1. A tabela resume definições, propriedades e regras gerais sobre limites, incluindo limites no infinito e limites infinitos. 2. São apresentadas definições formais de limites à medida que x se aproxima de um valor a, limites laterais, e limites no infinito. 3. Regras como a propriedade da unicidade de limites e o teorema do limite bilateral ajudam no cálculo e compreensão de limites.

1. GUIDG.COM – PG. 1
29/5/2010 – CDI – Cálculo avançado, Limites.
Tabela de Limites
Resumo informal tabelado para definições, Limites notáveis, propriedades e regras gerais.
Legenda: D = Definição; P = Proposição ou Propriedade; F = Fundamental ou Notável ; T = Teorema ; R = Regras
Leg. Limite Descrição e Demonstração se possível
Antes de qualquer teoria sobre limites é importante saber o que significa a notação de limites, ou seja como se faz a
leitura dos símbolos abaixo:
1 – f (x) , lê-se “f de x” e significa “função de x”.
R0 2 – x Q a , lê-se “x tende à a”.
lim f x = b
` a
3– , lê-se: O limite de f (x) quando x tende à a é igual a b.
xQa
ou ainda: O limite de f (x) é b quando x tende à a.
Limites Laterais:
x Q a + , lê-se “x tende à a pela direita”.
x Q a@ , lê-se “x tende à a pela esquerda”.
a)
lim+ f x = L
` a
xQa
Dizemos que o limite de uma função quando x tende à a pela direita (isto é, na reta real, dos valores maiores para os menores), é L.
Então L é o limite á direita.
b)
lim f x = L
T1 ` a
x Q a@
Dizemos que o limite de uma função quando x tende à a pela esquerda (isto é, na reta real, dos valores menores para os maiores), é L.
Então L é o limite á esquerda.
c) Teorema do Limite bilateral:
Se f(x) é definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então:
lim f x = L ^ lim+ f x = x lim@ f x = L
` a ` a ` a
xQa Qa
xQa
Ou seja: O limite bilateral existe se, e somente se os limites laterais existirem e forem iguais.
Teorema da Unicidade:
T2
lim f x = b1 lim f x = b2 b1 = b2 .
` a ` a
Se e então
xQa xQa
Limites, definição:
Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x
aproxima-se de a é L, e escrevemos que:
L ` a M
lim f x = L se 8 ε > 0 , 9 δ > 0 | L f x @ LM < ε sempre que Lx @ aM < δ .
` a L M L M
D1
xQa
Lê-se: O limite de f(x) quando x tende à a é igual a L se para todo épsilon maior que zero, existe um delta maior que zero tal que o
módulo de f(x) - L é menor que épsilon sempre que o módulo de x – a for menor que delta.
Amplamente isto significa que através do estabelecimento de uma relação entre as desigualdades propostas, pode-se obter uma prova
matemática para a existência do limite.

2. GUIDG.COM – PG. 2
Para que se entenda a definição é necessário entender o significado geométrico.
Uma explicação para cada símbolo é dado no arquivo “Notação Matemática” que pode ser obtido no site.
Limites no infinito, definição:
a) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto a, + 1 . Escrevemos:
` a
L ` a M
lim1 f x = L se 8 ε > 0 , 9 A > 0 | L f x @ LM < ε sempre que x > A .
` a L
M
xQ+
D2 b c
b) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto @1 , b . Escrevemos:
L ` a M
lim1 f x = L se 8 ε > 0 , 9 B < 0 | L f x @ LM < ε sempre que x < B .
` a L
M
xQ@
Ou seja os limites existem se satisfazerem cada um à sua condição dada.
OBS: Veja o Teorema 3 (T3), pois este ajudará muito no cálculo de limites no infinito.
Limites infinitos, definição:
a) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que:
lim f x = + 1 se 8 M > 0 , 9 δ> 0 | f x > M sempre que Lx @ aM< δ .
` a ` a L M
D3 xQa
b) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que:
lim f x = @1 se 8 N < 0 , 9 δ> 0 | f x < N sempre que Lx @ aM< δ .
` a ` a L M
xQa
Limites infinitos no infinito, definição:
Havendo uma boa interpretação de limites no infinito e limites infinitos, as demais definições podem ser facilmente deduzidas:
lim f x = + 1 se 8 M > 0 , 9 N > 0 | f x > M sempre que x > N .
