1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de cálculo diferencial, incluindo limites, continuidade e operações com funções.
2) São definidas as noções de limite à direita, esquerda e no ponto, assim como continuidade.
3) São apresentadas propriedades das funções trigonométricas e suas funções inversas.
Estatística é a ciência dos dados e envolve coleta, organização, análise e interpretação de dados para tirar conclusões. A estatística descritiva organiza e descreve os dados calculando médias e variâncias, enquanto a estatística indutiva estima parâmetros e testa hipóteses. A amostragem é fundamental para obter os dados de uma população.
Proposições e designações, equivalência, implicação, negação, linguagem corrente e linguagem simbólica, tautologia, tabelas de verdade, quantificadores universal e existencial
1) O documento apresenta os principais parâmetros estatísticos para descrever dados isolados e agrupados, incluindo média, mediana, moda, amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
2) Para dados agrupados, descreve como calcular a média, mediana, percentis, moda, variância e desvio padrão considerando as frequências e classes.
3) Apresenta como medir a covariância, coeficiente de correlação de Pearson e regressão linear para caracterizar a relação entre duas variáveis.
Este documento apresenta um resumo teórico e exercícios resolvidos sobre cálculo de probabilidades de acontecimentos. Aborda definições fundamentais como experiência aleatória, espaço amostral, acontecimentos aleatórios e cálculo de probabilidades em espaços de resultados igualmente prováveis segundo a lei de Laplace. Inclui também noções sobre probabilidade condicionada, teoremas como a multiplicação e total de probabilidades e acontecimentos independentes.
Este relatório apresenta os resultados de um experimento sobre colisões entre dois carrinhos em um trilho de ar. Foram realizadas três tipos de colisões: elástica, perfeitamente inelástica e parcialmente inelástica. Para cada colisão, foram medidos os valores de massa, velocidade, momento linear e energia cinética antes e depois da colisão para calcular o coeficiente de restituição. Os resultados validaram a conservação do momento linear e da energia cinética para cada tipo de colisão.
Função de duas variáveis, domínios e imagemIsadora Toledo
O documento define funções de duas variáveis reais e fornece exemplos para ilustrar conceitos como domínio, imagem e curvas de nível. O primeiro exemplo calcula o valor de uma função para um ponto específico e determina seu domínio e imagem. O segundo exemplo representa graficamente uma função através de curvas de nível e traça três curvas de nível específicas.
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangenteDiego Oliveira
Este documento fornece 7 exemplos resolvidos de como encontrar a equação da reta tangente a uma curva ou função em um ponto específico. A fórmula geral para a equação da tangente é apresentada e aplicada nos exemplos, que variam de parábolas, funções polinomiais e curvas implícitas.
O documento descreve os conceitos básicos de sistemas lineares, incluindo equações lineares, soluções de equações lineares, sistemas lineares, matrizes associadas a sistemas lineares, classificação de sistemas, regra de Cramer, sistemas equivalentes e escalonamento de sistemas.
Estatística é a ciência dos dados e envolve coleta, organização, análise e interpretação de dados para tirar conclusões. A estatística descritiva organiza e descreve os dados calculando médias e variâncias, enquanto a estatística indutiva estima parâmetros e testa hipóteses. A amostragem é fundamental para obter os dados de uma população.
Proposições e designações, equivalência, implicação, negação, linguagem corrente e linguagem simbólica, tautologia, tabelas de verdade, quantificadores universal e existencial
1) O documento apresenta os principais parâmetros estatísticos para descrever dados isolados e agrupados, incluindo média, mediana, moda, amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
2) Para dados agrupados, descreve como calcular a média, mediana, percentis, moda, variância e desvio padrão considerando as frequências e classes.
3) Apresenta como medir a covariância, coeficiente de correlação de Pearson e regressão linear para caracterizar a relação entre duas variáveis.
Este documento apresenta um resumo teórico e exercícios resolvidos sobre cálculo de probabilidades de acontecimentos. Aborda definições fundamentais como experiência aleatória, espaço amostral, acontecimentos aleatórios e cálculo de probabilidades em espaços de resultados igualmente prováveis segundo a lei de Laplace. Inclui também noções sobre probabilidade condicionada, teoremas como a multiplicação e total de probabilidades e acontecimentos independentes.
Este relatório apresenta os resultados de um experimento sobre colisões entre dois carrinhos em um trilho de ar. Foram realizadas três tipos de colisões: elástica, perfeitamente inelástica e parcialmente inelástica. Para cada colisão, foram medidos os valores de massa, velocidade, momento linear e energia cinética antes e depois da colisão para calcular o coeficiente de restituição. Os resultados validaram a conservação do momento linear e da energia cinética para cada tipo de colisão.
Função de duas variáveis, domínios e imagemIsadora Toledo
O documento define funções de duas variáveis reais e fornece exemplos para ilustrar conceitos como domínio, imagem e curvas de nível. O primeiro exemplo calcula o valor de uma função para um ponto específico e determina seu domínio e imagem. O segundo exemplo representa graficamente uma função através de curvas de nível e traça três curvas de nível específicas.
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangenteDiego Oliveira
Este documento fornece 7 exemplos resolvidos de como encontrar a equação da reta tangente a uma curva ou função em um ponto específico. A fórmula geral para a equação da tangente é apresentada e aplicada nos exemplos, que variam de parábolas, funções polinomiais e curvas implícitas.
O documento descreve os conceitos básicos de sistemas lineares, incluindo equações lineares, soluções de equações lineares, sistemas lineares, matrizes associadas a sistemas lineares, classificação de sistemas, regra de Cramer, sistemas equivalentes e escalonamento de sistemas.
1) A distribuição normal é uma distribuição simétrica em forma de sino que é especificada pelos parâmetros média (μ ou x) e desvio padrão (σ ou s).
2) A distribuição normal padronizada tem média 0 e desvio padrão 1 e facilita os cálculos de probabilidade usando tabelas.
3) Para distribuições normais não-padronizadas, valores são convertidos para valores padronizados usando a fórmula z = (x - μ)/σ antes de usar as tabelas.
O documento discute correlação, regressão linear e não linear em estatística. Estabelece como medir a força da relação entre variáveis e ajustar modelos de regressão para prever valores com base em dados observados. Inclui exemplos passo a passo de como calcular a correlação e determinar equações de regressão linear, quadrática e exponencial.
O documento discute métodos para determinar raízes de funções, incluindo métodos matemáticos exatos para polinômios de grau menor ou igual a 3, métodos gráficos usando interseção com o eixo x, e métodos numéricos como bisseção, secante e Newton-Raphson para aproximar raízes em casos gerais.
Matemática Discreta - Parte VII estruturas algébricasUlrich Schiel
O documento descreve três grandes categorias de estruturas matemáticas usadas para modelar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. As estruturas algébricas são definidas como conjuntos abstratos de objetos com operações e relações entre esses objetos que obedecem certas regras. Álgebras são estruturas algébricas com um conjunto de operações definidas sobre um conjunto. A álgebra de Boole é um exemplo importante de estrutura algébrica usada
O documento discute o método de discussão de sistemas lineares. Apresenta exemplos de como classificar sistemas em SPD, SPI ou SI analisando os parâmetros dos coeficientes. Demonstra a resolução passo a passo de dois exemplos que ilustram como determinar a classificação do sistema em função dos parâmetros.
1) O documento discute o problema da autocorrelação nos termos de erro em modelos de regressão múltipla.
2) A autocorrelação ocorre quando os termos de erro de períodos diferentes estão correlacionados, violando um pressuposto do modelo de regressão.
3) Vários fatores podem causar autocorrelação, como inércia em séries temporais, variáveis omitidas, forma funcional incorreta do modelo, e defasagens.
O documento discute conceitos lógicos como tautologias, contradições, contingências e equivalências. Uma tautologia é sempre verdadeira independente da atribuição de valores lógicos, enquanto uma contradição é sempre falsa. Uma contingência não é nem tautologia nem contradição. Duas proposições são logicamente equivalentes se tiverem tabelas-verdade idênticas.
O documento apresenta as regras básicas de derivação de funções, incluindo derivadas de constantes, funções potência, funções multiplicadas por uma constante, soma, produto e quociente de funções. As regras são ilustradas com exemplos numéricos de cada uma.
Este documento apresenta uma introdução ao cálculo diferencial, abordando conceitos como taxa de variação instantânea, derivada e reta tangente a gráficos. Ele também descreve como calcular a função derivada de funções polinomiais e como derivar a soma e o produto de funções.
O documento apresenta os principais conceitos da disciplina de Matemática Discreta, incluindo sua definição, ramos e tipos de conjuntos estudados. A matemática discreta analisa estruturas abstratas discretas e enumeráveis aplicando conceitos como teoria dos conjuntos, relações, funções e álgebra de Boole.
Para que a equação 2x2 + 8x - n +13 = 0 tenha duas raízes reais distintas, n deve ser maior que 5 excluindo 5. A equação x2 - (p - 1) x + p-2 = 0 terá raízes iguais se p = 3.
