1. O documento descreve a formalização do conceito de limite para funções de uma ou mais variáveis, apresentando as definições formais de limite.
2. Inicialmente, é revisado o conceito intuitivo de limite para funções de uma variável e apresentada a definição formal proposta por Cauchy no século XIX.
3. Em seguida, a definição é generalizada para limite de funções de duas ou mais variáveis, utilizando os conceitos de intervalos em torno do limite e do ponto.
1. O documento discute conceitos fundamentais de álgebra linear como base, dimensão e coordenadas de vetores. É apresentada a definição formal de base e exemplos para R3.
2. São listadas as bases canônicas dos principais espaços vetoriais como Rn, M(2x2) e Pn. É explicado o Teorema da Invariância e o processo para obter uma base de um subespaço.
3. Os conceitos de dimensão, subespaços e suas propriedades são definidos. São mostrados teoremas e proposições
A aula apresenta a regra da cadeia para derivar funções compostas de uma ou mais variáveis. A regra é generalizada para funções de várias variáveis intermediárias e variáveis independentes. Exemplos ilustram o cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia.
O documento apresenta uma introdução à análise de sensibilidade em problemas de programação linear, descrevendo como pequenas alterações nos parâmetros do problema, como adição de variáveis, restrições ou modificações nos vetores b, c, podem afetar as soluções ótimas. A análise de sensibilidade permite avaliar o impacto dessas alterações sem precisar resolver o problema do zero.
O documento discute a dualidade entre problemas de programação linear primal e dual. Explica como o problema dual é formado a partir do problema primal, com as restrições do primal se tornando a função objetivo do dual e vice-versa. Também mostra como a solução ótima do problema primal está relacionada à solução ótima do problema dual através do princípio da dualidade forte e fraca.
[Robson] 7. Programação Não Linear Irrestritalapodcc
O documento discute conceitos fundamentais de programação não linear, incluindo: (1) o problema geral de otimização, (2) classes de problemas de otimização dependendo das propriedades da função objetivo e do conjunto de restrições, (3) condições necessárias e suficientes de primeira e segunda ordem para otimalidade de problemas contínuos e (4) aplicação destes conceitos em problemas quadráticos.
O documento descreve algoritmos de otimização para problemas de grande porte, como o problema de cortes unidimensional. Ele apresenta formulações de Kantorovich, Gilmore e Gomory para o problema, além de explicar o método de geração de colunas para resolver as formulações de forma implícita evitando enumerar todas as colunas. O documento também discute a geração de planos de corte aplicando o método de geração de colunas ao dual do problema.
1) O documento descreve a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e apresenta exemplos de sua aplicação.
2) A derivada implícita permite calcular a derivada de funções definidas por equações, derivando ambos os lados da equação.
3) A derivada de funções potência f(x)=xr é dada por rxr-1, onde r é um número racional.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais do método simplex para resolver problemas de programação linear. Ele explica que o método simplex se baseia no fato de que, se um problema linear possui uma solução ótima, então existe uma solução básica ótima viável. O documento também descreve como o método simplex move de uma solução básica viável para outra de menor custo, até encontrar a solução ótima.
1. O documento discute conceitos fundamentais de álgebra linear como base, dimensão e coordenadas de vetores. É apresentada a definição formal de base e exemplos para R3.
2. São listadas as bases canônicas dos principais espaços vetoriais como Rn, M(2x2) e Pn. É explicado o Teorema da Invariância e o processo para obter uma base de um subespaço.
3. Os conceitos de dimensão, subespaços e suas propriedades são definidos. São mostrados teoremas e proposições
A aula apresenta a regra da cadeia para derivar funções compostas de uma ou mais variáveis. A regra é generalizada para funções de várias variáveis intermediárias e variáveis independentes. Exemplos ilustram o cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia.
O documento apresenta uma introdução à análise de sensibilidade em problemas de programação linear, descrevendo como pequenas alterações nos parâmetros do problema, como adição de variáveis, restrições ou modificações nos vetores b, c, podem afetar as soluções ótimas. A análise de sensibilidade permite avaliar o impacto dessas alterações sem precisar resolver o problema do zero.
O documento discute a dualidade entre problemas de programação linear primal e dual. Explica como o problema dual é formado a partir do problema primal, com as restrições do primal se tornando a função objetivo do dual e vice-versa. Também mostra como a solução ótima do problema primal está relacionada à solução ótima do problema dual através do princípio da dualidade forte e fraca.
[Robson] 7. Programação Não Linear Irrestritalapodcc
O documento discute conceitos fundamentais de programação não linear, incluindo: (1) o problema geral de otimização, (2) classes de problemas de otimização dependendo das propriedades da função objetivo e do conjunto de restrições, (3) condições necessárias e suficientes de primeira e segunda ordem para otimalidade de problemas contínuos e (4) aplicação destes conceitos em problemas quadráticos.
O documento descreve algoritmos de otimização para problemas de grande porte, como o problema de cortes unidimensional. Ele apresenta formulações de Kantorovich, Gilmore e Gomory para o problema, além de explicar o método de geração de colunas para resolver as formulações de forma implícita evitando enumerar todas as colunas. O documento também discute a geração de planos de corte aplicando o método de geração de colunas ao dual do problema.
1) O documento descreve a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e apresenta exemplos de sua aplicação.
2) A derivada implícita permite calcular a derivada de funções definidas por equações, derivando ambos os lados da equação.
3) A derivada de funções potência f(x)=xr é dada por rxr-1, onde r é um número racional.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais do método simplex para resolver problemas de programação linear. Ele explica que o método simplex se baseia no fato de que, se um problema linear possui uma solução ótima, então existe uma solução básica ótima viável. O documento também descreve como o método simplex move de uma solução básica viável para outra de menor custo, até encontrar a solução ótima.
O documento descreve os conceitos fundamentais da programação não linear com restrições, incluindo:
1) Definição do problema de otimização sobre um conjunto convexo com restrições não lineares;
2) Condições de otimalidade para problemas convexos;
3) Noções de pontos estacionários e restrições ativas e inativas.
O documento descreve conceitos fundamentais de programação não-linear (PNL) como funções objetivo, restrições de igualdade e desigualdade, multiplicadores de Lagrange, condições de Karush-Kuhn-Tucker. Também apresenta métodos numéricos para resolver PNLs como gradiente, Newton e pontos interiores.
1. O documento apresenta uma síntese das equações de Maxwell, incluindo suas formas discreta e fasorial. As equações descrevem as relações entre os campos elétrico e magnético.
2. A condição de Lorentz para potenciais é discutida, relacionando potenciais variantes no tempo com a obtenção desta condição. A equação de Poisson é resolvida.
3. As equações da onda eletromagnética são deduzidas para vácuo, meios dielétricos, condutores e polarização linear
O documento descreve conceitos básicos de geometria da programação linear, incluindo definições de poliedros, semiespaços, hiperplanos e suas relações. Também apresenta definições equivalentes de pontos extremos, vértices e soluções básicas de um poliedro.
Este documento fornece uma introdução à programação linear e não linear. Resume os principais conceitos como: 1) Definição de programação matemática e seus modelos geral, linear e não linear; 2) Métodos numéricos e analíticos para resolver problemas de otimização; 3) Noções fundamentais como gradiente, hessiana, convexidade e suas propriedades.
1) O documento discute o conceito e propriedades do máximo divisor comum (mdc) de dois inteiros;
2) Apresenta o algoritmo de Euclides para calcular o mdc através de divisões sucessivas;
3) Mostra que o mdc pode ser caracterizado como a menor combinação linear positiva dos inteiros com coeficientes inteiros.
1. O documento apresenta uma introdução sobre sequências, definindo conceitos básicos como sequências finitas e infinitas, operações entre sequências e propriedades dessas operações.
2. É discutido o cálculo de limites de sequências, incluindo limites infinitos, e propriedades aritméticas dos limites. Também são apresentados exemplos de cálculo de limites.
3. Por fim, são abordados tópicos como sequências monotônicas, valores de aderência, limites preservando desigualdades e cálculo
Kalman Filter - Video tracking Talk at IME-USPJorge Leandro
[1] O documento discute o filtro de Kalman e rastreamento em sequências de vídeo. [2] Aborda conceitos como estimativas ótimas, o princípio da ortogonalidade e características do filtro de Kalman. [3] Também apresenta uma perspectiva probabilística do problema de rastreamento com base na inferência bayesiana.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo: (1) noção intuitiva de limites, (2) limites laterais, (3) definição formal de limite, (4) propriedades dos limites e (5) continuidade de funções.
Este documento apresenta métodos para calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais. Inclui o método das seções transversais e o método das cascas cilíndricas. Exemplos ilustram como aplicar as fórmulas para calcular volumes de objetos como esferas, toros e cones. Exercícios práticos são fornecidos para treinar o uso dos métodos.
O documento discute a dualidade em programação linear. Apresenta o problema primal de uma dieta e sua formulação matemática, e em seguida formula o problema dual correspondente. Define formalmente o problema dual e apresenta propriedades básicas da relação entre problemas primal e dual, como o dual do dual ser o primal original. Por fim, apresenta teoremas fundamentais sobre a dualidade, como o teorema que estabelece que se um problema tiver solução ótima, o outro também terá.
O documento discute limites de funções. Aborda conceitos como limite de funções, propriedades dos limites, limites laterais, limites no infinito e infinitos, critérios para limites como o critério de Cauchy e o teorema do sanduíche. Também discute relação entre limites e sequências, limites de funções em espaços métricos e o critério de Stolz-Cesàro para limites de funções.
1) O documento introduz limites como ferramentas para estudar o comportamento de funções reais, fornecendo informações sobre suas propriedades gráficas.
2) A definição formal de limite é matematicamente sofisticada, mas uma exploração intuitiva do conceito através de exemplos é mais útil para calcular limites.
3) Limites podem ser finitos, infinitos ou indeterminados, e seu cálculo depende do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
Este documento apresenta exercícios sobre cálculo de limites, continuidade e prolongamento por continuidade. Na primeira parte, propõe o cálculo de vários limites. Na segunda parte, resolve exercícios semelhantes, mostrando os passos de resolução detalhadamente. Discute a existência ou não de limites através do cálculo de limites direcionais.
Cap.10 Multicolinearidade.pptCap.10 Multicolinearidade.pptCap.10 Multicolinea...Cleverson Neves
O documento discute o conceito de multicolinearidade em modelos de regressão múltipla. A multicolinearidade ocorre quando duas ou mais variáveis explicativas são altamente correlacionadas entre si, dificultando a estimação isolada do efeito de cada variável. No caso de multicolinearidade perfeita, os coeficientes de regressão são indeterminados e seus erros-padrão são infinitos, tornando o modelo instável. Já em casos de alta, mas imperfeita, correlação entre variáveis, a estimação é possível, porém menos precisa
unidade-1.1-noção intuitiva de limite-limites laterais.pptThaysonDourado1
Este documento apresenta um resumo do conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral 01. A ementa inclui tópicos como limites, derivadas, integrais e seus principais teoremas e métodos de integração. Há também referências bibliográficas sobre o assunto.
