1) O documento discute conceitos fundamentais de transformações lineares, incluindo núcleo, imagem, isomorfismo e o espaço L(U,V). 2) É definido que o núcleo de uma transformação linear T é o conjunto de elementos de U mapeados para 0 em V, enquanto a imagem é o conjunto de elementos em V que são imagens de elementos em U sob T. 3) O espaço L(U,V) é o conjunto de todas as transformações lineares de U para V, que forma um espaço vetorial.

1. Núcleo e Imagem da Transformação Linear
Espaço L(U,V)
Isomorfismo
Núcleo e Imagem de
Transformação Linear, Espaço
L(U,V) e Isomorfismo
Professora: Rosangela Teixeira Guedes
Professora: Rosangela Teixeira Guedes UTFPR - Campus Cornélio Procópio

2. Núcleo e Imagem da Transformação Linear
Espaço L(U,V)
Isomorfismo
Núcleo e Imagem de Transformação Linear
Definição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre um corpo K e
T : U → V uma transformação linear.
1) O conjunto {u ∈ U tal que T(u) = 0V } é chamado Núcleo
de T e será denotado por Nuc T ( ou Ker T).
Nuc T = {u ∈ U : T(u) = 0V }
2) O conjunto {v ∈ V tal que existe u ∈ U com T(u) = v} é
chamado de imagem de T e será denotado por Im T.
Im T = {v ∈ V : u ∈ U com T(u) = v}
Professora: Rosangela Teixeira Guedes UTFPR - Campus Cornélio Procópio

3. Núcleo e Imagem da Transformação Linear
Espaço L(U,V)
Isomorfismo
Definição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre um corpo K e
T : U → V uma transformação linear.
1) T é injetora se para todo u1, u2 ∈ U, T(u1) = T(u2) então
u1 = u2 ou equivalente a se u1 6= u2 então T(u1) 6= T(u2).
2) T é sobrejetora se e somente se dimKIm T = dimKV .
Professora: Rosangela Teixeira Guedes UTFPR - Campus Cornélio Procópio

4. Núcleo e Imagem da Transformação Linear
Espaço L(U,V)
Isomorfismo
Proposição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre um corpo K e
T : U → V uma transformação linear. Então
(a) Nuc T é um subespaço vetorial de U e Im T é um
subespaço vetorial de V.
(b) T é injetora se e somente se Nuc T={0U}.
Professora: Rosangela Teixeira Guedes UTFPR - Campus Cornélio Procópio

