aula de cálculo

1. Aula 1
Velocidade instant^nea e derivadas
a
1.1 Velocidade instant^nea
a
Um ponto m¶vel M desloca-se ao longo de uma linha reta horizontal, a partir de um
o
ponto O.
∆s
O M
s=0 s = s(t) s 0 = s(t 0) s1 = s(t 0+ ∆t) s
O deslocamento s, de M , em rela»~o ao ponto O, ¶ a dist^ncia de O a M , se M
ca e a
est¶ µ direita de O, e ¶ o negativo dessa dist^ncia se M est¶ µ esquerda de O. Assim, s ¶
aa e a aa e
positivo ou negativo, conforme M se encontre, respectivamente, µ direita ou µ esquerda
a a
de O.
Com estas conven»~es, a reta passa a ser orientada, o que chamamos de eixo,
co
sendo O sua origem.
O deslocamento s depende do instante de tempo t, ou seja, s ¶ uma fun»~o da
e ca
vari¶vel t:
a
s = s(t)
Em um determinado instante t0 , o deslocamento de M ¶ s0 = s(t0 ). Em um
e
instante posterior t1 , o deslocamento de M ¶ s1 = s(t1 ).
e
A velocidade m¶dia do ponto M , no intervalo de tempo [t0 ; t1 ] ¶ dada por
e e
s1 ¡ s0 s(t1 ) ¡ s(t0 )
vm = =
t1 ¡ t0 t1 ¡ t0
Podemos tamb¶m escrever t1 = t0 + ¢t, ou seja, ¢t = t1 ¡ t0 , e tamb¶m
e e
¢s = s(t1 ) ¡ s(t0 ) = s(t0 + ¢t) ¡ s(t0 ).
1

2. ^
Velocidade instantanea e derivadas 2
Teremos ent~o
a
s(t0 + ¢t) ¡ s(t0 ) ¢s
vm = =
¢t ¢t
Por exemplo, vamos supor que s(t) = 1 at2 (ponto m¶vel uniformemente ace-
2
o
lerado). Assim, no instante t = 0 o ponto m¶vel est¶ em s(0) = 1 a ¢ 02 = 0.
o a 2
A partir de um certo instante t0 , temos uma varia»~o de tempo ¢t. Seja t1 =
ca
t0 + ¢t. Podemos ter ¢t > 0 ou ¢t < 0 (quando ¢t < 0, t1 antecede t0 ). Teremos
ent~o
a
1 1 ¡ ¢
s(t1 ) = s(t0 + ¢t) = a(t0 + ¢t)2 = ¢ at2 + 2at0 ¢t + a(¢t)2
0
2 2
A varia»~o do deslocamento do ponto m¶vel, nesse intervalo de tempo, ser¶
ca o a
1 1 1
¢s = s(t1 ) ¡ s(t0 ) = at2 + at0 ¢t + a(¢t)2 ¡ at2
0
2 2 2 0
ou seja,
a(¢t)2
¢s = at0 ¢t +
2
A velocidade m¶dia do ponto, no intervalo de tempo [t0 ; t1 ], ser¶ dada por
e a
2
¢s at0 ¢t + a(¢t)
2 a¢t
= = at0 +
¢t ¢t 2
a(¢t)2
Se ¢t ¼ 0, ent~o tamb¶m teremos ¢s = at0 ¢t +
a e 2
¼ 0. No entanto,
¢s a¢t
= at0 + ¼ at0
¢t 2
De um modo geral, de¯nimos a velocidade instant^nea v(t0 ), do ponto M , no instante
a
t0 , como sendo o limite da velocidade m¶dia no intervalo de t0 a t0 + ¢t, quando ¢t
e
tende a zero (esta foi uma id¶ia de Isaac Newton), e escrevemos
e
¢s
v(t0 ) = lim
¢t!0 ¢t
No nosso exemplo,
µ ¶
a¢t
v(t0 ) = lim at0 + = at0
¢t!0 2
1.2 Derivada de uma fun»~o
ca
Uma fun»~o f ¶ uma lei que associa cada valor x de um certo conjunto A (o dom¶
ca e ³nio
de f ), um ¶nico valor f (x) de um certo conjunto B (o contra-dom¶ de f ). Neste
u ³nio

3. ^
Velocidade instantanea e derivadas 3
curso, teremos sempre A ½ R e B ½ R. Veja tamb¶m a observa»~o 1.1, mais adiante
e ca
nesta aula. Muitas vezes diremos fun»~o f(x)", em lugar de fun»~o f ".
