p ∈ R {−1}
2
1
x
dx = ln | x | +C , C ∈ R (onde x ∈ R+
ou x ∈ R−
)
3 ex
dx = ex
+ C , C ∈ R
4 ax
dx =
ax
ln a
+ C , C ∈ R, a ∈ R+
{1}
5 sen x dx = − cos x + C , C ∈ R
6 cos x dx = sen x + C , C ∈ R
115. Alguns Integrais Indefinidos Imediatos (cont.) 115
Obs 5.8 (cont.)
7 sec2
x dx = tg x + C , C ∈ R
8 cosec2
x dx = − cotg x + C , C ∈ R
9
1
√
1 − x2
dx = arcsen x + C , C ∈ R
10
1
1 + x2
dx = arctg x + C , C ∈ R
11 sec x tg x dx = sec x + C , C ∈ R
12 cosec x cotg x dx = − cosec x + C , C ∈ R
116. Exerc´ıcios 116
Prop 5.9
Sejam f e g fun¸c˜oes definidas em I e α, β ∈ R n˜ao
simultaneamente nulos.
Se f e g s˜ao primitiv´aveis em I, ent˜ao αf +βg ´e primitiv´avel em I e
(αf (x) + βg(x)) dx = α f (x) dx + β g(x) dx .
Exe 5.10
Calcule:
(a) (2x
− 3 sen x) dx
(b) (x + 3)x2
dx
(c)
x + 3
x2
dx
(d)
5
√
x3 dx
117. F´ormula para a Primitiva¸c˜ao Imediata 117
Prop 5.11
Sejam I e J dois intervalos de n´umeros reais, f : I → R uma
fun¸c˜ao primitiv´avel e g : J → R uma fun¸c˜ao tal que a composta
f ◦ g est´a definida.
Se g ´e diferenci´avel em J, ent˜ao (f ◦ g)g ´e primitiv´avel e tem-se
f (g(x))g (x) dx = F(g(x)) + C , C ∈ R ,
onde F ´e uma primitiva de f .
Exemplo de aplica¸c˜ao
2x cos(x2
) dx = sen(x2
) + C , C ∈ R
118. Lista de Integrais Indefinidos Imediatos 118
Obs 5.12
(Esta lista generaliza os slides 145 e 115, e ´e uma consequˆencia da Prop 5.11)
Seja u uma fun¸c˜ao de x
1 u up
dx =
up+1
p + 1
+ C , C ∈ R, p ∈ R {−1}
2
u
u
dx = ln |u| + C , C ∈ R
3 u eu
dx = eu
+ C , C ∈ R
4 u au
dx =
au
ln a
+ C , C ∈ R, a ∈ R+
{1}
5 u sen u dx = − cos u + C , C ∈ R
6 u cos u dx = sen u + C , C ∈ R
119. Lista de Integrais Indefinidos Imediatos (cont.) 119
Obs 5.12 (cont.)
7 u sec2
u dx = tg u + C , C ∈ R
8 u cosec2
u dx = − cotg u + C , C ∈ R
9
u
√
1 − u2
dx = arcsen u + C , C ∈ R
10
u
1 + u2
dx = arctg u + C , C ∈ R
11 u sec u tg u dx = sec u + C , C ∈ R
12 u cosec u cotg u dx = − cosec u + C , C ∈ R
120. Exerc´ıcios 120
Exe 5.13
Calcule os seguintes integrais indefinidos:
(a)
x4
1 + x5
dx
(b) sen(
√
2x) dx
(c) x7x2
dx
(d) tg x dx
(e)
ln x
x
dx
(f)
5
x ln3
x
dx
(g)
1
x ln x
dx
(h)
1
x2 + 9
dx
(i) sen x cos5
x dx
(j) etg x
sec2
x dx
(k)
3x
√
1 − x4
dx
(l)
x3
√
1 − x4
dx
121. Exerc´ıcios (cont.) 121
Exe 5.14
1 Determine a fun¸c˜ao f : R → R tal que
f (x) =
2ex
3 + ex
e f (0) = ln 4
2 Sabendo que a fun¸c˜ao f satisfaz a igualdade
f (x) dx = sen x − x cos x −
1
2
x2
+ c, c ∈ R,
determinar f π
4 .
3 Determine a primitiva da fun¸c˜ao f (x) =
1
x2
+ 1 que se anula
no ponto x = 2.
122. Primitiva¸c˜ao por Partes 122
Prop 5.15
Sejam u e v fun¸c˜oes de x diferenci´aveis em I. Ent˜ao
u v dx = uv − uv dx
Exemplo de aplica¸c˜ao
x
u
ln x
v
dx =
x2
2
ln x −
x2
2
1
x
dx
=
x2
2
ln x −
x
2
dx
=
x2
2
ln x −
x2
4
+ C , C ∈ R .
123. Observa¸c˜oes sobre a Primitiva¸c˜ao por Partes 123
Obs 5.16
Esta f´ormula ´e ´util sempre que a fun¸c˜ao integranda se pode
escrever como o produto de duas fun¸c˜oes e, al´em disso, ´e
conhecida uma primitiva de pelo menos uma delas.
Sabendo primitivar apenas uma das fun¸c˜oes, escolhe-se essa
para primitivar e deriva-se a outra fun¸c˜ao.
Quando conhecemos uma primitiva de cada uma das fun¸c˜oes,
devemos escolher para derivar a fun¸c˜ao que mais se simplifica
por deriva¸c˜ao. Por vezes essa escolha ´e indiferente.
Por vezes ´e necess´ario efetuar v´arias aplica¸c˜oes sucessivas da
f´ormula de integra¸c˜ao por partes.
Por vezes obt´em-se novamente o integral que se pretende
determinar. Nesses casos, interpreta-se a igualdade obtida
como uma equa¸c˜ao em que a inc´ognita ´e integral que se
pretende determinar.
124. Exerc´ıcios 124
Exe 5.17
Calcule, usando a t´ecnica de integra¸c˜ao por partes, os seguintes
integrais indefinidos:
(a) x cos x dx
(b) e−3x
(2x + 3) dx
(c) arctg x dx
(d) x3
ln x dx
(e) x3
ex2
dx
(f) e2x
sen x dx
(g) sen(ln x) dx
(h) ln2
x dx
125. Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes trigonom´etricas 125
Obs 5.18
1 Potˆencias ´ımpares de sen x ou cos x
Destaca-se uma unidade `a potˆencia ´ımpar e o fator resultante
passa-se para a co-fun¸c˜ao usando sen2 x + cos2 x = 1.
2 Potˆencias pares de sen x ou cos x
Passam-se para o arco duplo atrav´es das f´ormulas
cos2 x = 1+cos(2x)
2 ou sen2 x = 1−cos(2x)
2
3 Produtos onde existem fatores tipo sen (mx) ou cos (nx)
Aplicam-se as f´ormulas
• sen x sen y = 1
2 cos(x − y) − cos(x + y)
• cos x cos y = 1
2 cos(x + y) + cos(x − y)
• sen x cos y = 1
2 sen(x + y) + sen(x − y)
126. Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes trigonom´etricas 126
Obs 5.18 (cont.)