` a ` a
a)
xQ +1
Ou seja: O limite de uma função vai positivamente para o infinito, se para todo M maior que zero (no eixo das ordenadas) existir um
N maior que zero (no eixo das abscissas), tal que por maior que M seja sempre teremos uma f(x) > M sempre que x > N.
D4 Assim deduzimos os próximos três casos:
lim f x = @1 se 8 M < 0 , 9 N > 0 | f x < M sempre que x > N .
` a ` a
b)
xQ +1
lim f x = + 1 se 8 M > 0 , 9 N < 0 | f x > M sempre que x < N .
` a ` a
c)
xQ@1
lim f x = @1 se 8 M < 0 , 9 N < 0 | f x < M sempre que x < N .
` a ` a
d)
xQ@1
Limites no infinito, o próximo teorema nos ajudará no cálculo de limites no infinito:
lim1 ff= 0
1f
ff
f f
a) n
xQ+ x
T3
lim1 ff= 0
1f
ff
f f
b) n
xQ@ x
+
8 n 2 ZC
Lê-se: Para todo n pertencente ao conjunto dos números inteiros positivos sem o zero.

3. GUIDG.COM – PG. 3
Limites infinitos, o próximo teorema nos ajudará no cálculo de limites infinitos:
lim+ ff= + 1
1f
ff
f f
a) n
T4 xQ0 x
1f + 1 , se n é par
V
ff
ff
ff
b) lim@ n =
xQ0 x @1 , se n é impar
` a
Quando apresentarmos a notação: lim f x
xQ1
` a Isto é, o limite de uma função quando x tende ao infinito, estamos procurando pelo limite
R1 lim f x
xQ1
da função quando x Q + 1 e x Q@1, ou seja, são dois limites:
` a ` a
lim f x
xQ +1
e lim f x
xQ@1
Vamos falar de indeterminações. Quando chegamos a alguma das sete formas abaixo,
dizemos (iii ... indeterminação!)
0f 1f
f ff
f ff
, f , 1@1 , 0B1 , 0 ,10 ,1
f 0 1
0 1
R2 Indeterminações. Isto significa que nada podemos dizer sobre o limite sem um estudo mais profundo de cada
caso, este por sua vez é feito com o auxilio da equivalência entre funções.
Convém ainda lembrar que @1 e + 1 não são números, são conceitos.
Dizer que x Q@1 ou x Q + 1 indica o comportamento da variável x. Assim x
nunca chega à um limite numérico, por isso diz-se que tende ao infinito.
Diferente de quando dizemos por exemplo, que x QF 10 , aqui o limite de x existe,
mesmo que f(x) não esteja definida neste ponto.
Indeterminações e propriedades dos limites infinitos:
A tabela a seguir resume os fatos principais para os limites infinitos, onde se pode ter: x Q a, x Q a + , x Q a@ ,
x Q + 1 ou x Q @1 .
+ @
0 indica que o limite é zero quando x tende à zero pela direita (por valores positivos), e 0 indica que o limite é zero
quando x tende a zero pela esquerda (por valores negativos).
* Para os quatro primeiros casos citados em R2.
` a ` a ` a
lim f x lim g x h(x)= lim h x simbolicamente
01 F1 F1 f(x) + g(x) F1 F1 F1 = F1
R3 02 * +1 +1 f(x) – g(x) ? ( + 1 ) – ( + 1 ) é indeterminação
03 +1 k f(x) + g(x) +1 +1 +k= +1
04 @1 k f(x) + g(x) @1 @1 + k = @1
05 +1 +1 f(x) . g(x) +1 ( + 1) . ( + 1) = + 1
06 +1 @1 f(x) . g(x) @1 ( + 1) . (@ 1) = @ 1
07 +1 k>0 f(x) . g(x) +1 +1 .k= +1
08 +1 k<0 f(x) . g(x) @1 + 1 . k = @1
09 * F1 0 f(x) . g(x) ? F 1 . 0 é indeterminação

4. GUIDG.COM – PG. 4
10 k F1 f(x) / g(x) 0 k /F 1 = 0
11 * F1 F1 f(x) / g(x) ? F 1 / F 1 é indeterminação
+ +
12 k>0 0 f(x) / g(x) +1 k/ 0 = +1
+ +
13 +1 0 f(x) / g(x) +1 +1 / 0 = +1
@ @
14 k>0 0 f(x) / g(x) @1 k / 0 = @1
+1 + 1 / 0 =@ 1
@ @
15 0 f(x) / g(x) @1
16 * 0 0 f(x) / g(x) ? 0 / 0 é indeterminação
a) Se a, m e n são números reais, então:
lim mx + n = ma + n
` a
xQa
P1 Decorrências imediatas: Se c é um número real qualquer, então:
b) lim c = c
xQa
c) lim x = a
xQa
Propriedades dos Limites. Vejamos as principais propriedades usadas na manipulação algébrica e no cálculo
de limites. Subdividimos em grupos (P2, P3...) , os 10 primeiros mais dedutíveis enquanto os 4 restantes em
mais destaque.
