1. O documento discute velocidade instantânea e derivadas.
2. Velocidade instantânea é definida como o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero.
3. A derivada de uma função é definida como o limite da razão entre a variação da função e a variação da variável independente quando esta última tende a zero.
Este documento fornece equações para calcular valores DC, RMS e fator de ondulação de sinais. A equação 1 calcula o valor médio DC de um sinal, enquanto a equação 2 calcula o valor eficaz RMS. Exemplos mostram como aplicar as equações a sinais senoidais retificados em meia onda ou onda completa, e ondas quadradas.
1. O documento apresenta conceitos fundamentais de cinemática escalar, incluindo posição, tempo, trajetória, velocidade, aceleração e tipos de movimento.
2. São definidos termos como ponto material, espaço cinemático, movimento, velocidade escalar, aceleração escalar e comportamentos como uniforme, acelerado e retardado.
3. Diagramas como o horário, da velocidade e da aceleração são explicados como representações gráficas das leis de movimento.
O documento discute os conceitos de movimento uniforme e uniformemente variado, definindo-os, apresentando suas equações, representações gráficas e propriedades. É apresentada a equação de Torricelli para movimento uniformemente variado. Exemplos numéricos ilustram os conceitos discutidos.
Aplicação da Transformada de Laplace na Determinação de Tensões e Correntes e...Felipe De Almeida
1) O documento descreve os principais sinais não senoidais utilizados na análise de circuitos elétricos, como degrau, impulso e rampa, e introduz a Transformada de Laplace como ferramenta para resolver equações diferenciais em circuitos.
2) A Transformada de Laplace é aplicada para determinar expressões analíticas para tensões e correntes em circuitos após mudanças, como o fechamento de uma chave. Isso é ilustrado em dois exemplos.
3) A solução encontra expressões para a corrente e tensão em
Este documento fornece instruções para a realização de uma prova de Física e Matemática. Contém 16 questões cada prova, todas de múltipla escolha. Os candidatos devem preencher os dados pessoais, conferir os dados na folha de respostas e assinalar as respostas primeiro no caderno e depois na folha de respostas, usando caneta preta. Os fiscais não podem fornecer esclarecimentos sobre o conteúdo.
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre curvas paramétricas em R2 e R3, incluindo:
1) Definição de curvas paramétricas através de funções vetoriais;
2) Exemplos de representação geométrica de várias curvas;
3) Noção de orientação, origem e extremidade de uma curva.
1. Aplicar a taxa de variação para encontrar velocidade e aceleração.
2. Usar derivadas e tabelas de derivadas para calcular derivadas de funções.
3. Utilizar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.
Este documento fornece equações para calcular valores DC, RMS e fator de ondulação de sinais. A equação 1 calcula o valor médio DC de um sinal, enquanto a equação 2 calcula o valor eficaz RMS. Exemplos mostram como aplicar as equações a sinais senoidais retificados em meia onda ou onda completa, e ondas quadradas.
1. O documento apresenta conceitos fundamentais de cinemática escalar, incluindo posição, tempo, trajetória, velocidade, aceleração e tipos de movimento.
2. São definidos termos como ponto material, espaço cinemático, movimento, velocidade escalar, aceleração escalar e comportamentos como uniforme, acelerado e retardado.
3. Diagramas como o horário, da velocidade e da aceleração são explicados como representações gráficas das leis de movimento.
O documento discute os conceitos de movimento uniforme e uniformemente variado, definindo-os, apresentando suas equações, representações gráficas e propriedades. É apresentada a equação de Torricelli para movimento uniformemente variado. Exemplos numéricos ilustram os conceitos discutidos.
Aplicação da Transformada de Laplace na Determinação de Tensões e Correntes e...Felipe De Almeida
1) O documento descreve os principais sinais não senoidais utilizados na análise de circuitos elétricos, como degrau, impulso e rampa, e introduz a Transformada de Laplace como ferramenta para resolver equações diferenciais em circuitos.
2) A Transformada de Laplace é aplicada para determinar expressões analíticas para tensões e correntes em circuitos após mudanças, como o fechamento de uma chave. Isso é ilustrado em dois exemplos.
3) A solução encontra expressões para a corrente e tensão em
Este documento fornece instruções para a realização de uma prova de Física e Matemática. Contém 16 questões cada prova, todas de múltipla escolha. Os candidatos devem preencher os dados pessoais, conferir os dados na folha de respostas e assinalar as respostas primeiro no caderno e depois na folha de respostas, usando caneta preta. Os fiscais não podem fornecer esclarecimentos sobre o conteúdo.
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre curvas paramétricas em R2 e R3, incluindo:
1) Definição de curvas paramétricas através de funções vetoriais;
2) Exemplos de representação geométrica de várias curvas;
3) Noção de orientação, origem e extremidade de uma curva.
1. Aplicar a taxa de variação para encontrar velocidade e aceleração.
2. Usar derivadas e tabelas de derivadas para calcular derivadas de funções.
3. Utilizar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.
1) O documento discute conceitos básicos de cinemática escalar, incluindo movimento, repouso, espaço, tempo e velocidade.
2) São apresentados vários exemplos numéricos para calcular distâncias, tempos e conversões entre unidades.
3) As questões abordam situações cotidianas para aplicar e testar a compreensão dos conceitos discutidos.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre aplicações da transformada de Laplace e sua inversa para resolver problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais.
2) São propostos problemas sobre circuitos elétricos, oscilações mecânicas e deflexão de vigas sob cargas distribuídas.
3) As respostas utilizam a transformada de Laplace e sua inversa para encontrar soluções analíticas para as equações diferenciais nos diferentes exemplos apresentados.
1) O documento apresenta resoluções de questões sobre dinâmica de rotação, incluindo o cálculo do momento angular antes e depois da colisão de um projétil com uma barra giratória, a análise das condições de conservação do momento linear, e a determinação da energia cinética do sistema.