Aula 8: O degrau de potencial. Caso I: Energia menor que o degrauAdriano Silva
Este documento descreve um caso de mecânica quântica envolvendo uma partícula que incide sobre um potencial em forma de degrau. O documento apresenta:
1) A equação de Schrödinger para este problema é resolvida separadamente para as regiões x<0 e x>0 do potencial.
2) As soluções são "costuradas" impondo condições de continuidade na interface.
3) Isto mostra que a probabilidade de encontrar a partícula na região classificamente proibida é não-nula, diferentemente da
O documento discute os conceitos fundamentais de limites e derivadas. Apresenta como Fermat percebeu as limitações do conceito clássico de tangente e a necessidade de reformular o conceito de traçar uma tangente a uma curva. Também discute como conceitos como variável, constante e parâmetro foram introduzidos por Leibniz, dando origem ao cálculo diferencial.
O documento descreve os conceitos fundamentais da programação não linear com restrições, incluindo:
1) Definição do problema de otimização sobre um conjunto convexo com restrições não lineares;
2) Condições de otimalidade para problemas convexos;
3) Noções de pontos estacionários e restrições ativas e inativas.
O documento descreve conceitos fundamentais de programação não-linear (PNL) como funções objetivo, restrições de igualdade e desigualdade, multiplicadores de Lagrange, condições de Karush-Kuhn-Tucker. Também apresenta métodos numéricos para resolver PNLs como gradiente, Newton e pontos interiores.
1. O documento apresenta uma síntese das equações de Maxwell, incluindo suas formas discreta e fasorial. As equações descrevem as relações entre os campos elétrico e magnético.
2. A condição de Lorentz para potenciais é discutida, relacionando potenciais variantes no tempo com a obtenção desta condição. A equação de Poisson é resolvida.
3. As equações da onda eletromagnética são deduzidas para vácuo, meios dielétricos, condutores e polarização linear
O documento descreve conceitos básicos de geometria da programação linear, incluindo definições de poliedros, semiespaços, hiperplanos e suas relações. Também apresenta definições equivalentes de pontos extremos, vértices e soluções básicas de um poliedro.
Este documento fornece uma introdução à programação linear e não linear. Resume os principais conceitos como: 1) Definição de programação matemática e seus modelos geral, linear e não linear; 2) Métodos numéricos e analíticos para resolver problemas de otimização; 3) Noções fundamentais como gradiente, hessiana, convexidade e suas propriedades.
1) O documento discute o conceito e propriedades do máximo divisor comum (mdc) de dois inteiros;
2) Apresenta o algoritmo de Euclides para calcular o mdc através de divisões sucessivas;
3) Mostra que o mdc pode ser caracterizado como a menor combinação linear positiva dos inteiros com coeficientes inteiros.
1. O documento apresenta uma introdução sobre sequências, definindo conceitos básicos como sequências finitas e infinitas, operações entre sequências e propriedades dessas operações.
2. É discutido o cálculo de limites de sequências, incluindo limites infinitos, e propriedades aritméticas dos limites. Também são apresentados exemplos de cálculo de limites.
3. Por fim, são abordados tópicos como sequências monotônicas, valores de aderência, limites preservando desigualdades e cálculo
Kalman Filter - Video tracking Talk at IME-USPJorge Leandro
[1] O documento discute o filtro de Kalman e rastreamento em sequências de vídeo. [2] Aborda conceitos como estimativas ótimas, o princípio da ortogonalidade e características do filtro de Kalman. [3] Também apresenta uma perspectiva probabilística do problema de rastreamento com base na inferência bayesiana.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo: (1) noção intuitiva de limites, (2) limites laterais, (3) definição formal de limite, (4) propriedades dos limites e (5) continuidade de funções.
Este documento apresenta métodos para calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais. Inclui o método das seções transversais e o método das cascas cilíndricas. Exemplos ilustram como aplicar as fórmulas para calcular volumes de objetos como esferas, toros e cones. Exercícios práticos são fornecidos para treinar o uso dos métodos.
O documento discute a dualidade em programação linear. Apresenta o problema primal de uma dieta e sua formulação matemática, e em seguida formula o problema dual correspondente. Define formalmente o problema dual e apresenta propriedades básicas da relação entre problemas primal e dual, como o dual do dual ser o primal original. Por fim, apresenta teoremas fundamentais sobre a dualidade, como o teorema que estabelece que se um problema tiver solução ótima, o outro também terá.
O documento discute limites de funções. Aborda conceitos como limite de funções, propriedades dos limites, limites laterais, limites no infinito e infinitos, critérios para limites como o critério de Cauchy e o teorema do sanduíche. Também discute relação entre limites e sequências, limites de funções em espaços métricos e o critério de Stolz-Cesàro para limites de funções.
1) O documento introduz limites como ferramentas para estudar o comportamento de funções reais, fornecendo informações sobre suas propriedades gráficas.
2) A definição formal de limite é matematicamente sofisticada, mas uma exploração intuitiva do conceito através de exemplos é mais útil para calcular limites.
3) Limites podem ser finitos, infinitos ou indeterminados, e seu cálculo depende do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
Este documento apresenta exercícios sobre cálculo de limites, continuidade e prolongamento por continuidade. Na primeira parte, propõe o cálculo de vários limites. Na segunda parte, resolve exercícios semelhantes, mostrando os passos de resolução detalhadamente. Discute a existência ou não de limites através do cálculo de limites direcionais.
Cap.10 Multicolinearidade.pptCap.10 Multicolinearidade.pptCap.10 Multicolinea...Cleverson Neves
O documento discute o conceito de multicolinearidade em modelos de regressão múltipla. A multicolinearidade ocorre quando duas ou mais variáveis explicativas são altamente correlacionadas entre si, dificultando a estimação isolada do efeito de cada variável. No caso de multicolinearidade perfeita, os coeficientes de regressão são indeterminados e seus erros-padrão são infinitos, tornando o modelo instável. Já em casos de alta, mas imperfeita, correlação entre variáveis, a estimação é possível, porém menos precisa
unidade-1.1-noção intuitiva de limite-limites laterais.pptThaysonDourado1
Este documento apresenta um resumo do conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral 01. A ementa inclui tópicos como limites, derivadas, integrais e seus principais teoremas e métodos de integração. Há também referências bibliográficas sobre o assunto.
Aula 8: O degrau de potencial. Caso I: Energia menor que o degrauAdriano Silva
Este documento descreve um caso de mecânica quântica envolvendo uma partícula que incide sobre um potencial em forma de degrau. O documento apresenta:
1) A equação de Schrödinger para este problema é resolvida separadamente para as regiões x<0 e x>0 do potencial.
2) As soluções são "costuradas" impondo condições de continuidade na interface.
3) Isto mostra que a probabilidade de encontrar a partícula na região classificamente proibida é não-nula, diferentemente da
O documento discute os conceitos fundamentais de limites e derivadas. Apresenta como Fermat percebeu as limitações do conceito clássico de tangente e a necessidade de reformular o conceito de traçar uma tangente a uma curva. Também discute como conceitos como variável, constante e parâmetro foram introduzidos por Leibniz, dando origem ao cálculo diferencial.
1. A função H(x) não tem limite quando x tende a 0, pois seus limites laterais à esquerda e à direita são diferentes.
2. O limite de (1 - 4x^2) quando x tende a -1 é -3, enquanto o limite de 3/(1+x) quando x tende a 2 é 1.
3. O limite de x sen(1/x) quando x tende a 0 é 0, embora o limite de sen(1/x) isoladamente não exista na origem.
O documento apresenta uma introdução aos conceitos fundamentais do cálculo diferencial e integral. Em três frases ou menos, resume-se:
O texto define limites de funções de forma intuitiva e por meio de símbolos, apresenta noções sobre derivadas, incluindo a taxa de variação instantânea e a condição de derivabilidade. Também aborda teoremas como o do valor médio e do valor extremo, importantes para a otimização de funções.
O documento descreve cálculo de funções de várias variáveis, incluindo:
1) Definição de funções de duas e três variáveis e exemplos de domínio e imagem
2) Conceito de curvas de nível para funções de duas variáveis
3) Limites e continuidade de funções de duas variáveis
4) Introdução às derivadas parciais de funções de duas variáveis
O documento descreve cálculo de funções de várias variáveis, incluindo:
1) Definição de funções de duas e três variáveis e exemplos de domínio e imagem
2) Conceito de curvas de nível para funções de duas variáveis
3) Limites e continuidade de funções de duas variáveis
4) Introdução às derivadas parciais de funções de duas variáveis
Este documento apresenta exemplos de funções quadráticas e explica como identificar os coeficientes a, b e c, além de discutir zeros, vértice e aplicações destas funções.
O documento descreve a lógica fuzzy, que permite valores de verdade contínuos entre 0 e 1 ao invés de apenas verdadeiro ou falso. Isso permite expressar conceitos vagos usando graus de pertinência a conjuntos fuzzy. A lógica fuzzy tem aplicações em sistemas de controle e raciocínio aproximado.
O documento apresenta exemplos de funções quadráticas e explica como identificar os coeficientes a, b e c nessas funções. Também discute a representação algébrica e gráfica de funções quadráticas e conceitos como vértice, raízes e domínio.
Este documento apresenta os principais conceitos de cálculo diferencial, incluindo limites, derivadas, regras de derivação e suas interpretações geométricas. Inicia com a definição formal de limite e exemplos de cálculo de limites finitos, infinitos e laterais. Em seguida, introduz a noção de derivada, interpretando-a geometricamente como a inclinação da reta tangente, e apresenta regras para derivar funções polinomiais, exponenciais, trigonométricas, logarítmicas e suas combinações.
O documento apresenta um resumo sobre limites e derivadas. Ele começa definindo limites de forma intuitiva e apresentando tabelas de aproximações. Em seguida, mostra como calcular limites em casos de indeterminação do tipo 0/0, sem necessidade de tabelas, simplificando a expressão da função. Por fim, apresenta alguns exemplos de cálculo de limites.
Este documento apresenta um resumo sobre limites e derivadas. Discute noções intuitivas de limite, tabelas de aproximações, cálculo de indeterminações do tipo 0/0, propriedades dos limites e continuidade. Também aborda derivadas de funções, regras de derivação, derivadas de funções elementares e aplicações da derivada.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre funções quadráticas, incluindo: (1) como identificar os coeficientes a, b e c; (2) como determinar os zeros ou raízes; (3) como determinar o vértice. Exemplos são fornecidos para ilustrar cada conceito.
1) O documento introduz os conceitos de limites de funções reais, fornecendo exemplos intuitivos para calcular limites e ilustrar seu significado geométrico.
2) Limites podem ser finitos, infinitos ou não existirem, dependendo do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
3) Exemplos mostram como calcular limites finitos, limites quando a variável tende ao infinito e limites indeterminados.
1) O documento discute limites de sequências e funções, introduzindo conceitos como limite à esquerda, direita e geral.
2) É apresentado o paradoxo de Zenão sobre a corrida de Aquiles e a tartaruga, ilustrando o conceito de limite de uma sequência.
3) Definições formais de limite são fornecidas, incluindo limites laterais e unicidade do limite. Exemplos ilustram como calcular limites.
O documento apresenta exemplos de funções quadráticas e explica como identificar os coeficientes a, b e c nessas funções. Também discute a representação algébrica e gráfica de funções quadráticas e conceitos como vértice, raízes e concavidade.
