Este documento apresenta um resumo do conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral 01. A ementa inclui tópicos como limites, derivadas, integrais e seus principais teoremas e métodos de integração. Há também referências bibliográficas sobre o assunto.

1. Matemática Superior
Cálculo Diferencial e Integral 01
Thayson Walleryus

2. Matemática Superior
Unidade 1 – Limites
Thayson Walleryus

3. EMENTA
 Limite e continuidade de funções.
 Derivadas e suas aplicações. Primitivas.
 A Integral.
 Teorema Fundamental do Cálculo.
 Métodos de Integração.
 Aplicações da Integral Definida.

4. REFERÊNCIAS
 Básica
 APOSTOL, T.M. - Cálculo - Ed. RevertéLtda - Volume 1.
 ÁVILA, Geraldo. Cálculo de funções de uma variável, vol. 1. Rio de Janeiro: LTC Ed.
2002.
 BOULOS Paulo. Cálculo Diferencial e Integral. vol. 1, São Paulo: Makron Books, 2000.
 GUIDORIZZI, Hamilton. Um curso de Cálculo, Vol. 1. São Paulo: LTC, 2001.
 IEZZI, G. et all. Fundamentos da Matemática Elementar. Logaritmos, volume 2, Atual
Editora, 2004.
 IEZZI, G. et all. Fundamentos da Matemática Elementar. Trigonometria, volume 3, Atual
Editora, 2004.
 IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 1.
São Paulo: Atual Editora, 2006.
 LEITHOLD,Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1. Editora Harba.
 LIMA, Elon Lages, Análise Real, Vol 01. SBM. Rio de Janeiro. 2007
 LIMA, Elon Lajes. A Matemática do Ensino Médio, vol. 1 Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 2003.
 STEWART, James. Cálculo. vol. 1 & 2, 5 ed. São Paulo: Pioneira, 2005.
 SWOKOWSKI

5. Limite e
Continuidade

6. LIMITES

8. LIMITES

9. LIMITES

10. LIMITES

11. LIMITES

12. nge, ao norte, numa terra chamada
FINITO, existe uma rocha. Possui 100
de altura, 100 Km de largura e 100
de comprimento. A cada milênio um
ssaro vem nela afiar o seu bico.
sim, quando a rocha estiver
almente gasta pela ação do pássaro,
dia na eternidade terá se passado.
endrick Van Loon)

13. Noção Intuitiva
,.....
6
5
,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
,...
7
,
7
6
,
5
,
4
5
,
3
,
2
3
,
1
Sucessões
numéricas
Dizemos
que:
1, 2, 3, 4, 5, ....
Os termos tornam-se cada vez
maiores, sem atingir um limite x  + 
Os números aproximam-se
cada vez mais de 1, sem
nunca atingir esse valor
x  1
1, 0, -1, -2, -3, ...
Os termos tornam-se cada vez
menor, sem atingir um limite x  - 
Os termos oscilam sem tender
a um limite

14. Definição de Limites
 Seja f(x) definida em um intervalo aberto
em torno de “a” (um número real), exceto
talvez em a.
c a d
 Dizemos que f(x) tem limite L quando x
tende a “a” e escrevemos

15. Definição de Limites
Figura 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de
x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 10).
Figures 1.13: Um

16. Definição informal de limite
Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto em
torno de x0, exceto, possivelmente em x0.
Se f(x) fica arbitrariamente próxima de L para todos os
valores de x suficientemente próximos de x0, então
dizemos que a função f tem limite L quando x tende para
x0 e escrevemos:
0
x x
lim f(x) L


x0

17.  Definição de Limite
y
L + 
L
L - 
0 a -  a a +  x
O limite de uma função y = ƒ(x), quando x tende a “a“, a  R,
indicado por lim ƒ(x) é a constante real“L“, se para qualquer 
(épsilon),   R,   0, por menor que seja, existir  (delta),   R,
 > 0, tal que:
I x – a I <   I ƒ(x) - L I < .
Definição de limite

18. Definição de limite
Seja y = f(x) = 2x + 1
Aproximação à direita Aproximação à esquerda
x y
1,5 4
1,3 3,6
1,1 3,2
1,05 3,1
1,02 3,04
1,01 3,02
x y
0,5 2
0,7 2,4
0,9 2,8
0,95 2,9
0,98 2,96
0,99 2,98

19. Definição de limite
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
y
x

20. limites
Nota-se que quando x tende para 1, pelos
dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3,
ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim,
diz-se que:
3
)
1
2
(
lim
)
(
lim
1
1





x
x
f
x
x
1
lim

x
Neste caso o limite é igual ao valor da função.
f(x) = f(1) = 3

21. limites
No caso da função f(x) = é diferente pois
f(x) não é definida para x = 1. Porém o limite existe
e é igual 3.
Ver gráfico a seguir:
1
2
2



x
x
x

22. limites
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
y
x

23. limites
 Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a,
está-se calculando o limite lateral esquerdo. x a -
 Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a,
está-se calculando o limite lateral direito. x a +
 Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais:
[f(x)] = [f(x)]

a
x
lim

a
x
lim

24. limites
x f(x) = x + 3
2 5
1,5 4,5
1,25 4,25
1,1 4,1
1,01 4,01
1,001 4,001
1,0001 4,0001
4
)
(
lim
1



x
f
x
4
)
(
lim
1



x
f
x
Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver
próximo de 1, mas não for igual a 1.
x f(x) = x + 3
0 3
0,25 3,25
0,75 3,75
0,9 3,9
0,99 3,99
0,999 3,999
Dada a função f: IR  IR, definida por f(x) = x + 3.
4
1 x
y
Pela esquerda
Pela direita

25. limites
Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver
próximo de 3, mas não for igual a 3.
Dada a função f: IR  IR, definida por f(x) = x + 2.
5
3 x
y
2

26. Exercício -10001
Dada a função f: IR  IR, f(x) = (x² - 9 )/(x-3) definida em
R – {3} calculo o limite da função.

27. Exercício -10002
Determinar o lim f(x) = (4x + 1) calculo o limite da função e
dar interpretação a sua resposta.
X 2

28. Exercício -10003
Determinar o limite f(x) = (x² + 6x - 7)/(x-3) quando X tende
a 1 e dar interpretação a sua resposta.