O documento introduz o conceito de derivadas parciais e apresenta exemplos para esclarecer sua definição e cálculo. A função índice de calor é usada para ilustrar como derivar uma função de duas variáveis. As derivadas parciais de f(x,y)=9-x2-y2 são calculadas no ponto (1,-1), resultando em fx(1,-1)=-2 e fy(1,-1)=2.
Este documento apresenta conceitos básicos de estatística. Define estatística como a ciência dos dados e descreve seus principais métodos e processos. Explora termos-chave como população, amostra, variável, estatística descritiva e estatística indutiva. Por fim, apresenta diferentes formas de apresentação gráfica e tabular de dados estatísticos.
1) O documento descreve a lei da gravitação universal de Newton e como ela é usada para calcular a força gravitacional e o campo gravitacional.
2) É explicado como calcular a intensidade do campo gravitacional na superfície e em pontos externos de um planeta esférico e homogêneo, assim como a aceleração da gravidade nesses pontos.
3) É mostrado como calcular a aceleração da gravidade em pontos internos a um planeta esférico e homogêneo, e como ela depende da distância ao centro
O documento discute o tópico de integrais na matemática. Ele apresenta as regras básicas de integração, exemplos de integrais definidas e indefinidas, e aplicações como o cálculo de áreas e o excedente do consumidor e produtor.
Raciocínio Lógico básico com tabela verdade: Conjunção, Disjunção, Negação, Implicação e Bi-Implicação. Conceitos básicos de raciocínio lógico. Explicação clara e objetiva com exercícios resolvidos sobre o tema abordado.
Este documento fornece uma introdução à estatística descritiva e indutiva. Abrange definições gerais de população, variáveis e amostragem, e descreve as principais medidas estatísticas como média, mediana, moda, dispersão e concentração. Também discute representações gráficas como histogramas e curvas de Lorenz.
Este documento apresenta os conceitos básicos de regressão linear simples, incluindo a obtenção da equação da reta de regressão por meio do método dos mínimos quadrados e a análise dos resultados, verificando pressupostos e significância estatística da regressão por meio de testes.
Este documento apresenta conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral e eventos. Discute definições, exemplos e operações com eventos aleatórios como interseção, união e complemento. Também aborda a definição clássica de probabilidade e cálculos combinatórios.
O documento discute limites de funções. Apresenta a definição formal de limite e exemplos de cálculo de limites à direita, esquerda e bilateral. Também aborda limites infinitos e casos em que o limite não existe devido a limites laterais diferentes.
1) O documento discute noções intuitivas de limites em funções matemáticas e sucessões numéricas. 2) Apresenta exemplos de cálculo de limites à direita e esquerda graficamente. 3) Discutem definições formais de limites e propriedades dos mesmos.
1) A distribuição normal é uma distribuição simétrica em forma de sino que é especificada pelos parâmetros média (μ ou x) e desvio padrão (σ ou s).
2) A distribuição normal padronizada tem média 0 e desvio padrão 1 e facilita os cálculos de probabilidade usando tabelas.
3) Para distribuições normais não-padronizadas, valores são convertidos para valores padronizados usando a fórmula z = (x - μ)/σ antes de usar as tabelas.
O documento discute correlação, regressão linear e não linear em estatística. Estabelece como medir a força da relação entre variáveis e ajustar modelos de regressão para prever valores com base em dados observados. Inclui exemplos passo a passo de como calcular a correlação e determinar equações de regressão linear, quadrática e exponencial.
O documento discute métodos para determinar raízes de funções, incluindo métodos matemáticos exatos para polinômios de grau menor ou igual a 3, métodos gráficos usando interseção com o eixo x, e métodos numéricos como bisseção, secante e Newton-Raphson para aproximar raízes em casos gerais.
Matemática Discreta - Parte VII estruturas algébricasUlrich Schiel
O documento descreve três grandes categorias de estruturas matemáticas usadas para modelar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. As estruturas algébricas são definidas como conjuntos abstratos de objetos com operações e relações entre esses objetos que obedecem certas regras. Álgebras são estruturas algébricas com um conjunto de operações definidas sobre um conjunto. A álgebra de Boole é um exemplo importante de estrutura algébrica usada
O documento discute o método de discussão de sistemas lineares. Apresenta exemplos de como classificar sistemas em SPD, SPI ou SI analisando os parâmetros dos coeficientes. Demonstra a resolução passo a passo de dois exemplos que ilustram como determinar a classificação do sistema em função dos parâmetros.
1) O documento discute o problema da autocorrelação nos termos de erro em modelos de regressão múltipla.
2) A autocorrelação ocorre quando os termos de erro de períodos diferentes estão correlacionados, violando um pressuposto do modelo de regressão.
3) Vários fatores podem causar autocorrelação, como inércia em séries temporais, variáveis omitidas, forma funcional incorreta do modelo, e defasagens.
O documento discute conceitos lógicos como tautologias, contradições, contingências e equivalências. Uma tautologia é sempre verdadeira independente da atribuição de valores lógicos, enquanto uma contradição é sempre falsa. Uma contingência não é nem tautologia nem contradição. Duas proposições são logicamente equivalentes se tiverem tabelas-verdade idênticas.
O documento apresenta as regras básicas de derivação de funções, incluindo derivadas de constantes, funções potência, funções multiplicadas por uma constante, soma, produto e quociente de funções. As regras são ilustradas com exemplos numéricos de cada uma.
Este documento apresenta uma introdução ao cálculo diferencial, abordando conceitos como taxa de variação instantânea, derivada e reta tangente a gráficos. Ele também descreve como calcular a função derivada de funções polinomiais e como derivar a soma e o produto de funções.
O documento apresenta os principais conceitos da disciplina de Matemática Discreta, incluindo sua definição, ramos e tipos de conjuntos estudados. A matemática discreta analisa estruturas abstratas discretas e enumeráveis aplicando conceitos como teoria dos conjuntos, relações, funções e álgebra de Boole.
Para que a equação 2x2 + 8x - n +13 = 0 tenha duas raízes reais distintas, n deve ser maior que 5 excluindo 5. A equação x2 - (p - 1) x + p-2 = 0 terá raízes iguais se p = 3.
O documento introduz o conceito de derivadas parciais e apresenta exemplos para esclarecer sua definição e cálculo. A função índice de calor é usada para ilustrar como derivar uma função de duas variáveis. As derivadas parciais de f(x,y)=9-x2-y2 são calculadas no ponto (1,-1), resultando em fx(1,-1)=-2 e fy(1,-1)=2.
Este documento apresenta conceitos básicos de estatística. Define estatística como a ciência dos dados e descreve seus principais métodos e processos. Explora termos-chave como população, amostra, variável, estatística descritiva e estatística indutiva. Por fim, apresenta diferentes formas de apresentação gráfica e tabular de dados estatísticos.
1) O documento descreve a lei da gravitação universal de Newton e como ela é usada para calcular a força gravitacional e o campo gravitacional.
2) É explicado como calcular a intensidade do campo gravitacional na superfície e em pontos externos de um planeta esférico e homogêneo, assim como a aceleração da gravidade nesses pontos.
3) É mostrado como calcular a aceleração da gravidade em pontos internos a um planeta esférico e homogêneo, e como ela depende da distância ao centro
O documento discute o tópico de integrais na matemática. Ele apresenta as regras básicas de integração, exemplos de integrais definidas e indefinidas, e aplicações como o cálculo de áreas e o excedente do consumidor e produtor.
Raciocínio Lógico básico com tabela verdade: Conjunção, Disjunção, Negação, Implicação e Bi-Implicação. Conceitos básicos de raciocínio lógico. Explicação clara e objetiva com exercícios resolvidos sobre o tema abordado.
Este documento fornece uma introdução à estatística descritiva e indutiva. Abrange definições gerais de população, variáveis e amostragem, e descreve as principais medidas estatísticas como média, mediana, moda, dispersão e concentração. Também discute representações gráficas como histogramas e curvas de Lorenz.
Este documento apresenta os conceitos básicos de regressão linear simples, incluindo a obtenção da equação da reta de regressão por meio do método dos mínimos quadrados e a análise dos resultados, verificando pressupostos e significância estatística da regressão por meio de testes.
Este documento apresenta conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral e eventos. Discute definições, exemplos e operações com eventos aleatórios como interseção, união e complemento. Também aborda a definição clássica de probabilidade e cálculos combinatórios.
O documento discute limites de funções. Apresenta a definição formal de limite e exemplos de cálculo de limites à direita, esquerda e bilateral. Também aborda limites infinitos e casos em que o limite não existe devido a limites laterais diferentes.
1) O documento discute noções intuitivas de limites em funções matemáticas e sucessões numéricas. 2) Apresenta exemplos de cálculo de limites à direita e esquerda graficamente. 3) Discutem definições formais de limites e propriedades dos mesmos.
