O documento discute conceitos de teoria do caos, incluindo sistemas dinâmicos complexos cujo comportamento é imprevisível mas determinístico. Aborda como pequenas variações iniciais podem ter grandes consequências, como ilustrado pelo "efeito borboleta", e apresenta a transformação do Gato de Arnold como exemplo de sistema caótico.

2. Composição de Transformações Lineares

3. Composição de Transformações Lineares

4. Composição de Duas Rotações

5. Quando a Composição não é Comutativa

6. Exercício

7. Exercício Numérico

8. Uma busca contínua por respostas para sistemas dinâmicos.Autovetores & Autovalores

9. Importância do EstudoAutovalores e autovetores são conceitos importantes de matemática, com aplicações práticas em áreas diversificadas como mecânica quântica, processamento de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, estatística e etc.Introdução

10. 𝑻:𝑽->𝑽um operador linear. Se existirem v∈V, v≠𝟎 e 𝝀 ∈𝑹 tais que 𝑻v =𝝀v, 𝝀é um autovalor de 𝑻 e v um autovetor de 𝑻 associado a 𝝀.(I) T(v) = 𝝀v Definição

11. Observação GráficaNessa condição, o vetor v2 passou a v2', que não tem a mesma direção do original v2. Portanto, o vetor v2' não pode ser representado por v2 multiplicado por um escalar.

12. Mas o vetor v1' tem a mesma direção de v1 e, por isso, pode ser representado por v1 multiplicado por um escalar. Diz-se então que v1 é um autovetor da transformação e que esse escalar é um autovalor associado.Toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor, então:Desenvolvendo o estudo(II) T(v) = Av

13. Desenvolvendo o estudoIgualando (I) e (II), tem-se:Av =𝜆v ou Av – 𝜆v = 0 que resulta no sistema homogêneo:(III) (A – 𝝀I) v = 0Onde A é n x n, v = 0 é sempre solução (trivial).

14. Desenvolvendo o estudoPara que a equação (III) tenha solução além da trivial é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero, ou seja,det(A – 𝝀I) = 0 o que resulta em um polinômio de grau n em λ, conhecido como polinômio característico.

15. Sendo A a matriz canônica que representa um operador linear T, temos:autovalores𝝀 de T ou de A: são as raízes da equação det(A –𝝀I) = 0,autovetores v de T ou de A: para cada𝝀, são as soluções da equaçãoAv =v ou (A –𝝀I)v = 0. Desenvolvendo o estudo

16. Interpretação Geométricau é autovetor de T, poisu//T(u) =u.

17. v não é autovetor de T, pois nãov//T(v) =v.Aplicando a teoriaExemplo 1: Considere o operador linear definido no exemplo anterior: 𝑻: 𝑹𝟐 ->𝑹𝟐.T(x, y)=(4x + 5y, 2x + y). Encontre os autovaloresde A=4521, matriz canônica de T. Resolvemos a equação característica det (A –𝝀I) = 0: det(A –𝝀I) = 0 ↔ (4 –𝜆) (1 –𝜆) – 10 = 0 ↔𝜆2 – 5𝜆 – 6 = 0 𝜆1 = – 1 e 𝜆2 = 6.

18. Aplicando a teoriaEncontrar os autovetoresde A ou de T:Para cada autovalor𝝀 encontrado, resolvemos o sistema linear (A –𝝀I)v = 0.

19. Aplicando a TeoriaEntão,v𝝀𝟏= (– y, y) sendo um de seus representantes o vetor v𝝀𝟏 = (– 1, 1).

20. Aplicando a TeoriaEntão v𝝀𝟐= (52y , y) sendo um de seus representantes o vetor v𝝀𝟐= (52, 1).

21. “Poderia o bater de asas de uma borboleta no Brasil desencadear um tornado no Texas?”Teoria do Caos

22. O CaosTeoria do caos, para a física e a matemática, é a teoria que explica o funcionamento de sistemas complexos e dinâmicos.

23. OCaosOu seja, estuda os sistemas que apresentam um comportamento imprevisível e aparentemente aleatório, embora sejam regidos por leis estritamente deterministas.

24. Parâmetros iniciaisDeterminismo: todos os fenômenos estão ligados entre si por rígidas relações de causalidade. Os sistemas caóticos alteram-se com freqüência, são fortemente dependentes dos parâmetros iniciais e, quando submetidos a variações, apresentam resultados desproporcionais. A Teoria do Caos também é conhecida como Caos Determinista.

25. "O bater de asas de uma borboleta em Tóquio pode provocar um furacão em Nova Iorque.“ ~ Edward LorenzEfeito Borboleta

26. Aplicações repetidas são aplicações caóticas que em geral surgem em modelos físicos emque uma certa operação é executada repetidamente, como a água numa baía que é misturada pormudanças repetidas da maré.APLICAÇÕES REPETIDAS

27. A Transformação do Gato de ArnoldUtilizando técnicas de aritmética modular e composição de transformações lineares, desenvolve-se uma transformação caótica específica (Transformação do Gato de Arnold). Tal transformação pode ser aplicada em modelos físicos, criptografia de imagens, computação gráfica, etc.

28. Gato de ArnoldA Figura seguinte que foi gerada em computador mostra o efeito de 25 iterações da transformação do gato de Arnold sobre o quadrado unitário S. Ocorrem dois fenômenos interessantes:·O gato retorna à sua posição original na 25ª iteração.·Em algumas das iterações intermediárias, o gato está decomposto em faixas que parecem ter uma direção específica.

29. O matemático Vladimir I. Arnold desenvolveu uma transformação caótica específica, transformação esta que ficou conhecida como Transformação do Gato de Arnold. Tal transformação pode ser aplicada em modelos físicos, criptografia de imagens, computação gráfica, etc.Gato de Arnold