4 Potˆencias pares e ´ımpares de tan x ou cotg x
Destaca-se tan2 x ou cotg2 x e aplicam-se as f´ormulas
tan2 x = sec2 x − 1 ou cotg2 x = cosec2 x − 1
5 Potˆencias pares de sec x ou cosec x
Destaca-se sec2 x ou cosec2 x e ao fator resultante aplicam-se
as f´ormulas
sec2 x = 1 + tan2 x ou cosec2 x = 1 + cotg2 x
6 Potˆencias ´ımpares de sec x ou cosec x
Destaca-se sec2 x ou cosec2 x e primitiva-se por partes
escolhendo esse fator para primitivar.
127. Exerc´ıcios 127
Exe 5.19
Calcule os seguintes integrais indefinidos:
(a) cos2
x dx
(b) sen3
x dx
(c) tan6
x dx
(d) sen4
x dx
(e) sec3
x dx
(f) sen x cos2
x dx
(g) sen5
x cos2
x dx
(h) cos x cos(5x) dx
(i) sen(3x) cos(4x) dx
(j) sen(2x) sen(−3x) dx
128. Primitiva¸c˜ao por Substitui¸c˜ao 128
Prop 5.20
Sejam I e J intervalos de R, f : I −→ R uma fun¸c˜ao primitiv´avel e
ϕ : J −→ R uma fun¸c˜ao diferenci´avel e invert´ıvel tal que ϕ(J) ⊂ I.
Ent˜ao a fun¸c˜ao (f ◦ ϕ)ϕ ´e primitiv´avel e, sendo H uma primitiva
de (f ◦ ϕ)ϕ , tem-se que H ◦ ϕ−1 ´e uma primitiva de f .
Obs 5.21
Na pr´atica, quando calculamos uma primitiva recorrendo `a
Proposi¸c˜ao anterior, usando a mudan¸ca de vari´avel x = ϕ(t),
escrevemos, por abuso de linguagem,
f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ (t) dt = H(ϕ−1
(x)) + C , C ∈ R .
129. Exemplo 129
Exemplo de aplica¸c˜ao da t´ecnica de primitiva¸c˜ao por substitui¸c˜ao
1
1 +
√
2x
dx
Substitui¸c˜ao de vari´avel:
√
2x = t, donde resulta x = t2
2 , t ≥ 0.
ϕ(t) = t2
2 ´e diferenci´avel e invert´ıvel em R+
0 e ϕ (t) = t. Assim
1
1 +
√
2x
dx =
t
1 + t
dt
= 1 −
1
1 + t
dt
= t − ln |1 + t| + C , C ∈ R
=
√
2x − ln(1 +
√
2x) + C , C ∈ R .
130. Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes envolvendo radicais 130
Obs 5.22
As substitui¸c˜oes trigonom´etricas dadas na seguinte tabela
permitem transformar a primitiva¸c˜ao de uma fun¸c˜ao que envolve
radicais na primitiva¸c˜ao de uma fun¸c˜ao trigonom´etrica.
fun¸c˜ao com o radical substitui¸c˜ao
√
a2 − b2x2, a, b > 0 x = a
b sen t, com t ∈] − π
2 , π
2 [
√
a2 + b2x2, a, b > 0 x = a
b tan t, com t ∈] − π
2 , π
2 [
√
b2x2 − a2, a, b > 0 x = a
b sec t, com t ∈]0, π
2 [
131. Exerc´ıcios 131
Exe 5.23
Calcule, usando a t´ecnica de integra¸c˜ao por substitui¸c˜ao, os
seguintes integrais indefinidos:
(a) x2
√
1 − x dx
(b) x(2x + 5)10
dx
(c)
1
√
ex − 1
dx
(d)
√
x
1 + 3
√
x
dx
(e) x2
4 − x2 dx
(f)
1
x2
√
x2 − 7
dx
(g)
1
x
√
x2 + 4
dx
(h)
1
x2
√
9 − x2
dx
132. Primitiva¸c˜ao de Fun¸c˜oes Racionais 132
Def 5.24
Uma fun¸c˜ao cuja express˜ao anal´ıtica admite a forma
N(x)
D(x)
onde N e D s˜ao polin´omios em x com coeficientes reais e D ´e n˜ao
nulo, diz-se uma fun¸c˜ao racional.
Caso grau(N) < grau(D) dizemos que N(x)
D(x) ´e uma fra¸c˜ao pr´opria.
Prop 5.25
Se grau(N) ≥ grau(D), ent˜ao existem polin´omios Q e R tais que
N(x) = D(x)Q(x) + R(x),
com grau(R) < grau(D).
A Q e R chamamos quociente e resto da divis˜ao de N por D,
respetivamente.
133. Primitiva¸c˜ao de Fun¸c˜oes Racionais (cont.) 133
Obs 5.26
Assim, caso grau(N) ≥ grau(D),
N(x)
D(x)
= Q(x) +
R(x)
D(x)
polin´omio fra¸c˜ao pr´opria
Como
N(x)
D(x)
dx = Q(x) dx +
R(x)
D(x)
dx ,
e a primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes polinomiais ´e imediata, a primitiva¸c˜ao
de fun¸c˜oes racionais reduz-se `a primitiva¸c˜ao de fra¸c˜oes pr´oprias,
que por sua vez se pode reduzir `a primitiva¸c˜ao de fra¸c˜oes simples.
134. Fra¸c˜oes simples 134
Def 5.27
Chamamos fra¸c˜ao simples a toda a fra¸c˜ao do tipo
A
(x − α)p
ou
Bx + C
(x2 + βx + γ)q
,
onde p, q ∈ N, A ∈ R {0}, B, C ∈ R n˜ao simultaneamente nulos
e α, β, γ ∈ R s˜ao tais que β2 − 4γ < 0.
Exemplos de fra¸c˜oes simples
2
x − 1
,
1
x2
,
x − 2
x2 + x + 1
,
1
(x2 + x + 2)3
Prop 5.28
Toda a fra¸c˜ao pr´opria pode ser decomposta numa soma de fra¸c˜oes
simples.
135. Decompor fra¸c˜oes pr´oprias em fra¸c˜oes simples 135
Obs 5.29
Fra¸c˜ao a decompor:
R(x)
D(x)
, com grau(R) < grau(D)
Procedimento
1 Decompor D(x) em fatores irredut´ıveis:
D(x)=a(x−α1)p1. . .(x−αn)pn (x2+β1x+γ1)q1. . .(x2+βmx+γm)qm
onde a ∈ R {0}, pi , qj ∈ N, αi , βj , γj ∈ R, com βj − 4γj < 0,
para i = 1, . . . , n e j = 1, . . . , m.
2 Fazer corresponder a cada factor de D(x) uma determinada
fra¸c˜ao simples de acordo com o seguinte:
(i) Ao fator de D(x) do tipo (x − α)r
(r ∈ N) corresponde
A1
x − α
+
A2
(x − α)2
+ · · · +
Ar
(x − α)r
onde A1, . . . , Ar s˜ao constantes reais a determinar.
136. Decompor fra¸c˜oes pr´oprias em fra¸c˜oes simples 136
Procedimento (cont.)
(ii) Ao fator de D(x) do tipo
(x2
+ βx + γ)s
, com β2
− 4γ < 0 e s ∈ N
corresponde
B1x + C1
x2 + βx + γ
+
B2x + C2
(x2 + βx + γ)2
+ · · · +
Bsx + Cs
(x2 + βx + γ)s
onde Bi , Ci s˜ao constantes reais a determinar, i = 1, . . . , s.