Este documento apresenta uma introdução aos limites e continuidade de funções. Explica conceitos como limites laterais, limites numéricos e a definição formal de limite. Também discute a noção intuitiva de limite e quando uma função é contínua.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de limites e continuidade de funções de uma variável real. Na primeira seção, define-se vizinhança e os conceitos de ponto interior, exterior e fronteiro de um conjunto. Posteriormente, introduzem-se as noções de conjunto aberto, fechado e compacto. As seções seguintes abordam pontos de acumulação, isolados e limites de funções segundo Cauchy e Heine. Por fim, discutem-se propriedades dos limites, limites laterais, limites infinitos e no infinito.
O documento discute limites de funções reais de variável real. Apresenta a definição formal de limite, casos particulares como limites laterais e no infinito, propriedades dos limites e exemplos de cálculo de limites e resolução de indeterminações.
1) A função é contínua em alguns pontos e descontínua em outros, com diferentes tipos de descontinuidade como salto e essencial. 2) A função é limitada em alguns intervalos fechados e não limitada em outros intervalos abertos ou sem limite superior. 3) Os extremos são encontrados quando a função é decrescente ou crescente e o intervalo é fechado.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo: (1) noção intuitiva de limites, (2) limites laterais, (3) definição formal de limite, (4) propriedades dos limites e (5) continuidade de funções.
O documento discute conceitos fundamentais sobre limites de funções, incluindo: (1) a definição formal de limite de funções, (2) a relação entre limites e sequências, (3) propriedades aritméticas dos limites e (4) limites laterais e no infinito.
1) O documento discute limites de funções, definindo-os formalmente como a aproximação do comportamento de uma função quando sua variável se aproxima de um número real.
2) Apresenta exemplos numéricos e gráficos para ilustrar o cálculo de limites laterais esquerdo e direito.
3) Lista propriedades algébricas dos limites, como a soma, produto e quociente de limites.
O documento discute limites de funções. Aborda conceitos como limite de funções, propriedades dos limites, limites laterais, limites no infinito e infinitos, critérios para limites como o critério de Cauchy e o teorema do sanduíche. Também discute relação entre limites e sequências, limites de funções em espaços métricos e o critério de Stolz-Cesàro para limites de funções.
O documento apresenta uma introdução aos conceitos fundamentais do cálculo diferencial e integral. Em três frases ou menos, resume-se:
O texto define limites de funções de forma intuitiva e por meio de símbolos, apresenta noções sobre derivadas, incluindo a taxa de variação instantânea e a condição de derivabilidade. Também aborda teoremas como o do valor médio e do valor extremo, importantes para a otimização de funções.
O documento apresenta exercícios sobre coordenadas cartesianas e funções. Os exercícios incluem marcar pontos no plano cartesiano, desenhar regiões definidas por fórmulas, calcular distâncias entre pontos, encontrar domínios de funções, avaliar funções em pontos específicos, verificar se funções são limitadas ou periódicas. As respostas devem conter todo o raciocínio lógico desenvolvido.
1) O documento discute limites de funções reais, incluindo a definição formal de limite, limites infinitos e propriedades dos limites.
2) Limites infinitos ocorrem quando uma função tende a valores infinitamente grandes ou pequenos ao se aproximar de um ponto, representados por limx→a f(x)=±∞.
3) As propriedades dos limites estabelecem como calcular limites de funções somadas, subtraídas, multiplicadas, divididas e elevadas a potências usando os limites das funções individuais.
1. O documento discute propriedades de funções como domínio, valores em pontos específicos, limites superior e inferior, monotonia e periodicidade.
2. Exemplos de funções analisadas incluem f(x) = 1/x2-x, f(x) = √9-x2 e f(x) = cos 2x.
3. As respostas fornecem desenvolvimentos lógicos completos com conclusões sobre o domínio, valores, limites e propriedades de cada função analisada.
[1] A regra de L'Hôpital fornece um método para calcular limites indeterminados do tipo 0/0 e ∞/∞, derivando numerador e denominador e tomando o limite da razão das derivadas. [2] A demonstração mostra que diversos casos podem ser reduzidos a limites à esquerda quando x tende a 0, e aplica a regra nesses casos. [3] Exemplos ilustram a aplicação da regra e situações em que ela não se aplica.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de cálculo, como:
1) Limites, definidos como a aproximação de uma função quando sua variável independente tende a um valor;
2) Derivadas, definidas como a razão entre o incremento da função e o incremento da variável independente, representando a taxa de variação da função;
3) Continuidade, relacionada à ausência de descontinuidades no gráfico da função.
1) O documento descreve diferentes tipos de funções elementares, incluindo funções constantes, identidade, lineares, do primeiro grau, módulo, quadráticas e racionais.
2) As funções constantes, identidade e lineares têm domínio R, enquanto funções do primeiro grau e quadráticas mapeiam R para R.
3) A função módulo mapeia R para [0, +∞) e funções racionais têm domínio excluindo valores que tornam o denominador zero.
Limite laterais são limites calculados quando x tende para um ponto de descontinuidade da esquerda ou da direita. Este documento explica o conceito de limites laterais para uma função f(x) = x + |x| que tem limites diferentes à esquerda e à direita quando x tende para 0.
Limite laterais são limites calculados quando x tende para um ponto de descontinuidade da esquerda ou da direita. Este documento explica o conceito de limites laterais para uma função f(x) = x + |x| que tem limites diferentes à esquerda e à direita quando x tende para 0.
teórica completa de matemática A do secundárioirisgoncalves
Ao longo dos 3 anos de secundário (10º, 11º e 12º anos) em Ciências e Tecnologias desenvolvi este documento onde reúno todos os conhecimentos e fórmulas essenciais a este disciplina. Muito bem avaliado por alguns colegas com o quem o partilhei e que, por isso, acho que será uma ferramenta útil a todos os estudos do ensino regular em Portugal que frequentem esta matéria (conhecida como a destruidora de neurónios ahhahah) e também poderá ajudar alunos que realizarão exame nacional para a mesma. Espero que contenha toda a informação necessária e fundamental. Bom estudo!
1. Cálculo Diferencial em R
Séries Numéricas e de Potências
— Caderno 1 —
––––––––––––––––––––––––––––––––-
2011-2012 / 1o Semestre
EI / ETI / ETI-PL
––––––––––––––––––––––––––––––––-
Rosário Laureano
Elaborado por
DMQ — Dpto de Métodos Quantitativos
1
2. 1 Cálculo Diferencial em R
1.1 Limites e continuidade
Sejam f : Df ⊆ R → R uma função real (escalar) de variável real e
a ∈ R um ponto de acumulação1 de Df .
Definição 1 O número real L é o limite de f no ponto a, e escreve-se
f (x) −→ L quando x −→ a ou L = limx→a f (x), se
∀δ > 0 ∃ε = ε (δ) > 0 | ∀x ∈ Df ∧ 0 < |x − a| < ε =⇒ |f(x) − L| < δ
(para todo o δ > 0 existe ε > 0, dependente do δ tomado, tal que a distância
de f (x) a L é inferior a δ sempre que a distância de x a a é inferior a ε,
para x ∈ Df {a}).
A condição 0 < |x − a| < ε significa que x ∈ ]a − ε, a + ε[ e x = a. A
existência de limite traduz-se intuitivamente por "os valores f (x) e L serão
arbitrariamente próximos (ou seja, a distância |f(x) − L| será tão pequena
quanto se queira) sempre que nos limitemos a considerar valores de x su-
ficientemente próximos de a (isto é, desde que |x − a| seja suficientemente
pequeno)". Contudo, a existência do limite de f no ponto a nada informa2
acerca do valor da função f no ponto a. O limite de f no ponto a, quando
existe, é único.
A definição de limite exige que existam e tenham o mesmo valor os
limites da função f restringida a qualquer subconjunto do seu domínio, ou
1
Considerando definida em R a distância euclidiana, um ponto a ∈ R é um ponto de
acumulação de D ⊆ R se a todo o intervalo aberto centrado em a pertence pelo menos
um ponto de D distinto de a, ou seja,
∀ε > 0 ∃x ∈ D {a} | x ∈ ]a − ε, a + ε[ .
Na verdade, tal implica que em qualquer vizinhança de a existem infinitos pontos de D,
ou seja,
∀ε > 0, ]a − ε, a + ε[ ∩ D é um conjunto infinito.
O intervalo ]a − ε, a + ε[ pode designar-se por bola aberta de centro em a e raio ε. Um
ponto que não é de acumulação de D diz-se um ponto isolado. O conjunto de todos os
pontos de acumulação do conjunto D designa-se por derivado de D e denota-se por D .
2
Tal valor f (a) pode nem existir e, mesmo no caso em que a ∈ D, podemos ter
lim f (x) = L = f (a).
x→a
2
3. seja, que sejam iguais todos os limites relativos da função f. Na recta real, a
aproximação a um ponto a faz-se através de uma única direcção. No entanto,
podemos considerar nessa direcção a aproximação pela esquerda, x → a− ,
ou pela direita, x → a+ , sempre que tal faça sentido face ao domínio da
função f. Trata-se de considerar os limites relativos
lim f (x) = lim f (x) e lim f (x) = lim f (x) ,
x→a− x→a ∧ x<a x→a+ x→a ∧ x>a
que se designam por limites laterais de f no ponto a. Sendo estes os
únicos limites relativos possíveis, é condição necessária para que exista o
limite de f no ponto a que eles existam e tenham o mesmo valor,
lim f (x) = lim f (x) = L = lim f (x) .
x→a− x→a+ x→a
Como tal, a não-existência de limite no ponto a decorre simplesmente da
detecção de valores diferentes nos dois limites laterais,
lim f (x) = lim f (x) .
x→a− x→a+
Quando, face ao domínio da função f , apenas faz sentido uma das aproxi-
mações laterais, o valor do limite corresponde a esse limite lateral.