O documento apresenta exercícios sobre coordenadas cartesianas e funções. Os exercícios incluem marcar pontos no plano cartesiano, desenhar regiões definidas por fórmulas, calcular distâncias entre pontos, encontrar domínios de funções, avaliar funções em pontos específicos, verificar se funções são limitadas ou periódicas. As respostas devem conter todo o raciocínio lógico desenvolvido.
Os documentos resumem cursos sobre limites, derivadas, integrais, equações diferenciais, séries, geometria analítica e funções econômicas. Os cursos abordam conceitos básicos e avançados destes tópicos da matemática e suas aplicações.
1) O documento apresenta um exercício de álgebra linear e geometria analítica sobre determinar a quantidade de diferentes frutas compradas de acordo com seus preços por grama.
2) Utiliza a regra de Cramer para resolver o sistema linear gerado pelos dados e encontrar os valores de B, L e M.
3) Explica como generalizar o método para sistemas lineares de qualquer ordem e apresenta outro método para resolver o exercício.
1) O documento descreve os conceitos de movimento periódico e oscilatório harmônico simples (MHS).
2) No MHS, a força que atua no objeto é proporcional à sua elongação em relação à posição de equilíbrio.
3) São apresentadas as equações que descrevem a elongação, velocidade, aceleração e força em função do tempo para um MHS.
Projeto Integrador - Aproveitamento de água de chuvajoeljuniorunivesp
Este documento apresenta um modelo replicável de aproveitamento de água da chuva para construções residenciais já existentes, analisando custos e viabilidade de implantação. O modelo propõe um sistema de captação de água da chuva através de uma mini cisterna, estima os custos de materiais e analisa a redução potencial na conta de água e a viabilidade econômica e ambiental da implantação deste sistema.
Esta aula discute como encontrar e utilizar a teoria para fundamentar um projeto de pesquisa, incluindo como interagir com textos clássicos e recentes e obter recomendações do orientador sobre autores e livros importantes. Também aborda a seleção e organização da bibliografia usando perguntas-chave e ferramentas como periódicos científicos e portais de busca para encontrar informações confiáveis.
Este documento discute como elaborar um projeto de pesquisa científica, incluindo como definir o problema de pesquisa, desenvolver um título atraente e sucinto, delimitar o tema com foco e dentro do tempo e orçamento disponíveis, formular o problema e objetivo de forma clara, e estabelecer o método e cronograma de pesquisa desde o início.
O documento discute os principais passos para realizar pesquisa científica, incluindo identificar um problema de pesquisa, revisar a literatura existente, definir o problema, criar estratégias para resolvê-lo com base em modelos existentes, propor teorias e hipóteses, e testá-las com dados e fatos.
O documento apresenta uma aula introdutória sobre metodologia científica. Ele define método científico como a maneira de produzir conhecimento de forma estruturada e segundo padrões internacionais, distinguindo conhecimento empírico e científico. Apresenta também as etapas do método científico, desde a observação até a conclusão, e a estrutura para apresentação de trabalhos científicos.
Civil engineering focuses on constructing infrastructure like bridges, roads, buildings and airports. Mechanical engineering involves designing, testing, manufacturing and operating tools and machinery. Electrical and electronic engineering both relate to electricity but electrical engineering deals with generating and distributing electricity while electronic engineering develops electronic components for communication, computing and other applications.
Brazil has an estimated 20% of the world's biodiversity within its borders, with over 2 million scientifically documented species of plants, animals, and microorganisms. The Amazon tropical forest is fundamental to Brazil's biodiversity and is home to the majority of the country's biodiversity, despite ongoing threats of deforestation.
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A força resultante sobre um carrinho é de 60N para a direita. Isso faz com que o carrinho acelere a 1,5 m/s2. Após 10 segundos, sua velocidade será de 15 m/s. Ao parar a força, o carrinho desacelera a 6 m/s2 até parar completamente após 2,5 segundos.
Equilíbrio estático ocorre quando a soma das forças que atuam em um corpo é nula. Isso significa que a força resultante é igual a zero e o corpo permanece parado ou em movimento uniforme sem aceleração.
1) O documento descreve a posição, velocidade e aceleração de um móvel em função do tempo, encontrando que a velocidade é de -10t e a aceleração é constante de 10.
2) Ao calcular a velocidade e posição de duas crianças correndo, encontra-se que após 22 segundos a distância entre elas é de aproximadamente 49,2 metros.
3) São apresentados cálculos para encontrar a velocidade relativa de uma criança em relação à outra, encontrando ser de aproximadamente 2,2 m/
Este documento resume um conjunto de aulas sobre cinemática de projéteis. Ele apresenta:
1) A posição inicial de um projétil é zero no instante inicial t=0.
2) O tempo para o projétil atingir o ponto P é 16 segundos.
3) As coordenadas do ponto Q, atingido no instante t=20s, são (1200, -400).
Energia e sustentabilidade: segurança e diversificação da matriz energética d...joeljuniorunivesp
O documento apresenta um estudo sobre a matriz energética do estado de São Paulo, descrevendo as principais fontes de energia utilizadas atualmente como hidrelétrica, eólica, solar, gás natural, biomassa e petróleo. O objetivo é analisar estas fontes para propor um modelo energético mais diversificado e sustentável para o estado.
O documento descreve um livro sobre funções de uma variável. O livro aborda tópicos como números, funções, limites e continuidade, derivadas, integral e aplicações destes conceitos. O sumário lista os capítulos e subseções que compõem o conteúdo do livro.
O documento apresenta exercícios de matemática sobre números complexos. Na questão 1, pede para encontrar as partes em que 4 pode ser dividido de forma que o produto seja igual a 5. Na questão 2, pede para resolver equações considerando números complexos. Na questão 3, pede para identificar afirmativas verdadeiras sobre números complexos e irracionais.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
1. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 1
Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite
2.3.1 - Limite de uma fun¸c˜ao de uma vari´avel 2.3.3 - Limite de uma fun¸c˜ao de n vari´aveis
2.3.2 - Limite de uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis
Este cap´ıtulo ´e dedicado `a formaliza¸c˜ao do conceito de limite, tanto daquele visto para fun¸c˜oes de uma
vari´avel real quanto para fun¸c˜oes de duas ou mais vari´aveis reais. ´E
um cap´ıtulo de aprofundamento, com
conceitos um pouco mais complexos do que normalmente ´e ensinado em alguns cursos de C´alculo.
2.3.1 - Limite de uma fun¸c˜ao de uma vari´avel
Para definir de forma mais rigorosa o que ´e um limite de fun¸c˜oes de duas ou mais vari´aveis ´e necess´ario
aprofundar o conceito de limite visto at´e ent˜ao. Antes de mostrar a defini¸c˜ao formal do limite de uma fun¸c˜ao
f = f(x) quando x → x0, ´e bom lembrar que, embora o C´alculo Diferencial e Integral tenha surgido com Isaac
Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1717) no s´eculo XVII, foi somente no s´eculo XIX
que essa defini¸c˜ao foi formalizada pelo francˆes Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e pelo alem˜ao Karl Theodor
Wilhelm Weierstrass (1815-1897).
Dado um limite lim
x!x0
f(x) = L, a defini¸c˜ao formal baseia-se em construir dois intervalos abertos: um em
torno do limite L e outro em torno do ponto x0, como mostra a primeira figura a seguir. O intervalo em torno
de x0 tem que ser pequeno o suficiente para que a sua imagem esteja contida no intervalo em torno do limite
L (segunda figura a seguir).
x
y
x0
L
bc
bc
y
bc
bcbc x
x0
L
bc
bcbc
Prova-se que o limite ´e verdadeiro se, para qualquer intervalo em torno de L, n˜ao importa o qu˜ao pequeno
ele seja, for sempre poss´ıvel encontrar um intervalo em torno de x0 de modo que a imagem desse intervalo esteja
contida no intervalo em torno de L. A figura a seguir mostra um caso em que isto n˜ao ´e poss´ıvel, mostrando
que o limite ´e falso.
bc
Lb
bc
bc
bcbc x
x
g(x)
bc
Lb
bc
bc
0 x0
g(x)
bcbc
0 x0
Determinando que o intervalo em torno de L ´e dado por (L − ǫ,L + ǫ) e o intervalo em torno de x0 ´e dado
por (x0 − δ, x0 + δ), onde ǫ (´epsilon) e δ (delta) s˜ao ambos maiores que zero, podemos dizer que o limite est´a
2. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 2
correto se, para y ∈ (L−ǫ,L+ǫ), existir sempre um δ > 0 tal que x ∈ (x0−δ, x0 +δ). Isto tem que ser verdade
para qualquer valor de ǫ que escolhermos. Um exemplo mais espec´ıfico ´e dado a seguir.
Isaac Newton (1642-1727): Newton foi um dos maiores gˆenios da humanidade. Nasceu na pequena cidade
de Woolsthorpe, na Inglaterra, e estudou na Universidade de Cambridge, tornando-se depois professor nessa
mesma universidade. Ele era f´ısico, matem´atico, astrˆonomo e alquimista, tendo contribu´ıdo significativamente
para todos esses campos. Ele foi o criador da mecˆanica racional e da lei da gravita¸c˜ao universal. Foi um dos
criadores do C´alculo Diferencial e Integral, juntamente com Leibniz. Desenvolveu v´arios trabalhos em ´optica,
tendo revolucionado essa ´area da F´ısica. Tamb´em foi dele a inven¸c˜ao do telesc´opio refletor, que ´e usado em
observat´orios do mundo inteiro e no espa¸co. Newton tamb´em exerceu importantes cargos p´ublicos e foi sagrado sir
(cavalheiro) pela rainha da Inglaterra na ´epoca. Morreu como uma celebridade em seu pa´ıs, embora j´a mostrasse
v´arios sinais de demˆencia senil.
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1717): matem´atico, fil´osofo, f´ısico e estudioso das leis alem˜ao. Nasceu
em Leipzig e estudou na prestigiosa universidade de mesmo nome. Junto com Newton, foi o criador do C´alculo
Diferencial e Integral. Tamb´em foi respons´avel por boa parte da nota¸c˜ao matem´atica usada at´e hoje. Al´em disso,
foi um grande fil´osofo, tendo tecido uma vis˜ao de um universo baseado em princ´ıpios fundamentais e racionais, sem
rejeitar as concep¸c˜oes crist˜as. Sua convic¸c˜ao de que tudo podia ser demonstrado racionalmente quando utilizada
uma nota¸c˜ao coveniente levou-o a organizar v´arias express˜oes matem´aticas em termos de s´ımbolos. Leibniz sofreu
revezes com a rivalidade entre ele e Newton devida `a controv´ersia sobre quem teria sido o criador do C´alculo
Diferencial e Integral.
