O documento discute a equação de Schrödinger e a função de onda em mecânica quântica. O plano de aula inclui: 1) A equação de Schrödinger clássica versus quântica, 2) Interpretação estatística da função de onda e normalização, 3) Valores esperados, operadores e princípio da incerteza. O documento também demonstra a invariância temporal da condição de normalização da função de onda.
1. O documento descreve a função exponencial, sua relação com a função logarítmica e algumas de suas propriedades fundamentais.
2. A constante e de Euler é definida como exp(1) e desempenha um papel importante na ligação entre a função exponencial e potenciação.
3. A função exponencial tem diversas aplicações importantes em áreas como física, química, biologia e economia para modelar fenômenos como resfriamento, crescimento populacional e desintegração radioativa.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre mecânica quântica. O objetivo da aula é consolidar os conhecimentos adquiridos no módulo anterior aplicando-os à resolução dos exercícios. São abordados tópicos como partícula livre e em caixa de potencial tridimensional, operador momento angular e relações de comutação entre operadores.
Aula 7 - Uma Aula de Quântica no Ensino MédioNewton Silva
O documento discute os fundamentos da mecânica quântica, incluindo a função de onda Ψ, a equação de Schrödinger e como ela descreve o comportamento das ondas de matéria. A equação é usada para calcular a energia quantizada de uma partícula confinada em um poço de potencial.
1. O documento discute os números cardinais e funções bijetivas, que definem quando dois conjuntos têm o mesmo número de elementos.
2. Explica que um conjunto é finito se puder ser estabelecida uma correspondência bijetiva entre ele e um conjunto de números naturais de 1 a n.
3. Afirma que o conjunto dos números naturais é infinito porque nenhuma correspondência bijetiva pode ser definida entre ele e conjuntos finitos.
Aplicar o método de separação da equação de Schrödinger em coordenadas esféricas ao caso de átomos com um único elétron, tais como o átomo de hidrogênio.
A aula apresenta a regra da cadeia para derivar funções compostas de uma ou mais variáveis. A regra é generalizada para funções de várias variáveis intermediárias e variáveis independentes. Exemplos ilustram o cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia.
O documento discute conceitos básicos de equações diferenciais ordinárias, incluindo tipos de equações, soluções e exemplos clássicos. Resume três pontos principais: 1) Equações diferenciais modelam movimentos e outros fenômenos físicos; 2) Exemplos históricos incluem movimento livre, queda livre e crescimento populacional; 3) A resolução de equações diferenciais é fundamental para a física e seu desenvolvimento.
1. O documento descreve a função exponencial, sua relação com a função logarítmica e algumas de suas propriedades fundamentais.
2. A constante e de Euler é definida como exp(1) e desempenha um papel importante na ligação entre a função exponencial e potenciação.
3. A função exponencial tem diversas aplicações importantes em áreas como física, química, biologia e economia para modelar fenômenos como resfriamento, crescimento populacional e desintegração radioativa.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre mecânica quântica. O objetivo da aula é consolidar os conhecimentos adquiridos no módulo anterior aplicando-os à resolução dos exercícios. São abordados tópicos como partícula livre e em caixa de potencial tridimensional, operador momento angular e relações de comutação entre operadores.
Aula 7 - Uma Aula de Quântica no Ensino MédioNewton Silva
O documento discute os fundamentos da mecânica quântica, incluindo a função de onda Ψ, a equação de Schrödinger e como ela descreve o comportamento das ondas de matéria. A equação é usada para calcular a energia quantizada de uma partícula confinada em um poço de potencial.
1. O documento discute os números cardinais e funções bijetivas, que definem quando dois conjuntos têm o mesmo número de elementos.
2. Explica que um conjunto é finito se puder ser estabelecida uma correspondência bijetiva entre ele e um conjunto de números naturais de 1 a n.
3. Afirma que o conjunto dos números naturais é infinito porque nenhuma correspondência bijetiva pode ser definida entre ele e conjuntos finitos.
Aplicar o método de separação da equação de Schrödinger em coordenadas esféricas ao caso de átomos com um único elétron, tais como o átomo de hidrogênio.
A aula apresenta a regra da cadeia para derivar funções compostas de uma ou mais variáveis. A regra é generalizada para funções de várias variáveis intermediárias e variáveis independentes. Exemplos ilustram o cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia.
O documento discute conceitos básicos de equações diferenciais ordinárias, incluindo tipos de equações, soluções e exemplos clássicos. Resume três pontos principais: 1) Equações diferenciais modelam movimentos e outros fenômenos físicos; 2) Exemplos históricos incluem movimento livre, queda livre e crescimento populacional; 3) A resolução de equações diferenciais é fundamental para a física e seu desenvolvimento.
1. O documento discute os princípios básicos das equações diferenciais ordinárias, incluindo conceitos como ordem, linearidade e soluções. 2. Apresenta exemplos clássicos de equações diferenciais que modelam movimentos como o movimento livre, queda livre e crescimento populacional. 3. Fornece exercícios para aplicar os conceitos discutidos.
1. O documento apresenta 10 exercícios sobre a Transformada de Fourier. Os exercícios abordam conceitos como a transformada de Fourier da função delta de Dirac, o teorema da inversão e o teorema de Parseval, além de aplicações da transformada de Fourier em equações diferenciais e na mecânica quântica.
Aula1-diferencial como base fundamental.pdfJuniorJaime3
Aula sobre diferencial constitui a base da criação de várias invenções. gracas a diferencial podemos hoje usufruir de invencoes como os foguetes espaciais entre outros
Aula 01 - Introdução à teoria de conjuntos.pdfThiago620596
O documento apresenta conceitos fundamentais da teoria da probabilidade, como:
1) A definição de experimento aleatório e determinístico e o conceito de espaço amostral;
2) A definição de evento como subconjunto do espaço amostral e exemplos de eventos;
3) Operações básicas entre eventos como união, interseção e complementar.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre mecânica quântica para aplicar os conceitos estudados nas aulas anteriores. Os exercícios abordam tópicos como função de onda, equação de Schrödinger, operadores momento e energia, princípio da incerteza e casos estacionários e não estacionários.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre física quântica e atômica. Os exercícios envolvem o princípio da incerteza de Heisenberg, a equação de Schrödinger e funções de onda para diferentes sistemas quânticos unidimensionais.