Proposition 2 Sejam f : Df ⊆ R → R e g : Dg ⊆ R → R funções reais de
variável real e a ∈ R um ponto de acumulação de Df e de Dg . Se existirem
os limites limx→a f (x) e limx→a g (x) então também existem nesse ponto a
os limites
P1. da soma e da diferença das funções
lim (f ± g) (x) = lim f (x) ± lim g (x) ,
x→a x→a x→a
P2. do produto das funções
lim (f × g) (x) = lim f (x) × lim g (x) ,
x→a x→a x→a
P3. do produto da função por uma constante c ∈ R
lim (c × f ) (x) = c × lim f (x) ,
x→a x→a
P4. e, sempre que limx→a g (x) = 0, do quociente das funções
f limx→a f (x)
lim (x) = .
x→a g limx→a g (x)
3
4. A função f tende para +∞ quando x −→ a (escreve-se limx→a f (x) =
+∞) se3
∀K > 0 ∃ε = ε (K) > 0 | ∀x ∈ Df ∧ 0 < |x − a| < ε =⇒ f(x) > K.
A função f tende para −∞ quando x −→ a (escreve-se limx→a f (x) =
−∞) se a função (−f ) tende para +∞ quando x −→ a.
Seja Df um subconjunto não majorado de R. O número real L é o limite
de f quando x −→ +∞ (escreve-se L = limx→+∞ f (x)) se4
∀δ > 0 ∃x0 = x0 (δ) ∈ R | ∀x ∈ Df ∧ x > x0 =⇒ |f(x) − L| < δ.
Se L = limx→+∞ f (x) ou L = limx→−∞ f (x) então o gráfico de f tem
y = L como assimptota horizontal. A função f tende para +∞ quando
x −→ +∞ (escreve-se limx→+∞ f (x) = +∞) se5
∀K > 0 ∃x0 = x0 (K) ∈ R | ∀x ∈ Df ∧ x > x0 =⇒ f (x) > K.
São válidas as seguintes operações, no sentido de limite (L ∈ R),
(+∞) + (+∞) = +∞ , (+∞) + L = +∞
(−∞) + (−∞) = −∞ , (−∞) + L = −∞
(±∞) · (±∞) = +∞ , (±∞) · (L positivo) = ±∞
(±∞) · ( ∞) = −∞ , (±∞) · (L negativo) = ∞
(±∞) L positivo (±∞) 0±
= ±∞ , = 0± , = +∞ , = 0+
L positivo (±∞) 0± (±∞)
(±∞) L negativo (±∞) 0
= ∞, =0 , = −∞, = 0−
L negativo (±∞) 0 (±∞)
3
para todo K > 0 existe ε > 0, dependente do K tomado, tal que as imagens f (x)
superam o valor de K sempre que a distância de x a a é inferior a ε, para x ∈ Df {a} .
4
para todo δ > 0 existe x0 , dependente do δ tomado, tal que a distância de f (x) a L
é inferior a δ sempre que x é maior do que x0 , para x ∈ Df .
5
para todo K > 0 existe x0 , dependente do K tomado, tal que as imagens f (x) superam
o valor de K sempre que os objectos x superam o valor de x0 , para x ∈ Df .
4
5. enquanto
0 (±∞)
(±∞) − (±∞) =? , 0 · (±∞) =? , =? e =?
0 (±∞)
são indeterminações.
Consideremos que f (x) > 0 para todo x ∈ Df . Temos
limx→a g(x)
lim f (x)g(x) = lim f (x)
x→a x→a
sempre que não ocorra uma das indeterminações
00 =? , 1(±∞) =? e (+∞)0 =? .
No entanto, dada a igualdade
f (x)g(x) = exp [g (x) · ln f (x)] ,
(exp denota a exponencial de Neper e ln o logarítmo respectivo) estas inde-
terminações podem ser resolvidas através da indeterminação 0 · (±∞).
Limites de referência:
sin x tan x ln (x + 1)
lim = 1, lim = 1, lim =1
x→0 x x→0 x x→0 x
ax loga x
lim = +∞ (a > 1, p ∈ R), lim = 0 (a > 1, p ∈ R+ )
x→+∞ xp x→+∞ xp
x
exp x − 1 k
lim = 1, lim 1+ = exp k
x→0 x x→+∞ x
Definição 3 Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real e
a ∈ R. A função f diz-se contínua no ponto a se e só se são verificadas
as três condições seguintes: (i) existe a imagem f (a), ou seja, a ∈ Df ; (ii)
existe o limite limx→a f (x); (iii) são iguais os elementos garantidos em (i)
e (ii), ou seja6 ,
lim f (x) = f (a) .
x→a
A função f diz-se contínua se for contínua em todos os pontos do seu
domínio.
6
Temos então
∀δ > 0 ∃ε = ε (δ) > 0 | ∀x ∈ Df ∧ 0 < |x − a| < ε =⇒ |f (x) − f (a)| < δ.
5
6. A continuidade de f no ponto a traduz-se intuitivamente por "os valores
f (x) e f (a) serão arbitrariamente próximos (isto é, a distância |f(x) − f(a)|
será tão pequena quanto se queira) sempre que limitemos a considerar valores
de x suficientemente próximos de a (isto é, desde que |x − a| seja suficien-
temente pequeno)".
1.2 Funções trigonométricas
Sabemos que as funções trigonométricas seno, coseno e tangente são
periódicas, não sendo portanto injectivas nos domínios Dsin = Dcos = R
e Dtan = R {kπ/2}k∈Z . No entanto, podemos considerar as restrições
principais:
π π
para y = sin x apenas x ∈ − ,
2 2
para y = cos x apenas x ∈ [0, π]
π π
para y = tan x apenas x ∈ − ,
2 2
dessas funções, as restrições que permitem garantir a injectividade (cada
imagem ser "exclusiva" de um objecto) e manter todos os valores dos res-
pectivos contradomínios. Para estes domínios mais restrictos, existem as
funções inversas:
x = arcsin y (arco-seno de y) com y ∈ [−1, 1]
x = arccos y (arco-coseno de y) com y ∈ [−1, 1]
x = arctan y (arco-tangente de y) com y ∈ R.
Por exemplo, sabendo que cos (π/3) = 1/2, podemos escrever que
π 1
= arccos .
3 2
Trata-se de inverter os papeis das variáveis x e y, não os seus valores. Por-
tanto, arccos (1/2) designa o ângulo (em radianos) cujo coseno é 1/2, ou
seja, o ângulo π/3. Por outro lado, o valor inverso de cos (π/3), que é 2, é
designado por secante de π/3,
π 1 1
sec = π = = 2.
3 cos 1/2
3
6
7. √ √
Sabendo que sin (π/3) = 3/2, podemos escrever que π/3 = arcsin 3/2
e obter também a cosecante de π/3,
π 1 1 2
csc
3
= π = √3/2 = √3 .
sin
3
√ √
Sabendo que tan (π/3) = 3, podemos escrever que π/3 = arctan 3 e obter
também a cotangente de π/3,
π 1 1
cot = π =√ .
3 tan 3
3
função trigonom. função trigonom. inversa valor inverso
1
y = sin x x = arcsin y w= = csc x
sin x
1
y = cos x x = arccos y w= = sec x
cos x
sin x 1
y = tan x = x = arctan y w= = cot x
cos x tan x
Também se designa por arco-cotangente de y o valor do ângulo (medido em
radianos) cuja cotangente é y.
Da fórmula fundamental da trigonometria (f.f.t),
sin2 x + cos2 x = 1
obtemos (dividindo por cos2 x = 0)
1
tan2 x + 1 = ,
cos2 x
assim como (dividindo por sin2 x = 0)
1
1 + cot2 x = .
sin2 x
Da fórmula de duplicação de ângulo para o coseno
cos (2x) = cos2 x − sin2 x
7
8. obtemos (usando cos2 x = 1 − sin2 x)
1 − cos(2x)
sin2 x = ,
2
assim como (usando sin2 x = 1 − cos2 x)
1 + cos(2x)
cos2 x = .
2
A fórmula de duplicação de ângulo para o seno é
sin (2x) = 2 sin (x) cos (x) .
1.3 Derivação e Fórmula de Taylor
Derivada (de ordem 1) de uma função f num ponto a do seu
domínio:
f (x) − f (a) f (a + h) − f (a)
f (a) = lim = lim
x→a x−a h→0 h
O número real f (a) é o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto
(a, f(a)), cuja equação é
y − f(a) = f (a) (x − a) .