Exemplo 1: tentaremos mostrar que limx → 1x2 = 1 usando o novo crit´erio que acaba de ser descrito. Tomando
um
intervalo que inclui todos os n´umeros que est˜ao a distˆancias menores que ǫ = 1 do ponto y = 1, temos que esse intervalo
vai de y = 0 at´e y = 2. Este intervalo tem comprimento 2ǫ = 2 e pode ser escrito como (0, 2). Se considerarmos
agora um intervalo centrado em x = 1 de comprimento 2δ = 0, 4, isto ´e, o intervalo (1 − 0, 2 , 1 + 0, 2) = (0, 8 , 1, 2),
este produzir´a a seguinte imagem em y: para x = 0, 8 temos f(0, 8) = 0, 64; para x = 1, 2, f(1, 4) = 1, 44. Portanto,
a imagem produzida pelo intervalo em x centrado em x = 1 e de comprimento 2δ = 0, 4 produz uma imagem em y
dada pelo intervalo (0, 64 , 1, 44), que est´a contido no intervalo (0, 2).
x
y
−2 −1 0
1 2
4
3
2
1
bc
bc
2ǫ = 2
x
y
−2 −1 0
1 2
4
3
2
1
bc
bc
bcbc
2ǫ = 2
2δ = 0, 4
Do mesmo modo como escolhemos 2δ = 0, 4 ⇒ δ = 0, 2, poder´ıamos ter escolhido δ = 0, 1 ou δ = 0, 4, que a
imagem produzida pelo intervalo (1−δ, 1+δ) ainda estaria contida no intervalo (0, 2). Na verdade, contanto que δ
seja menor ou igual a √2 − 1 ≈ 0, 414, o intervalo produzido em x leva a uma imagem que est´a contida em (0, 2).
Vamos mostar que tamb´em para valores menores de ǫ conseguimos encontrar valores de δ satisfazendo essas
condi¸c˜oes. Escolhendo ǫ = 0, 5, temos o intervalo (1 − 0, 5 , 1 + 0, 5) = (0, 5 , 1, 5) em y. O que temos que fazer
agora ´e encontrar um valor de δ para o qual o intervalo (1−δ, 1+δ) em x produza uma imagem que esteja contida
no intervalo em y. Tomando δ = 0, 2, teremos o intervalo (1 − 0, 2 , 1 + 0, 2) = (0, 8 , 1, 2) em x que, como j´a
vimos, produz a imagem (0, 64 , 1, 44), que est´a contida no intervalo (0, 5 , 1, 5).
3. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 3
x
y
−2 −1 0
1 2
4
3
2
1
bc
bc
2ǫ = 1
x
y
−2 −1 0
1 2
4
3
2
1
bc
bc
bcbc
2ǫ = 1
2δ = 0, 4
Tomemos agora um valor ainda menor para ǫ: 0,25. Para este valor, temos o intervalo (1 − 0, 25 , 1 + 0, 25) =
= (0, 75 , 1, 25) em y. Escolhendo δ = 0, 1, temos o intervalo (1−0, 1 , 1+0, 1) = (0, 9 , 1, 1) em x, que tem como
imagem o intervalo (0, 81 , 1, 21), que est´a contido no intervalo (0, 75 , 1, 25).
x
y
−2 −1 0
1 2
4
3
2
1
bc
bc
2ǫ = 0, 5
x
y
−2 −1 0
1 2
4
3
2
1
bc
bc
bcbc
2ǫ = 0, 5
2δ = 0, 2
Assim, podemos intuir que, para qualquer valor de ǫ que escolhermos, ser´a sempre poss´ıvel escolher um valor de
δ tal que o intervalo (1 − δ, 1 + δ) em x produzir´a uma imagem em y que estar´a contida no intervalo (1 − ǫ, 1 + ǫ).
Diremos que o limite existe e est´a correto quando isto puder ser provado.
Voltemos, agora, `a defini¸c˜ao formal de um limite. Podemos dizer que o limite de uma fun¸c˜ao f(x) quando
x tende a x0 ´e L, lim
x!x0
f(x) = L se, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que x ∈ (x0 −δ, x0 +δ) ⇒
⇒ f(x) ∈ (L − ǫ,L + ǫ).
Agora, podemos escrever |x − x0| < δ no lugar de x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Isto porque
|x − x0| < δ ⇔ −δ < x − x0 < δ ⇔ x0 − δ < x < x0 + δ .
De modo semelhante, podemos escrever |f(x) − L| < ǫ no lugar de f(x) ∈ (L − ǫ,L + ǫ). Isto porque
|f(x) − L| < ǫ ⇔ −ǫ < f(x) − L < ǫ ⇔ L − ǫ < f(x) < L + ǫ .
Portanto, a defini¸c˜ao de limite fica dada a seguir. lim
x!x0
f(x) = L se, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um
δ > 0 tal que |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ.
Defini¸c˜ao 1 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto x0 de I, dizemos que
o limite de f(x) quando x tende a x0 existe e ´e igual a L, o que pode ser escrito como lim
x!x0
f(x) = L,
quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ.
4. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 4
Observa¸c˜ao: uma defini¸c˜ao mais formal de limite ´e feita na Leitura Complementar 2.3.3 e necessita do conceito
de ponto de acumula¸c˜ao, que ´e visto na Leitura Complementar 2.3.2.
A defini¸c˜ao 2 ´e usada a seguir para provar dois limites.
Exemplo 2: mostre que lim
(x + 2) = 5.
x!3
Solu¸c˜ao: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x−a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ǫ para qualquer valor
de ǫ > 0. Temos a = 3, f(x) = x + 2 e L = 5, de modo que a express˜ao fica
|x − 3| < δ ⇒ |x + 2 − 5| < ǫ ⇔ |x − 3| < δ ⇒ |x − 3| < ǫ ⇔ .
Podemos ver da express˜ao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ, essa rela¸c˜ao ser´a v´alida, pois se |x − 3| < δ e
δ ≤ ǫ, ent˜ao |x − 3| < ǫ. Portanto, o limite est´a provado.
Exemplo 3: mostre que lim
(2x − 1) = 1.
x!1
Soluc¸ao: ˜temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x−a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ǫ para qualquer valor
de ǫ > 0. Temos a = 1, f(x) = 2x − 1 e L = 1, de modo que a express˜ao fica
ǫ
|x−1| < δ ⇒ |2x−1−1| < ǫ ⇔ |x−1| < δ ⇒ |2x−2| < ǫ ⇔ |x−1| < δ ⇒ 2|x−1| < ǫ ⇔ |x−1| < δ ⇒ |x−1| <
.
2
Podemos ver da express˜ao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ
2 , essa rela¸c˜ao ser´a v´alida, pois se |x − 1| < δ e
δ ≤ ǫ
2 , ent˜ao |x − 1| < ǫ. Portanto, o limite est´a provado.
A defini¸c˜ao de limites que acabamos de desenvolver n˜ao ´e v´alida para limites infinitos ou limites envolvendo
o infinito. Para esses limites e outros s˜ao necess´arias novas defini¸c˜oes. Na verdade, s˜ao necess´arias nove delas
(isto ´e feito na Leitura Complementar 2.3.3).
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857): matem´atico francˆes respons´avel pela formula¸c˜ao mais precisa do conceito
de limites e por v´arias contribui¸c˜oes de fundamental importˆancia na teoria de fun¸c˜oes de vari´aveis complexas e
em equa¸c˜oes diferenciais. Cauchy teve uma infˆancia atribulada, tendo vivido na ´epoca da Revolu¸c˜ao Francesa.
Trabalhou como engenheiro para a marinha de Napole˜ao e teve v´arias tentativas de obter posi¸c˜oes em universidades
recusadas, muitas vezes por motivos pol´ıticos. Cat´olico devoto, teve atritos com seus colegas partid´arios do ate´ısmo.
Quando o rei da Fran¸ca voltou ao poder, recusou-se a jurar lealdade e perdeu seu emprego, retornando ao seu
trabalho ap´os o rei ter sido novamente deposto.
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1789-1857): matem´atico nascido na Pr´ussia (atual Alemanha). Embora
fosse apaixonado pela matem´atica, estudou finan¸cas por desejo de seu pai. Desinteressado do assunto, levou uma
vida despreocupada de estudante at´e que resolveu, contrariando seu pai, estudar matem´atica. Tendo abandonado
a universidde, formou-se professor do segundo grau. Exerceu essa profiss˜ao at´e publicar um artigo sobre invers˜ao
de fun¸c˜oes hiperel´ıpticas, o que lhe valeu uma posi¸c˜ao na universidade. ´E
considerado o pai da an´alise matem´atica
por ter introduzido o rigor atual no C´alculo e na teoria de fun¸c˜oes de vari´aveis complexas. Fez muitas contribui¸c˜oes
`a matem´atica, sobretudo nesses dois ´ultimos campos. Suas aulas eram muito apreciadas e ele tinha estudantes
vindos de v´arias partes do mundo.
2.3.2 - Limite de uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis
Podemos, agora, expandir o conceito de limite para o caso de uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis reais. Relem-brando,
uma fun¸c˜ao f = f(x, y) leva elementos de R2 a elementos de R (primeira figura a seguir).
5. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 5
b
x
y
x0
y0
z
f(x0, y0)
f
R2 R
Para definirmos um limite lim
(x0,y0)
f(x, y) = L, precisamo primeiro determinar uma regi˜ao em torno do ponto
(x0, y0) e um outro intervalo aberto em torno do limite L. Podemos, por exemplo, desenhar um quadrado
ou uma circunferˆencia em torno de (x0, y0) (duas figuras a seguir) e dizer que (x, y) tem que estar dentro do
subconjunto de R2 constitu´ıdo pela regi˜ao interna a esse quadrado ou a essa circunferˆencia, excluindo as suas
bordas (isto ´e representado pelas linhas pontilhadas nas figuras a seguir).
b
x
y
x0
y0
z
L
f
bc
bc
b
x
y
x0
y0
z
L
f
bc
bc
Como ´e mais f´acil determinar a equa¸c˜ao da regi˜ao circular em torno do ponto (x0, y0), escolheremos esse
tipo de regi˜ao, que chamaremos de bola aberta em torno do ponto, pois ela n˜ao inclui a superf´ıcie do c´ırculo.
Podemos, ent˜ao, dizer que a regi˜ao limitada pela bola aberta ´e dada pelo c´ırculo
(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ2 = p(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ ,
onde δ ´e o raio da bola aberta.
Lembrando agora que p(x − x0)2 + (y − y0)2 = ||(x − x0, y − y0)||, podemos dizer que a bola aberta ´e
definida por ||(x − x0, y − y0)|| < δ. Podemos, ent˜ao, utilizar a seguinte defini¸c˜ao de limite.
Defini¸c˜ao 2 - Dada uma fun¸c˜ao f(x, y) definida em um intervalo I ⊂ R2 e um ponto (x0, y0) ∈ I,
dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (x0, y0) existe e ´e igual a L, o que pode ser
escrito como lim
(x,y)!(x0,y0)
f(x, y) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que
||x − x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y) − L| < ǫ.
Vamos usar esta defini¸c˜ao para provar um limite bem simples, a seguir.
Exemplo 1: prove que lim
(x,y)!(x0,y0)
x = x0.
Solu¸c˜ao: temos que mostrar que, para qualquer ǫ > 0, existe um δ > 0 tal que
||x − x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y) − L| < ǫ ⇔ p(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ ⇒ |x − x0| < ǫ .
Sabemos que p(x − x0)2 ≤ p(x − x0)2 + (y − y0)2 ⇔ |x−x0| ≤ p(x − x0)2 + (y − y0)2. Portanto, escolhendo
qualquer δ ≤ ǫ, temos que p(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ ⇒ |x − x0| < ǫ, o que prova o limite.