1) O documento apresenta notas de aula sobre Teoria dos Números ministrada pelo professor Rudolf R. Maier.
2) As notas incluem resultados preliminares sobre indução matemática, fórmulas importantes e sequências numéricas.
3) Também são apresentados tópicos como teoria da divisibilidade, números primos, congruências e outros conceitos fundamentais da Teoria dos Números.
Aula 4: Função de onda e Equação de SchrödingerAdriano Silva
Este documento apresenta os conceitos fundamentais da mecânica quântica, introduzindo a função de onda e a equação de Schrödinger. A função de onda descreve o estado de uma partícula microscópica e satisfaz a equação de Schrödinger, que é uma equação em derivadas parciais. A interpretação probabilística da função de onda permite calcular a probabilidade de se encontrar a partícula em determinadas regiões do espaço.
O documento descreve um oscilador harmônico quântico simples, com três objetivos principais: 1) obter a solução da equação de Schrödinger para este sistema; 2) compará-la com a solução clássica correspondente; 3) aplicar o formalismo quântico ao potencial harmônico V(x)=1/2kx2.
Este documento apresenta a resolução de vários problemas relacionados à lei da indução de Faraday. O problema 33 trata de um bastão se movendo em um campo magnético não uniforme gerado por uma corrente elétrica. Ele é resolvido em 5 etapas: (1) calcular a fem induzida no bastão, (2) calcular a corrente induzida, (3) calcular a taxa de dissipação de energia, (4) calcular a força externa necessária para manter o movimento do bastão e (5) comparar esta força com a taxa
Este documento discute equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem e o Teorema de Existência e Unicidade para o Problema de Cauchy. O documento introduz conceitos como operador diferencial parcial, equações diferenciais parciais lineares e não lineares, classificação de EDPs, e exemplos importantes como a equação de Laplace e equações de calor e onda.
O documento apresenta definições e regras sobre derivadas de funções, incluindo: 1) a definição formal de derivada; 2) regras de derivação como derivadas de funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas; 3) derivadas de funções compostas; 4) derivadas implícitas. Também apresenta exercícios sobre o cálculo de derivadas em diferentes situações.
O documento introduz o conceito de derivadas, explicando o que são derivadas, como calculá-las e suas aplicações. Ele fornece exemplos de como usar derivadas para calcular velocidade, inclinação de curvas e tangentes. O documento também apresenta as regras gerais para derivar funções como potências, soma, produto e quociente.
1) O documento discute inferência para cadeias de Markov, incluindo definições de processos estocásticos, propriedade de Markov e cadeias de Markov homogêneas.
2) Apresenta um exemplo de molhamento foliar em culturas de soja e como um modelo de regressão logística pode ser usado para introduzir dependência temporal.
3) Discute a estimação de parâmetros para cadeias de Markov usando máxima verossimilhança.
Equação de Laplace em Coordenadas Polares.pdfmikaelg3
1) O documento apresenta a expressão do laplaciano em coordenadas polares.
2) É mostrado que o laplaciano em coordenadas polares é dado por ∆u = urr + 1r ur + 1r2 uθθ.
3) Dois exemplos são resolvidos usando esta expressão para problemas de Dirichlet em regiões polares.
8ª lista de exercícios exponencial e logaritmomaiaadri
1) O documento apresenta 8 questões sobre cálculo diferencial e integral envolvendo funções exponenciais e logarítmicas.
2) A questão 5 descreve a técnica de datação por carbono usada em arqueologia para estimar a idade de fósseis.
3) O gabarito fornece as respostas detalhadas para cada uma das 8 questões.
O documento discute vários exemplos de aplicações da derivada em física, química e engenharia, incluindo a lei dos gases de Boyle, corrente elétrica, lei de Ohm, lei da indução, fluxo de fluidos em dutos, e tanque de água cônico. A derivada é usada para determinar como variáveis como volume, velocidade e nível de água variam em relação a outras variáveis como pressão, corrente e tempo.
Este documento introduz o conceito de integral definida como uma ferramenta para calcular a área abaixo de funções contínuas. Ele motiva o conceito dividindo intervalos em partes menores e somando as áreas dos retângulos formados, mostrando que esta soma converge para o valor da área procurada quando o número de partes tende ao infinito. Finalmente, apresenta exercícios para praticar a aplicação deste novo conceito.
1. O documento discute os princípios básicos das equações diferenciais ordinárias, incluindo conceitos como ordem, linearidade e soluções. 2. Apresenta exemplos clássicos de equações diferenciais que modelam movimentos como o movimento livre, queda livre e crescimento populacional. 3. Fornece exercícios para aplicar os conceitos discutidos.
1. O documento apresenta 10 exercícios sobre a Transformada de Fourier. Os exercícios abordam conceitos como a transformada de Fourier da função delta de Dirac, o teorema da inversão e o teorema de Parseval, além de aplicações da transformada de Fourier em equações diferenciais e na mecânica quântica.
Aula1-diferencial como base fundamental.pdfJuniorJaime3
Aula sobre diferencial constitui a base da criação de várias invenções. gracas a diferencial podemos hoje usufruir de invencoes como os foguetes espaciais entre outros
Aula 01 - Introdução à teoria de conjuntos.pdfThiago620596
O documento apresenta conceitos fundamentais da teoria da probabilidade, como:
1) A definição de experimento aleatório e determinístico e o conceito de espaço amostral;
2) A definição de evento como subconjunto do espaço amostral e exemplos de eventos;
3) Operações básicas entre eventos como união, interseção e complementar.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre mecânica quântica para aplicar os conceitos estudados nas aulas anteriores. Os exercícios abordam tópicos como função de onda, equação de Schrödinger, operadores momento e energia, princípio da incerteza e casos estacionários e não estacionários.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre física quântica e atômica. Os exercícios envolvem o princípio da incerteza de Heisenberg, a equação de Schrödinger e funções de onda para diferentes sistemas quânticos unidimensionais.