1
A recta normal ao gráfico de f no ponto (a, f (a)) tem por declive − e
f (a)
a sua equação é
1
y − f(a) = − (x − a) .
f (a)
Uma função é crescente nos pontos em que a derivada é positiva e de-
crescente nos pontos em que a derivada é negativa. Os valores de x nos
quais a derivada é nula, designados por pontos críticos, são os "candidatos"
a extremos (máximos ou mínimos) relativos da função.
Se a função f define a trajectória de uma partícula em movimento no
decurso do tempo, a derivada f (a) é a velocidade instantânea da partícula
no instante de tempo t = a.
Definem-se as derivadas de ordem superior a 1:
8
9. de ordem 2 : f (x) = f f (x) , também denotada por f (2) (x)
de ordem 3 : f (x) = f f (x) , também denotada por f (3) (x)
···
de ordem n : f (n) (x) = f f (n−1) (x) .
Também se pode escrever f (1) (x) em vez de f (x) e f (0) (x) em vez de f (x).
Regra de derivação da função composta:
(f ◦ u) (x) = f (u(x)) · u (x). (1)
Regra de derivação da função inversa:
1
f −1 (y) = em que y = f(x). (2)
f (x)
Consideremos u = u(x) e v = v(x). Em consequência de (1), são válidas
as regras operacionais de derivação
(u ± v) = u ± v e (k · u) = k · u (para k ∈ R)
u u ·v−u·v
(u · v) = u · v + u · v e =
v v2
(up ) = p · up−1 · u (para p ∈ Q),
a regra de derivação da exponencial (para a > 0, a = 1)
(au ) = u · au · ln a (em particular (exp u) = u · exp u ),
e as regras de derivação das funções trigonométricas
(sin u) = u · cos u e (cos u) = −u · sin u
u u
(tan u) = = u · sec2 u e (cot u) = − = −u · csc2 u .
cos2 u sin2 u
Usando (1) e (2), obtemos as regras de derivação para as funções inversas
(para a > 0, a = 1)
u u
(loga u) = (em particular, (ln u) = )
u · ln a u
9
10. u u
(arctan u) = e (arccot u) = −
1 + u2 1 + u2
u u
(arcsin u) = √ e (arccos u) = − √ .
1 − u2 1 − u2
Por exemplo, de y = arcsin x obtem-se x = sin y e, por (2),
1 1
(arcsin x) = = .
(sin y) cos y
√
Como cos y = 1 − sin2 y = 1 − x2 , temos
1
(arcsin x) = √ .
1 − x2
Por (1) concluímos então que
1 u
(arcsin u) = √ ·u = √ .
1−u2 1 − u2
Analogamente, de y = arctan x obtem-se x = tan y e, por (2),
1 1
(arctan x) = = 1
(tan y) cos2 y
1
Como = 1 + tan2 y = 1 + x2 , temos
cos2 y
1
(arctan x) = .
1 + x2
Por (1) concluímos então que
1 u
(arctan u) = ·u = .
1 + u2 1 + u2
Definição 4 Sejam f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real e
a ∈ Df um ponto interior a Df . Se existem com valor real as derivadas de
todas as ordens da função f no ponto a define-se o desenvolvimento (ou
série) de Taylor de f no ponto x = a como sendo
f (a) f (3) (a)
f(x) = f(a) + f (a) · (x − a) + · (x − a)2 + · (x − a)3 + · · ·
2 3!
10
11. ou seja,
f (n−1) (a)
f(x) = · (x − a)n−1 .
(n − 1)!
n≥1
Quando a = 0, o desenvolvimento
f (a) 2 f (3) (a) 3 f (n−1) (0) n−1
f (x) = f (0) + f (0) · x + ·x + ·x +··· = ·x
2 3! (n − 1)!
n≥1
diz-se o desenvolvimento (ou série) de MacLaurin de f .
Assume-se que f (0) (a) = f (a). O factorial de n ≥ 1, que é denotado por
n!, é definido como
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 3 · 2 · 1.
Por convenção, o factorial de 0 é 1, 0! = 1.
O desenvolvimento de Taylor (e de MacLaurin) é válido no domínio de
convergências da série de Taylor (e de MacLaurin) que lhe corresponde. A
determinação do domínio de convergência é tratado no âmbito das séries de
potências.
Sempre que consideramos apenas um número finito n de termos no de-
senvolvimento de Taylor (ou de MacLaurin), obtemos uma aproximação
(polinomial) de Taylor (ou de MacLaurin) da função com erro de
ordem n + 1.
1.4 Exercícios propostos
1. Represente graficamente as funções:
(a) f(x) = −x2 , g(x) = x2 − 3 e h(x) = (x − 3)2
√ √ √
(b) f(x) = x, g(x) = 1 + x e h(x) = 1 − x
√
(c) f(x) = 1/x, g(x) = 1/x2 e h(x) = 1/ x
(d) f(x) = 1/ (x − 2), g(x) = 1/x − 2 e h(x) = 1/ |x − 2|
(e) f(x) = exp x, g(x) = 1/ exp x e h(x) = ln x.
2. Mostre que a parábola de equação y = x2 + x + 1 tem vértice no ponto
(−1/2, 3/4) .
11
12. 3. Considere a função
x3 − 1
f(x) = .
x−1
(a) Mostre que f(x) = x2 + x + 1 para x = 1.
(b) Esboce o gráfico da função f.
(c) Mostre que
lim f(x) = 3 e lim f (x) = +∞.
x→1 x→−∞
4. Considere a função
x
f (x) = √ .
x+1−1
√
(a) Mostre que f(x) = x + 1 + 1 para x ≥ −1 ∧ x = 0.
(b) Esboce o gráfico da função f.
(c) Mostre que
lim f(x) = 2 e lim f(x) = +∞
x→0 x→+∞
5. Considere a função
1 se x = 3
f (x) = .
0 se x = 3
(a) Esboce o gráfico da função f.
(b) Mostre que
lim f(x) = 1 e lim f (x) = 1.
x→3 x→+∞
(c) Justifique que a função f não é contínua.
6. Considere a função
|x|
f (x) = .
x
(a) Esboce o gráfico da função f.
(b) Mostre que não existe limx→0 f (x) e que limx→−∞ f(x) = −1.
(c) Mostre que a função f é contínua.
12
13. 7. Mostre que não existe o limite
x+5
lim .
x→5 x − 5
8. Resolva as seguintes indeterminações
(a) limx→−1 (x + 1) /f (x), limx→−∞ f(x) e limx→+∞ 1/f(x) com
f(x) = x3 + x2 .
(b) limx→−1 g(x) e limx→−∞ g(x) com
x2 + 1
g(x) = .
x+1
9. Considere a função f (x) = 1/x. Resolva as seguintes indeterminações:
√
(a) limx→+∞ x3 · f(x) , limx→+∞ [x · f (x)] e limx→+∞ [ x · f(x)]
√
(b) limx→0 x3 · f(x) , limx→0 [x · f (x)] e limx→0+ [ x · f (x)] .
10. Escreva a expressão da primeira derivada de cada uma das seguintes
funções:
1 √
(a) f(x) = 4x3 + 3x + +5 x
x
3 x
(b) f(x) = 2 5 + exp x2 +
x 3
(c) f(x) = (2x − 3)4 − ln 2x3 + cos x
(d) f(x) = cos3 x − 6 cos x3 − tan(4x) + 5 sin (3x)
3x + x2
(e) f(x) = + 4 arcsin (2x) − cot x2
5
(f) f(x) = sec (−3x) + csc (5x) − 4 arctan x3 .
11. Considere a função f(x) = 4x2 + 2x.
13
14. (a) Determine a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto
de abcissa 1.
(b) Obtenha a equação da recta normal ao gráfico de f no ponto de
ordenada 12 e abcissa negativa.
(c) Determine as equações das rectas tangente e normal no vértice
da parábola de equação y = f (x).
12. Considere f(x) = (x + 3)2 . Utilize o desenvolvimento de MacLaurin
para escrever a função f como potências de x,
f (x) = x2 + 6x + 9.
13. Utilize o desenvolvimento de MacLaurin para obter um polinómio de
ordem 3 que aproxime a função y = exp x.
14. Utilize o desenvolvimento de MacLaurin para obter um polinómio
(a) de ordem 5 que aproxime a função y = sin x
(b) de ordem 4 que aproxime a função y = cos x.