` a ` a
Sejam as funções f(x) e g(x), para as quais existem os limites xlim f x e xlim g x , então:
Qa Qa
B ` a ` aC
01 - xlim f x F g x = xlima f x F xlim g x
` a ` a
Qa Q Qa
B ` aC
02 - xlim k A f x = k A xlim f x
` a
Qa Qa
B ` a ` aC
03 - xlim f x A g x = xlim f x A xlim g x
` a ` a
Qa Qa Qa
H ` aI ` a
ffff limfffff
f ff x
fffff xffffffff
x K ff ffff
ffff ffafffff
fff Qf
04 - lim J ` a = lim g x ≠ 0
P2 ` a
` a , se
xQ a g x lim g x
xQ a
xQ a
B ` aCn B ` aCn
05 - xlim f x
Qa
= xlima f x
Q
, com n 2 N
www
www
www
www
www
www
wwa
ww wwwww
wwwww
wwwww
wwwww
wwwww
wwwww
wwwww
wwwwa
06 - xlim q f x = q xlim f x
n n
` `
Qa Qa
B ` aC B ` aC
07 - xlim ln f x = ln xlim f x , se xlim f x > 0
` a
Qa Qa Qa
B ` aC B ` aC
08 - xlim sin f x = sin xlim f x
Qa Qa
B ` aC B ` aC
09 - xlim cos f x = cos xlim f x
Qa Qa

5. GUIDG.COM – PG. 5
b ` ac
=e
` a
f x lim f x
lim e
10 - x Q a
x Qa
lim f x = b , então b > 0
` a ` a
11 - Se f x > 0 , e o xQ a
Ou seja, se a função assume valores positivos, então o limite será positivo.
12 – Propriedade do Confronto: Se f (x) e g(x) são funções tais que: xlim f x = xlima g x = b
P3 ` a ` a
Qa Q
E se h(x) é uma função tal que: f x ≤ h x ≤ g x , então lim h x = b .
` a ` a ` a ` a
xQ a
Esta propriedade é demonstrada como prova do primeiro limite fundamental (F1).
13 – Propriedade para funções polinomiais: Seja f x = a0 x n + a1 x n @ 1 + … + an então:
` a
X
` a + 1 , se a0 > 0
a) x Q + 1 f x = Z
lim
@1 , se a0 < 0
P4 X
a
> 0 e n par
lim1 f x = + 1 , se Z 0
` a
b) xQ@ a0 < 0 e n ímpar
X
a
> 0 e n ímpar
lim f x = @ 1 , se Z 0
` a
c) xQ@1 a0 < 0 e n par
14 – Limites no infinito do quociente de funções polinomiais: Se P x = a0 x n + a1 x n @ 1 + …+ an
` a
e Q x = b0 x m + b1 x m @ 1 + …+ bm , então:
` a
` a n
P5 affff
Pffff
x
ffff
ffff
ffff 0 xf
ffff
ffff
ff f
lim ` a = x lim
xQ 1 Q x Q 1 b xm
0
DEB
As próximas proposições são conhecidas como limites fundamentais, ou notáveis. Estas proposições irão nos auxiliar
0f 1
f
f
F0 no cálculo de limites quando estivermos diante de casos particulares tais como , 1 e 1 0 . Também é
0
interessante lembrar F1, F8 e F9 são as proposições que caracterizam os limites fundamentais.
lim ffff= 1
senff
ffxf
ff f
ff
ff
F1 DEB: Demonstração em breve.
xQ0 x
lim ffff= 1
fff
ff f
f ff
x ff
f OBS: veja que esta proposição é decorrência do uso das propriedades de limite junto com
F2
x Q 0 sen x F1.