3 Escrever R(x)
D(x) como soma dos elementos simples identificados
no ponto anterior e determinar as constantes que neles
ocorrem, usando o m´etodo dos coeficientes indeterminados.
137. Primitiva¸c˜ao de Fra¸c˜oes Simples 137
Primitiva¸c˜ao de Fra¸c˜oes Simples
1 Fra¸c˜ao do tipo:
A
(x − α)r
Se r = 1,
A
x − α
dx = A ln |x − α| + C, C ∈ R
Se r = 1,
A
(x − α)r
dx =
A(x − α)−r+1
−r + 1
+ C, C ∈ R
2 Fra¸c˜ao do tipo:
Bx + C
(x2 + βx + γ)s
Reduz-se `a primitiva¸c˜ao de fra¸c˜oes do tipo (i) ou (ii):
(i)
t
(1 + t2)s
(ii)
1
(1 + t2)s
138. Primitiva¸c˜ao de Fra¸c˜oes Simples 138
Primitiva¸c˜ao das fra¸c˜oes do tipo (i) e (ii) do slide anterior
(i) Fra¸c˜ao do tipo:
t
(1 + t2)s
Se s = 1,
t
1 + t2
dt =
1
2
ln |1 + t2
| + C, C ∈ R
Se s = 1,
t
(1 + t2)s
dt =
(1 + t2)−s+1
2(−s + 1)
+ C, C ∈ R
(ii) Fra¸c˜ao do tipo:
1
(1 + t2)s
Se s = 1,
1
1 + t2
dt = arctg t + C, C ∈ R
Se s = 1, aplica-se o m´etodo de primitiva¸c˜ao por partes
recursivamente, partindo de
1
1 + t2
dt.
140. C´alculo I 140
Integral definido
Ricardo Pereira
Departamento de Matem´atica
Universidade de Aveiro
Novembro de 2012
141. Motiva¸c˜ao `a defini¸c˜ao de Integral de Riemann 141
Quest˜ao:
Como calcular a ´area delimitada pelo gr´afico de f , pelas retas
x = a, x = b e y = 0 ?
y = f (x)
A
ba
142. ´Area calculada por defeito 142
y y = f (x)
x0 = a b = x6
x1 x2 x3 x4 x5
Am =
6
i=1
mi (xi − xi−1)
mi =min {f (x): x ∈ [xi−1, xi ]}
m1
m2
m5
m6
m3
m4
143. ´Area calculada por excesso 143
y
y = f (x)
x0 = a b = x6
x1 x2 x3 x4 x5
AM =
6
i=1
Mi (xi − xi−1)
Mi =max {f (x): x ∈ [xi−1, xi ]}
M6
M1
M2
M3
M5
M4
144. Outra aproxima¸c˜ao para o valor da ´area 144
x
y
y = f (x)
x0 = a b = x6
x1 x2 x3 x4 x5
A∗
=
6
i=1
f (x∗
i )(xi − xi−1)
Notar que:
Am ≤ A∗
≤ AM
x∗
1
x∗
2 x∗
3 x∗
4 x∗
5 x∗
6
f (x∗
1 )
f (x∗
3 )
f (x∗
4 )
f (x∗
5 )
f (x∗
6 )
f (x∗
2 )
145. Parti¸c˜ao de um intervalo 145
Def 6.1
Chama-se parti¸c˜ao de [a, b] a todo o subconjunto finito
de [a, b]
P = {x0, x1, . . . , xn}
tal que a ≡ x0 < x1 < · · · < xn ≡ b.
Chama-se diˆametro de P, e denota-se por ∆P, `a maior das
amplitudes dos intervalos [xi−1, xi ], i = 1, 2, . . . , n, isto ´e
∆P = max {xi − xi−1 : i = 1, 2, . . . , n} .
Chama-se sele¸c˜ao de P a todo o conjunto
C = {x∗
1 , x∗
2 , . . . , x∗
n }
tal que x∗
1 ∈ [x0, x1], x∗
2 ∈ [x1, x2], . . . , x∗
n ∈ [xn−1, xn].
146. Soma de Riemann 146
Def 6.2
Sejam f : [a, b] → R, P = {x0, x1, . . . , xn} uma parti¸c˜ao de [a, b] e
C = {x∗
1 , x∗
2 , . . . , x∗
n } uma sua sele¸c˜ao. Chama-se soma de Riemann
de f associada `a parti¸c˜ao P e sele¸c˜ao C `a seguinte soma,
Sf (P, C) :=
n
i=1
f (x∗
i )(xi − xi−1) .
Obs 6.3
Nos slides anteriores, as somas Am, AM e A∗ s˜ao somas de
Riemann de f para uma mesma parti¸c˜ao de [a, b] em 6
sub-intervalos, para trˆes sele¸c˜oes diferentes.
147. Integral de Riemann 147
Def 6.4
Sejam f : [a, b] → R e I ∈ R. Diz-se que I ´e o integral de Riemann
(ou integral definido) de f em [a, b] (ou de a para b) se
para todo o > 0 existe δ > 0 tal que, para toda a parti¸c˜ao P de
[a, b], tal que ∆P < δ, se tem
|Sf (P, C) − I| <
para toda a sele¸c˜ao C de P.
Caso exista I, nas condi¸c˜oes anteriores, diz-se que f ´e integr´avel
em [a, b] e escreve-se
I =
b
a
f (x) dx .
148. Nomenclatura 148
b
a
f (x) dx
limite superior de integra¸c˜ao
limite inferior de integra¸c˜ao
vari´avel de integra¸c˜ao
fun¸c˜ao integranda
Obs 6.5
A vari´avel de integra¸c˜ao ´e uma vari´avel muda, i.e., podemos
escrever
b
a f (x) dx =
b
a f (t) dt =
b
a f (u) du, por exemplo.
Na defini¸c˜ao de integral de Riemann considerou-se a < b.
Caso a = b,
b
a f (x) dx = 0 ;
Caso a > b,
b
a f (x) dx = −
a
b f (x) dx .
149. Integral de Riemann - caracteriza¸c˜ao 149
Prop 6.6
Sejam f : [a, b] → R e I um n´umero real.
Ent˜ao I ´e o integral de Riemann de f de a para b se e s´o se, para
toda a sucess˜ao (Pn)n∈N de parti¸c˜oes do intervalo [a, b] tal que
lim
n→+∞
(∆Pn) = 0
se tem
lim
n→+∞
Sf (Pn, Cn) = I ,
para toda a sucess˜ao (Cn)n∈N tal que, para cada n ∈ N, Cn ´e uma
sele¸c˜ao de Pn.
150. Exerc´ıcios 150
Exe 6.7
1 Sabendo que f definida por f (x) = x ´e integr´avel em [0, 1],
mostre usando a proposi¸c˜ao anterior que
1
0
x dx =
1
2
2 Seja k ∈ R. Sabendo que f definida por f (x) = k ´e integr´avel
no intervalo [a, b], mostre usando a proposi¸c˜ao anterior que
b
a
k dx = k(b − a)
151. Carateriza¸c˜ao das fun¸c˜oes integr´aveis 151
Prop 6.8
Seja f uma f.r.v.r definida em [a, b]. Ent˜ao f ´e integr´avel em [a, b]
se e s´o se, para todo o > 0, existe uma parti¸c˜ao
P = {x0, x1, · · · , xn} do intervalo [a, b] tal que, para todas as
sele¸c˜oes C = {x∗
1 , x∗
2 , · · · , x∗
n } e C = {x1, x2, · · · , xn} de P, se tem
n
i=1
|f (x∗
i ) − f (xi )|(xi − xi−1) < .