1.5 Soluções
5. (c) f não é contínua em x = 3.
x+1 1
8. (a) limx→−1 = 1, limx→−∞ f(x) = −∞, limx→+∞ =0
f (x) f(x)
8. (b) limx→−1 g(x) não existe,
2
limx→−∞ g(x) = limx→−∞ x − 1 + = −∞
x+1
9. (a) limx→+∞ x3 · f(x) = +∞, limx→+∞ [x · f(x)] = 1,
√
limx→+∞ [ x · f(x)] = 0
9. (b) limx→0 x3 · f(x) = 0, limx→0 [x · f (x)] = 1,
√
limx→0+ [ x · f(x)] = +∞
1 5
10. (a) f (x) = 12x2 + 3 − 2
+ √
x 2 x
14
15. 3 x 3 1
10. (b) f (x) = 2 2x exp x2 + + 5 + exp x2 − 2
+
x 3 x 3
3
10. (c) f (x) = 8 (2x − 3)3 − − sin x
x
4
10. (d) f (x) = −3 cos2 (x) sin (x) + 18x2 sin x3 − + 15 cos (3x)
cos2 (4x)
3 + 2x 8 2x
10. (e) f (x) = +√ +
5 1 − 4x2 sin2 (x2 )
3 sin (−3x) 5 cos (5x) 12x2
10. (f ) f (x) = − − −
cos2 (−3x) sin2 (5x) 1 + x6
11. (a) y − 6 = 10 (x − 1)
1
11. (b) y − 12 = (x + 2)
14
11. (c) A parábola tem por zeros 0 e −1/2 logo a abcissa do vértice é
−1/4. A ordenada do vértice é f (−1/4) = −1/4. A recta tangente é
y = −1/4 e a recta normal é x = −1/4.
12. f (x) = 2 (x + 3) , f (x) = 2 e f (n) (x) = 0 para n ≥ 3. Temos então
f (0) 2 f (3) (0) 3
f(x) = f(0) + f (0) · x + ·x + · x + ···
2 3!
2 2 0
= 9+6·x+ · x + · x3 + · · · = 9 + 6x + x2 .
2 3!
13. Dado que (exp x) = exp x, temos
1 1
exp x 1 + x + x2 + x3 .
2 6
14. (a) Temos f (x) = f (5) (x) = cos x, f (x) = − sin x, f (x) = − cos x,
e f (4) (x) = sin x. O polinómio pedido é
1 1 5
x − x3 + x .
6 120
14. (b) Dado que cos x = (sin x) obtemos da alínea anterior que
1 1
cos x 1 − x2 + x4 .
2 24
15
16. 2 Séries numéricas e séries funcionais
Dada uma sucessão (un )n∈N de números reais,
(un ) : u1 , u2 , u3 , · · · un , un+1 , · · · ,
(a cada número natural n está associado o termo un de ordem n) podemos
considerar a adição de todos os seus termos, uma infinidade de parcelas. É
o que se pretende com o conceito de série numérica.
Definição 5 A série numérica de termo geral un , que se denota por
∞
un ( un , un ou simplesmente un ), é a soma infinita dos termos
n≥1 n=1 n∈N n
da sucessão real (un )n∈N ,
un = u1 + u2 + u3 + · · · + un−1 + un + un+1 + · · · .
n≥1
Embora o termo geral da série seja o termo geral da sucessão (un )n∈N , a
série un é distinta da sucessão (un )n∈N que lhe está associada. Enquanto
n≥1
na primeira os termos estão adicionados entre si, na segunda estão "soltos"
como sequência ordenada7 .
2.1 Convergência e soma de uma série
Dada uma série numérica un , pode acontecer que o limite
n≥1
lim (u1 + u2 + u3 + · · · + un−1 + un )
n
exista como número real (i.e., seja finito). Neste caso a série diz-se conver-
gente e o valor S desse limite diz-se a soma da série. No caso contrário,
se não existe esse limite ou se é +∞ ou −∞, a série numérica diz-se di-
vergente. Classificar uma série numérica como convergente ou divergente
é identificar a sua natureza. Temos a seguinte definição rigorosa.
7
Uma série numérica pode estar definida apenas para valores de n a partir de uma
certa ordem k. Nesse caso, escreve-se
un = uk + uk+1 + uk+2 + · · · + uk + uk+1 + uk+2 + · · · .
n≥k
Também se podem considerar séries numéricas com início em n = 0, un .
n≥0
16
17. Definição 6 Dada uma série numérica un , define-se a sua sucessão
n≥1
n
das somas parciais por Sn = ui , ou seja,
i=1
(Sn )n∈N : u1 , u1 + u2 , u1 + u2 + u3 , ...
se a sucessão das somas parciais (Sn )n∈N for convergente com limite S,
lim Sn = lim (u1 + u2 + u3 + · · · + un−1 + un ) = S,
n n
a série diz-se convergente e o valor S diz-se a soma da série; se a
sucessão das somas parciais (Sn )n∈N for divergente (caso em que tende para
+∞, tende para −∞ ou não tem limite), a série diz-se divergente.
Deste modo, a sucessão das somas parciais (Sn )n∈N determina a natureza
da série numérica. Note que a sucessão (Sn )n∈N de somas parciais é distinta
da sucessão (un )n∈N que define a série. À primeira corresponde a sequência
S1 = u1 , S2 = u1 +u2 , S3 = u1 +u2 +u3 , . . . Sn = u1 +u2 +· · ·+un , . . .
enquanto à segunda corresponde a sequência
u1 , u2 , u3 , . . . un , . . . .
A convergência de uma série traduz-se no essencial por: "a soma de todos
(portanto, em número infinito) os termos da série acumula/não-excede um
determinado valor; esse valor, conforme é intuitivo, é a soma da série".
Podemos dizer que a série converge para essa soma.
Existem séries numéricas que têm designações bem especificas dada a
estrutura do seu termo geral. A série numérica
1 1 1 1 1
= 1 + + + + ··· + + ··· ,
n 2 3 4 10
n≥1
é designada por série harmónica. Relativamente à sucessão (Sn )n∈N das
somas parciais, prova-se que
1
S2n ≥ 1 + n · .
2
Temos
1 1
lim S2n ≥ lim 1 + n · = 1 + +∞ · = 1 + ∞ = +∞,
n n 2 2
17
18. o que mostra que a sucessão das somas parciais, da qual os termos S2n
constituem uma subsucessão, não converge para um valor finito. Concluímos
então que a série é divergente. Uma série numérica com a forma geral
1
un = ,
nα
n≥1 n≥1
para certo α ∈ R, é designada por série de Dirichlet. São convergentes
se α > 1 e divergentes se α ≤ 1. Note que a série harmónica é um caso
particular de série de Dirichlet (com α = 1).
Uma série numérica que tem como termo geral uma progressão ge-
ométrica (significa que cada termo resulta da multiplicação do termo an-
terior por um valor constante) é designada por série geométrica. As
séries geométricas têm a forma geral
un = a · rn−1 = a + a · r + a · r2 + a · r3 + · · · + a · rn−1 + a · rn + · · ·
n≥1 n≥1
com a, r ∈ R e a = 0. O número real r é a razão da série numérica e a é o
valor do seu primeiro termo. O termo geral da sucessão de somas parciais é
dado por
Sn = (n + 1) a
quando r = 1 (trata-se da série de termo geral constante igual a a), e é dado
por
a (1 − rn )
Sn =
1−r
quando r = 1. Concluímos então que a série é convergente se |r| < 1 (ou
seja, se −1 < r < 1) com soma S igual a
a (1 − rn ) a a 1o termo
S = lim = 1 − lim rn = =
n 1−r 1−r n 1−r 1 − razão
(note que se −1 < r < 1 então rn → 0), e é divergente se |r| ≥ 1 (ou seja, se
r ≤ −1 ∨ r ≥ 1) (note que se r = 1 temos Sn = (n + 1) a → +∞ · a = +∞,
se r > 1 temos rn → +∞, e se r ≤ −1 não existe8 o limite de rn ). Portanto,
se −1 < r < 1 podemos escrever
a
un = a · rn−1 = a + a · r + a · r2 + a · r3 + · · · = .
1−r
n≥1 n≥1
8
Se r = −1 temos
a · (−1)n−1 = a − a + a − a + a − · · ·
n≥1
18
19. Proposição 7 Se as séries numéricas un e vn são convergentes e
n≥1 n≥1
têm somas S e S , respectivamente, então a série numérica (un + vn )
n≥1
também é convergente e tem soma S + S .
Proposição 8 Se a série numérica un é convergente e tem soma S
n≥1
então a série numérica (α · un ), com α ∈ R, também é convergente e tem
n≥1
soma α · S.
Resulta das proposições anteriores que se duas séries numéricas un e
n≥1
vn são convergentes e têm somas S e S , respectivamente, então a série
n≥1
numérica (α · un + β · vn ), com α, β ∈ R, também é convergente e tem
n≥1
soma α · S + β · S .
Proposição 9 Se a série numérica un é convergente e tem soma S e a
n≥1
série numérica vn é convergente e tem soma S então
n≥1
(un ∗ vn ) ≤ S ∗ S .
n≥1
2.2 Alguns critérios de convergência para séries de
termos não-negativos
A determinação de uma expressão analítica do termo geral Sn = u1 +
u2 + · · · + un da sucessão de somas parciais é uma situação pouco frequente.
Ao contrário do que sucede com as séries geométricas, para a maioria das
séries numéricas un não é possível estabelecer uma tal expressão. Tal
n≥1
impede o cálculo do limite de Sn e a obtenção do valor da soma S da série.
No entanto, é usual fazer um estudo da série numérica por meios indirectos,
através de critérios que permitem identificar a sua natureza.
mas a sucessão das somas parciais
a se n ímpar
Sn =
0 se n par
não tem limite (note que a = 0), logo a série é divergente.