1) O documento apresenta notas de aula sobre Teoria dos Números ministrada pelo professor Rudolf R. Maier.
2) As notas incluem resultados preliminares sobre indução matemática, fórmulas importantes e sequências numéricas.
3) Também são apresentados tópicos como teoria da divisibilidade, números primos, congruências e outros conceitos fundamentais da Teoria dos Números.
Aula 4: Função de onda e Equação de SchrödingerAdriano Silva
Este documento apresenta os conceitos fundamentais da mecânica quântica, introduzindo a função de onda e a equação de Schrödinger. A função de onda descreve o estado de uma partícula microscópica e satisfaz a equação de Schrödinger, que é uma equação em derivadas parciais. A interpretação probabilística da função de onda permite calcular a probabilidade de se encontrar a partícula em determinadas regiões do espaço.
O documento descreve um oscilador harmônico quântico simples, com três objetivos principais: 1) obter a solução da equação de Schrödinger para este sistema; 2) compará-la com a solução clássica correspondente; 3) aplicar o formalismo quântico ao potencial harmônico V(x)=1/2kx2.
Este documento apresenta a resolução de vários problemas relacionados à lei da indução de Faraday. O problema 33 trata de um bastão se movendo em um campo magnético não uniforme gerado por uma corrente elétrica. Ele é resolvido em 5 etapas: (1) calcular a fem induzida no bastão, (2) calcular a corrente induzida, (3) calcular a taxa de dissipação de energia, (4) calcular a força externa necessária para manter o movimento do bastão e (5) comparar esta força com a taxa
Este documento discute equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem e o Teorema de Existência e Unicidade para o Problema de Cauchy. O documento introduz conceitos como operador diferencial parcial, equações diferenciais parciais lineares e não lineares, classificação de EDPs, e exemplos importantes como a equação de Laplace e equações de calor e onda.
O documento apresenta definições e regras sobre derivadas de funções, incluindo: 1) a definição formal de derivada; 2) regras de derivação como derivadas de funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas; 3) derivadas de funções compostas; 4) derivadas implícitas. Também apresenta exercícios sobre o cálculo de derivadas em diferentes situações.
O documento introduz o conceito de derivadas, explicando o que são derivadas, como calculá-las e suas aplicações. Ele fornece exemplos de como usar derivadas para calcular velocidade, inclinação de curvas e tangentes. O documento também apresenta as regras gerais para derivar funções como potências, soma, produto e quociente.
1) O documento discute inferência para cadeias de Markov, incluindo definições de processos estocásticos, propriedade de Markov e cadeias de Markov homogêneas.
2) Apresenta um exemplo de molhamento foliar em culturas de soja e como um modelo de regressão logística pode ser usado para introduzir dependência temporal.
3) Discute a estimação de parâmetros para cadeias de Markov usando máxima verossimilhança.
Equação de Laplace em Coordenadas Polares.pdfmikaelg3
1) O documento apresenta a expressão do laplaciano em coordenadas polares.
2) É mostrado que o laplaciano em coordenadas polares é dado por ∆u = urr + 1r ur + 1r2 uθθ.
3) Dois exemplos são resolvidos usando esta expressão para problemas de Dirichlet em regiões polares.
8ª lista de exercícios exponencial e logaritmomaiaadri
1) O documento apresenta 8 questões sobre cálculo diferencial e integral envolvendo funções exponenciais e logarítmicas.
2) A questão 5 descreve a técnica de datação por carbono usada em arqueologia para estimar a idade de fósseis.
3) O gabarito fornece as respostas detalhadas para cada uma das 8 questões.
O documento discute vários exemplos de aplicações da derivada em física, química e engenharia, incluindo a lei dos gases de Boyle, corrente elétrica, lei de Ohm, lei da indução, fluxo de fluidos em dutos, e tanque de água cônico. A derivada é usada para determinar como variáveis como volume, velocidade e nível de água variam em relação a outras variáveis como pressão, corrente e tempo.
Este documento introduz o conceito de integral definida como uma ferramenta para calcular a área abaixo de funções contínuas. Ele motiva o conceito dividindo intervalos em partes menores e somando as áreas dos retângulos formados, mostrando que esta soma converge para o valor da área procurada quando o número de partes tende ao infinito. Finalmente, apresenta exercícios para praticar a aplicação deste novo conceito.
1. A Equação de Schrödinger e a função de onda
Prof. Luiz T. F. Eleno
Departamento de Engenharia de Materiais
Escola de Engenharia de Lorena
Universidade de São Paulo
2019
LOM3260 (EEL-USP, 2019) A Equação de Schrödinger e a função de onda Prof. Luiz T. F. Eleno 1 / 38
2. Plano de aula
1 A equação de Schrödinger
Clássico × Quântico
A equação de Schrödinger
Lembrete: Números complexos
2 Interpretação estatística da função de onda
Normalização da equação de onda
3 Distribuição de probabilidades, valores esperados e operadores
Valor esperado da posição
Valor esperado da velocidade v
Lembrete: Integração por partes
Valor esperado do momento linear p e operadores
Valor esperado de operadores
Valor esperado do potencial e do hamiltoniano
4 Princípio da incerteza
Variância e desvio padrão
Princípio da Incerteza
LOM3260 (EEL-USP, 2019) A Equação de Schrödinger e a função de onda Prof. Luiz T. F. Eleno 2 / 38
3. Plano de aula
1 A equação de Schrödinger
Clássico × Quântico
A equação de Schrödinger
Lembrete: Números complexos
2 Interpretação estatística da função de onda
Normalização da equação de onda
3 Distribuição de probabilidades, valores esperados e operadores
Valor esperado da posição
Valor esperado da velocidade v
Lembrete: Integração por partes
Valor esperado do momento linear p e operadores
Valor esperado de operadores
Valor esperado do potencial e do hamiltoniano
4 Princípio da incerteza
Variância e desvio padrão
Princípio da Incerteza
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4. Na Física Clássica
Na Dinâmica Clássica (não-relativística), as Leis de Newton comandam a evolução temporal:
dp
dt
= F
p = mẋ ⇒ ẍ =
F
m
ou a equação de Lagrange (L = T − V):
∂L
∂x
−
d
dt
∂L
∂ẋ
= 0
ou as equações de Hamilton (H = T + V):
dp
dt
= −
∂H
∂x
,
dx
dt
= +
∂H
∂p
Mas não na Mecânica Quântica!!