152. Propriedades das fun¸c˜oes integr´aveis 152
Prop 6.9
Sejam f e g fun¸c˜oes integr´aveis em [a, b] e α ∈ R.
1 f + g ´e integr´avel em [a, b] e
b
a
(f (x) + g(x)) dx =
b
a
f (x) dx +
b
a
g(x) dx;
2 αf ´e integr´avel em [a, b] e
b
a
αf (x) dx = α
b
a
f (x) dx;
3 |f | ´e integr´avel em [a, b];
4 fg ´e integr´avel em [a, b];
5 f ´e integr´avel em qualquer sub-intervalo [c, d] de [a, b];
6 Se c ∈]a, b[, ent˜ao f ´e integr´avel em [a, c] e em [c, b] e
b
a
f (x) dx =
c
a
f (x) dx +
b
c
f (x) dx ;
153. Propriedades das fun¸c˜oes integr´aveis (cont.) 153
Prop 6.9 (cont.)
7 Se f (x) ≥ 0, para todo o x ∈ [a, b], ent˜ao
b
a
f (x) dx ≥ 0;
8 Se f (x) ≤ g(x), para todo o x ∈ [a, b], ent˜ao
b
a
f (x) dx ≤
b
a
g(x) dx
9 Se m ≤ f (x) ≤ M, para todo o x ∈ [a, b], onde m, M ∈ R,
ent˜ao
m(b − a) ≤
b
a
f (x) dx ≤ M(b − a)
10
b
a
f (x) dx ≤
b
a
|f (x)| dx
154. Crit´erios de Integrabilidade 154
Prop 6.10
Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao. Se f ´e integr´avel em [a, b] ent˜ao f
´e limitada em [a, b].
Obs 6.11
A proposi¸c˜ao anterior, permite concluir que se f n˜ao for
limitada em [a, b] ent˜ao f n˜ao ´e integr´avel em [a, b].
A proposi¸c˜ao anterior ´e apenas necess´aria, isto ´e, existem
fun¸c˜oes limitadas num intervalo que n˜ao s˜ao integr´aveis nesse
intervalo.
155. Exerc´ıcios 155
Exe 6.12
1 Mostre que a fun¸c˜ao f definida por
f (x) =
1
x se x = 0
0 se x = 0
n˜ao ´e integr´avel em qualquer intervalo fechado e limitado que
contenha a origem.
2 Verifique que a fun¸c˜ao definida por
h(x) =
0 se x ∈ Q
1 se x ∈ R Q
´e limitada mas n˜ao ´e integr´avel em [0, 1].
156. Condi¸c˜oes de integrabilidade 156
Prop 6.13
Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao.
1 Se f for cont´ınua em [a, b] ent˜ao f ´e integr´avel em [a, b].
2 Se f for limitada em [a, b] e descont´ınua num n´umero finito
de pontos ent˜ao f ´e integr´avel em [a, b].
3 Se f for mon´otona em [a, b] ent˜ao f ´e integr´avel em [a, b].
Prop 6.14
Sejam f e g fun¸c˜oes definidas em [a, b]. Se f ´e integr´avel em [a, b]
e g difere de f apenas num n´umero finito de pontos, isto ´e,
f (x) = g(x), para todo o x ∈ [a, b], exceto para um n´umero finito
de x, ent˜ao
g ´e integr´avel em [a, b] e
b
a
g(x) dx =
b
a
f (x) dx .
157. Exerc´ıcios 157
Exe 6.15
Diga, justificando, se as seguintes fun¸c˜oes s˜ao integr´aveis no
intervalo considerado:
1 f (x) = cos(x2 − 2x), em [0, 4]
2 f (x) =
tg x se x ∈ 0, π
2
2 se x = π
2
, em 0, π
2
3 f (x) =
x + 1 se x ∈ [−2, 0[
2 se x = 0
x se x ∈]0, 1]
, em [−2, 1]
4 f (x) =
x + 1 se x ∈ [3, 7] e x ∈ N
1 se x ∈ [3, 7] ∩ N
, em [3, 7]
158. Teorema Fundamental de C´alculo Integral 158
Teo 6.16
Seja f uma fun¸c˜ao integr´avel em [a, b] e F a fun¸c˜ao definida em
[a, b] do modo seguinte
F(x) =
x
a
f (t) dt.
Ent˜ao
(i) F ´e cont´ınua em [a, b];
(ii) se f ´e cont´ınua em c ∈]a, b[, ent˜ao F ´e diferenci´avel
em c e F (c) = f (c).
159. Corol´ario do Teorema Fundamental 159
Obs 6.17
Uma vez que tamb´em ´e poss´ıvel mostrar que
1 se f ´e cont´ınua `a direita em a, ent˜ao existe F+(a) e tem-se
F+(a) = f (a);
2 se f ´e cont´ınua `a esquerda em b, ent˜ao existe F−(b) e tem-se
F−(b) = f (b).
do Teorema Fundamental do C´alculo Integral temos o seguinte
corol´ario que diz que toda a fun¸c˜ao cont´ınua ´e primitiv´avel.
Cor 6.18
Se f ´e cont´ınua em [a, b], ent˜ao F(x) =
x
a f (t)dt, x ∈ [a, b], ´e
uma primitiva de f em [a, b].
160. Teorema do Valor M´edio para Integrais 160
Cor 6.19
Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo [a, b].
Ent˜ao existe c ∈]a, b[ tal que
b
a
f (t) dt = f (c)(b − a) .
Exe 6.20
Seja f (x) = x2 e F(x) =
x
1
f (t)dt.
1 Justifique que a fun¸c˜ao F ´e cont´ınua em [1, 4].
2 Calcule F(1) e F (2).
3 Mostre que existe um c ∈]1, 4[ tal que F(4) = 3c2.
161. Deriva¸c˜ao de integrais 161
Cor 6.21
Sejam I um intervalo aberto de R e [a, b] um intervalo de R.
Sejam f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua em ]a, b[ e g1 : I → R e
g2 : I → R duas fun¸c˜oes diferenci´aveis em I tais que g1(I) ⊂]a, b[ e
g2(I) ⊂]a, b[.
Ent˜ao a fun¸c˜ao H definida por
H(x) =
g2(x)
g1(x)
f (t) dt , para todo o x ∈ I ,
´e diferenci´avel em I e, para todo o x ∈ I,
H (x) = f g2(x) g2(x) − f g1(x) g1(x) .
162. Exerc´ıcios 162
Exe 6.22
1 Calcule F (x) sendo F a f.r.v.r. dada por
(a) F(x)=
x
1
sen t2
+e−t2
dt
(b) F(x)=
2
x
cos t4
dt
(c) F(x)=
x3
cos x
ln(t2
+ 1) dt
(d) F(x)= x3
x
1
e−t2
dt
2 Seja F(x) =
x2
0
sen t2
dt. Calcule F 4 π
4 .
3 Considere a fun¸c˜ao F definida em R por
F(x) =
x2
0
(4 + sen t) dt
(a) Calcule F (x) para todo o x ∈ R.