ca ca
Dada uma fun»~o f (x), a fun»~o derivada f 0 (x) (leia-se f linha de x") ¶ a fun»~o
ca ca e ca
de¯nida quando consideramos, para cada x, sujeito a uma varia»~o ¢x 60, a varia»~o
ca = ca
correspondente de y = f (x),
¢y = ¢f = f (x + ¢x) ¡ f(x)
e ent~o calculamos o valor limite da raz~o
a a
¢f f (x + ¢x) ¡ f(x)
=
¢x ¢x
quando ¢x se aproxima inde¯nidamente de 0. Ou seja,
¢f f (x + ¢x) ¡ f (x)
f 0 (x) = lim = lim
¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x
³¯co de x, digamos x = x0 ,
Para um valor espec¶
f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 )
f 0 (x0 ) = lim
¢x!0 ¢x
¶ a derivada de f (ou de f (x)), no ponto x0 .
e
Como primeiro e importante exemplo, temos
Regra 1.1 Se f (x) = xn , n inteiro positivo, ent~o f 0 (x) = nxn¡1
a
Demonstra»~o. Da ¶lgebra elementar, temos as seguintes f¶rmulas de fatora»~o:
ca a o ca
b2 ¡ a2 = (b ¡ a)(b + a)
b3 ¡ a3 = (b ¡ a)(b2 + ab + a2 )
b4 ¡ a4 = (b ¡ a)(b3 + ab2 + a2 b + a3 )
que o leitor pode veri¯car, simplesmente efetuando os produtos µ direita, e ent~o sim-
a a
pli¯cando. De um modo geral, para n ¸ 4, vale a seguinte f¶rmula:
o
bn ¡ an = (b ¡ a)(bn¡1 + abn¡2 + a2 bn¡3 + ¢ ¢ ¢ + an¡3 b2 + an¡2 b + an¡1 ) (1.1)
Sendo f (x) = xn , temos para ¢x = 0,
6
¢f = f(x + ¢x) ¡ f (x) = (x + ¢x)n ¡ xn (1.2)
Substituindo b = x + ¢x e a = x, em 1.1, temos b ¡ a = ¢x, e ent~o obtemos
a
¢f = ¢x ¢ ((x + ¢x)n¡1 + x ¢ (x + ¢x)n¡2 + ¢ ¢ ¢ + xn¡2 (x + ¢x) + xn¡1 )

4. ^
Velocidade instantanea e derivadas 4
do que ent~o
a
¢f
= (x + ¢x)n¡1 + x ¢ (x + ¢x)n¡2 + ¢ ¢ ¢ + xn¡2 (x + ¢x) + xn¡1
¢x
Da¶ lim ¢f = xn¡1 + xn¡1{z ¢ ¢ ¢ + xn¡1 = nxn¡1 .
³, ¢x | + }
¢x!0
n parcelas
Portanto, (xn )0 = nxn¡1 .
1.2.1 Nota»~es simb¶licas para derivadas, habitualmente usadas
co o
Sendo y = f (x), tamb¶m escrevemos ¢y = ¢f = f (x + ¢x) ¡ f (x), e denotamos
e
dy ¢y
= (derivada de y em rela»~o a x) = lim
ca
dx ¢x!0 ¢x
dy
Assim temos = f 0 (x). Indicamos ainda
dx
µ ¶ ¯
0 dy dy ¯
¯
f (x0 ) = =
dx x=x0 dx ¯x=x0
A raz~o
a
¢y f(x0 + ¢x) ¡ f (x0 )
=
¢x ¢x
¶ a taxa de varia»~o m¶dia de y, em rela»~o a x, no intervalo [x0 ; x0 + ¢x] (ou no
e ca e ca
intervalo [x0 + ¢x; x0 ], se ¢x < 0).