I (mas veremos que existem muitos pontos em comum com a representação hamiltoniana da Mecânica
Clássica)
LOM3260 (EEL-USP, 2019) A Equação de Schrödinger e a função de onda Prof. Luiz T. F. Eleno 4 / 38
5. A equação de Schrödinger
Na mecânica quântica, procuramos por uma função de onda que satisfaça a Equação de
Schrödinger
A Equação de Schrödinger unidimensional para uma partícula é
−
h̄2
2m
∂2Ψ
∂x2
(x, t) + V(x) Ψ(x, t) = ih̄
∂Ψ
∂t
(x, t)
x é a posição, t é o tempo
m é a massa da partícula
V(x) é a função energia potencial sentida pela partícula
I é comum chamar V(x) simplesmente de potencial
h̄ é uma constante:
h̄ =
h
2π
= 1,0545718 × 10−34
J s
I h é a constante de Planck: h = 6,62607004 × 10−34
J s
Ψ(x, t) é a chamada função de onda
I Ψ(x, t) em geral é um número complexo
LOM3260 (EEL-USP, 2019) A Equação de Schrödinger e a função de onda Prof. Luiz T. F. Eleno 5 / 38
6. Lembrete: números complexos
Número complexo z: z = a + bi
I a e b são números reais
a é a parte real: Re(z) = a
b é a parte imaginária: Im(z) = b
i é a unidade imaginária: i =
√
−1
I veja que i2
= −1
Diagrama de Argand:
Re(z)
Im(z)
a
b
z
|z|
θ
O módulo de z é |z| =
√
a2 + b2
θ é o argumento de z
|z| e θ são sempre reais, com |z| 0
Veja que z = |z| (cos θ + i sen θ)
Equação de Euler: para θ real,
ei θ
= cos θ + i sen θ
I em particular, eiπ = −1
Então é possível escrever: z = |z| eiθ
O conjugado complexo de z é z∗
= a − bi
I se z é real ⇒ z∗ = z
pode-se também escrever z∗
= |z| e−iθ
I (pois o argumento de z∗ é −θ)
Repare que z∗ z = |z|eiθ |z|e−iθ ⇒ z∗
z = |z|2
I ⇒ z∗z é sempre real e positivo
para achar z∗, basta trocar i por −i
I exemplo:
5e3i
cos(π/3) − 4i
∗
=
5e−3i
cos(π/3) + 4i
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7. Lembrete: números complexos
Outras relações úteis
z + z∗ = 2 Re(z) é sempre real
z − z∗ = 2i Im(z) é sempre imaginário
Repare que, como
eiθ
= cos θ + i sen θ
e−iθ
= cos θ − i sen θ ,
segue que
eiθ
+ e−iθ
= 2 cos θ
eiθ
− e−iθ
= 2i sen θ
ou seja,
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
sen θ =
eiθ − e−iθ
2 i
Em frações complexas do tipo
z =
z1
z2
podemos sempre tornar o denominador real
fazendo
z =
z1
z2
·
z∗
2
z∗
2
ou seja,
z =
z1z∗
2
z2z∗
2
em que z2z∗
2 = |z2|2 é real.
Exemplo:
1
i
=
1
i
·
−i
−i
=
−i
−i2
=
−i
1
= −i
vale a pena memorizar a relação
1
i
= −i
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8. Plano de aula
1 A equação de Schrödinger
Clássico × Quântico
A equação de Schrödinger
Lembrete: Números complexos
2 Interpretação estatística da função de onda
Normalização da equação de onda
3 Distribuição de probabilidades, valores esperados e operadores
Valor esperado da posição
Valor esperado da velocidade v
Lembrete: Integração por partes
Valor esperado do momento linear p e operadores
Valor esperado de operadores
Valor esperado do potencial e do hamiltoniano
4 Princípio da incerteza
Variância e desvio padrão
Princípio da Incerteza
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9. Interpretação estatística da função de onda
A função de onda define uma distribuição de probabilidades, tal que
Ψ∗
(x, t) Ψ(x, t) dx
é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo [x, x + dx] no instante t
I Ψ∗(x, t) é o complexo conjugado de Ψ(x, t)
∗ repare que Ψ∗(x, t) Ψ(x, t) = |Ψ(x, t)|2 é real e positivo
x
Ψ∗ Ψ
x1 x2
a probabilidade de encontrar a partícula
em x1 ≤ x ≤ x2 no instante t é
P12(t) =
Z x2
x1
Ψ∗
(x, t) Ψ(x, t) dx
I P12(t) não depende de x, apenas de t
veja que Ψ(x → ±∞, t) → 0, para que Ψ seja
quadrado-normalizável:
Z +∞
−∞
Ψ∗
(x, t) Ψ(x, t) dx = 1
I ou seja, a partícula tem que estar em algum lugar!
I mas, diferentemente da Física Clássica, não
sabemos exatamente onde ela se encontra!!!
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10. Interpretação estatística da função de onda
A função de onda define uma distribuição de probabilidades, tal que
Ψ∗
(x, t) Ψ(x, t) dx
é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo [x, x + dx] no instante t
I Ψ∗(x, t) é o complexo conjugado de Ψ(x, t)
∗ repare que Ψ∗(x, t) Ψ(x, t) = |Ψ(x, t)|2 é real e positivo
x
Ψ∗ Ψ
a probabilidade de encontrar a partícula
em x1 ≤ x ≤ x2 no instante t é
P12(t) =
Z x2
x1
Ψ∗
(x, t) Ψ(x, t) dx
I P12(t) não depende de x, apenas de t
veja que Ψ(x → ±∞, t) → 0, para que Ψ seja
quadrado-normalizável:
Z +∞
−∞
Ψ∗
(x, t) Ψ(x, t) dx = 1
I ou seja, a partícula tem que estar em algum lugar!