(b) Estude a fun¸c˜ao F quanto `a monotonia e existˆencia de
extremos locais.
163. Exerc´ıcios 163
Exe 6.23
1 Considere a fun¸c˜ao F definida em R por F(x) =
x3
0
tesen t
dt
(a) Justifique que F ´e diferenci´avel em R e determine F (x).
(b) Calcule lim
x→0
F(x)
sen x
2 Seja f : R → R um fun¸c˜ao cont´ınua. Considere a fun¸c˜ao ϕ
dada por
ϕ(x) =
1+x2
ex
f (t) dt, x ∈ R.
(a) Justifique que ϕ ´e diferenci´avel em R e determine ϕ (x).
(b) Mostre que lim
x→0
ϕ(x)
x
= −f (1).
164. F´ormula de Barrow 164
Prop 6.24
Se f : [a, b] → R ´e cont´ınua em [a, b] e se F : [a, b] → R ´e uma
primitiva de f ent˜ao
b
a
f (x) dx = F(b) − F(a) .
Nota¸c˜ao:
F(b) − F(a) = F(x)
b
a
= F(x)
b
a
Exe 6.25
1
2
1
(x2
− 1) dx =
x3
3
− x
2
1
=
8
3
− 2 −
1
3
− 1 =
4
3
2
e2
e
1
y ln y
dy = ln|ln y|
e2
e
= ln|ln(e2
)| − ln|ln(e)| = ln(2)
165. Exerc´ıcios 165
Exe 6.26
1 Calcule
(a)
1
0
2x
x2 + 1
dx
(b)
0
−π
sen(3x) dx
(c)
1
2
0
1
√
1 − x2
dx
(d)
11
3
1
√
2x + 3
dx
(e)
e2
e
1
x(ln x)2
dx
(f)
2
1
1
x2 + 2x + 5
dx
2 Calcule
1
−1
f (x) dx onde f (x)=
2
1 + x2
se x ∈[−1, 0[
7 se x = 0
1
1 + x
se x ∈]0, 1]
166. Integra¸c˜ao por partes no integral definido 166
Prop 6.27
b
a
u v dx = uv
b
a
−
b
a
uv dx.
Exemplo de aplica¸c˜ao:
π
0
x cos x dx = sen x . x
π
0
−
π
0
sen x dx
= 0 − − cos x
π
0
= cos π − cos 0
= −2
Exe 6.28
Calcule: (a)
1
2
0
(x + 1)e2x
dx (b)
e
1
x ln x dx
167. Mudan¸ca de vari´avel no integral definido 167
Prop 6.29
Sejam f uma fun¸c˜ao cont´ınua em I e
ϕ : J −→ I
t → x = ϕ(t)
diferenci´avel em J e tal que ϕ ´e cont´ınua em J.
Sejam a, b ∈ I e c, d ∈ J tais que ϕ(c) = a e ϕ(d) = b. Ent˜ao
b
a
f (x) dx =
d
c
f (ϕ(t))ϕ (t) dt.
Obs 6.30
I e J denotam intervalos n˜ao degenerados de R
Exe 6.31
Calcule: (a)
ln 2
− ln 2
1
ex + 4
dx (b)
1
0
4 − x2 dx
168. Aplica¸c˜ao ao c´alculo de ´areas 168
Prop 6.32
Se f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] tal que f (x) ≥ 0, para todo
o x ∈ [a, b], ent˜ao a ´area da regi˜ao plana delimitada pelo gr´afico
de f e pelas retas y = 0, x = a e x = b ´e dada por
b
a
f (x) dx
Ilustra¸c˜ao gr´afica
y = f (x)
A
ba
A =
b
a
f (x) dx
169. Aplica¸c˜ao ao c´alculo de ´areas (cont.) 169
Prop 6.33
Se f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] tal que f (x) ≤ 0, para todo
o x ∈ [a, b], ent˜ao a ´area da regi˜ao plana delimitada pelo gr´afico
de f e pelas retas y = 0, x = a e x = b ´e dada por
−
b
a
f (x) dx
Ilustra¸c˜ao gr´afica
x
y
y = f (x)
A
ba
A = −
b
a
f (x) dx
170. Aplica¸c˜ao ao c´alculo de ´areas (cont.) 170
Prop 6.34
Se f e g s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas em [a, b] tais que f (x) ≥ g(x),
para todo o x ∈ [a, b], ent˜ao a ´area da regi˜ao plana delimitada
pelos gr´aficos de f e de g e pelas retas x = a e x = b ´e dada por
b
a
(f (x) − g(x)) dx
Ilustra¸c˜ao gr´afica
A =
b
a
(f (x) − g(x)) dx
171. Exerc´ıcios 171
Exe 6.35
1 Calcule a ´area da regi˜ao delimitada pelos gr´aficos das fun¸c˜oes
f (x) = 1
x e g(x) = x2 e pelas retas x = 2 e y = 0.
2 Seja f (x) = x3 − 3x2 + 2x. Calcule a ´area da regi˜ao limitada
do plano situada entre as retas de equa¸c˜ao x = 0 e x = 2 e
limitada pelo gr´afico de f e pelo eixo Ox.
3 Calcule a ´area da regi˜ao do plano situada entre x = −1
2 e
x = 0 e limitada pelo eixo das abcissas e pelo gr´afico da
fun¸c˜ao h definida por
h(x) =
arcsen x
√
1 − x2
4 Seja A = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ (x − 3)2, y ≥ x − 1, y ≤ 4}.
(a) Represente geometricamente a regi˜ao A.
(b) Calcule o valor da ´area da regi˜ao A.
172. C´alculo I 172
Integrais impr´oprios
Ricardo Pereira
Departamento de Matem´atica
Universidade de Aveiro
Dezembro de 2012
173. Integrais Impr´oprios 173
Obs 7.1
A defini¸c˜ao de integral de Riemann exige que a fun¸c˜ao integranda,
f , esteja definida num intervalo fechado e limitado, I, e que f seja
limitada. Vamos agora estender este conceito omitindo uma (ou as
duas) dessas condi¸c˜oes, passando ao estudo do que chamamos
Integrais Impr´oprios.
Os Integrais Impr´oprios podem ser de trˆes esp´ecies:
1.a Esp´ecie: I ´e ilimitado
2.a Esp´ecie: f ´e ilimitada ou n˜ao definida em alguns pontos de I
3.a Esp´ecie: I ´e ilimitado e f ´e ilimitada ou n˜ao definida em
alguns pontos de I
174. Integrais Impr´oprios de 1.a
Esp´ecie 174
Def 7.2
Integral impr´oprio de 1.a esp´ecie no limite superior de integra¸c˜ao
Seja f : [a, +∞[→ R uma fun¸c˜ao integr´avel em [a, t], para todo o
t ≥ a. Se existe e ´e finito o limite
lim
t→+∞
t
a
f (x) dx
ent˜ao o integral impr´oprio
+∞
a
f (x) dx diz-se convergente e
escreve-se
+∞
a
f (x) dx = lim
t→+∞
t
a
f (x) dx.
Caso contr´ario, o integral em causa diz-se divergente.
175. Exemplo 175
Exe 7.3
Como
lim
t→+∞
t
0
1
1 + x2
dx = lim
t→+∞
[arctg(x)]t
0
= lim
t→+∞
arctg t
=
π
2
,
o integral impr´oprio
+∞
0
1
1 + x2
dx ´e convergente e
+∞
0
1
1 + x2
dx =
π
2
.