O valor µ ¶
0 dy ¢y
f (x0 ) = = lim
dx ¢x!0 ¢x
x=x0
¶ chamado de taxa de varia»~o (instant^nea) de y em rela»~o a x, no ponto x = x0 .
e ca a ca
Outras nota»~es freqÄentemente utilizadas para as derivadas (os s¶
co u ³mbolos abaixo
tem o mesmo signi¯cado):
f 0 (x) (nota»~o de Lagrange)
ca
(f (x))0
df
(nota»~o de Leibniz, leia-se d^ f d^ x")
ca e e
dx
dy
(sendo y = f (x))
dx
d
(f (x))
dx
_
x(t) (nota»~o de Newton, derivada de x em rela»~o µ vari¶vel t (tempo))
ca ca a a

5. ^
Velocidade instantanea e derivadas 5
Tamb¶m tem o mesmo signi¯cado as nota»~es para a derivada de f no ponto x0 ,
e co
df
f 0 (x0 ) (f (x))0jx=x0 (x0 )
¯ dx
dy ¯ ¯ d
(f (x))jx=x0
dx ¯x=x0 dx
Exemplo 1.1 De acordo com a regra 1.1, temos
(x)0 = (x1 )0 = 1x1¡1 = x0 = 1, ou seja (x)0 = 1.
(x2 )0 = 2x2¡1 = 2x.
(x3 )0 = 3x3¡1 = 3x2 .
(x100 )0 = 100x99 .
Observa»~o 1.1 (Intervalos da reta, e dom¶
ca ³nios das fun»~es que estudaremos)
co
Aqui, e no restante do texto, estaremos assumindo sempre que nossas fun»~es s~o fun»oes
co a c~
de uma vari¶vel real x, com valores f (x) reais, e est~o de¯nidas em intervalos ou reuni~es
a a o
de intervalos de R, ou seja, tem os valores de x tomados em intervalos ou reuni~es deo
intervalos.
Os intervalos de R s~o conjuntos de uma das formas:
a
[a; b] = fx 2 R j a · x · bg (intervalo fechado de extremos a e b);
]a; b[ = fx 2 R j a < x < bg (intervalo aberto de extremos a e b);
[a; b[ = fx 2 R j a · x < bg (intervalo de extremos a e b, semi-aberto em b);
]a; b] = fx 2 R j a < x · bg (intervalo de extremos a e b, semi-aberto em a):
sendo a e b n¶meros reais, com a < b. Os intervalos acima s~o os intervalos limitados.
u a
Os intervalos ilimitados s~o conjuntos de uma das formas:
a
[a; +1[ = fx 2 R j x ¸ ag (intervalo fechado de a a +1);
]a; +1[ = fx 2 R j x > ag (intervalo aberto de a a +1);
]¡ 1; b] = fx 2 R j x · bg (intervalo fechado de ¡1 a b);
]¡ 1; b[ = fx 2 R j x < bg (intervalo aberto de ¡1 a b);
]¡ 1; +1[ = R (intervalo aberto de ¡1 a +1);
sendo a e b n¶meros reais.
u
Assim, por exemplo,
p
1. f (x) = x ¶ uma fun»~o que est¶ de¯nida para os valores reais de x para os
p e ca a
quais x existe e ¶ um n¶mero real, ou seja, para x ¸ 0. Assim, dizemos que o
e u
dom¶ ou campo de de¯ni»~o de f ¶ o intervalo D(f ) = [0; +1[.