5. Núcleo e Imagem da Transformação Linear
Espaço L(U,V)
Isomorfismo
Demonstração:
b) (⇒) Por hipótese T é transformação linear então
T(0U) = 0V , isto é, 0U pertence ao Nuc T. Ou ainda, {0U} ⊂
Nuc T.
Agora, para u ∈ U tal que u ∈ Nuc T (isto é, T(u) = 0V ).
Podemos escrever
T(u) = 0V = T(0U).
Da hipótese que T é injetora então u = 0U.
Portanto Nuc T ⊂ {0U} e segue a prova que Nuc T={0U}.
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6. Núcleo e Imagem da Transformação Linear
Espaço L(U,V)
Isomorfismo
(⇐) Por hipótese Nuc T={0U} e sejam u1, u2 ∈ U tal que
T(u1) = T(u2).
Assim
T(u1) − T(u2) = 0V
T(u1) + T(−u2) = 0V
T(u1 − u2) = 0V .
Portanto u1 − u2 ∈ Nuc T. Além disso, u1 − u2 = 0V então
u1 = u2. Logo T é injetora.
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7. Núcleo e Imagem da Transformação Linear
Espaço L(U,V)
Isomorfismo
Espaço L(U,V)
Proposição
Sejam Sejam U e V espaços vetoriais sobre um corpo K,
T : U → V e S : U → V transformações lineares, definimos
1) T + S : U → V por
(T + S)(u) = T(u) + S(u), ∀u ∈ U.
2) βT : U → V por
(βT)(u) = βT(u), ∀u ∈ U, β ∈ K.
Então T+S e βT são transformações lineares.
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8. Núcleo e Imagem da Transformação Linear
Espaço L(U,V)
Isomorfismo
Proposição
Sejam U,V e W espaços vetoriais sobre um corpo K,
T : U → V e S : V → W transformações lineares, definimos
S ◦ T : U → W por
(S ◦ T)(u) = S(T(u)), ∀u ∈ U.
Então S ◦ T é transformação linear.
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9. Núcleo e Imagem da Transformação Linear
Espaço L(U,V)
Isomorfismo
Espaço L(U,V)
Definição
L(U,V)= {T : U → V } é definido como o conjunto de todas
as transformações lineares de U em V.
Com as operações T + S : U → V por
(T + S)(u) = T(u) + S(u), ∀u ∈ U
e βT : U → V por
(βT)(u) = βT(u), ∀u ∈ U, β ∈ K
e pela proposição T + S e βT são transformações lineares,
isto é, T + S e βT pertencem a L(U,V).
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10. Núcleo e Imagem da Transformação Linear
Espaço L(U,V)
Isomorfismo
Tendo assim uma adição (T, S) → T + S ∈ L(U, V ). Para
esta adição valem as seguintes propriedades:
(I) Associativa:
T + (S + G) = (T + S) + G, ∀T, S, G ∈ L(U, V );
(II) Comutativa: T + S = S + T, ∀T, S ∈ L(U, V );
(III) Existe o elemento neutro: a transformação linear nula
0 : U → V é tal que
T + 0 = T, ∀T ∈ L(U, V );
(IV) Para toda transformação linear T ∈ L(U, V ) existe neste
conjunto a transformação oposta: existe
−T ∈ L(U, V ) tal que T + (−T) = 0.
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11. Núcleo e Imagem da Transformação Linear
Espaço L(U,V)
Isomorfismo
Tendo a multiplicação por escalar βT ∈ L(U, V ). Valem as
seguintes propriedades:
(V) (αγ)T = α(γT);
(VI) (α + γ)T = αT + γT;
(VII) α(T + S) = αT + αS
(VIII) 1.T = T;
quaisquer que sejam α, γ ∈ K e T, S ∈ L(U, V ).
Portanto L(U, V ) é um espaço vetorial.
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12. Núcleo e Imagem da Transformação Linear
Espaço L(U,V)
Isomorfismo
Isomorfismo
Definição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre um corpo K e
T : U → V uma transformação linear. Dizemos que T é
bijetora se e somente se T é injetora e sobrejetora.
Se T é transformação linear e bijetora, dizemos que T é um
Isomorfismo.
Se existir um Isomorfismo T : U → V então dizemos que U
e V são espaços vetoriais isomorfos e indicamos por
U u V
Observação: Sejam U e V espaços vetoriais sobre o corpo K.
Se U e V são isomorfos então dimK U = dimK V .
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13. Núcleo e Imagem da Transformação Linear
Espaço L(U,V)
Isomorfismo
Se T : U → U é uma transformação linear então
T ∈ L(U,U)=L(U).
Definição
Se existir um Isomorfismo T : U → U dizemos que T é um
Automorfismo.
Se T : U → V é um isomorfismo então existe a inversa
T−1
: V → U.
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14. Núcleo e Imagem da Transformação Linear
Espaço L(U,V)
Isomorfismo
Proposição
Se T : U → V é um isomorfismo então T−1
: V → U é um
isomorfismo.
Professora: Rosangela Teixeira Guedes UTFPR - Campus Cornélio Procópio

15. Núcleo e Imagem da Transformação Linear
Espaço L(U,V)
Isomorfismo
Definição
Um operador T ∈ L(U) tal que T2
= T chama-se
idempotente(ou projeção).
Definição
Um operador T ∈ L(U) tal que Tn
= 0 para um número
natural n chama-se nilpotente.
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16. Núcleo e Imagem da Transformação Linear
Espaço L(U,V)
Isomorfismo
Definição
Seja U um espaço vetorial euclidiano. Um operador linear
T : U → U é ortogonal se preserva o módulo de cada vetor,
isto é, se para qualquer u ∈ U temos
||T(u)|| = ||u||.
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