176. Exerc´ıcios 176
Exe 7.4
1 Determine a natureza dos seguintes integrais impr´oprios e, em
caso de convergˆencia, calcule o seu valor:
(a)
+∞
π
cos(x)dx (b)
+∞
2
1
(x + 2)2
dx (c)
+∞
1
(ln x)3
x
dx
2 Prove que o integral impr´oprio
+∞
1
1
xα
dx ´e:
divergente se α ≤ 1;
convergente se α > 1 e, neste caso,
+∞
1
1
xα
dx =
1
α − 1
.
3 Prove que o integral impr´oprio
+∞
0
eβx
dx ´e:
divergente se β ≥ 0;
convergente se β < 0 e, neste caso,
+∞
0
eβx
dx = −
1
β
.
177. Integrais Impr´oprios de 1.a
Esp´ecie (cont.) 177
Def 7.5
Integral impr´oprio de 1.a esp´ecie no limite inferior de integra¸c˜ao
Seja f : ] − ∞, a] → R uma fun¸c˜ao integr´avel em [t, a], para todo o
t ≤ a. Se existe e ´e finito o limite
lim
t→−∞
a
t
f (x) dx
ent˜ao o integral impr´oprio
a
−∞
f (x) dx diz-se convergente e
escreve-se
a
−∞
f (x) dx = lim
t→−∞
a
t
f (x) dx.
Caso contr´ario, o integral em causa diz-se divergente.
178. Exemplo 178
Exe 7.6
Como
lim
t→−∞
1
t
1
1 + x2
dx = lim
t→−∞
[arctg(x)]1
t
= lim
t→−∞
(
π
4
− arctg t)
=
3π
4
,
o integral impr´oprio
1
−∞
1
1 + x2
dx ´e convergente e
1
−∞
1
1 + x2
dx =
3π
4
.
179. Exerc´ıcios 179
Exe 7.7
1 Determine a natureza dos seguintes integrais impr´oprios e, em
caso de convergˆencia, calcule o seu valor:
(a)
0
−∞
xe−x2
dx
(b)
2
−∞
1
4 − x
dx
(c)
0
−∞
4
1 + (x + 1)2
dx
2 Estude a natureza do seguinte integral impr´oprio em fun¸c˜ao
do parˆametro a ∈ R+ {1}
0
−∞
ax
dx
180. Propriedades dos integrais impr´oprios 180
Prop 7.8
Sejam f : [a, +∞[→ R e g : [a, +∞[→ R fun¸c˜oes integr´aveis em
[a, t], ∀t ≥ a. Ent˜ao verificam-se as seguintes condi¸c˜oes:
1 Se
+∞
a
f (x) dx e
+∞
a
g(x) dx s˜ao convergentes, ent˜ao
+∞
a
(αf (x) + βg(x)) dx ´e convergente, ∀α, β ∈ R, e
+∞
a
(αf (x)+βg(x)) dx = α
+∞
a
f (x) dx +β
+∞
a
g(x) dx.
2 Se
+∞
a
f (x) dx ´e divergente, ent˜ao
+∞
a
(αf (x)) dx ´e
divergente, para todo o α ∈ R {0}.
Obs 7.9
Resultado an´alogo ´e v´alido para integrais impr´oprios de 1.a esp´ecie
no limite inferior de integra¸c˜ao.
181. Propriedades dos integrais impr´oprios (cont.) 181
Prop 7.10
Sejam f : [a, +∞[→ R uma fun¸c˜ao integr´avel em [a, t], para todo
o t ≥ a, e b > a. Ent˜ao os integrais impr´oprios
+∞
a
f (x) dx e
+∞
b
f (x) dx
tˆem a mesma natureza (i.e., ou s˜ao ambos convergentes ou ambos
divergentes). Em caso de convergˆencia, tem-se que
+∞
a
f (x) dx =
b
a
f (x) dx +
+∞
b
f (x) dx.
Obs 7.11
Resultado an´alogo, com as devidas adapta¸c˜oes, ´e v´alido para
integrais impr´oprios de 1.a esp´ecie no limite inferior de integra¸c˜ao.
182. Exemplos 182
Exe 7.12
1 Pelo Exerc´ıcio 7.4.2 tem-se que
+∞
1
1
x3
dx converge e que
+∞
1
1
x3
dx =
1
2
.
Portanto
+∞
1
2
1
x3
dx =
1
1
2
1
x3
dx +
+∞
1
1
x3
dx =
3
2
+
1
2
= 2.
2 Como, atendendo ao Exerc´ıcio 7.4.2, o integral impr´oprio
+∞
1
x2
dx ´e divergente, ent˜ao o integral impr´oprio
+∞
3
x2
dx tamb´em ´e divergente.
183. Integrais Impr´oprios de 1.a
Esp´ecie (cont.) 183
Def 7.13
Integral impr´oprio de 1.o esp´ecie em ambos os limites de integra¸c˜ao
Seja f : R → R uma fun¸c˜ao integr´avel em [α, β] para todos os
α, β ∈ R tais que α < β.
1 Se, para algum a ∈ R, os integrais impr´oprios
a
−∞
f (x) dx e
+∞
a
f (x) dx s˜ao ambos convergentes
dizemos que o integral impr´oprio
+∞
−∞
f (x) dx ´e convergente
e escrevemos
+∞
−∞
f (x) dx =
a
−∞
f (x) dx +
+∞
a
f (x) dx .
184. Integrais Impr´oprios de 1.a
Esp´ecie (cont.) 184
Def 7.14 (cont.)
2 Se, para algum a ∈ R, pelo menos um dos integrais impr´oprios
a
−∞
f (x) dx ou
+∞
a
f (x) dx
´e divergente dizemos que o integral impr´oprio
+∞
−∞
f (x) dx ´e
divergente.
Exe 7.15
Determine a natureza dos seguintes integrais impr´oprios e, em caso
de convergˆencia, calcule o seu valor:
(a)
+∞
−∞
x dx (b)
+∞
−∞
1
1 + x2
dx (c)
+∞
−∞
2x
dx
185. Crit´erio de Compara¸c˜ao 185
Prop 7.16
Sejam f e g duas fun¸c˜oes definidas em [a, +∞[, integr´aveis em
[a, t], para todo o t ≥ a, tais que
0 ≤ f (x) ≤ g(x) ,
para todo o x ∈ [a, +∞[. Ent˜ao:
(i) se
+∞
a
g(x) dx ´e convergente, ent˜ao
+∞
a
f (x) dx ´e convergente
(ii) se
+∞
a
f (x) dx ´e divergente, ent˜ao
+∞
a
g(x) dx ´e divergente.
Obs 7.17
Com ligeiras adapta¸c˜oes, pode enunciar-se o mesmo crit´erio para
integrais impr´oprios de 1.a esp´ecie, impr´oprios no limite inferior de
integra¸c˜ao.
186. Exemplo 186
Exe 7.18
Usando o Crit´erio de Compara¸c˜ao estudar a natureza do integral
+∞
1
sen
1
x2
dx .