2) A segunda questão calcula a energia cinética de rotação de um corpo rígido em função de sua velocidade angular e raio, utilizando propriedades do produto vetorial.
3) A terceira questão calcula a
Este relatório descreve a implementação do método de Euler progressivo em MATLAB para resolver uma equação diferencial que modela as oscilações de um pequeno cilindro dentro de um maior. Inclui algoritmos para calcular a solução numérica e exata, comparar erros e determinar períodos. Os resultados mostram como o método fornece soluções aproximadas e a análise de erros.
Este documento lista 75 problemas resolvidos de física sobre oscilações harmônicas simples, extraídos do livro Física de Resnick, Halliday e Krane. As soluções incluem cálculos de período, frequência, velocidade e aceleração para osciladores harmônicos. Alguns problemas abordam sistemas com duas molas acopladas.
1) O documento discute funções vetoriais e suas propriedades como domínio, imagem e continuidade.
2) Apresenta exemplos de curvas no espaço como helicóide e cicloide definidas por funções vetoriais.
3) Discutem derivadas de funções vetoriais e suas interpretações geométricas em termos de velocidade e aceleração de uma partícula.
Este documento apresenta um resumo do programa de uma disciplina de Análise de Sinais e Sistemas ministrada pelo professor K. Z. Nóbrega. O programa aborda tópicos como definição de sinais e sistemas, tipos de sinais e operações sobre sinais, propriedades e tipos de sistemas, representação de sistemas por equações diferenciais, convolução, análise de Fourier, transformada de Laplace e transformada Z. A bibliografia inclui 4 referências sobre o tema. Informações adicionais sobre apoio
1. O documento apresenta resumos de problemas resolvidos de um livro de física básica, incluindo equações e passos de raciocínio para chegar às soluções.
2. Problemas sobre movimento unidimensional e bidimensional com aceleração constante, lançamento de projéteis sob a gravidade, equilíbrio de forças em sistemas rígidos e impacto são explicados.
3. As soluções envolvem aplicar conceitos como segundo princípio de Newton, equações de movimento, trigonometri
Este documento apresenta definições e teoremas sobre isomorfismo de espaços vetoriais. [1] Define transformação linear bijetora como isomorfismo e apresenta propriedades como a existência de inversa e isomorfismo entre espaços da mesma dimensão. [2] Aplica os conceitos em exemplos de verificação de isomorfismo e determinação da transformação inversa.
Este documento contém 91 problemas resolvidos de física sobre oscilações, extraídos do livro "Fundamentos de Física 2" de Halliday, Resnick e Walker. As questões abordam tópicos como aceleração máxima, velocidade máxima, força aplicada, período de oscilação, energia potencial e cinética em movimento harmônico simples. As soluções fornecem os cálculos detalhados para chegar aos resultados.
O documento discute conceitos fundamentais de dinâmica e movimento, como as leis de Newton, movimento uniforme, movimento uniformemente variado, lançamento vertical e queda livre. Ele também apresenta exemplos e exercícios para auxiliar no aprendizado destes conceitos.
1) O documento discute transformações lineares entre espaços vetoriais, definindo-as como funções que preservam adição e multiplicação por escalar.
2) São apresentados exemplos de transformações lineares como reflexões, rotações, dilatações e cisalhamentos.
3) Propriedades importantes incluem o núcleo e imagem de uma transformação linear e quando uma transformação é injetora, sobrejetora ou bijetora.
O documento discute ondas, incluindo tipos de ondas, velocidade, comprimento de onda, frequência, interferência e ondas estacionárias. Explica como a superposição de duas ondas com a mesma frequência mas defasadas produz uma onda resultante cuja amplitude varia no espaço.
Este documento anuncia un seminario de dos días dirigido a padres de familia y profesores sobre cómo utilizar el cine como una herramienta educativa para los hijos y alumnos. El seminario se llevará a cabo los días 12 y 13 de noviembre de 2010 en el Aula CPA de la Universidad de Piura, Perú.
Este documento resume as principais características de variáveis aleatórias, incluindo valor esperado, variância, covariância e coeficiente de correlação. O valor esperado é a média da distribuição de probabilidade da variável aleatória. A variância mede a dispersão em torno do valor esperado. A covariância mede a associação entre duas variáveis e o coeficiente de correlação mede essa associação de forma relativa.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms for those who already suffer from conditions like anxiety and depression.
1) O documento discute conceitos básicos de cinemática escalar, incluindo movimento, repouso, espaço, tempo e velocidade.
2) São apresentados vários exemplos numéricos para calcular distâncias, tempos e conversões entre unidades.
3) As questões abordam situações cotidianas para aplicar e testar a compreensão dos conceitos discutidos.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre aplicações da transformada de Laplace e sua inversa para resolver problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais.
2) São propostos problemas sobre circuitos elétricos, oscilações mecânicas e deflexão de vigas sob cargas distribuídas.
3) As respostas utilizam a transformada de Laplace e sua inversa para encontrar soluções analíticas para as equações diferenciais nos diferentes exemplos apresentados.
1) O documento apresenta resoluções de questões sobre dinâmica de rotação, incluindo o cálculo do momento angular antes e depois da colisão de um projétil com uma barra giratória, a análise das condições de conservação do momento linear, e a determinação da energia cinética do sistema.
2) A segunda questão calcula a energia cinética de rotação de um corpo rígido em função de sua velocidade angular e raio, utilizando propriedades do produto vetorial.
3) A terceira questão calcula a
Este relatório descreve a implementação do método de Euler progressivo em MATLAB para resolver uma equação diferencial que modela as oscilações de um pequeno cilindro dentro de um maior. Inclui algoritmos para calcular a solução numérica e exata, comparar erros e determinar períodos. Os resultados mostram como o método fornece soluções aproximadas e a análise de erros.
Este documento lista 75 problemas resolvidos de física sobre oscilações harmônicas simples, extraídos do livro Física de Resnick, Halliday e Krane. As soluções incluem cálculos de período, frequência, velocidade e aceleração para osciladores harmônicos. Alguns problemas abordam sistemas com duas molas acopladas.