lim fffff= a
senfff
ffaxf
ff ff
f ff
ff
F3 DEB
xQ0 x
lim fffff= f
senfff af
ffaxf f
ff ff f
f ff
ff
F4 DEB
x Q 0 sen bx b

6. GUIDG.COM – PG. 6
lim fffffff 0
1fffffff
ffcosx
f fff
@ ff f
f ff
F5 = DEB
xQ0 x
lim ffff 1
tanxf
ff f
ff
ff
ff
F6 = DEB
xQ0 x
a1f
f
f
ff
lim 1 + x x = e
`
F7 DEB
xQ0
Comentário: veja que interessante esse limite, pois se x tender ao infinito, teremos que 1
elevado ao infinito será igual ao número e . Isso que dizer que quando um for elevado ao
número infinitamente grande, um assumira o valor irracional e = 2,7182... e isso vai
contra o nosso entendimento, pois aprendemos que um elevado a qualquer número é
sempre um, mas lembre-se que estamos tratando dum limite de uma função.
f gx
lim 1 + f = e
1f
ff f gx
1f `
F8 ff
f a1
1+ = 1 + 0 =1
1
xQ F1 x lim
x QF 1 x
1
Como foi visto 1 é uma indeterminação A
Este limite pode ser provado, mas a demonstração envolve noções de séries, por este
motivo será omitida.
x
afffff
f fff
f@f f
ff 1
f ff
ff
F9 lim = lna DEB
xQ0 x
aa aa
f+ ffff1
fffffff f+ ffff1
` ` a
fffff@ff fffff@ff 1f@ff 0f
1ffffffff 1ffffffff ffff f
fx f f f0 f f
ffffffff ffffffff ffff f
fffffff ffff f
ff1
ff
lim = = =
x Q0 x 0 0 0
Indeterminação do tipo 0/0 , logo podemos aplicar a regra de L’Hospital para resolver,
contudo a regra não deve ser utilizada se o estudante ainda não entrou no estudo da
Derivada e Diferencial.
a) Para aqueles que já conhecem a regra:
aa
f+ f fff1
`
fffff@ff 0f
1ffffffff f
fx f f
fffff fff f
fffffff f
lim =
x Q0 x 0
Definindo o numerador como f e o denominador como g , diferenciando em relação à x
, independentemente o quociente temos:
+fffffff
` aa
fff ff@ ff
1fffffff1f
xfffff
ff f fff
ff
f
F10 lim =a ff
ff
ff
f f.ff
ff
ff
ff
f
` aa @ 1 `
affffxffffff+ffffff
ff+ ffffAf0fffffff
fff f @ 0
f1 fffffffff1ffff
ffffffffffffffff
ffff fff fff ffff
ff f
a
aa @ 1
L = lim = lim = lim = lim a 1 + x
`
xQ0 x x Q0 g x Q 0 g. x Q0 1 x Q0
` aa @ 1
=a A 1 = a A1 A1 = a
a @1
b) Demonstração por propriedades:
I – Multiplicando e dividindo por ln 1 + x ;
` a
II – Alternando a ordem dos fatores;
z~ I |~
~~ ~~x
~ ~ ~~~~~ II ~~~~~
z~~~~~ |~~~~~x
~~~~~ ~~~~~
aa
f+ ffff1
`
fffff@ff lnf1ffxf
1ffffffff ` + a
fx f f
fff fffff fffff f
fffffff ffffff
aa
fff+fff 1f fff@ff
ffffff f+ f fff1
` a `
lim A ffffff = lim lnffffxfA fffxfffaff
ffffff
f f f1 ff f fffffff
ffffff fff fffff
ff f ff ff
x Q0 x ` a
ln 1 + x
x Q0 `
x ln 1 + x

7. GUIDG.COM – PG. 7
III – Propriedade de logaritmos, a fração 1/x sobe como expoente de (1 + x) ;
IV – Propriedade de limites, o limite de um produto é o produto dos limites;
~~~~~~~~ IV ~~~~~~~~
z~~~~~~~~ |~~~~~~~~x
~~~~~~~~ ~~~~~~~~
z~ III |~ `
~~ ~~
~~ ~~x aa
f+ ffff1
fffff@ff
1ffffffff
fx f f
fff fffff
fffffff
aa