Em geral, ´e muito dif´ıcil provar limites envolvendo fun¸c˜oes de duas vari´aveis. Podemos, no entanto, calcular
alguns limites utilizando nossos conhecimentos de limites de fun¸c˜oes de uma vari´avel, como mostra o exemplo
a seguir.
6. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 6
Exemplo 2: calcule lim
(x,y)!(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2 .
Solu¸c˜ao: usando a simetria do problema, podemos fazer a mudan¸ca de vari´avel x2+y2 = r2. Quando (x, y) → (0, 0),
teremos r → 0, tamb´em, de modo que podemos escrever
lim
(x,y)!(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2 = lim
r!0
sen r2
r2 .
Se aplicarmos r = 0, este limite fica da forma 0
0 , de modo que podemos aplicar a ele a regra de L’Hˆopital:
lim
(x,y)!(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2 = lim
r!0
sen r2
r2 = lim
r!0
2r cos r2
2r
= lim
r!0
cos r2 = cos 0 = 1 .
Vamos, agora, provar que um limite n˜ao existe.
Exemplo 3: calcule lim
(x,y)!(0,0)
x2 − y2
x2 + y2 .
Solu¸c˜ao: o procedimento que adotaremos ´e fazer o limite de uma das vari´aveis e depois o limite da outra. Come¸cando
pelo limite x → 0, temos
lim
(x,y)!(0,0)
x2 − y2
x2 + y2 = lim
y!0
−y2
y2 = lim
(−1) = −1 .
y!0
Se fizermos primeiro o limite em y e depois o limite em x, obtemos
lim
(x,y)!(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2 = lim
x!0
x2
x2 = lim
x!0
1 = 1 .
Note que os dois limites n˜ao s˜ao iguais. Isto j´a basta para provar que n˜ao existe esse limite.
Na verdade, os exemplos 2 e 3 n˜ao est˜ao formalizados da maneira correta. A Leitura Complementar 2.3.4
mostra como fazˆe-lo.
2.3.3 - Limite de uma fun¸c˜ao de n vari´aveis
Vamos, agora, definir limites para o caso de uma fun¸c˜ao de trˆes vari´aveis reais. A generaliza¸c˜ao para fun¸c˜oes
de n vari´aveis reais poder´a ser feita facilmente a partir da´ı. Uma fun¸c˜ao f = f(x, y, z) leva elementos de R3 a
elementos de R (figura a seguir). Podemos considerar uma bola aberta em trono de R3 dada por uma esfera
de raio menor que δ levando a um interavalo |f(x, y, z) − L| < ǫ na imagem (segunda figura a seguir).
b
z
z0
x0 y0
x y
w
f(x0, y0, z0)
f
R3 R
b
z
z0
x0 y0
x y
w
L
f
bc
bc
R3 R
Podemos escrever a regi˜ao dentro dessa bola aberta pela equa¸c˜ao p(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 < δ,
que ´e a equa¸c˜ao de uma esfera de raio δ com exce¸c˜ao de sua superf´ıcie. Novamente, podemos trocar a raiz por
uma norma: ||(x − x0, y − y0, z − z0)|| < δ. A defini¸c˜ao de limite fica, ent˜ao, como a dada a seguir.
7. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 7
Defini¸c˜ao 3 - Dada uma fun¸c˜ao f(x, y, z) definida em um intervalo I ⊂ R3 e um ponto (x0, y0, z0) ∈ I,
dizemos que o limite de f(x, y, z) quando (x, y, z) tende a (x0, y0, z0) existe e ´e igual a L, o que pode
ser escrito como lim
(x,y,z)!(x0,y0,z0)
f(x, y, z) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0
tal que ||(x − x0, y − y0, z − z0)|| < δ ⇒ |f(x, y, z) − L| < ǫ.
A generaliza¸c˜ao para o limite de uma fun¸c˜ao de n vari´aveis reais ´e direta.
Defini¸c˜ao 4 - Dada uma fun¸c˜ao f(x1, · · · , xn) definida em um intervalo I ⊂ Rn e um ponto
(x10, · · · , xn0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x1, · · · , xn) quando (x1, · · · , xn) tende a (x01, · · · , x0n) ex-iste
e ´e igual a L, o que pode ser escrito como lim
(x1,··· ,xn)!(x10,··· ,xn0)
f(x1, · · · , xn) = L, quando, para qual-quer
ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que ||(x1−x10, · · · , xn−xn0)|| < δ ⇒ ⇒ |f(x1, · · · , xn)−L| < ǫ.
Resumo
• Limite de uma fun¸c˜ao f : R → R. Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R
e um ponto x0 de I, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a x0 existe e ´e igual a L, o que
pode ser escrito como lim
x!x0
f(x) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que
|x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ.
• Limite de uma fun¸c˜ao f : R2 → R. Dada uma fun¸c˜ao f(x, y) definida em um intervalo I ⊂ R2 e
um ponto (x0, y0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (x0, y0) existe e ´e igual
a L, o que pode ser escrito como lim
(x,y)!(x0,y0)
f(x, y) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre
um δ > 0 tal que ||x − x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y) − L| < ǫ.
• Limite de uma fun¸c˜ao f : R3 → R. Dada uma fun¸c˜ao f(x, y, z) definida em um intervalo I ⊂ R3
e um ponto (x0, y0, z0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x, y, z) quando (x, y, z) tende a (x0, y0, z0) existe
e ´e igual a L, o que pode ser escrito como lim
(x,y,z)!(x0,y0,z0)
f(x, y, z) = L, quando, para qualquer ǫ > 0,
existir sempre um δ > 0 tal que ||(x − x0, y − y0, z − z0)|| < δ ⇒ |f(x, y, z) − L| < ǫ.
• Limite de uma func¸˜ao f : Rn → R. Dada uma func¸ao ˜f(x1, · · · , xn) definida em um intervalo
I ⊂ Rn e um ponto (x10, · · · , xn0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x1, · · · , xn) quando (x1, · · · , xn) tende
a (x01, · · · , x0n) existe e ´e igual a L, o que pode ser escrito como lim
f(x1, · · · , xn) = L,
(x1,··· ,x)!(x10,··· ,xn0)
nquando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que ||(x1 − x10, · · · , xn − xn0)|| < δ ⇒
⇒ |f(x1, · · · , xn) − L| < ǫ.
8. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 8
Leitura Complementar 2.3.1 - Desigualdades
e m´odulo
Os s´ımblos < (menor), > (maior), ≤ (menor ou igual) e ≥ (maior ou igual) estabelecem rela¸c˜oes de ordem
no conjunto dos n´umeros reais. Isto tamb´em vale para os subconjuntos N, Z e Q. Uma rela¸c˜ao de ordem entre
dois n´umeros reais tamb´em ´e chamada de desigualdade.
2 ≥ √2 .
Exemplos: 2 < 7 , −4 > −8 , 3, 4 ≤ 5 , 3
Existem certas regras quando se opera com desigualdades. Para quaisquer n´umeros reais a e b, valem as
seguintes propriedades:
P1) a < b ⇔ a + c < b + c , c ∈ R;
P2) a < b e c < d ⇔ a + c < b + d , c ∈ R e d ∈ R;
P3) a < b ⇔ ac < bc , c ∈ R e c > 0;
P4) a < b ⇔ ac > bc , c ∈ R e c < 0;
P5) a < b ⇔ 1
a > 1
b , a6= 0 e b6= 0.
Exemplos dessas regras s˜ao dados a seguir.
Exemplo 1: 2 < 3 ⇔ 2 + 4 < 3 + 4 ⇔ 6 < 7 (por P1).
Exemplo 2: 1 < 4 ⇔ 1 + 3 < 4 + 6 ⇔ 4 < 10 (por P2).
Exemplo 3: 2 < 3 ⇔ 2 · 3 < 3 · 3 ⇔ 6 < 9 (por P3).
Exemplo 4: 2 < 3 ⇔ 2 · (−1) < 3 · (−1) ⇔ −2 > −3 (por P4).
Exemplo 5: 2 < 4 ⇔ 1
2 > 1
4 (por P5).
a) M´odulo de um n´umero real
O m´odulo ou valor absoluto de um n´umero real a, escrito |a|, ´e definido como
|a| = a se a ≥ 0 ; |a| = −a se a < 0 .
Outra defini¸c˜ao ´e dada em termos da raiz quadrada de um n´umero ao quadrado:
|a| = √a2 .
Exemplos: |2| = 2 , | − 4| = 4 , | − 3| = p(−3)2 = √9 = 3 .
O m´odulo de um n´umero representa a distˆancia deste ao ponto 0 no eixo dos n´umeros reais.
9. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 9
0 a
|a|
b 0
|b|
Usamos esta interpreta¸c˜ao para estabelecer algumas rela¸c˜oes para um n´umero x ∈ R com rela¸c˜ao a um
n´umero a > 0. Primeiro,
|x| = a ⇔ x = ±a .
Exemplo 1: calcule x quando |x| = 2.
Solu¸c˜ao: |x| = 2 ⇔ x = ±2, ou seja, x = 2 ou x = −2.
A segunda rela¸c˜ao ´e a seguinte:
|x| < a ⇔ −a < x < a .
Isto pode ser visto da figura abaixo. O m´odulo de x ser´a menor que a quando x estiver dentro do intervalo
aberto (−a, a) (outra nota¸c˜ao usada para o intervalo aberto ´e ] − a, a[ ).
x
−a 0 a
bcbc
|x|
Exemplo 2: calcule x quando |x| < 4.
Solu¸c˜ao: |x| < 2 ⇔ −2 < x < 2, ou seja, x ∈ (−2, 2).
A terceira rela¸c˜ao ´e:
|x| > a ⇔ x < −a ou x > a .
Isto pode ser visto da figura abaixo. O m´odulo de x ser´a maior que a quando x estiver dentro do intervalo
aberto (−∞, a) ou no intervalo aberto (a,∞).
−a 0 a
bcbc
x
|x|
−a 0 a
bcbc
x
|x|
Exemplo 3: calcule x quando |x| > 3.
Solu¸c˜ao: |x| > 3 ⇔ x < −3 ou x > 3, ou seja, x ∈ (−∞,−3) ∪ (3,∞).
De modo semelhante, podemos escrever
|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a , |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a .
Exemplo 4: calcule x quando |x| ≤ 3.
Solu¸c˜ao: |x| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3, ou seja, x ∈ [−3, 3].
O m´odulo de um n´umero real apresenta as seguintes propriedades:
27. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 11
Leitura Complementar 2.3.2 - Vizinhan¸ca e ponto
de acumula¸c˜ao
Nesta se¸c˜ao, veremos dois t´opicos da topologia dos n´umeros reais: os conceitos de vizinhan¸ca e de ponto de
acumula¸c˜ao. Dado um n´umero real a qualquer pertencente a um subintervalo I ⊂ R, definimos uma vizinhan¸ca
desse ponto como sendo um conjunto de pontos pertencentes a I que estejam a uma distˆancia menor que um
n´umero ǫ 0 de a, isto ´e, uma vizinhan¸ca de a ´e o intervalo
{x ∈ I | a − ǫ x a + ǫ} = {x ∈ I | |x − a| ǫ} .
a − ǫ a a + ǫ
bcbc
Exemplo 1: dado o intervalo I = (0, 6) da reta dos reais, uma vizinhan¸ca do ponto x = 2 pode ser dada
por todos os pontos pertencentes ao intervalo (2 − 1, 2 + 1) = (1, 3), ou seja, pelo conjunto
{x ∈ I | 1 x 3} = {x ∈ R | |x − 2| 1} .