1) O documento discute funções vetoriais e suas propriedades como domínio, imagem e continuidade.
2) Apresenta exemplos de curvas no espaço como helicóide e cicloide definidas por funções vetoriais.
3) Discutem derivadas de funções vetoriais e suas interpretações geométricas em termos de velocidade e aceleração de uma partícula.
Este documento apresenta um resumo do programa de uma disciplina de Análise de Sinais e Sistemas ministrada pelo professor K. Z. Nóbrega. O programa aborda tópicos como definição de sinais e sistemas, tipos de sinais e operações sobre sinais, propriedades e tipos de sistemas, representação de sistemas por equações diferenciais, convolução, análise de Fourier, transformada de Laplace e transformada Z. A bibliografia inclui 4 referências sobre o tema. Informações adicionais sobre apoio
1. O documento apresenta resumos de problemas resolvidos de um livro de física básica, incluindo equações e passos de raciocínio para chegar às soluções.
2. Problemas sobre movimento unidimensional e bidimensional com aceleração constante, lançamento de projéteis sob a gravidade, equilíbrio de forças em sistemas rígidos e impacto são explicados.
3. As soluções envolvem aplicar conceitos como segundo princípio de Newton, equações de movimento, trigonometri
Este documento apresenta definições e teoremas sobre isomorfismo de espaços vetoriais. [1] Define transformação linear bijetora como isomorfismo e apresenta propriedades como a existência de inversa e isomorfismo entre espaços da mesma dimensão. [2] Aplica os conceitos em exemplos de verificação de isomorfismo e determinação da transformação inversa.
Este documento contém 91 problemas resolvidos de física sobre oscilações, extraídos do livro "Fundamentos de Física 2" de Halliday, Resnick e Walker. As questões abordam tópicos como aceleração máxima, velocidade máxima, força aplicada, período de oscilação, energia potencial e cinética em movimento harmônico simples. As soluções fornecem os cálculos detalhados para chegar aos resultados.
O documento discute conceitos fundamentais de dinâmica e movimento, como as leis de Newton, movimento uniforme, movimento uniformemente variado, lançamento vertical e queda livre. Ele também apresenta exemplos e exercícios para auxiliar no aprendizado destes conceitos.
1) O documento discute transformações lineares entre espaços vetoriais, definindo-as como funções que preservam adição e multiplicação por escalar.
2) São apresentados exemplos de transformações lineares como reflexões, rotações, dilatações e cisalhamentos.
3) Propriedades importantes incluem o núcleo e imagem de uma transformação linear e quando uma transformação é injetora, sobrejetora ou bijetora.
O documento discute ondas, incluindo tipos de ondas, velocidade, comprimento de onda, frequência, interferência e ondas estacionárias. Explica como a superposição de duas ondas com a mesma frequência mas defasadas produz uma onda resultante cuja amplitude varia no espaço.
Este documento anuncia un seminario de dos días dirigido a padres de familia y profesores sobre cómo utilizar el cine como una herramienta educativa para los hijos y alumnos. El seminario se llevará a cabo los días 12 y 13 de noviembre de 2010 en el Aula CPA de la Universidad de Piura, Perú.
Este documento resume as principais características de variáveis aleatórias, incluindo valor esperado, variância, covariância e coeficiente de correlação. O valor esperado é a média da distribuição de probabilidade da variável aleatória. A variância mede a dispersão em torno do valor esperado. A covariância mede a associação entre duas variáveis e o coeficiente de correlação mede essa associação de forma relativa.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms for those who already suffer from conditions like anxiety and depression.
Veepee è un simulatore e gioco per apprendere le nozioni base della gestione commessa.
Il simulatore ha un case study relativo al settore del packaging.
La missione del gioco è costruire uno stabilimento produttivo per produrre bevande.
Il gioco presenta le varie casistiche e possibili problematiche che si presentano quando si costruiscono tali impianti.
E' una versione demo
Sarà possibile a breve usare una versione web e la piattaforma dove gestire e condividere progetti reali con i membri del team in modalità social, mantenendo comunque sempre il focus sul progetto
per ulteriori informazioni contattare www.endea.biz registrandosi al sito oppure inviando una mail a info@endea.biz
endea srl
La Unión Europea ha propuesto un nuevo paquete de sanciones contra Rusia que incluye un embargo al petróleo ruso. El embargo se aplicaría gradualmente durante seis meses para el petróleo crudo y ocho meses para los productos refinados. Los líderes de la UE debatirán el paquete de sanciones esta semana con el objetivo de aprobarlo.
Trucs et astuces pour rendre votre application Windows Phone 8 plus visibleMicrosoft
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Este documento argumenta que la felicidad no se encuentra en las circunstancias externas como parejas, hijos u otras personas o cosas, sino que depende de ser la persona adecuada y vivir sabiamente. Sugieren que para ser feliz hay que establecer relaciones saludables, poner límites apropiados, aceptar lo bueno y rechazar lo malo, usar las cosas y no abusar de las personas, y enfrentar los problemas con sabiduría en lugar de buscar la felicidad fuera de uno mismo.
It's a phygital world. We live in the real world and in the digital. Tap into both, and magic will happen. Think action, think engagement, think story, think phygital.
Esses são problemas complexos que merecem uma abordagem cuidadosa e centrada no paciente. Como profissional de saúde, seu papel é tratar cada pessoa idosa com dignidade e respeito, escutando atentamente suas necessidades para poder oferecer o melhor cuidado possível. Uma equipe multiprofissional que trabalhe de forma colaborativa é essencial para promover o bem-estar dos idosos de forma holística.
1) O documento discute conceitos de movimento circular como velocidade angular, velocidade linear, aceleração centrípeta e tangencial.
2) Rodes acoplados a um mesmo eixo têm mesma velocidade angular e frequência, enquanto suas velocidades lineares são proporcionais aos seus raios.