f+ f fff1
1f
`
lim 1f
ff
f
f
A ` a = a ff
ff
fx @ f
1ffffffff
x A lim ffffffff
fffff fff
fffffff
lim ln 1 + x
`
ln 1 + x ln 1 + x
` a
x
ln 1 + x
x Q0 ` a
x Q0 x Q0
V – Propriedade de limites, o limite de um logaritmo é o logaritmo do limite;
VI – Limite fundamental F7;
VII – Equivalência fundamental de logaritmos, ln e = log e e ^ e x = e , x = 1 ;
z~~~~ V |~~~~
~~~~~ ~~~~~
~~~~~ ~~~~~x
h i
z~~F7 =~~~x
~=
~VI ~ |~~
e ~ aa v aa
f+ ffff1 +x ff
~~ ~ ` d VII e `
fffff@ff
1ffffffff
fx f f
ffffffff
fffffff fffff@ff
1ffffffff
fff fff1
fffff fff
fffffff
l 1f m A lim
ff m
f
f
ln l lim`1 + xa x k x Q 0 ln 1 + x a = ln e A lim
x Q 0 ln 1 + x
` ` a
j
x Q0
aa
f+ ffff1
`
fffff@ff
1ffffffff
fx f f
fffff fff
fffffff
Portanto resumimos para: lim
ln 1 + x
` a
x Q0
VIII – Multiplicando e dividindo por a ;
IX – Novamente a propriedade de logaritmos, a sobe como expoente de (1 + x) ;
aa
X – Definindo 1 + x = u , temos que se x Q 0 , u Q 1 ;
`
VIII B` aa C z~~ X |~~
1 + x @1
aa z |x ~~~ ~~~
~~~ ~~~x
f+ ffff1
`
fffff@ff d af
1ffffffff ff
fx f f
ffffffff f
fffffff e affffffffff
ffffffffff
ffffffffff
ffffffffff
ffffffffff ` a
f = lim b
a a c = lim fffffff
ff@ f f
lim a A afffffff
ffff1 f
fu ffff
f fff
x Q 0 ln 1 + x
`
ln 1 + x
x Q0
`
a ln u
{~~ }~~y u Q 1
~~
~~ ~~ ~~
IX
XI – Definindo u – 1 = y , temos que se u Q 1 , y Q 0 , u = 1 + y ;
XII – Dividindo o numerador e o denominador por y ;
XIII – Propriedade de limites; o limite de um quociente é o quociente dos limites;
XIV – Propriedade de logaritmos, a fração 1/y sobe como expoente de (1 + y) ;
~~~~XIII ~~~~
z~~~~ |~~~~x
~~~~ ~~~~
~XII ~
z~ |~
~~ ~~x d e
~~~ XI ~~~
z~~~ |~~~x
~~~ ~~~
ffffffff
fffffff
fffffff
ffa ffff
f lim a
fffffff
ffayfff
fffffff
fff fff
fff fff
ff b c fffffQfffffff
fffffffffffff
ffffff0ffffff
ffffff ffffff
ffffff ffffff
y ff
c = lim ln 1 + y
ffffff =
lim b
y Q 0 fffffff
ffffff
ffffff
ffffff c 1ff
ff
ln 1 + y
y Q0 b
1+
y
y lim ln~~ y~~
y Q0 {~ }~
~~ ~~y
XIV
XV – Propriedade que decorre da definição, P1-b;
XVI – Propriedade de limites, o limite de um logaritmo é o logaritmo do limite;
XVII – Novamente o limite fundamental F7;
z~ = a|~
XV
~~ ~~x
~ ~
d e
lim a
ffffffff0fffffffff fff
ffffffffffffffff fff
ffffffff ffffffff ff
ffffffQfffffffff a f
ffffffffffffffff ff
y ff f
h i = =a
b c 1ff m
ff ln e
ln l ylim0 1 + y
l y
m
j {~~ }~~ k
Q~
~~~ ~~~y
~ ~~
{~~~~ = F7~e~~~
~~ = ~
~~~XVII ~~ ~~~y
~~~~~ }~ ~~~
XVI
Portanto o limite F10 esta provado.
x x
lim ff ff= ln f
F11
affffff af
f @ff
fff f
ffb f
ff ff DEB
xQ0 x b
Fontes de pesquisa e estudo:
Paulo Boulos - Cálculo diferencial e integral Vol.1 ; Diva Marilia Flemming - Cálculo A ; Louis Leithold - O cálculo
com geometria analítica Vol.1 ; Apostila/Livro de CDI-1 UDESC 2010-1.