19
20. Proposição 10 (Critério do Termo Geral, Critério Geral de Con-
vergência ou Condição Necessária de Convergência) Se a série numérica
un é convergente então
n≥1
lim un = 0.
n
Proof. Temos Sn = u1 + u2 + · · · + un e Sn−1 = u1 + u2 + · · · + un−1 (para
n > 1). Assim, para n > 1, temos
Sn − Sn−1 = u1 + u2 + · · · + un − (u1 + u2 + · · · + un−1 ) = un .
Dado que a série é convergente, existe o limite de Sn . Suponhamos que
limn Sn = l. Também limn Sn−1 = l, donde
lim un = lim (Sn − Sn−1 ) = l − l = 0
n n
conforme se pretende demonstrar
Em consequência (por contra-recíproco) deste resultado, se limn un = 0
então a série numérica un é divergente,
n≥1
limn un = 0 =⇒ un série divergente .
n≥1
De salientar: para uma série numérica un ser convergente, NÃO
n≥1
BASTA (não é suficiente) que o seu termo geral un convirja para 0 (como
mostra o exemplo da série harmónica (1/n)), no entanto, tal é necessário
n≥1
(como afirma a Proposição anterior).
Proposição 11 (Critério Geral da Comparação ou Critério da Com-
paração - formulação 1) Sejam un e vn duas séries numéricas
n≥1 n≥1
tais que, a partir de certa ordem, se tem un , vn ≥ 0 e vn ≤ un . Então, a
convergência da série un implica a convergência da série vn ,
n≥1 n≥1
un série convergente =⇒ vn série convergente ,
n≥1 n≥1
e a divergência da série vn implica a divergência da série un ,
n≥1 n≥1
vn série divergente =⇒ un série divergente .
n≥1 n≥1
20
21. Proposição 12 (Critério da Comparação - formulação 2) Sejam
un e vn duas séries numéricas tais que un ≥ 0 e vn > 0 para todo o
n≥1 n≥1
n. Se existe o limite
un
L = lim
vn n
e tem valor finito não-nulo (portanto L = 0 e L = +∞, ou ainda, 0 < L <
+∞) então as duas séries têm a mesma natureza.
É frequente o uso de uma série de Dirichlet
1
nα
n≥1
como série vn . O valor conveniente para α ∈ Q é escolhido com base no
n≥1
termo geral un da série un de que se quer identificar a natureza. Também
n≥1
as séries geométricas são usadas com frequência para comparação.
Proposição 13 (Critério da Raíz de Cauchy) Dada uma série numérica
un tal que un ≥ 0 para todo o n, suponha que o limite
n≥1
√
L = lim n
un
n
é finito ou +∞. Então a série é convergente se L < 1 e é divergente se L > 1
√
ou L = 1+ (L = 1+ significa L = 1 e n un > 1). Quando L = 1− (que
√ √
significa L = 1 e n un < 1) ou L = 1± (que significa L = 1 mas n un > 1
√
para alguns valores de n e n un < 1 para outros valores de n intercalados
com os anteriores) nada se pode concluir sobre a natureza da série.
Proposição 14 (Critério da Razão de D’ Alemberg) Dada uma série
numérica un tal que un > 0, para todo o n, suponha que o limite
n≥1
un+1
L = lim
n un
é finito ou +∞. Então série é convergente se L < 1 e é divergente se L > 1
ou L = 1+ (L = 1+ significa L = 1 e un+1 /un > 1). Quando L = 1−
(que significa L = 1 e un+1 /un < 1) ou L = 1± (que significa L = 1 mas
un+1 /un > 1 para alguns valores de n e un+1 /un < 1 para outros valores de
n intercalados com os anteriores) nada se pode concluir sobre a natureza da
série.
21
22. 2.3 Convergência simples e absoluta de uma série
numérica
Definição 15 Dada uma série numérica un , a série de termos não-
n≥1
negativos |un | diz-se a sua série modular.
n≥1
Definição 16 Uma série numérica un diz-se absolutamente conver-
n≥1
gente quando a série modular |un | é convergente.
n≥1
A relação entre estes dois tipos de convergência é (dada pela seguinte
proposição) é consequência do critério da comparação - formulação 1.
Proposição 17 Uma série un é convergente sempre que a sua série
n≥1
modular |un | o for,
n≥1
|un | série convergente =⇒ un série convergente .
n≥1 n≥1
Além disso, tem-se
|un | ≥ un . (3)
n≥1 n≥1
Proof. Dadas as desigualdades
0 ≤ un + |un | ≤ |un | + |un | = 2|un |
e o facto de ser convergente a série |un |, concluímos pelo critério da
n≥1
comparação - formulação 1 que a série numérica (un + |un |) também é
n≥1
convergente. Sendo
un = (un + |un |) − |un |,
n≥1 n≥1 n≥1
a série un é convergente. A desigualdade (3) resulta da desigualdade
n≥1
triangular (|a + b| ≤ |a| + |b|, para todo a, b ∈ R)
Dada a definição de série absolutamente convergente, podemos concluir
da proposição anterior que toda a série absolutamente convergente é con-
vergente.
22
23. Definição 18 Uma série numérica un diz-se simplesmente conver-
n≥1
gente.quando é convergente mas não absolutamente convergente, ou seja,
a série numérica un é convergente mas a sua série modular |un | é
n≥1 n≥1
divergente.
Dada a proposição anterior, concluímos que se uma série numérica é
absolutamente convergente então também é simplesmente convergente,
Convergência absoluta =⇒ Convergência simples .
Em consequência deste resultado (por contra-recíproco), se un não é
n≥1
simplesmente convergente então também não é absolutamente convergente,
Não-convergência simples =⇒ Não-convergência absoluta .
De salientar: para que uma série numérica un seja absolutamente
n≥1
convergente, NÃO BASTA (não é suficiente) que seja simplesmente con-
vergente (é necessário que também convirja a sua série modular |un |),
n≥1
Convergência simples Convergência absoluta ,
no entanto, tal é necessário.
2.4 Critérios de convergência para séries de termos
negativos e séries alternadas
Quando uma série un é de termos negativos consideramos
n≥1
un = − (−un ) .
n≥1 n≥1
A série un tem a mesma natureza que a série de termos positivos (−un )
n≥1 n≥1
e, caso seja convergente, tem soma de valor simétrico.
Definição 19 Uma série diz-se alternada se os seus termos alternam de
sinal, ou seja, se o seu termo geral un é produto do factor (−1)n por um
factor an não-nulo de sinal constante,
un = [(−1)n · an ] .
n≥1 n≥1
23
24. O Critério do Termo Geral e o critério apresentado na seguinte proposição
são os mais utilizados no estuda da natureza de séries alternadas.
Proposição 20 (Critério de Leibnitz) Se (an )n∈N é uma sucessão de-
crescente de termos positivos e tem limite 0, então a série numérica alter-
nada
un = [(−1)n · an ]
n≥1 n≥1
é convergente.
Remark 21 Quando se prova que uma série numérica alternada é con-
vergente não podemos concluir que ela é absolutamente convergente. É
necessário identificar a natureza da sua série modular. Se esta for conver-
gente então a série alternada é absolutamente convergente. No entanto, se a
série modular for divergente então a série alternada é apenas simplesmente
convergente. É o caso da série alternada [(−1)n /n] cuja série modular
n≥1
é a série harmónica (1/n). Este é o exemplo de uma série convergente
n≥1
(simplesmente convergente) que não é absolutamente convergente, ou seja,
Convergência simples Convergência absoluta .
Remark 22 Por vezes é vantajoso começar por identificar a natureza da
série modular. Caso esta seja convergente fica provada a convergência ab-
soluta da série alternada. É o caso da série
(−1)n
n2
n≥1
ou da série
sin n
.
2n
n≥1
No entanto, se a série modular for divergente apenas ficamos a saber que
a série alternada não é absolutamente convergente. Ela pode ser divergente
como é o caso da série
[n · (−1)n ] ,
n≥1
ou simplesmente convergente como é o caso da série
(−1)n
√ .
n
n≥1
24
25. 2.5 Séries de potências
Quando o termo geral de uma série não depende apenas de n mas tam-
bém de uma variável x, a série diz-se uma série funcional (ou série de
funções). Consideremos o seguinte caso de série funcional, que é particular-
mente importante por constituir uma generalização da noção de polinómio.
Definição 23 Chama-se série de potências de x a toda a série da forma
un (x) = vn · xn−1 = v1 + v2 · x + v3 · x2 + v4 · x3 + · · · .
n≥1 n≥1
Para cada valor fixo de x, a série de potências vn · xn−1 dá lugar a
n≥1
uma série numérica. Em geral, existem valores de x que conduzem a séries
numéricas convergentes (absolutamente ou simplesmente) e valores de x que
conduzem a séries numéricas divergentes. Como exemplo, consideremos a
série de potências de x
un (x) = xn−1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · ·
n≥1 n≥1
em que vn = 1 para todo o n. Para x = 2 temos a série numérica
un (2) = 2n−1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · ·
n≥1 n≥1
que é divergente (o termo geral não tende para 0), enquanto para x = 1/2
temos a série numérica
n−1
1 1 1 1 1 1
un = =1+ + + + + ···
2 2 2 4 8 16
n≥1 n≥1
que é absolutamente convergente (é uma série geométrica de razão 1/2 ∈
]−1, 1[, tal como a sua série modular).