Notar que, para todo o x ∈ [1, +∞[ temos
0 ≤ sen
1
x2
≤
1
x2
. (justifique!) (1)
Uma vez que o integral impr´oprio
+∞
1
1
x2
dx ´e convergente e que
a desigualdade (1) se verifica, pelo Crit´erio de Compara¸c˜ao, o
integral impr´oprio
+∞
1
sen
1
x2
dx ´e convergente.
187. Crit´erio do Limite 187
Prop 7.19
Sejam f e g duas fun¸c˜oes definidas em [a, +∞[ e integr´aveis em
[a, t], ∀t ≥ a, tais que f (x) ≥ 0 e g(x) > 0, ∀x ∈ [a, +∞[. Seja
L = lim
x→+∞
f (x)
g(x)
.
Ent˜ao:
(i) Se L ∈ R+, ent˜ao
+∞
a
f (x) dx e
+∞
a
g(x) dx tˆem a
mesma natureza.
(ii) Se L = 0 e
+∞
a
g(x) dx ´e convergente, ent˜ao
+∞
a
f (x) dx
´e convergente.
(iii) Se L = +∞ e
+∞
a
g(x) dx ´e divergente, ent˜ao
+∞
a
f (x) dx
´e divergente.
188. Exemplo 188
Exe 7.20
Usando o Crit´erio do Limite estudar a natureza do integral
+∞
1
sen
1
x2
dx .
Notar que, ∀x ∈ [1, +∞[, sen 1
x2 ≥ 0 e 1
x2 > 0. Al´em disso
L = lim
x→+∞
sen 1
x2
1
x2
= 1 .
Uma vez que L ∈ R+ e que
+∞
1
1
x2
dx ´e convergente, pelo
Crit´erio do Limite, o integral impr´oprio
+∞
1
sen
1
x2
dx ´e
convergente.
189. Crit´erios de Convergˆencia (cont.) 189
Obs 7.21
Tanto o Crit´erio de Compara¸c˜ao como o Crit´erio do Limite tˆem as
suas vers˜oes para integrais impr´oprios de 1.a esp´ecie, impr´oprios no
limite de integra¸c˜ao inferior, basta fazer pequenas adapta¸c˜oes nos
enunciados apresentados nos slides anteriores.
Exe 7.22
Estudo da natureza do integral impr´oprio
0
−∞
ex
(x − 1)2
dx.
∀x ∈] − ∞, 0], ex
(x−1)2 > 0 e 1
(x−1)2 > 0 .
Uma vez que
L = lim
x→−∞
ex
(x−1)2
1
(x−1)2
= lim
x→−∞
ex
= 0
e que
0
−∞
1
(x − 1)2
dx ´e convergente (verifique!), conclu´ımos,
pelo Crit´erio do Limite, que
0
−∞
ex
(x − 1)2
dx ´e convergente.
190. Exerc´ıcios 190
Exe 7.23
Estude, utilizando o crit´erio de compara¸c˜ao ou crit´erio do limite, a
natureza dos seguintes integrais impr´oprios:
(a)
+∞
1
sen2 x
x
5
2
dx
(b)
+∞
1
5x2 − 3
x8 + x − 1
dx
(c)
+∞
0
ex2
dx
(d)
+∞
1
x
ex − 1
dx
191. Convergˆencia absoluta 191
Def 7.24
Seja f : [a, +∞[→ R integr´avel em [a, t], para todo o t ∈ [a, +∞[.
Dizemos que o integral impr´oprio
+∞
a
f (x) dx
´e absolutamente convergente, se o integral impr´oprio
+∞
a
|f (x)| dx
´e tamb´em convergente.
Prop 7.25
Seja f : [a, +∞[→ R integr´avel em [a, t], para todo o t ∈ [a, +∞[.
Se o integral impr´oprio
+∞
a
f (x) dx
´e absolutamente convergente, ent˜ao tamb´em ´e convergente.
192. Exerc´ıcios 192
Obs 7.26
Com ligeiras adapta¸c˜oes, pode definir-se convergˆencia absoluta e
enunciar-se a mesma proposi¸c˜ao para integrais impr´oprios de 1.a
esp´ecie, impr´oprios no limite inferior de integra¸c˜ao.
Exe 7.27
Verifique se os seguintes integrais impr´oprios s˜ao absolutamente
convergentes:
(a)
+∞
1
sen x
x2
dx
(b)
+∞
2
(−1)n
1 + 2x4
dx, para todo o n ∈ N
193. Integrais Impr´oprios de 2.a
Esp´ecie 193
Def 7.28
Integral impr´oprio de 2.a esp´ecie no limite de integra¸c˜ao inferior
Seja f : ]a, b] → R uma fun¸c˜ao integr´avel em [t, b], para todo o
a < t ≤ b. Se existe e ´e finito
lim
t→a+
b
t
f (x) dx
dizemos que o integral impr´oprio
b
a
f (x) dx ´e convergente e
escrevemos, por defini¸c˜ao,
b
a
f (x) dx = lim
t→a+
b
t
f (x) dx .
Caso contr´ario, dizemos que o integral impr´oprio ´e divergente.
194. Integrais Impr´oprios de 2.a
Esp´ecie (cont.) 194
Def 7.29
Integral impr´oprio de 2.a esp´ecie no limite de integra¸c˜ao superior
Seja f : [a, b[→ R uma fun¸c˜ao integr´avel em [a, t], para todo o
a < t ≤ b. Se existe e ´e finito
lim
t→b−
t
a
f (x) dx
dizemos que o integral impr´oprio
b
a
f (x) dx ´e convergente e
escrevemos, por defini¸c˜ao,
b
a
f (x) dx = lim
t→b−
t
a
f (x) dx .
Caso contr´ario, dizemos que o integral impr´oprio ´e divergente.
195. Integrais Impr´oprios de 2.a
Esp´ecie (cont.) 195
Def 7.30
Integral impr´oprio de 2.a esp´ecie em ambos os limites de integra¸c˜ao
Seja f : ]a, b[→ R uma fun¸c˜ao integr´avel em [t1, t2], para todos os
t1 e t2 tais que a < t1 < t2 < b.
Dizemos que o integral impr´oprio
b
a
f (x) dx ´e convergente se,
para algum c ∈]a, b[, os integrais
c
a
f (x) dx e
b
c
f (x) dx
s˜ao ambos convergentes e escreve-se
b
a
f (x) dx =
c
a
f (x) dx +
b
c
f (x) dx .
Caso contr´ario, dizemos que o integral impr´oprio ´e divergente.
196. Integrais Impr´oprios de 2.a
Esp´ecie (cont.) 196
Def 7.31
Integral impr´oprio de 2.a esp´ecie num ponto interior do intervalo de
integra¸c˜ao
Seja f uma fun¸c˜ao definida em [a, b] exceto possivelmente em
c ∈]a, b[, e integr´avel em [a, t], para todo o a ≤ t < c e em [r, b],
para todo o c < r ≤ b. Se os integrais impr´oprios
c
a
f (x) dx e
b
c
f (x) dx forem ambos convergentes,
ent˜ao o integral impr´oprio
b
a
f (x) dx diz-se convergente e
escreve-se
b
a
f (x) dx =
c
a
f (x) dx +
b
c
f (x) dx .
Caso contr´ario, dizemos que o integral impr´oprio ´e divergente.