I mas, diferentemente da Física Clássica, não
sabemos exatamente onde ela se encontra!!!
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11. Normalização e equação de Schrödinger
Veja que, se a função Ψ(x, t) é solução da equação de Schrödinger
−
h̄2
2m
∂2Ψ
∂x2
(x, t) + V(x) Ψ(x, t) = ih̄
∂Ψ
∂t
(x, t) ,
a função
ΨA(x, t) = AΨ(x, t) ,
com A qualquer constante complexa, também é solução.
Portanto, é preciso encontrar A tal que
Z +∞
−∞
A∗
Ψ∗
(x, t) AΨ(x, t) dx = 1
ou seja:
A∗
A = |A|2
=
Z +∞
−∞
Ψ∗
(x, t) Ψ(x, t) dx
−1
I como apenas o módulo de A interessa, posso escolher A real e positivo
∗ em princípio poderia também escolher A real e negativo, ou até mesmo complexo
∗ A complexo introduz apenas uma fase eiθA , em A = |A|eiθA , sem significado físico.
∗ se A é real e positivo, θA = 0 (ou um múltiplo inteiro de 2π)
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12. Exercícios
Exercícios
1. No instante t = 0 uma partícula é representada pela função de onda
Ψ(x, 0) =
Ax
a , 0 ≤ x ≤ a
Ab−x
b−a , a ≤ x ≤ b
0, caso contrário
sendo A, a e b constantes reais.
(a) Normalize Ψ, isto é, escreva A em termos de a e b.
(b) Esboce Ψ(x, 0) como função de x.
(c) Onde é mais provável achar a partícula em t = 0?
(d) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula à esquerda de a? Verifique o resultado nos casos
limites b = a e b = 2a.
(e) Qual é o valor esperado de x?
2. Considere a função de onda
Ψ(x, t) = Ae−λ|x|
e−iωt
sendo A, λ e ω constantes reais.
(a) Normalize Ψ.
(b) Determine os valores esperados de x e de x2.
(c) Encontre o desvio padrão de x. Esboce o gráfico de |Ψ|2 em função de x e marque os pontos x ± σx,
para uma ideia do “espalhamento” de x. Qual é a probabilidade de encontrar a partícula fora desse
intervalo?
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13. Invariância temporal da condição de normalização
De acordo com a interpretação estatística da mecânica quântica, a função de onda precisa estar
sempre normalizada.
Portanto, a normalização da função de onda,
P(t) =
Z +∞
−∞
Ψ∗
(x, t) Ψ(x, t) dx = 1 ,
precisa valer em qualquer instante t.
Ou seja, é preciso que
dP
dt
=
d
dt
Z +∞
−∞
Ψ∗
(x, t) Ψ(x, t) dx
= 0
em qualquer instante t.
Vamos demonstrar esse resultado
LOM3260 (EEL-USP, 2019) A Equação de Schrödinger e a função de onda Prof. Luiz T. F. Eleno 12 / 38
14. Invariância temporal da condição de normalização
Como
dP
dt
=
d
dt
Z +∞
−∞
Ψ∗
(x, t) Ψ(x, t) dx
então
dP
dt
=
Z +∞
−∞
∂
∂t
[Ψ∗
(x, t) Ψ(x, t)] dx
I veja que, dentro da integral, a derivada é parcial, pois Ψ e Ψ∗ dependem de x e t, ao passo que a
integral depende apenas de t
Vamos simplificar um pouco a notação:
dP
dt
=
Z
∂
∂t
(Ψ∗
Ψ) dx
I subentende-se que a integral vai de −∞ a +∞ e Ψ, Ψ∗ são funções de x e t.
usando a regra da cadeia:
dP
dt
=
Z
∂Ψ∗
∂t
Ψ + Ψ∗ ∂Ψ
∂t
dx
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15. Determinação das derivadas temporais
usando a equação de Schrödinger
Em notação simplificada, a equação de Schrödinger é
−
h̄2
2m
∂2Ψ
∂x2
+ V Ψ = ih̄
∂Ψ
∂t
lembrando que o potencial V é uma função real de x
isolando a derivada temporal de Ψ:
∂Ψ
∂t
= −
h̄
2mi
∂2Ψ
∂x2
+
1
ih̄
VΨ
usando 1/i = −i:
∂Ψ
∂t
=
ih̄
2m
∂2Ψ
∂x2
−
i
h̄
VΨ
seu complexo conjugado então é
∂Ψ∗
∂t
= −
ih̄
2m
∂2Ψ∗
∂x2
+
i
h̄
V∗
Ψ∗
I como V é real, resulta que V∗ = V
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16. Substituindo as derivadas temporais na equação
dP
dt
=
Z
∂Ψ∗
∂t
Ψ + Ψ∗ ∂Ψ
∂t
dx
obtemos
dP
dt
=
Z
−
ih̄
2m
∂2Ψ∗
∂x2
Ψ +
i
h̄
VΨΨ∗
+
ih̄
2m
∂2Ψ
∂x2
Ψ∗
−
i
h̄
VΨΨ∗
dx
ou
dP
dt
= −
ih̄
2m
Z
∂2Ψ∗
∂x2
Ψ − Ψ∗ ∂2Ψ
∂x2
dx
Você pode verificar que
∂2Ψ∗
∂x2
Ψ − Ψ∗ ∂2Ψ
∂x2
=
∂
∂x
∂Ψ∗
∂x
Ψ − Ψ∗ ∂Ψ
∂x
Então
dP
dt
= −
ih̄
2m
Z
∂
∂x
∂Ψ∗
∂x
Ψ − Ψ∗ ∂Ψ
∂x
dx
ou seja,
dP
dt
= −
ih̄
2m
∂Ψ∗
∂x
Ψ − Ψ∗ ∂Ψ
∂x
+∞
−∞
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17. Invariância temporal da condição de normalização
Para terminar o cálculo de
dP
dt
= −
ih̄
2m
∂Ψ∗
∂x
Ψ − Ψ∗ ∂Ψ
∂x
+∞
−∞
precisamos saber o valor de Ψ em x → ±∞
Aqui entra a condição de normalização: como vimos, se
Z +∞
−∞
|Ψ(x,t)|2
dx = 1
é preciso que
Ψ(x → ±∞) → 0
caso contrário, Ψ não seria quadrado-normalizável
Com isso, demonstramos que
dP
dt
= 0
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18. Plano de aula
1 A equação de Schrödinger
Clássico × Quântico
A equação de Schrödinger
Lembrete: Números complexos
2 Interpretação estatística da função de onda
Normalização da equação de onda
3 Distribuição de probabilidades, valores esperados e operadores
Valor esperado da posição
Valor esperado da velocidade v
Lembrete: Integração por partes
Valor esperado do momento linear p e operadores
Valor esperado de operadores
Valor esperado do potencial e do hamiltoniano
4 Princípio da incerteza
Variância e desvio padrão
Princípio da Incerteza
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19. Valores esperados
Já que Ψ∗Ψ é uma distribuição de probabilidades, podemos calcular propriedades estatísticas
como média, mediana, variância, desvio padrão, etc.