3) Para rodas acopladas por correia, as velocidades lineares em contato com a correia são iguais, e as velocidades angulares são inversamente proporcionais aos raios.
O documento discute conceitos fundamentais de velocidade instantânea, incluindo: (1) o sinal da velocidade indica o sentido do deslocamento; (2) a velocidade escalar instantânea é medida no limite quando o intervalo de tempo tende a zero; (3) a velocidade instantânea é o declive da linha tangente no gráfico posição versus tempo.
1) O documento discute o movimento uniformemente variado e apresenta as equações para velocidade e deslocamento neste tipo de movimento.
2) A aceleração é definida como a variação da velocidade em um intervalo de tempo, assim como a velocidade é a variação do deslocamento.
3) Exemplos ilustram como calcular a velocidade final, a aceleração e a distância percorrida usando as equações apresentadas.
1. A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, transformando a equação diferencial inicial em uma equação algébrica.
2. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como a integral de f(t) multiplicada por e^-st de 0 a infinito. Isso mapeia funções do domínio temporal para o domínio complexo.
3. Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de funções comuns como exponenciais, seno, cosseno, polinomiais e combinações
Este documento apresenta os diagramas horários para movimento uniforme e uniformemente variado, incluindo:
1) Diagrama S x t para movimento uniforme é uma reta inclinada e para variado é uma parábola;
2) Diagrama V x t é reta horizontal para uniforme e inclinada para variado;
3) Diagrama a x t é reta horizontal para ambos.
1) A expressão matemática do título é equivalente a 1. Isto é demonstrado através de propriedades de limites e de matrizes invertíveis.
2) A igualdade trigonométrica sen2ρ + cos2ρ = 1 é demonstrada usando o Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo formado por pontos de uma circunferência.
3) É mostrado que a expressão cosh x(1 - tanh2x) é igual a 1, definindo funções hiperbólicas e reduzindo a uma progressão
1. A Transformada de Laplace foi desenvolvida por Pierre Simon Laplace em 1812 para resolver equações diferenciais lineares que surgem em problemas aplicados como circuitos elétricos e condução de calor.
2. A Transformada de Laplace converte uma função do tempo em uma função complexa, permitindo que a equação diferencial seja resolvida algebraicamente.
3. A Transformada de Laplace tem propriedades como linearidade que permitem calcular transformadas de funções somadas ou multiplicadas por constantes a partir de suas transformadas individuais.
1) O documento descreve transformações lineares entre espaços vetoriais, definindo-as como funções que preservam adição e escalonamento.
2) Uma transformação linear mapeia cada vetor de entrada para um único vetor de saída de forma que respeite propriedades algébricas.
3) O núcleo de uma transformação contém os vetores de entrada que mapeiam para o vetor nulo, enquanto a imagem contém os vetores de saída possíveis.
O documento apresenta resoluções de problemas de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e segunda ordem. São resolvidos problemas de valor inicial e determinada a solução geral de algumas equações diferenciais. Também é aplicada a lei de resfriamento de Newton para determinar o tempo para um café esfriar até uma temperatura específica.
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O documento discute conceitos fundamentais de dinâmica e movimento, incluindo as leis de Newton, movimento uniforme, movimento uniformemente variado, lançamentos e exercícios de aplicação destes conceitos.
O documento fornece informações sobre movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), incluindo:
1) A função da velocidade no MRUV é v = v0 + at;
2) A função horária no MRUV é s = s0 + v0t + 1/2at2;
3) Os gráficos de velocidade x tempo e espaço x tempo no MRUV são retas ou parábolas.
O documento descreve como Fermat e Newton, de forma independente, chegaram ao conceito de derivada ao tentarem resolver problemas diferentes: Fermat sobre tangentes a curvas e Newton sobre velocidade instantânea. A derivada representa a taxa de variação de uma função num determinado ponto e foi fundamental para o desenvolvimento do cálculo diferencial.
O documento discute três tópicos:
1) A precessão do eixo da Terra, causada pelo torque resultante da atração gravitacional do Sol devido à inclinação do eixo em relação à órbita, fazendo-o girar gradualmente.
2) Cálculos de aceleração e aceleração angular de um sistema homem-escada após o rompimento de uma corda que o prendia.
3) Representação da posição, velocidade e aceleração de um movimento harmônico simples por vetores girantes, onde a veloc
O documento discute o movimento uniforme, definindo-o como quando uma partícula se move com velocidade constante. Apresenta os tipos de movimento uniforme, a equação horária, propriedades dos gráficos de posição versus tempo e velocidade versus tempo, e exercícios sobre o tema.
1) O documento discute os conceitos de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), incluindo suas equações de velocidade, posição e aceleração.
2) Apresenta os gráficos de velocidade vs tempo, posição vs tempo e aceleração vs tempo para o MRUV.
3) Explica a correspondência entre os diferentes gráficos e como eles fornecem informações sobre o movimento.
1) O documento descreve conceitos fundamentais de movimento uniformemente variado, incluindo aceleração escalar, velocidade e deslocamento em função do tempo.
2) É apresentado o conceito de movimento uniformemente variado e suas características principais como aceleração constante e velocidade variável.
3) São mostrados exemplos de gráficos de velocidade em função do tempo e deslocamento em função do tempo para movimento uniformemente variado.
O documento apresenta três questões resolvidas sobre movimentos. A primeira explica a precessão do eixo de rotação da Terra, causada pela inclinação do eixo em relação ao plano da órbita e pelas forças gravitacionais do Sol e da Lua. A segunda calcula a aceleração inicial de um sistema composto por uma escada e um homem. A terceira demonstra que a posição, velocidade e aceleração de um movimento harmônico simples podem ser representadas pela projeção de um vetor girante, cuja velocidade
1) O movimento de precessão do eixo de rotação da Terra ocorre devido à inclinação de 23,5° do eixo em relação ao plano da órbita da Terra em torno do Sol, gerando um torque que faz o polo norte descrever um movimento circular.