0 1 2 3 6
bcbcbcbc
Exemplo 2: dado o intervalo I = (0, 6) da reta dos reais, uma outra vizinhan¸ca do ponto x = 2 pode ser
dada por todos os pontos pertencentes ao intervalo (2−0, 4 , 2+0, 4) = (1, 6 , 2, 4), ou seja, pelo conjunto
{x ∈ I | 1, 6 x 2, 4} = {x ∈ R | |x − 2| 0, 4} .
0 1,6 2 2,4 6
bcbcbcbc
Exemplo 3: dado o intervalo I = {x ∈ R | x 2 ou x ≥ 4} da reta dos reais, uma vizinhan¸ca do ponto
x = 5 pode ser dada por todos os pontos pertencentes ao intervalo (5−0, 5 , 5+0, 5) = (4, 5 , 5, 5), ou seja,
pelo conjunto
{x ∈ I | 4, 5 x 5, 5} = {x ∈ R | |x − 5| 0, 5} .
0 2 4 4,5 5 5,5
bcbbcbc
Exemplo 4: dado o intervalo I = {x ∈ R | x 2 ou x ≥ 4} da reta dos reais, uma outra vizinhan¸ca do pon-to
x = 5 pode ser dada escolhendo ǫ = 4, de modo que a vizinhan¸ca ser´a composta por todos os pontos
pertencentes ao intervalo
{x ∈ I | 1 x 9} = (1, 2) ∪ [4, 9) .
0 1 2 4 5 9
bcbcbcbbc
28. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 12
Exemplo 5: dado o intervalo I = {2} da reta dos reais, o ponto x = 2 tem {2} como sua ´unica vizinhan-
¸ca.
2
b
Dado um intervalo I ⊂ R e um ponto a ∈ R, dizemos que a ´e um ponto de acumula¸c˜ao do conjunto I
quando todo intervalo aberto (a − ǫ, a + ǫ), de centro a, cont´em algum ponto x ∈ I diferente de a. Em termos
de simbologia matem´atica, a ´e um ponto de acumula¸c˜ao de um conjunto I ⊂ R quando, para qualquer ǫ 0,
existir um x ∈ I tal que 0 |x − a| ǫ.
a − ǫ a a + ǫ
bcbbc
Exemplo 6: dado um intervalo I = (1, 5), o ponto x = 3 ´e um ponto de acumula¸c˜ao desse intervalo, pois
para qualquer ǫ 0 existem pontos x ∈ (3−ǫ, 3+ǫ)∪(1, 5) que pertencem a I e que n˜ao s˜ao o ponto x = 3.
1 3 − ǫ 3 3 + ǫ 5
bcbcbcbc
Exemplo 7: dado um intervalo I = (1, 5), o ponto x = 1 ´e um ponto de acumula¸c˜ao desse intervalo, pois
para qualquer ǫ 0 existem pontos x ∈ (3−ǫ, 3+ǫ)∪(1, 5) que pertencem a I e que n˜ao s˜ao o ponto x = 1.
1 1 + ǫ 4 5
bcbcbc
Exemplo 8: dado um intervalo I = (1, 5), o ponto x = 0 n˜ao ´e um ponto de acumula¸c˜ao desse intervalo,
pois podemos escolher ǫ = 0, 5 tal que no intervalo (0 − 0, 5 , 0 + 0, 5) = (−0, 5 , 0, 5) centrado em 0 n˜ao
existem pontos x ∈ I.
0 1 5
-0.5 0.5
bcbcbcbc
Exemplo 9: dado um intervalo I = {3}, o ponto x = 3 n˜ao ´e um ponto de acumula¸c˜ao desse intervalo, pois
podemos escolher ǫ = 0, 5 tal que no intervalo (3−0, 5 , 3+0, 5) = (−2, 5 , 3, 5) centrado em 3 n˜ao existem
pontos x ∈ I diferentes de 3.
2.5 3 3.5
bcbbc
Exemplo 10: dado um intervalo I = {x ∈ R | x6= 3}, o ponto x = 3 ´e um ponto de acumula¸c˜ao desse
intervalo, pois para qualquer ǫ 0 existem pontos x ∈ (3 − ǫ, 3 + ǫ) que pertencem a I e que n˜ao s˜ao o
ponto x = 3.
3 − ǫ 3 3 + ǫ
bcbcbc
Portanto, se x = a ´e um ponto de acumula¸c˜ao de um intervalo I, ent˜ao ´e poss´ıvel escolher uma seq¨uˆencia
de n´umeros pertencentes a esse intervalo que se aproximem cada vez mais desse ponto sem nunca alcan¸c´a-lo.
De posse desses conceitos, podemos agora partir para a defini¸c˜ao formal de limite, dada na pr´oxima leitura
complementar.
29. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 13
Leitura Complementar 2.3.3 - Defini¸c˜ao formal
de limite
A defini¸c˜ao formal de limite ´e dada logo a seguir. ´E
uma das defini¸c˜oes mais dif´ıceis do C´alculo e pesadelo
da maioria dos estudantes, mas fica mais f´acil depois do que vimos nas leituras complementares anteriores.
Defini¸c˜ao 5 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto de acumula¸c˜ao
a de I, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a existe e ´e igual a L, o que pode ser escrito
como lim
f(x) = L, quando, para qualquer n´umero ǫ 0, existir sempre um n´umero δ 0 tal que, se
x!a
|x − a| δ, ent˜ao |f(x) − L| ǫ.
Usando os exemplos da Leitura Complementar 2.3.1, pudemos mostrar o porque da necessidade de uma
definic¸ao ˜tao ˜precisa, por ela ter que funcionar para diversos casos de limites. Note que na definic¸ao ˜´e explicitado
o fato de o numero ´a do limite lim
f(x) nao ˜estar necessariamente dentro do intervalo em que se analisa o limite.
x!a
Este ´e o caso do limite da fun¸c˜ao f(x) = x0 quando x → 0, pois x = 0 n˜ao pertence ao dom´ınio desta fun¸c˜ao
(isto levando em conta a conven¸c˜ao por n´os adotada). Podemos usar essa defini¸c˜ao na demonstra¸c˜ao de diversos
limites, o que ser´a feito a seguir.
Exemplo 1: mostre que lim
x = 1.
x!1
Solu¸c˜ao: temos que mostrar que existem valores de δ 0 tais que |x−a| δ ⇒ |f(x)−L| ǫ para qualquer valor
de
ǫ 0. No nosso caso, temos a = 1, f(x) = x e L = 1, de modo
que a express˜ao fica
|x − 1| δ ⇒ |x − 1| ǫ .
Podemos ver da express˜ao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ,
essa rela¸c˜ao ser´a v´alida, pois se |x − 1| δ e δ ≤ ǫ, ent˜ao
|x − 1| ǫ. A figura ao lado ajuda a ilustrar esta situa¸c˜ao.
bcbc x
1 − δ 1 1 + δ
bcbc y
1 − ǫ 1 1 + ǫ
Ent˜ao, se tomarmos, por exemplo, ǫ = 1, podemos escolher qualquer 0 δ 1 que a rela¸c˜ao ser´a satisfeita. Se
escolhermos ǫ = 0, 1, qualquer 0 δ 0, 1 tornar´a a rela¸c˜ao verdadeira. Portanto, para qualquer valor de ǫ 0,
podemos encontrar valores de δ 0 para os quais a rela¸c˜ao ´e verdadeira. Assim, o limite est´a provado.
Exemplo 2: mostre que lim
(x + 3) = 5.
x!2
Soluc¸ao: ˜temos que mostrar que existem valores de δ 0 tais que |x−a| δ ⇒ |f(x)−L| ǫ para qualquer valor
de
ǫ 0. Temos a = 2, f(x) = x + 3 e L = 5, de modo que a
express˜ao fica
bcbc x
|x − 2| δ ⇒ |x + 3 − 5| ǫ ⇔ |x − 2| δ ⇒ |x − 2| ǫ .
2 − δ 2 2 + δ
Podemos ver da express˜ao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ,
bcbc y
essa relac¸ao ˜ser´a v´alida, pois se |x−2| δ e δ ≤ ǫ, entao ˜|x−2| ǫ.
2 − ǫ 2 2 + ǫ
Portanto, o limite esta ´provado.
Os dois pr´oximos exemplos ilustram limites de fun¸c˜oes do tipo f(x) = ax + b, onde a6= 1.
30. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 14
Exemplo 3: mostre que lim
(2x − 1) = 1.
x!1
Soluc¸ao: ˜temos que mostrar que existem valores de δ 0 tais que |x−a| δ ⇒ |f(x)−L| ǫ para qualquer valor
de
ǫ 0. Temos a = 1, f(x) = 2x − 1 e L = 1, de modo que a express˜ao
fica
|x − 1| δ ⇒ |2x − 1 − 1| ǫ ⇔ |x − 1| δ ⇒ |2x − 2| ǫ ⇔
ǫ
⇔ |x − 1| δ ⇒ 2|x − 1| ǫ ⇔ |x − 1| δ ⇒ |x − 1|
.
2
Podemos ver da express˜ao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ
2 , essa
rela¸c˜ao ser´a v´alida, pois se |x − 1| δ e δ ≤ ǫ
2 , ent˜ao |x − 1| ǫ.
Portanto, o limite est´a provado.
bcbc x
1 − δ 1 1 + δ
bcbc y
1 − ǫ/2 1 1 + ǫ/2
Exemplo 4: mostre que lim
(5x − 4) = 6.
x!2
Soluc¸ao: ˜temos que mostrar que existem valores de δ 0 tais que |x−a| δ ⇒ |f(x)−L| ǫ para qualquer valor
de
ǫ 0. Temos a = 2, f(x) = 5x − 4 e L = 6, de modo que a express˜ao
fica
|x − 2| δ ⇒ |5x − 4 − 6| ǫ ⇔ |x − 2| δ ⇒ |5x − 10| ǫ ⇔
ǫ
⇔ |x − 2| δ ⇒ 5|x − 2| ǫ ⇔ |x − 2| δ ⇒ |x − 2|
.
5
Podemos ver da express˜ao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ
5 , essa
rela¸c˜ao ser´a v´alida, pois se |x − 2| δ e δ ≤ ǫ
5 , ent˜ao |x − 1| ǫ.
Portanto, o limite est´a provado.
bcbc x
2 − δ 2 2 + δ
bcbc y
2 − ǫ/5 2 2 + ǫ/5
Exemplo 5: mostre que lim
(2x − 1) = 4.
x!1
Solu¸c˜ao: para tentarmos provar esse resultado (que est´a errado), temos que mostrar que existem valores de δ 0
tais que |x − a| δ ⇒ |f(x) − L| ǫ para qualquer valor de ǫ 0. Temos a = 1, f(x) = 2x − 1 e L = 4, de modo
que a express˜ao fica
|x − 1| δ ⇒ |2x − 1 − 4| ǫ ⇔ |x − 1| δ ⇒ |2x − 3| ǫ ⇔ |x − 1| δ ⇒ 2|x − 1, 5| ǫ ⇔
ǫ
⇔ |x − 1| δ ⇒ |x − 1, 5|
.