I em mecânica quântica, a média é chamada de valor esperado
O valor esperado de qualquer função Q(x,t) no instante t é
hQi =
Z +∞
−∞
Q(x, t) Ψ∗
(x, t) Ψ(x, t) dx
I repare que hQi é uma função de t
em notação simplificada, podemos escrever
hQi =
Z
Q Ψ∗
Ψ dx
É melhor já se acostumar a escrever de forma ligeiramente diferente:
hQi =
Z
Ψ∗
Q Ψ dx
I o motivo ficará claro em breve!
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20. Valor esperado da posição x
o valor esperado para x é
hxi =
Z +∞
−∞
Ψ∗
(x, t) x Ψ(x, t) dx
ou, em notação simplificada:
hxi =
Z
Ψ∗
x Ψ dx
Com base na Física Clássica, Paul Ehrenfest postulou que o valor esperado da velocidade v é
hvi =
d hxi
dt
e o valor esperado para o momento p é
hpi = m hvi = m
d hxi
dt
Precisamos, então, calcular d hxi /dt para determinar hvi e hpi
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21. Valor esperado da velocidade v
o valor esperado da posição é
hxi =
Z
Ψ∗
x Ψ dx
então o valor esperado da velocidade é
hvi =
d hxi
dt
=
d
dt
Z
Ψ∗
x Ψ dx
a derivada passa para dentro da integral como derivada parcial:
hvi =
Z
∂
∂t
(Ψ∗
x Ψ) dx
Como x e t são variáveis independentes:
hvi =
Z
x
∂
∂t
(Ψ∗
Ψ) dx
já calculamos a derivada dentro da integral:
hvi = −
ih̄
2m
Z
x
∂
∂x
∂Ψ∗
∂x
Ψ − Ψ∗ ∂Ψ
∂x
dx
que pode ser simplificada por integração por partes
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22. Lembrete: integração por partes
Considere duas funções, f (x) e g(x).
Do cálculo diferencial, a regra da cadeia diz que
d(f g) = f dg + gd f
e portanto
f dg = −gd f + d(f g)
portanto, no cálculo da integral
R
f dg,
Z b
a
f dg = −
Z b
a
gd f +
Z b
a
d(f g)
ou seja,
Z b
a
f dg = −
Z b
a
gd f + [f g]b
a
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23. Exemplo de aplicação
Calcule a integral
I =
Z π
0
x sen x dx
x
f (x)
0 π
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24. Exemplo de aplicação
Calcule a integral
I =
Z π
0
x sen x dx
x
f (x)
0 π
Solução: Fazendo
f = x ⇒ d f = dx
dg = sen xdx ⇒ g = − cos x
Teremos
I = −
Z π
0
− cos x dx + [−x cos x]π
0
I =
Z π
0
cos x dx + π
I =
:0
[sen x]π
0 + π
⇒ I = π
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25. Outro exemplo
Calcule a integral
I =
Z ∞
0
xe−x
dx
x
f (x)
0
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26. Outro exemplo
Calcule a integral
I =
Z ∞
0
xe−x
dx
x
f (x)
0
Solução: Fazendo
f = x ⇒ d f = dx
dg = e−x
dx ⇒ g = −e−x
Teremos
I = −
Z ∞
0
−e−x
dx +
:0
−xe−x
∞
0
(lembre que e−x vai a zero “mais rápido” que x para x → ∞)
I =
−e−x
∞
0
⇒ I = 1
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27. Valor esperado da velocidade v
voltando ao problema original:
hvi = −
ih̄
2m
Z
x
∂
∂x
∂Ψ∗
∂x
Ψ − Ψ∗ ∂Ψ
∂x
dx
Vamos fazer
f = x ⇒ d f = dx
dg =
∂
∂x
∂Ψ∗
∂x
Ψ − Ψ∗ ∂Ψ
∂x
dx ⇒ g =
∂Ψ∗
∂x
Ψ − Ψ∗ ∂Ψ
∂x
⇒ hvi = −
ih̄
2m
−
Z
∂Ψ∗
∂x
Ψ − Ψ∗ ∂Ψ
∂x
dx +
:0
x
∂Ψ∗
∂x
Ψ − Ψ∗ ∂Ψ
∂x
+∞
−∞
(o último termo é nulo porque Ψ(±∞) → 0)
hvi = −
ih̄
2m
Z
Ψ∗ ∂Ψ
∂x
−
∂Ψ∗
∂x
Ψ
dx
hvi = −
ih̄
2m
Z
Ψ∗ ∂Ψ
∂x
dx −
Z
∂Ψ∗
∂x
Ψdx
vamos integrar por partes a segunda das integrais da equação acima →
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28. Vamos integrar por partes:
I =
Z
∂Ψ∗
∂x
Ψdx
Fazendo
f = Ψ ⇒ d f =
∂Ψ
∂x
dx
dg =
∂Ψ∗
∂x
dx ⇒ g = Ψ∗
⇒ I = −
Z
Ψ∗ ∂Ψ
∂x
dx +
:0
[Ψ∗
Ψ]+∞
−∞
e portanto
I = −
Z
Ψ∗ ∂Ψ
∂x
dx
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29. Valor esperado da velocidade v
Voltando à expressão para hvi:
hvi = −
ih̄
2m
Z
Ψ∗ ∂Ψ
∂x
dx +
Z
Ψ∗ ∂Ψ
∂x
dx
chegamos finalmente a hvi:
hvi =
d hxi
dt
= −
ih̄
m
Z
Ψ∗ ∂Ψ
∂x
dx
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30. Valor esperado do momento linear p e operadores
usando a expressão para o valor esperado do momento linear hpi:
hpi = m hvi
encontramos hpi:
hpi = −ih̄
Z
Ψ∗ ∂Ψ
∂x
dx
que pode ser colocada de forma muito mais sugestiva:
hpi =
Z
Ψ∗
−ih̄
∂
∂x
Ψdx
que nos leva a postular que, em mecânica quântica, p é representado por um operador p̂ dado
por
p̂ = −ih̄
∂
∂x
I um operador é simplesmente uma instrução para se fazer algo com a função que o segue
I o “ˆ” sobre p (p̂) serve para identificá-lo como um operador
p̂ é um operador diferencial
podemos encarar x̂ como um operador multiplicativo, x̂ = x , pois
hxi =
Z
Ψ∗
x Ψ dx
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31. Valor esperado de operadores
Vamos pensar numa função conservativa qualquer Q da Física Clássica
I Q deve ser função da posição e do momento da partícula: Q(x, p)
∗ exemplos: energia cinética, energia potencial, energia total, momento linear, momento angular, ...