³nio ca e

6. ^
Velocidade instantanea e derivadas 6
2. f (x) = 1=x ¶ uma fun»~o que est¶ de¯nida para os valores reais de x para os
e ca a
quais 1=x existe e ¶ um n¶mero real, ou seja, para x 60. Assim, o dom¶ ou
e u = ³nio
campo de de¯ni»~o de f ¶ o conjunto D(f) = R ¡ f0g, ou seja, a reuni~o de
ca e a
intervalos ]¡ 1; 0[ [ ]0; +1[.
p 1
3. f (x) = 2 ¡ x + px¡1 est¶ de¯nida para os valores reais de x para os quais
a
p p
2 ¡ x e 1= x ¡ 1 existem e s~o n¶meros reais, ou seja, para x · 2 (2 ¡ x ¸ 0)
a u
e x > 1 (x ¡ 1 > 0). Assim, o dom¶ ou campo de de¯ni»~o de f ¶ o intervalo
³nio ca e
D(f) =]1; 2].
³¯co de x, digamos x = x0 , no dom¶ de uma fun»~o f , ao
Para um valor espec¶ ³nio ca
calcularmos o limite
f (x0 + ¢x) ¡ f(x0 )
f 0 (x0 ) = lim
¢x!0 ¢x
estamos supondo que algum intervalo aberto, contendo x0 , tamb¶m ¶ parte do dom¶
e e ³nio
de f, de modo que x0 + ¢x tamb¶m estar¶ no dom¶ de f quando ¢x for n~o nulo
e a ³nio a
e su¯cientemente pequeno.
1.3 Primeiras regras de deriva»~o (ou diferencia»~o)
ca ca
Diferencia»~o ou deriva»~o de uma fun»~o ¶ o processo de c¶lculo da derivada da fun»~o.
ca ca ca e a ca
Regra 1.2 Se f (x) ¶ uma fun»~o e c ¶ uma constante, ent~o
e ca e a
(cf (x))0 = cf 0 (x):
Ou seja, a derivada de uma constante vezes uma fun»~o ¶ a constante vezes a derivada
ca e
da fun»~o.
ca
Regra 1.3 Sendo f(x) e g(x) duas fun»~es,
co
(f(x) + g(x))0 = f 0 (x) + g 0 (x):
Ou seja, a derivada de uma soma de duas fun»oes ¶ a soma das respectivas derivadas.
c~ e
Demonstra»~es das propriedades 1.2 e 1.3. Alguns fatos sobre limites s~o assumidos
co a
intuitivamente.
cf(x + ¢x) ¡ cf (x) f (x + ¢x) ¡ f (x)
(cf (x))0 = lim = lim c ¢
¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x
f(x + ¢x) ¡ f (x)
= c ¢ lim
¢x!0 ¢x
¢f
= c ¢ lim = cf 0 (x)
¢x!0 ¢x

7. ^
Velocidade instantanea e derivadas 7
[f (x + ¢x) + g(x + ¢x)] ¡ [f (x) + g(x)]
[f (x) + g(x)]0 = lim
¢x!0 ¢x
[f (x + ¢x) ¡ f (x)] + [g(x + ¢x) ¡ g(x)]
= lim
¢x!0
· ¢x ¸
f (x + ¢x) ¡ f (x) g(x + ¢x) ¡ g(x)
= lim +
¢x!0 ¢x ¢x
f(x + ¢x) ¡ f (x) g(x + ¢x) ¡ g(x)
= lim + lim
¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x
¢f ¢g
= lim + lim = f 0 (x) + g 0 (x)
¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x
Exemplo 1.2 Sendo f(x) = 2x3 ¡ 3x5 , temos
f 0 (x) = (2x3 ¡ 3x5 )0
= (2x3 + (¡3)x5 )0
= (2x3 )0 + ((¡3)x5 )0 ((f + g)0 = f 0 + g 0 )
= 2(x3 )0 + (¡3)(x5 )0 ((cf)0 = cf 0 )
= 2 ¢ 3x2 + (¡3) ¢ 5x4 ((xn )0 = nxn¡1 )
= 6x2 ¡ 15x4
Observa»~o 1.2 Por um argumento tal como no exemplo acima, temos tamb¶m
ca e
(f (x) ¡ g(x))0 = f 0 (x) ¡ g 0 (x).