2
Isto significa que para qualquer valor de ǫ 0, existe sempre
um δ 0 tal que, se x estiver dentro do intervalo aberto no eixo
x dado por (1 − δ, 1 + δ), entao ˜f(x) estara ´sempre dentro do
intervalo aberto 1, 5 − ǫ
, 1, 5 + ǫ
no eixo y. Para mostrar que
2 2 isto n˜ao est´a correto, basta achar um contra-exemplo. A figura ao
lado facilita isto.
1
bcbc x
1 − δ 1 + δ
1, 5
bcbc y
1, 5 − ǫ/2 1, 5 + ǫ/2
Da figura, podemos ver que escolhendo ǫ/2 0, 5, isto ´e, ǫ 1, n˜ao h´a forma de escolher um intervalo (1−δ, 1+δ)
de modo a garantir que, se x est´a dentro desse intervalo, ent˜ao f(x) estar´a dentro do intervalo (1, 5−ǫ/2 , 1, 5+ǫ/2).
Portanto, o limite est´a incorreto.
H´a ainda a possibilidade de demonstrar alguns limites mais complicados, como os que envolvem fun¸c˜oes
quadr´atica,s mas isso foge da inten¸c˜ao desta leitura complementar.
A defini¸c˜ao de limite feita aqui ´e apenas aquela que ´e adequada a limites finitos quando se tende a n´umeros
finitos. A seguir, veremos algumas defini¸c˜oes de limites envolvendo o infinito.
a) Limites no infinito
Quando tomamos os limites x → ∞, a defini¸c˜ao 5 de limite torna-se inapropriada, pois n˜ao podemos tomar
um intervalo |x − a| δ quando a → ±∞. Substituindo a por ∞ nessa desigualdade, temos
|x − a| δ ⇒ |x −∞| δ ⇒ | −∞| δ ⇒ ∞ δ ,
31. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 15
pois x −∞ = −∞ para qualquer x ∈ R. De forma semelhante, substituindo a por −∞, temos
|x − a| δ ⇒ |x − (−∞)| δ ⇒ |x +∞| δ ⇒ |∞| δ ⇒ ∞ δ ,
pois x+∞ = ∞ para qualquer x ∈ R. Como n˜ao existe um n´umero real δ tal que δ ∞, temos que usar uma
outra defini¸c˜ao para esse tipo de limite.
Pensemos o seguinte: o limite lim
f(x) = L existe quando, fazendo x tender a infinito, o intervalo |f(x)−ǫ|
x!1
tender a zero. Isto pode ser escrito da seguinte forma: para qualquer ǫ 0, existe um n´umero N tal que, toda
vez que x N, automaticamente, |f(x) − L| ǫ. Esta id´eia ´e formalizada na defini¸c˜ao a seguir.
Defini¸c˜ao 6 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto no ∞, dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a ∞ existe e ´e igual a L, o que pode ser escrito como lim
f(x) = L,
x!1
quando, para qualquer n´umero ǫ 0, existir sempre um n´umero N 0 tal que, se x N, ent˜ao
|f(x) − L| ǫ.
De modo semelhante, podemos dizer que o limite lim
f(x) = L existe quando, fazendo x tender a menos
x!−1
infinito, o intervalo |f(x) − ǫ| tender a zero, isto ´e, que dado um ǫ 0, existe um n´umero N 0 tal que
x N ⇒ |f(x) − L| ǫ. A defini¸c˜ao seguinte formaliza esta id´eia.
Defini¸c˜ao 7 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em −∞, dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a −∞ existe e ´e igual a L, o que pode ser escrito como lim
f(x) = L,
x!−1
quando, para qualquer n´umero ǫ 0, existir sempre um n´umero N 0 tal que, se x N, ent˜ao
|f(x) − L| ǫ.
b) Limites infinitos
Primeiro, veremos os caso de limites que v˜ao para infinito ou menos infinito quando x tende a um valor
finito:
lim
x!a
f(x) = ∞ ou lim
x!a
f(x) = −∞ .
O motivo de n˜ao termos definido esses limites no texto principal foi porque ainda n˜ao vimos fun¸c˜oes que
apresentam esse comportamento. No entanto, para que as defini¸c˜oes fiquem completas, faremos aqui as duas
que restam.
Defini¸c˜ao 8 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto de acumula¸c˜ao
a de I, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a ´e igual a ∞, o que pode ser escrito como
lim
x!a
f(x) = ∞, quando, para qualquer M 0, existir sempre um δ 0 tal que, se |x − a| δ, ent˜ao
f(x) M.
Defini¸c˜ao 9 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto de acumula¸c˜ao a
de I, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a ´e igual a −∞, o que pode ser escrito como
lim
x!a
f(x) = −∞, quando, para qualquer M 0, existir sempre um δ 0 tal que, se |x − a| δ, ent˜ao
f(x) M.
c) Limites infinitos no infinito
Resta agora definir os limites no infinito das fun¸c˜oes de potˆencias naturais f(x) = xn com n 0. Esses
limites s˜ao infinitos, de modo que as defini¸c˜oes 2 e 3 n˜ao s˜ao mais apropriadas, pois quando o limite for ∞,
teremos
|f(x) − L| ǫ ⇒ |f(x) −∞| ǫ ⇒ | −∞| ǫ ⇒ ∞ ǫ
32. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 16
e, quando o limite for −∞,
|f(x) − L| ǫ ⇒ |f(x) − (−∞)| ǫ ⇒ |∞| ǫ ⇒ ∞ ǫ .
Como n˜ao existe ǫ real tal que ǫ ∞, n˜ao podemos aplicar essas defini¸c˜oes aos casos em que o limite tende a
infinito. Podemos dizer, no entanto, que o limite quando x → ∞ de uma fun¸c˜ao tende a ∞ quando, quanto
maior for o valor de x, maior ser´a o valor de f(x). Podemos tamb´em dizer isto da seguinte forma: para todo
valor M 0, existe sempre um valor N 0 tal que x N ⇒ f(x) M. Como existem diversas situa¸c˜oes
dependendo do limite que tomamos, ´e necess´ario fazer as quatro defini¸c˜oes a seguir.
Defini¸c˜ao 10 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em ∞, dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a ∞ ´e igual a ∞, o que pode ser escrito como lim
f(x) = ∞, quando,
x!1
para qualquer n´umero M 0, existir sempre um n´umero N 0 tal que, se x N, ent˜ao f(x) M.
Defini¸c˜ao 11 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em ∞, dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a ∞´e igual a −∞, o que pode ser escrito como lim
f(x) = −∞, quando,
x!1
para qualquer n´umero M 0, existir sempre um n´umero N 0 tal que, se x N, ent˜ao f(x) M.
Defini¸c˜ao 12 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em ∞, dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a −∞ ´e igual a ∞, o que pode ser escrito como lim
f(x) = ∞, quando,
x!−1
para qualquer n´umero M 0, existir sempre um n´umero N 0 tal que, se x N, ent˜ao f(x) M.
Definic¸˜ao 13 - Dada uma func¸ao ˜f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em −∞, dizemos que
o limite de f(x) quando x tende a −∞ ´e igual a −∞, o que pode ser escrito como lim
f(x) = x!−1
−∞,
quando, para qualquer n´umero M 0, existir sempre um n´umero N 0 tal que, se x N, ent˜ao
f(x) M.
Essas s˜ao, na verdade, todas as defini¸c˜oes de limites para fun¸c˜oes de uma vari´avel real a valores reais.
33. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 17
Leitura Complementar 2.3.4 - Alguns teoremas
para limites
A presentaremos nesta leitura complementar dois teoremas que facilitam o c´alculo de alguns limites impor-tante
envolvendo fun¸c˜oes de duas ou mais vari´aveis. Esse teoremas s˜ao seguidos de exemplos que os utilizam,
entre eles formas mais corretas dos exemplos 2 e 3 da se¸c˜ao 2.3.2 deste cap´ıtulo.
O primeiro teorema, enunciado a seguir, diz que um limite existe se, seguindo qualquer caminho poss´ıvel
at´e ele, o resultado for sempre o mesmo. Tais caminhos podem ser parametrizados por curvas que s˜ao imagens
de fun¸c˜oes vetoriais de um parˆametro real.
Teorema 1 - Considere que lim
(x1,··· ,xn)!(x10,··· ,xn0)
f(x1, · · · , xn) = L. Dada uma fun¸c˜ao vetorial F(t) de
R em Rn, cont´ınua em t = t0 e tal que F(t0) = (x10, · · · , xn0) e F(t)= 6(x10, · · · , xn0) se t= 6t0, e tal
que F(t) ∈ D(f), entao, ˜lim
f (F(t)) = L.
t!t0
Exemplo 1: mostre que lim
(x,y)!(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2 = 1.
Solu¸c˜ao: este ´e o mesmo exemplo 3 da se¸c˜ao 2.3.2 deste cap´ıtulo, s´o que formulado de maneira mais rigorosa usando
o teorema 1. Consideremos uma curva que ´e a imagem da fun¸c˜ao vetorial F(t) = (t cos θ, t sen θ), onde t ´e um
parˆametro real positivo e θ ´e um ˆangulo qualquer. Tal curva parametriza caminhos radiais em dire¸c˜ao `a origem
vindos de ˆangulos θ distintos e ´e tal que F(0) = (0, 0) para todo o valor de θ e tal que F(t)6= (0, 0) para t6= 0.
Portanto, pelo teorema 1, podemos considerar x(t) = t cos θ e y(t) = t sen t, que nada mais s˜ao que coordenadas
polares (Leitura Complementar 1.1.4). Como x2 + y2 = t2 cos2 t + t2 sen 2t = t2(cos2 t + sen 2t) = t2, podemos
escrever o limite da seguinte forma:
lim
(x,y)!(0,0)
f(x, y) = lim
t!0
sen t2
t2 .
Tal limite pode ser resolvido usando L’Hˆopital:
lim
(x,y)!(0,0)
f(x, y) = lim
t!0
cos t2 · 2t
2t
= lim
t!0
cos t2 = cos 02 = 1 .
Como esse resultado ´e v´alido para qualquer ˆangulo θ, ent˜ao por qualquer caminho que possamos usar, o limite ´e o
mesmo, o que prova que o limite est´a correto.
Este mesmo racioc´ınio pode ser utilizado para outros problemas que exibam simetria radial, como o do
exemplo a seguir.
Exemplo 2: mostre que lim
(x,y)!(1,−2)
e−x2−y2+2x−4y−5 = 1.
Solu¸c˜ao: completando quadrados, podemos escrever
−x2 − y2 + 2x − 4y − 5 = −(x2 − 2x) − (y2 + 4y) − 5 = −(x − 1)2 − 1 − (y + 2)2 − 4 − 5 =
= −(x − 1)2 + 1 − (y + 2)2 + 4 − 5 = −(x − 1)2 − (y + 2)2 .