Na Física Quântica, a grandeza Q(x, p) é representada por um operador Q̂(x̂, p̂), com x̂ = x e
p → p̂ = −ih̄ ∂/∂x :
Q(x, p) → Q̂
x, − ih̄
∂
∂x
O valor esperado do operador Q̂(x̂, p̂) será
hQi =
Z +∞
−∞
Ψ∗
(x, t)Q̂
x, − ih̄
∂
∂x
Ψ(x, t) dx
ou, em notação simplificada,
hQi =
Z
Ψ∗
Q̂Ψ dx
I repare que Q̂ age sobre a função Ψ que a segue
∗ por isso, é costume chamar a integral acima de “sanduíche” de Q̂
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32. Valor esperado de operadores
Vamos pensar numa função conservativa qualquer Q da Física Clássica
I Q deve ser função da posição e do momento da partícula: Q(x, p)
∗ exemplos: energia cinética, energia potencial, energia total, momento linear, momento angular, ...
Na Física Quântica, a grandeza Q(x, p) é representada por um operador Q̂(x̂, p̂), com x̂ = x e
p → p̂ = −ih̄ ∂/∂x :
Q(x, p) → Q̂
x, − ih̄
∂
∂x
O valor esperado do operador Q̂(x̂, p̂) será
hQi =
Z +∞
−∞
Ψ∗
(x, t)Q̂
x, − ih̄
∂
∂x
Ψ(x, t) dx
ou, em notação simplificada,
hQi =
Z
Ψ∗
Q̂Ψ dx
I repare que Q̂ age sobre a função Ψ que a segue
∗ por isso, é costume chamar a integral acima de “sanduíche” de Q̂
Ψ
Q̂
Ψ∗
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33. Valor esperado da energia cinética T
Exemplo: energia cinética, dada na Física Clássica por
T =
p2
2m
Na Física Quântica, teremos o operador energia cinética T̂:
T̂ =
p̂2
2m
=
1
2m
p̂ p̂ =
1
2m
−ih̄
∂
∂x
−ih̄
∂
∂x
= −
h̄2
2m
∂2
∂x2
e portanto, o operador energia cinética é
T̂ = −
h̄2
2m
∂2
∂x2
o valor esperado de T̂ é:
hTi =
Z
Ψ∗
T̂ Ψ dx
⇒ hTi =
Z
Ψ∗
−
h̄2
2m
∂2
∂x2
!
Ψdx
⇒ hTi = −
h̄2
2m
Z
Ψ∗ ∂2Ψ
∂x2
dx
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34. Valor esperado do potencial e do hamiltoniano
No nível atômico, todas as forças são conservativas (F = −∂V/∂x).
I por isso, a energia potencial V(x) depende apenas da posição.
I ⇒ o operador quântico correspondente é multiplicativo: V̂ = V(x)
⇒ o valor esperado para o potencial é
hVi =
Z
Ψ∗
V(x)Ψ dx
Para forças conservativas, a hamiltoniana H é igual à energia total:
H = T + V =
p2
2m
+ V(x)
⇒ o operador que representa a energia é o operador hamiltoniano:
Ĥ = T̂ + V̂ = −
h̄2
2m
∂2
∂x2
+ V(x)
o valor esperado para o operador hamiltoniano é
hHi =
Z
Ψ∗
ĤΨdx =
Z
Ψ∗
(T̂ + V̂)Ψdx
⇒ hHi =
Z
Ψ∗
−
h̄2
2m
∂2
∂x2
+ V(x)
!
Ψdx
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35. O operador hamiltoniano e a equação de Schrödinger
Compare a última equação,
hHi =
Z
Ψ∗
−
h̄2
2m
∂2
∂x2
+ V(x)
!
Ψdx
com a equação de Schrödinger,
−
h̄2
2m
∂2Ψ
∂x2
+ V(x)Ψ = ih̄
∂Ψ
∂t
que pode ser reescrita como
−
h̄2
2m
∂2
∂x2
+ V(x)
!
Ψ = ih̄
∂Ψ
∂t
ou seja,
ĤΨ = ih̄
∂Ψ
∂t
que é uma forma bem mais compacta de se escrever a equação de Schrödinger!!!
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36. Exercícios
Exercícios
3. Calcule d hpi /dt. A resposta,
d hpi
dt
=
−
∂V
∂x
,
é outra manifestação do postulado de Ehrenfest: valores esperados obedecem leis clássicas.