2) A aceleração inicial do centro de massa do sistema homem-escada é de 9ω2/8 m/s2 para a direção x e -15ω2/8 m/s2 para a direção y, onde ω é a velocidade angular inicial.
1. Aula 1
Velocidade instant^nea e derivadas
a
1.1 Velocidade instant^nea
a
Um ponto m¶vel M desloca-se ao longo de uma linha reta horizontal, a partir de um
o
ponto O.
∆s
O M
s=0 s = s(t) s 0 = s(t 0) s1 = s(t 0+ ∆t) s
O deslocamento s, de M , em rela»~o ao ponto O, ¶ a dist^ncia de O a M , se M
ca e a
est¶ µ direita de O, e ¶ o negativo dessa dist^ncia se M est¶ µ esquerda de O. Assim, s ¶
aa e a aa e
positivo ou negativo, conforme M se encontre, respectivamente, µ direita ou µ esquerda
a a
de O.
Com estas conven»~es, a reta passa a ser orientada, o que chamamos de eixo,
co
sendo O sua origem.
O deslocamento s depende do instante de tempo t, ou seja, s ¶ uma fun»~o da
e ca
vari¶vel t:
a
s = s(t)
Em um determinado instante t0 , o deslocamento de M ¶ s0 = s(t0 ). Em um
e
instante posterior t1 , o deslocamento de M ¶ s1 = s(t1 ).
e
A velocidade m¶dia do ponto M , no intervalo de tempo [t0 ; t1 ] ¶ dada por
e e
s1 ¡ s0 s(t1 ) ¡ s(t0 )
vm = =
t1 ¡ t0 t1 ¡ t0
Podemos tamb¶m escrever t1 = t0 + ¢t, ou seja, ¢t = t1 ¡ t0 , e tamb¶m
e e
¢s = s(t1 ) ¡ s(t0 ) = s(t0 + ¢t) ¡ s(t0 ).
1
2. ^
Velocidade instantanea e derivadas 2
Teremos ent~o
a
s(t0 + ¢t) ¡ s(t0 ) ¢s
vm = =
¢t ¢t
Por exemplo, vamos supor que s(t) = 1 at2 (ponto m¶vel uniformemente ace-
2
o
lerado). Assim, no instante t = 0 o ponto m¶vel est¶ em s(0) = 1 a ¢ 02 = 0.
o a 2
A partir de um certo instante t0 , temos uma varia»~o de tempo ¢t. Seja t1 =
ca
t0 + ¢t. Podemos ter ¢t > 0 ou ¢t < 0 (quando ¢t < 0, t1 antecede t0 ). Teremos
ent~o
a
1 1 ¡ ¢
s(t1 ) = s(t0 + ¢t) = a(t0 + ¢t)2 = ¢ at2 + 2at0 ¢t + a(¢t)2
0
2 2
A varia»~o do deslocamento do ponto m¶vel, nesse intervalo de tempo, ser¶
ca o a
1 1 1
¢s = s(t1 ) ¡ s(t0 ) = at2 + at0 ¢t + a(¢t)2 ¡ at2
0
2 2 2 0
ou seja,
a(¢t)2
¢s = at0 ¢t +
2
A velocidade m¶dia do ponto, no intervalo de tempo [t0 ; t1 ], ser¶ dada por
e a
2
¢s at0 ¢t + a(¢t)
2 a¢t
= = at0 +
¢t ¢t 2
a(¢t)2
Se ¢t ¼ 0, ent~o tamb¶m teremos ¢s = at0 ¢t +
a e 2
¼ 0. No entanto,
¢s a¢t
= at0 + ¼ at0
¢t 2
De um modo geral, de¯nimos a velocidade instant^nea v(t0 ), do ponto M , no instante
a
t0 , como sendo o limite da velocidade m¶dia no intervalo de t0 a t0 + ¢t, quando ¢t
e
tende a zero (esta foi uma id¶ia de Isaac Newton), e escrevemos
e
¢s
v(t0 ) = lim
¢t!0 ¢t
No nosso exemplo,
µ ¶
a¢t
v(t0 ) = lim at0 + = at0
¢t!0 2
1.2 Derivada de uma fun»~o
ca
Uma fun»~o f ¶ uma lei que associa cada valor x de um certo conjunto A (o dom¶
ca e ³nio
de f ), um ¶nico valor f (x) de um certo conjunto B (o contra-dom¶ de f ). Neste
u ³nio
3. ^
Velocidade instantanea e derivadas 3
curso, teremos sempre A ½ R e B ½ R. Veja tamb¶m a observa»~o 1.1, mais adiante
e ca
nesta aula. Muitas vezes diremos fun»~o f(x)", em lugar de fun»~o f ".
ca ca
Dada uma fun»~o f (x), a fun»~o derivada f 0 (x) (leia-se f linha de x") ¶ a fun»~o
ca ca e ca
de¯nida quando consideramos, para cada x, sujeito a uma varia»~o ¢x 60, a varia»~o
ca = ca
correspondente de y = f (x),
¢y = ¢f = f (x + ¢x) ¡ f(x)
e ent~o calculamos o valor limite da raz~o
a a
¢f f (x + ¢x) ¡ f(x)
=
¢x ¢x
quando ¢x se aproxima inde¯nidamente de 0. Ou seja,
¢f f (x + ¢x) ¡ f (x)
f 0 (x) = lim = lim
¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x
³¯co de x, digamos x = x0 ,
Para um valor espec¶
f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 )
f 0 (x0 ) = lim
¢x!0 ¢x
¶ a derivada de f (ou de f (x)), no ponto x0 .