Regra 1.4 A derivada de uma fun»~o constante ¶ 0: se f (x) = c = constante,
ca e
0 0
ent~o f (x) = (c) = 0.
a
Demonstra»~o. Sendo f (x) = c = constante, ent~o
ca a
¢f = f(x + ¢x) ¡ f (x) = c ¡ c = 0.
Portanto, ¢f = ¢x = 0 ( ¢f ¶ 0 mesmo antes de calcularmos o limite). Logo
¢x
0
¢x
e
¢f
lim ¢x = lim 0 = 0.
¢x!0 ¢x!0
Assim, se c ¶ uma constante, (c)0 = 0.
e
dy
Exemplo 1.3 Sendo y = ¡3t6 + 21t2 ¡ 98, calcular .
dt
Aplicando as regras acima estabelecidas, indicando por u0 a derivada de u em
rela»~o a t,
ca
dy
= (¡3t6 + 21t2 ¡ 98)0
dt
= ¡18t5 + 42t

8. ^
Velocidade instantanea e derivadas 8
1 dy
Exemplo 1.4 Sendo y = , calcular .
x dx
1
Temos y = , e ent~o
a
x
1 1 x ¡ (x + ¢x) ¢x
¢y = ¡ = =¡
x + ¢x x x(x + ¢x) x(x + ¢x)
¢y 1
=¡
¢x x(x + ¢x)
dy ¢y 1 1
= lim = lim =¡ 2
dx ¢x!0 ¢x ¢x!0 x(x + ¢x) x
1.4 Problemas
1. A posi»~o de um ponto P sobre um eixo x, ¶ dada por x(t) = 4t2 + 3t ¡ 2, com
ca e
t medido em segundos e x(t) em cent¶
³metros.
(a) Determine as velocidades m¶dias de P nos seguintes intervalos de tempo:
e
[1; 1; 2], [1; 1; 1], [1; 1; 01], [1; 1; 001].
(b) Determine a velocidade de P no instante t = 1 seg.
(c) Determine os intervalos de tempo em que P se move no sentido positivo
e aqueles em que P se move no sentido negativo. (P se move no sentido
positivo ou negativo se x(t) aumenta ou diminui, respectivamente, µ medida
a
em que t aumenta.)
2. Se um objeto ¶ lan»ado verticalmente para cima, com velocidade inicial 110 m/seg,
e c
sua altura h(t), acima do ch~o (h = 0), ap¶s t segundos, ¶ dada (aproximada-
a o e
2
mente) por h(t) = 110t ¡ 5t metros. Quais s~o as velocidades do objeto nos
a
instantes t = 3 seg e t = 4 seg? Em que instante o objeto atinge sua altura
m¶xima? Em que instante atinge o ch~o? Com que velocidade atinge o ch~o?
a a a
3. Calcule f 0 (x), para cada uma das fun»~es f (x) dadas abaixo, cumprindo as
co
seguintes etapas
i. Primeiro desenvolva a express~o ¢f = f (x + ¢x) ¡ f (x), fazendo as simpli-
a
¯ca»~es cab¶
co ³veis.
¢f f (x+¢x)¡f (x)
ii. Em seguida obtenha, uma express~o simpli¯cada para
a ¢x
= ¢x
.
¢f
iii. Finalmente, calcule o limite lim .
¢x!0 ¢x
(a) f(x) = 17 ¡ 6x
(b) f(x) = 7x2 ¡ 5

9. ^
Velocidade instantanea e derivadas 9
(c) f(x) = x3 + 2x
p
(d) f(x) = x
1
(e) f(x) =
x+5
(f) f(x) = x5
6
(g) f(x) = 2
x
4. Usando as regras de deriva»~o estabelecidas, calcule as derivadas das seguintes
ca
fun»~es.
co
(a) f(t) = ¡6t3 + 12t2 ¡ 4t + 7
(b) f(t) = (3t + 5)2 Sugest~o: Primeiro desenvolva o quadrado.
a
(c) f(x) = (¡2x + 1)32
Sugest~o: Primeiro desenvolva o cubo.
a
(d) f(x) = (3x ¡7x+1)(x2 +x¡1) Sugest~o: Primeiro desenvolva o produto.
