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4 - Limites - Parte 1, aula completa lim
- 1. Introdução O conceito delimite é o alicerce sobre o qual estão baseados todos os demais conceitos do Cálculo. Muitas ideias do Cálculo estão baseadas em dois problemas geométricos (Anton, 2014):
- 2. Introdução A equação dareta tangente à parábola 𝑦 = 𝑥2 no ponto P(1,1). 𝑦 − 1 = 𝑚𝑡𝑔 𝑥 − 1 Seja uma ponto 𝑄 𝑥, 𝑥2 , 𝑎 inclinação da reta secante é dada por, 𝑚𝑠𝑒𝑐 = 𝑥2 − 1 𝑥 − 1 Conforme Q se aproxima de P, 𝑚𝑠𝑒𝑐 se aproxima de 𝑚𝑡𝑔. Ou seja, conforme x se aproxima de 1.
- 3. Introdução Assim, estamos interessadosem saber o valor limite de 𝑚𝑠𝑒𝑐 a medida que se aproxima mais de 1. Fatorando temos que 𝑚𝑠𝑒𝑐 = 𝑥 + 1 É evidente que 𝑚𝑠𝑒𝑐 se aproxima mais de 2 quando x se aproxima de 1. Assim, 𝑚𝑡𝑔 = 2. A equação da reta tangente é dada 𝑦 − 1 = 2(𝑥 − 1)
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- 5. Limites A utilização maisbásica de limites é descrever como que uma função se comporta quando a variável independente tende a outro valor. Exemplo: vamos analisar o comportamento da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 + 1 Se aproxima de 2. Assim, lim 𝑥→2 𝑥2 − 𝑥 + 1 = 3
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- 7. Limites Definição: se osvalores de 𝑓(𝑥) puderem ser tornados tão próximos quanto quisermos de L, desde que os valores de x suficientemente próximos de 𝑎, então escreveremos lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝐿 Exemplo:
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- 9. Limites Laterais Considere afunção 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥 . Observe que quando a função tende a 0 pela esquerda os valores de 𝑓(𝑥) aproximam-se do limite -1. Quando a função tende a 0 pela direita os valores aproximam-se de 1. Notação: limite de f(x) com x tendendo a 𝑎 pela direita lim 𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 = 𝐿 Limite de f(x) com x tendendo a 𝑎 pela esquerda lim 𝑥→𝑎− 𝑓 𝑥 = 𝐿
- 10. Limites Laterais Para queexista o limite bilateral de uma função em um ponto 𝑎, os valores de 𝑓(𝑥) devem tender a algum número real L quando x tende a 𝑎, e esse número deve ser o mesmo. Ou seja, lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = 𝐿 = lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) Caso contrário, o limite lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 não existe.
- 11. Limites Laterais Para asfunções a seguir, encontre os limites laterais e bilaterais em x=a, se existirem.
- 12. Limites Infinitos Às vezes,os limites laterais ou bilaterais não existem pois os valores da funções crescem ou decrescem muito. Exemplo: observe o comportamento da função 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 quando 𝑥 → 0 pela direita e pela esquerda. Assim, lim 𝑥→0− 1 𝑥 = −∞ e lim 𝑥→0+ 1 𝑥 = +∞
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- 14. Limites Infinitos Limites infinitos:as expressões lim 𝑥→𝑎− 𝑓 𝑥 = +∞ e lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = +∞ Significam que f(x) cresce sem cota quando x tende a 𝑎 pela esquerda e pela direita. Se ambas são verdadeiras, então escrevemos, lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = +∞
- 15. Limites Infinitos Descreva oslimites em 𝑥 = 𝑎 na notação de limite:
- 16. Assíntota Vertical Em cadaum desses casos temos uma assíntota vertical, respectivamente temos: lim 𝑥→𝑎− 𝑓 𝑥 = +∞ lim 𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 = +∞ lim 𝑥→𝑎− 𝑓 𝑥 = −∞ lim 𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 = −∞
- 17. Assíntota Vertical A reta𝑥 = 𝑎 é denominada assíntota vertical da curva y = 𝑓 𝑥 .
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- 19. Limites Teorema: sejam 𝑎e 𝑘 ∈ ℝ, então lim 𝑥→𝑎 𝑘 = 𝑘 lim 𝑥→𝑎 𝑥 = 𝑎 lim 𝑥→0− 1 𝑥 = −∞ lim 𝑥→0+ 1 𝑥 = +∞
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- 22. Limites Temos que tomarcuidado em tomar o limite de funções racionais quando o denominador é nulo. Para esse caso existem duas possibilidades: • Quando o numerador é diferente de zero; • Quando o numerador também é zero. No primeiro caso, o limite da função racional não existe, ou seja, 𝐿 = ±∞.
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- 24. Limites No segundo caso,o numerador e o denominador poderão possuir um ou mais fatores em comum. Nestes casos, temos que encontrar o limite da função na forma simplificada. Chamamos de forma indeterminada do tipo 𝟎 𝟎 Exemplos:
- 25. Limites com Radicais Quandotemos esse tipo de função, aplicamos estratégias de racionalização. Exemplo: encontre lim 𝑥→1 𝑥 − 1 𝑥 − 1 lim 𝑦→4 4 − 𝑦 2 − 𝑦