29. Exercício -10004
Determinar o limite f(x) = (x² - 3x - 10) / (x-5) quando X
tende a 5 e dar interpretação a sua resposta.

30. Exercício -1005
Dada a função f(x) = (2x-1) calcule:
a) O limite de f(x) quando x tende a 0
b) O limite de f(x) quando x tende a 3
c) O limite de f(x) quando x tende a -1

31. Exercício -1006
Dada a função f(x) = (x²-4x+1) calcule:
a) O limite de f(x) quando x tende a 2

32. Exercício -1007
Dada a função f(x) = (x³-1)/(x+2) calcule:
a) O limite de f(x) quando x tende a 2

33. Exercício -1007
Ache o valor do limite de (x²+x-12)/(x-3) quando x tende a 3

34. Exercício -1008
Calcule o limite de ((x-1).(x+2))/(x+2) quando x tende a 2

35. Exercício -1009
Calcule o limite de (x²+3x)/2x quando x tende a 0

36. limites
)
(
lim
1
x
f
x
Determinar, graficamente,
Dada a função f: IR  IR, definida por








1
,
3
1
,
1
)
(
x
para
x
x
para
x
x
f
4
)
(
lim
1



x
f
x
2
)
(
lim
1



x
f
x
1
2
4
Não existe limite de f(x), quando x tende para 1

37. limites
Noção Intuitiva de Limite Noção intuitiva de limite

 2
x 2
lim(x ) = 4
“O limite da função f(x) = x2 quando x tende a 2 é 4”.

38. Limites Intuitivos

=
0
)
(
lim
)
(
0
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
0
0














x
f
d
x
f
c
x
f
b
x
f
a
x
x
x
x
)
(b

)
(a

)
(d

)
(c

<
1
)
(
lim
)
(
0
)
(
lim
)
(
1
)
(
lim
)
(
0
)
(
lim
)
(
0
0












x
f
d
x
f
c
x
f
b
x
f
a
x
x
x
x
)
(b

)
(a
 )
(d

)
(c

<
>
]
1
,
1
[
)
(
lim
)
(
0
)
(
lim
)
(
]
1
,
1
[
)
(
lim
)
(
0
)
(
lim
)
(
0
0














entre
x
f
d
x
f
c
entre
x
f
b
x
f
a
x
x
x
x
)
(b

)
(a

)
(d

)
(c


39. )
(
lim
0
)
(
lim
2
)
(
lim
3
3
3
x
f
x
f
x
f
x
x
x















existe
não
diferentes
são
0
)
(
lim
0
)
(
lim
0
)
(
lim
3
3
3














x
f
x
f
x
f
x
x
x
iguais
são
Limites laterais

40. Limites laterais






 
)
(
lim
)
(
0
)
(
lim
)
(
1
x
f
b
x
f
a
x
x
)
(b

)
(a


41. 2 2
x 1 x 1
2
x 1
2 2
lim e lim
(x 1) (x 1)
2
lim
(x 1)
 
 

   
 
  

2
2
y
(x 1
)


Limites Infinitos

42. y = tg x
x
tg
x
tg
e
x
tg
x
x
x
2
2
2
lim
lim
lim










 

existe
não
Limites Infinitos

43. Limites infinitos
x x
lim f(x) 1 e lim f(x) 1
   
 

44. Limite nos extremos do domínio da Função
Exponencial

45. Limites nos extremos do domínio da
Função Logarítmica

46. Limite trigonométrico fundamental
x 0
senx
lim 1
x



47. Exercício -01
y
x
1 5
2
1
O que ocorre com f(x) próximo de x = 1?
Lim f(x) não existe
x 1

48. Exercício -02
O que ocorre com f(x) quando x = 1?
y
x
1 5
3
2
Lim f(x) = L = 2
x 1

49. Exercício -03
Lim f(x) sim existe, mas não coincide com f(1)
x 1
x
1
y
5
2
1
O que ocorre com f(x) quando x = 1?

50. Exercício -04
Dado o gráfico de f(x):
3
5
-3
3
-2
x
f(x)
3.5
f(x)
d)
f(x)
c)
f(x)
b)
f(x)
a)
lim
lim
lim
lim
2
x
0
x
3
x
3
x






Encontre:

51. Limite Exponencial Fundamental
x
x
1
lim 1 e
x

 
 
 
 

52. Uma função f é contínua em um número x0 se
)
(
)
(
lim 0
0
x
f
x
f
x
x


Nenhuma destas funções é contínua em x = xo.
Continuidade de uma função em um número
a) b)
c)

53. Uma função f é contínua em um intervalo aberto
se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
 
b
a,
Continuidade de uma função em um intervalo aberto