Definição 24 O conjunto de valores de x para os quais a série de potências
∞
un (x) = vn · xn−1 é convergente diz-se o domínio de convergên-
n≥1 n=1
cia pontual (ou apenas domínio de convergência) da série. Quando o
domínio de convergência é um intervalo, a metade do comprimento desse
intervalo diz-se o raio de convergência da série.
25
26. Em consequência dos critérios da raíz de Cauchy e da razão de D’ Alem-
berg, é válido o seguinte resultado para determinação do domínio de con-
vergência.
Proposição 25 A cada série de potências de x, un (x) = vn · xn−1 ,
n≥1 n≥1
está associado um número real R ≥ 0 ou R = +∞ tal que se x ∈ ]−R, R[
(ou seja, se |x| < R) então a série numérica correspondente é absoluta-
mente convergente e se x ∈ ]−∞, −R[ ∪ ]R, +∞[ (ou seja, se |x| > R)
a série numérica correspondente é divergente. O valor de R é dado pelo
quociente
1
R=
L
em que L é o valor do limite superior
L = lim n |vn |.
n
Quando existe, o limite limn |vn+1 /vn | tem o mesmo valor que limn n
|vn |.
Neste caso, também podemos obter L pelo limite
vn+1
L = lim .
n vn
Este resultado não permite concluir a natureza da série de potências
para x = R e x = −R (ou seja, para |x| = R). Para estes valores de x é
necessário um estudo particular, ou seja, substituir na série de potências a
variável x por R e por −R e estudar as séries numéricas
un (R) = vn · Rn−1 e un (−R) = vn · (−R)n−1 .
n≥1 n≥1 n≥1 n≥1
Após o estudo destas séries numéricas, os valores R e −R são ou não incluídos
no domínio de convergência, mesmo que nestas séries a convergência seja
apenas simples.
Se R = 0 (caso em que L = +∞) então o domínio de convergência da
série de potências é D = {0}. Se R = +∞ (caso em que L = 0+ ) então o
domínio de convergência da série de potências é D = R.
Quando R é um número real (portanto, quando R é finito) então R
corresponde ao raio de convergência da série de potências. Dado o exposto,
∞
o raio de convergência da série de potências vn · xn−1 corresponde ao
n=1
limite
1
R= n
limn |vn |
26
27. e, caso exista, ao limite
1 1 |vn | vn
R= = = lim = lim .
vn+1 |vn+1 | n |vn+1 | n vn+1
limn limn
vn |vn |
Consideremos agora o caso mais geral de séries de potências de x − a.
Definição 26 Chama-se série de potências de x − a a toda a série da
forma
un (x − a) = vn · (x − a)n−1 .
n≥1 n≥1
Proposição 27 A série de potências vn · (x − a)n−1 é convergente
n≥1
para os valores de x que verifiquem x ∈ ]a − R, a + R[ (ou seja, |x − a| < R)
e divergente para x ∈ ]−∞, a − R[ ∪ ]a + R, +∞[ (ou seja, |x − a| > R) em
que R é dado por
1
R=
L
com
vn+1
L = lim ou L = lim n |vn |.
n vn n
Se |x − a| > R então a série de potências é divergente.
Para x = a−R e x = a+R (ou seja, |x − a| = R) é necessário um estudo
particular.
O desenvolvimento de Taylor é uma série de potências de x − a e o
desenvolvimento de MacLaurin é uma série de potências de x.
2.6 Exercícios propostos
1
1. Justifique que a série numérica √ é divergente.
n≥1 n
3
2. Mostre que a série numérica n
é convergente e tem soma S = 3.
n≥1 2
3. Estude a natureza da série numérica 3−n . Caso seja convergente,
n≥1
determine a sua soma.
27
28. 4. Proceda como no exercício anterior relativamente às séries numéricas
5 (−3)−n , [3 (−1)n ] e 3.
n≥1 n≥1 n≥1
5. Mostre que são divergentes as séries numéricas
2n , (−2)n , (−1)n ,
n≥1 n≥1 n≥1
e
2n
1 n+2 n+1
− , , .
3 n+5 n
n≥1 n≥1 n≥1
3 1
6. Mostre que a série numérica n
+ 2 é convergente.
n≥1 2 4n
7. Por comparação, mostre que as séries numéricas vn de termo geral
n≥1
n 1 3n − 1 1
vn = , vn = , vn = e vn = n
n3 +1 n (n + 1) n3 2 +n
são convergentes enquanto que as séries numéricas vn de termo
n≥1
geral
1 1
vn = (para n ≥ 2) e vn = √
n−1 n cos2 n
são divergentes.
8. Usando um critério da comparação, mostre que as séries numéricas
un de termo geral
n≥1
2 n−3 1
un = , un = e un = sin
n n2 n
são divergentes enquanto que são convergentes as séries numéricas
un de termo geral
n≥1
n 1 n n+2
un = , un = n sin 3 e un = ln .
(n2 + 1) (n + 5) n +1 n2 +1 n+5
9. Mostre que a série (−1)n + (−1)n+1 é convergente e tem soma
n≥1
S = 0.
28
29. (−1)n
10. Mostre que a série alternada é simplesmente convergente.
n≥1 n
(−1)n
11. Mostre que a série alternada 2
é absolutamente convergente.
n≥1 n
12. Mostre que a série alternada [n(−1)n ] é divergente.
n≥1
(−1)n+2
13. Mostre que a série alternada √ é simplesmente convergente.
n≥1 n
3
14. Mostre que a série alternada (−1)n+1 é absolutamente con-
n≥1 n!
vergente.
15. Mostre que são absolutamente convergentes as séries numéricas un
n≥1
de termo geral
n (−1)n 1
un = , un = (−1)n+1 n sin
(n2 + 1) (n + 5) n3 + 1
e
n (−1)n+1 n + 2
un = ln .
n2 + 1 n+5
n
16. Mostre que a série alternada (−1)n+1 é simplesmente con-
n≥1 n+1
vergente.
17. Considere a série de potências
´ xn−1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · .
n≥1
(a) Mostre que o domínio de convergência da série de potências é o
intervalo ]−1, 1[.
(b) Dado que, para cada x ∈ ]−1, 1[, a série de potências de x dá
lugar a uma série geométrica, mostre que
1
xn−1 =
1−x
n≥1
29
30. 18. Mostre que série de potências de x
xn
un (x) = ,
n≥1 n≥1
[3 + (−1)n ]2n
tem o intervalo ]−4, 4[ como domínio de convergência.
19. Determine o domínio de convergência das seguintes séries de potências
de x :
xn
(a) un (x) =
n≥1 n≥1 n!
(b) un (x) = (n!xn )
n≥1 n≥1
(−1)n xn
(c) un (x) = n
n≥1 n≥1 n · 2
x2n−1
(d) un (x) =
n≥1 n≥1 2n − 1
xn
(e) un (x) = √
n
n≥1 n≥1 n
20. Determine o domínio de convergência das seguintes séries de potências
de x − 2 :
(a) un (x − 2) = n(x − 2)n−1
n≥1 n≥1
(x − 2)2n+1
(b) un (x − 2) = (−1)n .
n≥1 n≥1 (2n + 1)!
21. Mostre que D = [0, 2] é o domínio de convergência da série de potências
de x − 1
(x − 1)n
un (x − 1) = .
n2
n≥1 n≥1
22. Mostre que, para todo o x ∈ R, são válidos os desenvolvimentos de
MacLaurin:
30
31. 1
(a) exp x = xn−1
n≥1 (n − 1)!
(−1)n−1 2n−1
(b) sin x = x
n≥1 (2n − 1)!
(−1)n−1 2n−2
(c) cos x = x .
n≥1 (2n − 2)!
23. Determine os valores de x ∈ R para os quais os seguintes desenvolvi-
mentos em série de potências convergem para as respectivas funções:
1 1 x2n
(a) 1 + x2 + x4 + x6 + · · · + + · · · = exp(x2 )
2 6 n!
1 1 1 (x − 2)n−1 1
(b) − (x − 2) + (x − 2)2 − · · · + (−1)n−1 n
+ ··· =
2 4 8 2 x
2.7 Soluções
3. É convergente. Tem soma 1/2.
4. A série numérica 5 · (−3)−n é convergente e tem soma 5/4. As
n≥1
séries numéricas [3 (−1)n ] e 3 são divergentes.
n≥1 n≥1
19. (a) Dconv = R.
19. (b) Dconv = {0}.
19. (c) Dconv = [−2, 2[ mas a convergência é simples em x = 2.
19. (d) Dconv = ]−1, 1[.
19. (e) Dconv = R.
20. (a) Dconv = ]1, 3[ .
20. (b) Dconv = R.
23. (a) Para todo o x ∈ R.
23. (b) Para x ∈ ]0, 4[ .
31