e
Como primeiro e importante exemplo, temos
Regra 1.1 Se f (x) = xn , n inteiro positivo, ent~o f 0 (x) = nxn¡1
a
Demonstra»~o. Da ¶lgebra elementar, temos as seguintes f¶rmulas de fatora»~o:
ca a o ca
b2 ¡ a2 = (b ¡ a)(b + a)
b3 ¡ a3 = (b ¡ a)(b2 + ab + a2 )
b4 ¡ a4 = (b ¡ a)(b3 + ab2 + a2 b + a3 )
que o leitor pode veri¯car, simplesmente efetuando os produtos µ direita, e ent~o sim-
a a
pli¯cando. De um modo geral, para n ¸ 4, vale a seguinte f¶rmula:
o
bn ¡ an = (b ¡ a)(bn¡1 + abn¡2 + a2 bn¡3 + ¢ ¢ ¢ + an¡3 b2 + an¡2 b + an¡1 ) (1.1)
Sendo f (x) = xn , temos para ¢x = 0,
6
¢f = f(x + ¢x) ¡ f (x) = (x + ¢x)n ¡ xn (1.2)
Substituindo b = x + ¢x e a = x, em 1.1, temos b ¡ a = ¢x, e ent~o obtemos
a
¢f = ¢x ¢ ((x + ¢x)n¡1 + x ¢ (x + ¢x)n¡2 + ¢ ¢ ¢ + xn¡2 (x + ¢x) + xn¡1 )
4. ^
Velocidade instantanea e derivadas 4
do que ent~o
a
¢f
= (x + ¢x)n¡1 + x ¢ (x + ¢x)n¡2 + ¢ ¢ ¢ + xn¡2 (x + ¢x) + xn¡1
¢x
Da¶ lim ¢f = xn¡1 + xn¡1{z ¢ ¢ ¢ + xn¡1 = nxn¡1 .
³, ¢x | + }
¢x!0
n parcelas
Portanto, (xn )0 = nxn¡1 .
1.2.1 Nota»~es simb¶licas para derivadas, habitualmente usadas
co o
Sendo y = f (x), tamb¶m escrevemos ¢y = ¢f = f (x + ¢x) ¡ f (x), e denotamos
e
dy ¢y
= (derivada de y em rela»~o a x) = lim
ca
dx ¢x!0 ¢x
dy
Assim temos = f 0 (x). Indicamos ainda
dx
µ ¶ ¯
0 dy dy ¯
¯
f (x0 ) = =
dx x=x0 dx ¯x=x0
A raz~o
a
¢y f(x0 + ¢x) ¡ f (x0 )
=
¢x ¢x
¶ a taxa de varia»~o m¶dia de y, em rela»~o a x, no intervalo [x0 ; x0 + ¢x] (ou no
e ca e ca
intervalo [x0 + ¢x; x0 ], se ¢x < 0).
O valor µ ¶
0 dy ¢y
f (x0 ) = = lim
dx ¢x!0 ¢x
x=x0
¶ chamado de taxa de varia»~o (instant^nea) de y em rela»~o a x, no ponto x = x0 .
e ca a ca
Outras nota»~es freqÄentemente utilizadas para as derivadas (os s¶
co u ³mbolos abaixo
tem o mesmo signi¯cado):
f 0 (x) (nota»~o de Lagrange)
ca
(f (x))0
df
(nota»~o de Leibniz, leia-se d^ f d^ x")
ca e e
dx
dy
(sendo y = f (x))
dx
d
(f (x))
dx
_
x(t) (nota»~o de Newton, derivada de x em rela»~o µ vari¶vel t (tempo))
ca ca a a
5. ^
Velocidade instantanea e derivadas 5
Tamb¶m tem o mesmo signi¯cado as nota»~es para a derivada de f no ponto x0 ,
e co
df
f 0 (x0 ) (f (x))0jx=x0 (x0 )
¯ dx
dy ¯ ¯ d
(f (x))jx=x0
dx ¯x=x0 dx
Exemplo 1.1 De acordo com a regra 1.1, temos
(x)0 = (x1 )0 = 1x1¡1 = x0 = 1, ou seja (x)0 = 1.
(x2 )0 = 2x2¡1 = 2x.
(x3 )0 = 3x3¡1 = 3x2 .
(x100 )0 = 100x99 .
Observa»~o 1.1 (Intervalos da reta, e dom¶
ca ³nios das fun»~es que estudaremos)
co
Aqui, e no restante do texto, estaremos assumindo sempre que nossas fun»~es s~o fun»oes
co a c~
de uma vari¶vel real x, com valores f (x) reais, e est~o de¯nidas em intervalos ou reuni~es
a a o
de intervalos de R, ou seja, tem os valores de x tomados em intervalos ou reuni~es deo
intervalos.
Os intervalos de R s~o conjuntos de uma das formas:
a
[a; b] = fx 2 R j a · x · bg (intervalo fechado de extremos a e b);
]a; b[ = fx 2 R j a < x < bg (intervalo aberto de extremos a e b);
[a; b[ = fx 2 R j a · x < bg (intervalo de extremos a e b, semi-aberto em b);
]a; b] = fx 2 R j a < x · bg (intervalo de extremos a e b, semi-aberto em a):
sendo a e b n¶meros reais, com a < b. Os intervalos acima s~o os intervalos limitados.
u a
Os intervalos ilimitados s~o conjuntos de uma das formas:
a
[a; +1[ = fx 2 R j x ¸ ag (intervalo fechado de a a +1);
]a; +1[ = fx 2 R j x > ag (intervalo aberto de a a +1);
]¡ 1; b] = fx 2 R j x · bg (intervalo fechado de ¡1 a b);
]¡ 1; b[ = fx 2 R j x < bg (intervalo aberto de ¡1 a b);
]¡ 1; +1[ = R (intervalo aberto de ¡1 a +1);
sendo a e b n¶meros reais.
u
Assim, por exemplo,
p
1. f (x) = x ¶ uma fun»~o que est¶ de¯nida para os valores reais de x para os
p e ca a
quais x existe e ¶ um n¶mero real, ou seja, para x ¸ 0. Assim, dizemos que o
e u
dom¶ ou campo de de¯ni»~o de f ¶ o intervalo D(f ) = [0; +1[.