Escolhendo a fun¸c˜ao F(t) = (1 + t cos θ,−2 + t sen θ) para qualquer valor de θ, teremos (x − 1)2 + (y + 2)2 =
(1+t cos theta−1)2+(−2+tsent+2)2 = t2, um resultado que independe de θ. Essa fun¸c˜ao ´e tal que F(0) = (1,−2)
e F(t)6= (1,−2) para t6= 0. Do teorema 1,
lim
(x,y)!(1,−2)
e−x2−y2+2x−4y−5 = lim
(x,y)!(1,−2)
e−(x−1)2−(y+2)2
= lim
t!0
e−t2
= e0 = 1 .
Esse resultado ´e v´alido para qualquer ˆangulo θ, o que prova que o limite est´a correto.
34. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 18
A seguir, utilizamos o teorema 1 para provar que um dado limite n˜ao existe.
Exemplo 3: mostre que lim
(x,y)!(0,0)
x2 − y2
x2 + y2 n˜ao existe.
Solu¸c˜ao: nossa estrat´egia ser´a mostrar que podemos obter resultados diferentes atrav´es de duas curvas distintas.
Come¸camos pela curva associada `a fun¸c˜ao vetorial F(t) = (t, 0), que ´e tal que F(0) = (0, 0) e F(t)6= (0, 0) para
t6= 0. Ent˜ao, o limite pode ser escrito trocando x = t e y = 0, de modo que
lim
(x,y)!(0,0)
x2 − y2
x2 + y2 = lim
t!0
t2 − 0
t2 + 0
= lim
t!0
1 = 1 .
Considerando agora uma curva associada `a fun¸c˜ao vetorial F(t) = (0, t), que ´e tal que F(0) = (0, 0) e F(t)6=
6= (0, 0) para t6= 0, ent˜ao o limite pode ser escrito trocando x = 0 e y = t, de modo que
lim
(x,y)!(0,0)
x2 − y2
x2 + y2 = lim
t!0
0 − t2
0 + t2 = lim
t!0
(−1) = −1 .
Como os dois limites n˜ao coincidem, podemos afirmar que o limite dado n˜ao existe.
O teorema a seguir afirma que, quando podemos quebrar uma fun¸c˜ao em duas outras, onde o limite da
primeira ´e zero e a segunda fun¸c˜ao ´e limitada, ent˜ao o limite da fun¸c˜ao original ´e zero.
Teorema 2 - Dado um limite tal que
lim
(x1,··· ,xn)!(x10,··· ,xn0)
f(x1, · · · , xn) = lim
(x1,··· ,xn)!(x10,··· ,xn0)
g(x1, · · · , xn)h(x1, · · · , xn) ,
onde lim
(x1,··· ,xn)!(x10,··· ,xn0)
g(x1, · · · , xn) = 0 e |h(x1, · · · , xn)| ≤ M, M ∈ R eM 0, dentro do intervalo
||(x1, · · · , xn) − (x10, · · · , xn0)|| r, r ∈ R e r 0, ent˜ao lim
(x1,··· ,xn)!(x10,··· ,xn0)
f(x1, · · · , xn) = 0.
Exemplo 4: prove que lim
(x,y)!(0,0)
x3
x2 + y2 = 0.
Solu¸c˜ao: podemos escrever
lim
(x,y)!(0,0)
x3
x2 + y2 = lim
(x,y)!(0,0)
x ·
x2
x2 + y2 .
Temos que lim
(x,y)!(0,0)
x = 0 e
42. ≤ 1, pois um n´umero positivo (quadrado) dividido por ele mais outro n´umero
positivo sempre ser´a menor ou igual a 1. Ent˜ao, pelo teorema 2, lim
(x,y)!(0,0)
x3
x2 + y2 = 0.
Exemplo 5: prove que lim
(x,y)!(1,1)
sen (x2 + y2)
x2 + y2 = 0.
Solu¸c˜ao: podemos escrever
lim
(x,y)!(1,1)
sen (x2 + y2)
x2 + y2 = lim
(x,y)!(1,1)
1
x2 + y2 · sen (x2 + y2) .
Uma vez que lim
(x,y)!(1,1)
1
x2 + y2 = 0 e
46. ≤ 1, ent˜ao, pelo teorema 2, lim
(x,y)!(1,1)
sen (x2 + y2)
x2 + y2 = 0.
47. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 19
Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 2.3
N´ıvel 1
Limites de fun¸c˜oes de uma vari´avel
Exemplo 1: escreva o dom´ınio e a imagem da fun¸c˜ao f(x, y) = e−x2−y2
.
Solu¸c˜ao: o dom´ınio dessa fun¸c˜ao ´e D(f) = R2, enquanto sua imagem ´e Im(f) = [0, 1], pois a fun¸c˜ao exponencial
s´o pode assumir valores positivos ou nulos e a fun¸c˜ao chega a um valor m´aximo em f(0, 0) = 1.
E1) Escreva os dom´ınios e as imagens das fun¸c˜oes dadas a seguir.
a) f(x, y) = 4x2 + 4y2, b) f(x, y) = 2x2 + 3y2, c) f(x, y) = p9 − x2 − y2, d) f(x, y) = 1 √1−x2−y2
,
e) f(x, y) = 3x2 − 2y2, f) f(x, y) = x4 + y4, g) f(x, y) = ln(x2 + y2), h) f(x, y) = ln(x2 − y3).
Limites
Exemplo 2: calcule lim
(x,y)!(1,0)
(3xy − y3).
Solu¸c˜ao: lim
(3xy − y3) = 3 · 1 · 0 − 03 = 0.
(x,y)!(1,0)
E2) Calcule os seguintes limites:
a) lim
(x,y)!(2,1)
(2xy − x2), b) lim
(x,y)!(1,0)
sen xy
y
, c) lim
(x,y,z)!(1,0,0)
(yz2 + ln x),
d) lim
(x,y,z)!(0,0,0)
ln(x2 + y2 + z2).
N´ıvel 2
E1) Verifique se f(x, y) =
sen (x2 + y2)
x2 + y2 ´e cont´ınua em (0, 0).
E2) Verifique se f(x, y) =
sen (x2 + y2)
x2 + y2 , (x, y)6= (0, 0)
1 , (x, y) = (0, 0)
, ´e cont´ınua em (0, 0).
N´ıvel 3
E1) Prove que lim
(4x − 2) = 2.
x!1
E2) Prove que lim
(x,y)!(0,0)
(x2 + y2) = 0.
E3) Prove que lim
(x,y)!(x0,y0)
k = k para quaisquer (x0, y0) ∈ R2 e k ∈ R.
48. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 20
E4) Considere a fun¸c˜ao CES (Constant Elasticity of Substitution - Elasticidade de Substitui¸c˜ao Constante)
P(K,L) = A[αK + (1 − α)L]1/.
a) Calcule o limite de z = ln P quando ρ → 0. (Dica: use a regra de L’Hˆopital.)
b) Mostre que o limite da fun¸c˜ao CES quando ρ → 0 ´e a fun¸c˜ao de Cobb-Douglas.
E5) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim
(x,y)!(1,1)
1
x2 + y2 = 0.
E6) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim
(x,y)!(0,0)
sen (x2 − y2)
x2 − y2 = 1.
E7) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim
(x,y)!(0,0)
xy
x2 + y2 = 0.
E8) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim
(x,y)!(0,0)
x
px2 + y2
= 0.
E9) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim
(x,y)!(0,0)
x + y
x − y
n˜ao existe.
Respostas
N´ıvel 1
E1) a) D(f) = R2, Im(f) = R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}. b) D(f) = R2, Im(f) = R+.
c) D(f) = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 9 , Im(f) = [0, 3].
d) D(f) = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 1 , Im(f) = R+
= {x ∈ R | x 0}. e) D(f) = R2, Im(f) = R.
f) D(f) = R2, Im(f) = R+. g) D(f) = (x, y) ∈ R2 | (x, y)6= (0, 0) , Im(f) = R.
h) D(f) = (x, y) ∈ R2 | x2 − y3 0 , Im(f) = R.
E2) a) 0, b) 1, c) 0, d) −∞.
N´ıvel 2
E1) N˜ao ´e cont´ınua em (0, 0), pois f(0, 0) n˜ao existe.
E2) ´E
cont´ınua em (0, 0), pois lim
(x,y)!(0,0)
f(x, y) = f(0, 0) = 1.
N´ıvel 3
E1) Como |f(x) − L| ǫ ⇔ |4x − 2 − 2| ǫ ⇔ |4x − 4| ǫ ⇔ |x − 1|
ǫ
4
, ent˜ao para qualquer ǫ 0, sempre existe um
0 δ ≤
ǫ
4
tal que |x − 1| δ ⇒ |f(x) − 2| ǫ.
E2) Como |f(x, y) − L| ǫ ⇔ |x2 + y2 − 0| ǫ e ||(x − x0), (y − y0)|| = p(x − x0)2 + (y − y0)2 = px2 + y2, ent˜ao para
qualquer 0 δ ≤ ǫ teremos px2 + y2 δ ⇒ |x2 + y2| ǫ ⇔ −ǫ x2 + y2 ǫ. Como 0 px2 + y2 δ, ent˜ao
x2 + y2 δ2. Com isto, podemos dizer que px2 + y2 δ ⇒ −ǫ x2 + y2 ǫ ⇔ δ2 ≤ ǫ e δ 0, de modo que devemos
ter δ √ǫ. Portanto, sempre que δ √ǫ, teremos ||x − x0, y − y0|| δ ⇒ |f(x) − L| ǫ, o que prova o limite.
E3) Temos que mostrar que, para qualquer ǫ 0, existe um δ 0 tal que
||x − x0, y − y0|| δ ⇒ |f(x, y) − L| ǫ ⇔ p(x − x0)2 + (y − y0)2 δ ⇒ |k − k| ǫ ⇔ 0 ǫ .
Como, por hip´otese, ǫ 0 sempre, ent˜ao para qualquer δ 0 a afirma¸c˜ao acima ´e verdadeira, o que prova o limite.
E4) a) lim
ρ!0
z = ln AKαL1−α
b) lim
ρ!0
P = lim
ρ!0
exp(ln P) = exp lnlim
ρ!0
P = exp ln AKαL1−α = AKαL1−α. O limite pode ser deslocado para
dentro das fun¸c˜oes exponencial e logaritmo natural porque elas s˜ao cont´ınuas.
49. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 21
E5) Escolhendo F(t) = (t cos θ, t sen θ), temos lim
(x,y)!(1,1)
1
x2 + y2 = lim
t!1
1
t2 = 0 para qualquer valor de θ, o que prova o
limite.
E6) Escolhendo F(t) = (t cosh θ, t senh θ), temos lim
(x,y)!(0,0)
sen (x2 − y2)
x2 − y2 = lim
t!0
sen t2
t2 = lim
t!0
cos t2 · 2t
2t
= cos 0 = 1 para
qualquer valor de θ, o que prova o limite.
E7) lim
(x,y)!(0,0)
x = 0 e
67. 1, de modo que lim
(x,y)!(0,0)
x
px2 + y2
= 0.
E9) Escolhendo F(t) = (t, 0), ent˜ao lim
(x,y)!(0,0)
x + y
x − y
= lim
t!0
t + 0
t − 0
= 1. Escolhendo F(t) = (0, t), ent˜ao
lim
(x,y)!(0,0)
x + y
x − y
= lim
t!0
0 + t
0 − t
= −1. Portanto, o limite n˜ao existe.