2
a
(e) f(x) = x3 ¡ x2 + 15
5. Determine o dom¶ de cada uma das seguintes fun»~es. Represente-o como um
³nio co
intervalo ou uma reuni~o de intervalos de R. No nosso contexto, o dom¶ de
a ³nio
uma fun»~o f ¶ o conjunto de todos os n¶meros reais x para os quais f(x) ¶ um
ca e u e
n¶mero real.
u
(a) f(x) = x3 ¡ 5x + 3
p
(b) f(x) = ¡ 4 ¡ x
p
(c) f(x) = ¡ 4 ¡ x2
p
(d) f(x) = x2 ¡ 5x + 4
1
(e) f(x) = p
2x ¡ x2
1.4.1 Respostas e sugest~es
o
1. (a) 11; 8; 11; 4; 11; 04; 11; 004 (cm/seg).
(b) 11 cm/seg
(c) P se move no sentido positivo quando t > ¡3=8, e no sentido negativo quando
t < ¡3=8
2. 80 m/seg e 70 m/seg. Em t = 11 seg. Em t = 22 seg, com a velocidade de ¡110 m/seg.
3. (a) i. ¢f = ¡6¢x
ii. ¢f = ¡6
¢x
iii. f 0 (x) = ¡6
(b) i. ¢f = 14x¢x + 7(¢x)2
ii. ¢f = 14x + 7¢x
¢x

10. ^
Velocidade instantanea e derivadas 10
iii. f 0 (x) = 14x
(c) i. ¢f = (3x2 + 2)¢x + 3x(¢x)2 + (¢x)3
ii. ¢f = 3x2 + 2 + 3x(¢x) + (¢x)2
¢x
iii. f 0 (x) = 3x2 + 2
p p
(d) i. ¢f = x + ¢x ¡ x
p p
¢f x+¢x¡ x
ii. ¢x = ¢x
1 ¢f
iii. f 0 (x) = 2px . Sugest~o.
a Ao calcular o limite lim , o leitor chegar¶
a
¢x!0 ¢x
µ express~o 0=0, que n~o tem signi¯cado matem¶tico. Para contornar este
a a a a
problema, devemos ajeitar" ¢f , atrav¶s das simpli¯ca»~es dadas abaixo.
¢x e co
p p p p p p
¢f x + ¢x ¡ x x + ¢x ¡ x x + ¢x + x
= = ¢p p
¢x ¢x ¢x x + ¢x + x
(x + ¢x) ¡ x 1
= p p =p p
¢x ¢ ( x + ¢x + x) x + ¢x + x
p p p p
Aqui ¯zemos uso da identidade ( a ¡ b)( a + b) = a ¡ b.
1 1 ¡¢x
(e) i. ¢f = x+¢x+5 ¡ x+5 = (x+¢x+5)(x+5)
¢f ¡1
ii. ¢x = (x+¢x+5)(x+5)
1
iii. f 0 (x) = ¡ (x+5)2
(f) f 0 (x) = 5x4
12
(g) f 0 (x) = ¡ 3
x
4. (a) f 0 (t) = ¡18t2 + 24t ¡ 4
(b) f 0 (t) = 18t + 30
(c) f 0 (x) = ¡48x5 + 48x3 ¡ 12x
(d) f 0 (x) = 12x3 ¡ 12x2 ¡ 18x + 8
(e) f 0 (x) = 3x2 ¡ 2x
5. (a) R
(b) ]¡ 1; 4]
(c) [¡2; 2]
(d) ]¡ 1; 1] [ [4; +1[
(e) ]0; 2[