³nio ca e
6. ^
Velocidade instantanea e derivadas 6
2. f (x) = 1=x ¶ uma fun»~o que est¶ de¯nida para os valores reais de x para os
e ca a
quais 1=x existe e ¶ um n¶mero real, ou seja, para x 60. Assim, o dom¶ ou
e u = ³nio
campo de de¯ni»~o de f ¶ o conjunto D(f) = R ¡ f0g, ou seja, a reuni~o de
ca e a
intervalos ]¡ 1; 0[ [ ]0; +1[.
p 1
3. f (x) = 2 ¡ x + px¡1 est¶ de¯nida para os valores reais de x para os quais
a
p p
2 ¡ x e 1= x ¡ 1 existem e s~o n¶meros reais, ou seja, para x · 2 (2 ¡ x ¸ 0)
a u
e x > 1 (x ¡ 1 > 0). Assim, o dom¶ ou campo de de¯ni»~o de f ¶ o intervalo
³nio ca e
D(f) =]1; 2].
³¯co de x, digamos x = x0 , no dom¶ de uma fun»~o f , ao
Para um valor espec¶ ³nio ca
calcularmos o limite
f (x0 + ¢x) ¡ f(x0 )
f 0 (x0 ) = lim
¢x!0 ¢x
estamos supondo que algum intervalo aberto, contendo x0 , tamb¶m ¶ parte do dom¶
e e ³nio
de f, de modo que x0 + ¢x tamb¶m estar¶ no dom¶ de f quando ¢x for n~o nulo
e a ³nio a
e su¯cientemente pequeno.
1.3 Primeiras regras de deriva»~o (ou diferencia»~o)
ca ca
Diferencia»~o ou deriva»~o de uma fun»~o ¶ o processo de c¶lculo da derivada da fun»~o.
ca ca ca e a ca
Regra 1.2 Se f (x) ¶ uma fun»~o e c ¶ uma constante, ent~o
e ca e a
(cf (x))0 = cf 0 (x):
Ou seja, a derivada de uma constante vezes uma fun»~o ¶ a constante vezes a derivada
ca e
da fun»~o.
ca
Regra 1.3 Sendo f(x) e g(x) duas fun»~es,
co
(f(x) + g(x))0 = f 0 (x) + g 0 (x):
Ou seja, a derivada de uma soma de duas fun»oes ¶ a soma das respectivas derivadas.
c~ e
Demonstra»~es das propriedades 1.2 e 1.3. Alguns fatos sobre limites s~o assumidos
co a
intuitivamente.
cf(x + ¢x) ¡ cf (x) f (x + ¢x) ¡ f (x)
(cf (x))0 = lim = lim c ¢
¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x
f(x + ¢x) ¡ f (x)
= c ¢ lim
¢x!0 ¢x
¢f
= c ¢ lim = cf 0 (x)
¢x!0 ¢x
7. ^
Velocidade instantanea e derivadas 7
[f (x + ¢x) + g(x + ¢x)] ¡ [f (x) + g(x)]
[f (x) + g(x)]0 = lim
¢x!0 ¢x
[f (x + ¢x) ¡ f (x)] + [g(x + ¢x) ¡ g(x)]
= lim
¢x!0
· ¢x ¸
f (x + ¢x) ¡ f (x) g(x + ¢x) ¡ g(x)
= lim +
¢x!0 ¢x ¢x
f(x + ¢x) ¡ f (x) g(x + ¢x) ¡ g(x)
= lim + lim
¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x
¢f ¢g
= lim + lim = f 0 (x) + g 0 (x)
¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x
Exemplo 1.2 Sendo f(x) = 2x3 ¡ 3x5 , temos
f 0 (x) = (2x3 ¡ 3x5 )0
= (2x3 + (¡3)x5 )0
= (2x3 )0 + ((¡3)x5 )0 ((f + g)0 = f 0 + g 0 )
= 2(x3 )0 + (¡3)(x5 )0 ((cf)0 = cf 0 )
= 2 ¢ 3x2 + (¡3) ¢ 5x4 ((xn )0 = nxn¡1 )
= 6x2 ¡ 15x4
Observa»~o 1.2 Por um argumento tal como no exemplo acima, temos tamb¶m
ca e
(f (x) ¡ g(x))0 = f 0 (x) ¡ g 0 (x).
Regra 1.4 A derivada de uma fun»~o constante ¶ 0: se f (x) = c = constante,
ca e
0 0
ent~o f (x) = (c) = 0.
a
Demonstra»~o. Sendo f (x) = c = constante, ent~o
ca a
¢f = f(x + ¢x) ¡ f (x) = c ¡ c = 0.
Portanto, ¢f = ¢x = 0 ( ¢f ¶ 0 mesmo antes de calcularmos o limite). Logo
¢x
0
¢x
e
¢f
lim ¢x = lim 0 = 0.
¢x!0 ¢x!0
Assim, se c ¶ uma constante, (c)0 = 0.
e
dy
Exemplo 1.3 Sendo y = ¡3t6 + 21t2 ¡ 98, calcular .
dt
Aplicando as regras acima estabelecidas, indicando por u0 a derivada de u em
rela»~o a t,
ca
dy
= (¡3t6 + 21t2 ¡ 98)0
dt
= ¡18t5 + 42t
8. ^
Velocidade instantanea e derivadas 8
1 dy
Exemplo 1.4 Sendo y = , calcular .
x dx
1
Temos y = , e ent~o
a
x
1 1 x ¡ (x + ¢x) ¢x
¢y = ¡ = =¡
x + ¢x x x(x + ¢x) x(x + ¢x)
¢y 1
=¡
¢x x(x + ¢x)
dy ¢y 1 1
= lim = lim =¡ 2
dx ¢x!0 ¢x ¢x!0 x(x + ¢x) x
1.4 Problemas
1. A posi»~o de um ponto P sobre um eixo x, ¶ dada por x(t) = 4t2 + 3t ¡ 2, com
ca e
t medido em segundos e x(t) em cent¶
³metros.