197. Exerc´ıcios 197
Exe 7.32
Determine a natureza dos seguintes integrais impr´oprios e, em caso
de convergˆencia, calcule o seu valor:
(a)
1
0
1
√
1 − x2
dx
(b)
π
2
0
cos x
1 − sen x
dx
(c)
3
−3
x
√
9 − x2
dx
(d)
1
−2
1
|x|
dx
(e)
3
0
1
(x − 1)(x − 2)
dx
198. Observa¸c˜ao 198
Obs 7.33
As propriedades, defini¸c˜oes e crit´erios de convergˆencia apresentados
para o integral de 1.a esp´ecie tˆem as suas vers˜oes para os integrais
de 2.a esp´ecie (no limite inferior de integra¸c˜ao ou no limite superior
de integra¸c˜ao). Nos slides seguintes apresentamos esses resultados
para o caso dos integrais de 2.a esp´ecie no limite inferior de
integra¸c˜ao, para os outros o estudo faz-se mutatis mutandis.
199. Propriedades dos integrais impr´oprios 199
Prop 7.34
Sejam f :]a, b] → R e g :]a, b] → R fun¸c˜oes integr´aveis em [t, b],
para todo o t ∈]a, b]. Ent˜ao verificam-se as seguintes condi¸c˜oes:
1 Se
b
a
f (x) dx e
b
a
g(x) dx s˜ao convergentes, ent˜ao
b
a
(αf (x) + βg(x)) dx ´e convergente, ∀α, β ∈ R, e
b
a
(αf (x) + βg(x)) dx = α
b
a
f (x) dx + β
b
a
g(x) dx .
2 Se
b
a
f (x) dx ´e divergente, ent˜ao
b
a
(αf (x)) dx ´e
divergente, para todo o α ∈ R {0}.
200. Propriedades dos integrais impr´oprios (cont.) 200
Prop 7.35
Sejam f : ]a, b] → R uma fun¸c˜ao integr´avel em [t, b], para todo o
t ∈]a, b], e a < b < b. Ent˜ao os integrais impr´oprios
b
a
f (x) dx e
b
a
f (x) dx
tˆem a mesma natureza (i.e., ou s˜ao ambos convergentes ou ambos
divergentes). Em caso de convergˆencia, tem-se que
b
a
f (x) dx =
b
a
f (x) dx +
b
b
f (x) dx.
201. Crit´erio de Compara¸c˜ao 201
Prop 7.36
Sejam f e g duas fun¸c˜oes definidas em ]a, b], integr´aveis em [t, b],
para todo o t ∈]a, b], tais que
0 ≤ f (x) ≤ g(x) ,
para todo o x ∈]a, b]. Ent˜ao:
(i) se
b
a
g(x) dx ´e convergente, ent˜ao
b
a
f (x) dx ´e convergente
(ii) se
b
a
f (x) dx ´e divergente, ent˜ao
b
a
g(x) dx ´e divergente.
202. Crit´erio do Limite 202
Prop 7.37
Sejam f e g duas fun¸c˜oes definidas em ]a, b] e integr´aveis em
[t, b], ∀t ∈]a, b], tais que f (x) ≥ 0 e g(x) > 0, ∀x ∈]a, b]. Seja
L = lim
x→a+
f (x)
g(x)
.
Ent˜ao:
(i) Se L ∈ R+, ent˜ao
b
a
f (x) dx e
b
a
g(x) dx tˆem a mesma
natureza.
(ii) Se L = 0 e
b
a
g(x) dx ´e convergente, ent˜ao
b
a
f (x) dx ´e
convergente.
(iii) Se L = +∞ e
b
a
g(x) dx ´e divergente, ent˜ao
b
a
f (x) dx ´e
divergente.
203. Convergˆencia absoluta 203
Def 7.38
Seja f : ]a, b] → R integr´avel em [t, b], para todo o t ∈]a, b].
Dizemos que o integral impr´oprio
b
a
f (x) dx ´e absolutamente convergente,
se o integral impr´oprio
b
a
|f (x)| dx ´e tamb´em convergente.
Prop 7.39
Seja f : ]a, b] → R integr´avel em [t, b], para todo o t ∈]a, b].
Se o integral impr´oprio
b
a
f (x) dx
´e absolutamente convergente, ent˜ao tamb´em ´e convergente.
204. Exerc´ıcios 204
Exe 7.40
1 Prove que o integral impr´oprio
1
0
1
xα
dx ´e:
divergente se α ≥ 1;
convergente se α < 1 e, neste caso,
1
0
1
xα
dx =
1
1 − α
.
2 Estude a natureza dos seguintes integrais impr´oprios:
(a)
1
0
π
1 −
√
x
dx
(b)
π
2
0
sen
√
x
4
√
x
dx
205. Integrais Impr´oprios de 3.a
Esp´ecie 205
Def 7.41
Integral impr´oprio de 3.a esp´ecie do tipo
+∞
a
f (x) dx,
onde f ´e ilimitada ou n˜ao est´a definida em x = a.
Seja f : ]a, +∞[→ R integr´avel em [t, t ], quaisquer que sejam
t, t ∈ R tais que a < t < t .
Dizemos que o integral impr´oprio
+∞
a
f (x) dx ´e convergente se,
para algum c ∈]a, +∞[, os integrais impr´oprios
c
a f (x) dx e
+∞
c f (x) dx forem ambos convergentes e escrevemos
+∞
a
f (x) dx =
c
a
f (x) dx +
+∞
c
f (x) dx
Caso contr´ario, dizemos que o integral impr´oprio ´e divergente.
206. Integrais Impr´oprios de 3.a
Esp´ecie (cont.) 206
Def 7.42
Integral impr´oprio de 3.a esp´ecie do tipo
b
−∞
f (x) dx,
onde f ´e ilimitada ou n˜ao est´a definida em x = b.
Seja f : ] − ∞, b[→ R integr´avel em [t, t ], quaisquer que sejam
t, t ∈ R tais que t < t < b.
Dizemos que o integral impr´oprio
b
−∞
f (x) dx ´e convergente se,
para algum c ∈] − ∞, b[, os integrais impr´oprios
c
−∞ f (x) dx e
b
c f (x) dx forem ambos convergentes e escrevemos
b
∞
f (x) dx =
c
−∞
f (x) dx +
b
c
f (x) dx
Caso contr´ario, dizemos que o integral impr´oprio ´e divergente.
207. Integrais Impr´oprios de 3.a
Esp´ecie (cont.) 207
Obs 7.43
Definem-se de modo an´alogo os integrais impr´oprios de 3.a
esp´ecie dos tipos
+∞
a
f (x) dx,
b
−∞
f (x) dx e
+∞
−∞
f (x) dx,
onde f n˜ao est´a definida ou ´e ilimitada em algum ponto do
interior do intervalo de integra¸c˜ao.
Atendendo `as defini¸c˜oes apresentadas, para estudar a natureza
de integrais impr´oprios de 3.a esp´ecie, devemos decompor o
intervalo de integra¸c˜ao de modo conveniente e estudar a
natureza de integrais impr´oprios de 1.a e de 2.a esp´ecies
(correspondentes).
208. Exerc´ıcios 208
Exe 7.44
1 Estude a natureza dos seguintes integrais impr´oprios:
(a)
+∞
0
e−
√
x
√
x
dx
(b)
+∞
−∞
1
x3
dx
2 Calcule
+∞
−∞
f (x) dx sendo
f (x) =
1
x−1 se x ≤ 0
arctg x se x > 0