(a) Determine as velocidades m¶dias de P nos seguintes intervalos de tempo:
e
[1; 1; 2], [1; 1; 1], [1; 1; 01], [1; 1; 001].
(b) Determine a velocidade de P no instante t = 1 seg.
(c) Determine os intervalos de tempo em que P se move no sentido positivo
e aqueles em que P se move no sentido negativo. (P se move no sentido
positivo ou negativo se x(t) aumenta ou diminui, respectivamente, µ medida
a
em que t aumenta.)
2. Se um objeto ¶ lan»ado verticalmente para cima, com velocidade inicial 110 m/seg,
e c
sua altura h(t), acima do ch~o (h = 0), ap¶s t segundos, ¶ dada (aproximada-
a o e
2
mente) por h(t) = 110t ¡ 5t metros. Quais s~o as velocidades do objeto nos
a
instantes t = 3 seg e t = 4 seg? Em que instante o objeto atinge sua altura
m¶xima? Em que instante atinge o ch~o? Com que velocidade atinge o ch~o?
a a a
3. Calcule f 0 (x), para cada uma das fun»~es f (x) dadas abaixo, cumprindo as
co
seguintes etapas
i. Primeiro desenvolva a express~o ¢f = f (x + ¢x) ¡ f (x), fazendo as simpli-
a
¯ca»~es cab¶
co ³veis.
¢f f (x+¢x)¡f (x)
ii. Em seguida obtenha, uma express~o simpli¯cada para
a ¢x
= ¢x
.
¢f
iii. Finalmente, calcule o limite lim .
¢x!0 ¢x
(a) f(x) = 17 ¡ 6x
(b) f(x) = 7x2 ¡ 5
9. ^
Velocidade instantanea e derivadas 9
(c) f(x) = x3 + 2x
p
(d) f(x) = x
1
(e) f(x) =
x+5
(f) f(x) = x5
6
(g) f(x) = 2
x
4. Usando as regras de deriva»~o estabelecidas, calcule as derivadas das seguintes
ca
fun»~es.
co
(a) f(t) = ¡6t3 + 12t2 ¡ 4t + 7
(b) f(t) = (3t + 5)2 Sugest~o: Primeiro desenvolva o quadrado.
a
(c) f(x) = (¡2x + 1)32
Sugest~o: Primeiro desenvolva o cubo.
a
(d) f(x) = (3x ¡7x+1)(x2 +x¡1) Sugest~o: Primeiro desenvolva o produto.
2
a
(e) f(x) = x3 ¡ x2 + 15
5. Determine o dom¶ de cada uma das seguintes fun»~es. Represente-o como um
³nio co
intervalo ou uma reuni~o de intervalos de R. No nosso contexto, o dom¶ de
a ³nio
uma fun»~o f ¶ o conjunto de todos os n¶meros reais x para os quais f(x) ¶ um
ca e u e
n¶mero real.
u
(a) f(x) = x3 ¡ 5x + 3
p
(b) f(x) = ¡ 4 ¡ x
p
(c) f(x) = ¡ 4 ¡ x2
p
(d) f(x) = x2 ¡ 5x + 4
1
(e) f(x) = p
2x ¡ x2
1.4.1 Respostas e sugest~es
o
1. (a) 11; 8; 11; 4; 11; 04; 11; 004 (cm/seg).
(b) 11 cm/seg
(c) P se move no sentido positivo quando t > ¡3=8, e no sentido negativo quando
t < ¡3=8
2. 80 m/seg e 70 m/seg. Em t = 11 seg. Em t = 22 seg, com a velocidade de ¡110 m/seg.
3. (a) i. ¢f = ¡6¢x
ii. ¢f = ¡6
¢x
iii. f 0 (x) = ¡6
(b) i. ¢f = 14x¢x + 7(¢x)2
ii. ¢f = 14x + 7¢x
¢x
10. ^
Velocidade instantanea e derivadas 10
iii. f 0 (x) = 14x
(c) i. ¢f = (3x2 + 2)¢x + 3x(¢x)2 + (¢x)3
ii. ¢f = 3x2 + 2 + 3x(¢x) + (¢x)2
¢x
iii. f 0 (x) = 3x2 + 2
p p
(d) i. ¢f = x + ¢x ¡ x
p p
¢f x+¢x¡ x
ii. ¢x = ¢x
1 ¢f
iii. f 0 (x) = 2px . Sugest~o.
a Ao calcular o limite lim , o leitor chegar¶
a
¢x!0 ¢x
µ express~o 0=0, que n~o tem signi¯cado matem¶tico. Para contornar este
a a a a
problema, devemos ajeitar" ¢f , atrav¶s das simpli¯ca»~es dadas abaixo.
¢x e co
p p p p p p
¢f x + ¢x ¡ x x + ¢x ¡ x x + ¢x + x
= = ¢p p
¢x ¢x ¢x x + ¢x + x
(x + ¢x) ¡ x 1
= p p =p p
¢x ¢ ( x + ¢x + x) x + ¢x + x
p p p p
Aqui ¯zemos uso da identidade ( a ¡ b)( a + b) = a ¡ b.
1 1 ¡¢x
(e) i. ¢f = x+¢x+5 ¡ x+5 = (x+¢x+5)(x+5)
¢f ¡1
ii. ¢x = (x+¢x+5)(x+5)
1
iii. f 0 (x) = ¡ (x+5)2
(f) f 0 (x) = 5x4
12
(g) f 0 (x) = ¡ 3
x
4. (a) f 0 (t) = ¡18t2 + 24t ¡ 4
(b) f 0 (t) = 18t + 30
(c) f 0 (x) = ¡48x5 + 48x3 ¡ 12x
(d) f 0 (x) = 12x3 ¡ 12x2 ¡ 18x + 8
(e) f 0 (x) = 3x2 ¡ 2x
5. (a) R
(b) ]¡ 1; 4]
(c) [¡2; 2]
(d) ]¡ 1; 1] [ [4; +1[
(e) ]0; 2[