Olhe bem: na Física Clássica,
dp
dt
= −
∂V
∂x
= F
é a 2ª lei de Newton!!
4. Digamos que você adicione uma constante V0 ao potencial. Na Mecânica Clássica nada muda (é
apenas uma mudança do referencial), mas e na Mecânica Quântica? Mostre que a função de
onda ganha um fator de fase e−iV0t/h̄. Qual é o efeito disso sobre o valor esperado de uma
grandeza qualquer?
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37. Plano de aula
1 A equação de Schrödinger
Clássico × Quântico
A equação de Schrödinger
Lembrete: Números complexos
2 Interpretação estatística da função de onda
Normalização da equação de onda
3 Distribuição de probabilidades, valores esperados e operadores
Valor esperado da posição
Valor esperado da velocidade v
Lembrete: Integração por partes
Valor esperado do momento linear p e operadores
Valor esperado de operadores
Valor esperado do potencial e do hamiltoniano
4 Princípio da incerteza
Variância e desvio padrão
Princípio da Incerteza
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38. Variância e desvio padrão
Em estatística, a variância da função q(x,t), indicada por σq
2, é definida como
σq
2
= (q − hqi)2
I ou seja, a variância é o “valor esperado do desvio quadrático da média”
essa equação pode ser simplificada da seguinte forma:
σq
2
=
D
q2
− 2q hqi + hqi2
E
= q2
− 2 hq hqii +
D
hqi2
E
veja que hqi é constante em relação a x (depende apenas de t), então
σq
2
= q2
− 2 hqi2
+ hqi2
portanto:
σq
2
= q2
− hqi2
o desvio padrão de q, indicado por σq, é dado por
σq =
q
σq
2
ou seja,
σq =
q
hq2i − hqi2
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39. Variância e desvio padrão de operadores
A função clássica q(x, t) se transforma no operador (quântico) q̂
I o valor esperado de qualquer operador é, como de costume,
hqi =
Z
Ψ∗
q̂ Ψ dx
assim, a variância de q̂ é
σq
2
= (q̂ − hqi)2
=
Z
Ψ∗
(q̂ − hqi)2
Ψ dx
ou ainda
σq
2
= q2
− hqi2
=
Z
Ψ∗
q̂2
Ψ dx −
Z
Ψ∗
hqi2
Ψ dx
ou
σq
2
= q2
− hqi2
=
Z
Ψ∗
q̂2
Ψ dx − hqi2
Z
Ψ∗
Ψ dx
I lembrando que q̂2 = q̂q̂ → é o operador q̂ aplicado duas vezes
I lembre também que, se Ψ está normalizado ⇒
R
Ψ∗Ψ dx = 1
Exercícios
Complete os exercícios do slide 11.
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40. Princípio da Incerteza de Heisenberg
Na mecânica quântica, a partícula tem um caráter ondulatório
o comprimento de onda λ relaciona-se com o momento p de acordo com a fórmula de de
Broglie:
p =
h
λ
=
2πh̄
λ
Mas, podemos falar apenas em valores esperados de operadores, com seus respectivos
desvios-padrão
I isso vale também para o operador momento p̂ e para o operador posição x̂
I ou seja, não sabemos com precisão nem a posição nem o momento de uma partícula, apenas sua
distribuição
I o desvio-padrão de x̂ é da mesma ordem de grandeza de λ
os desvios-padrão dessas duas grandezas relacionam-se pelo Princípio da Incerteza de
Heisenberg:
σxσp ≥
h̄
2
I mais adiante, veremos a expressão geral para o Princípio da Incerteza, que está embutido na equação
de Schrödinger e na normalização da função de onda.
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41. Exercícios
Exercícios
5. Uma partícula de massa m se encontra no estado (ou seja, com a função de onda)
Ψ(x, t) = Ae−a[(mx2/h̄)+it]
sendo A e a constantes reais positivas.
(a) Ache A.
(b) Ψ é solução da equação de Schrödinger para qual potencial V(x)?
(c) Calcule os valores esperados de x, p, x2 e p2.
(d) Determine σx e σp. O produto dos dois é consistente com o Princípio da Incerteza?
6. Seja Pab(t) a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo a ≤ x ≤ b no instante t.
(a) Mostre que
dPab
dt
= J(a, t) − J(b, t)
onde
J(x, t) =
ih̄
2m
Ψ
∂Ψ∗
∂x
− Ψ∗ ∂Ψ
∂x
.
Quais são as unidades de J(x, t)?
(b) Encontre J(x, t) para a função de onda do Ex. 5.
I Comentário: J é chamado de fluxo (ou corrente) de probabilidade, pois nos diz a taxa em que a
probabilidade “flui” através de x. Se Pab(t) aumenta com t, então mais probabilidade flui para a
região a ≤ x ≤ b do que a deixa nesse instante.
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42. Mais exercícios
Exercícios
7. Em geral, a mecânica quântica é relevante quando o comprimento de onda de de Broglie (λ = h/p) da partícula em
questão é maior do que o tamanho característico do sistema (d). Em equilíbrio térmico à temperatura absoluta T, a
energia cinética média de uma partícula é
p2
2m
=
3
2
kBT
(kB = 1,38 × 10−23 J/K é a constante de Boltzmann) e, portanto, o comprimento de onda típico de de Broglie é
λ =
h
√
3mkBT
.
O objetivo deste problema é antecipar quais sistemas terão que ser tratados quanticamente e quais podem
tranquilamente ser descritos classicamente.
(a) Sólidos. O parâmetro de rede de um sólido típico é de cerca de d = 0,3 nm. Encontre a temperatura abaixo da
qual os elétrons livresa desse sólido são quânticos. E um núcleo (use o sódio como exemplo)? Conclusão: em
sólidos, os elétrons livres são sempre quânticos; os núcleos quase nunca o são. O mesmo vale para líquidos
(onde o espaçamento atômico é quase o mesmo), com exceção do hélio abaixo de 4 K.
(b) Gases. Para quais temperaturas os átomos de um gás ideal monoatômico à pressão P são quânticos? Dica: use a
equação do gás ideal, PV = NkBT, para deduzir o espaçamento interatômico médio. R.:
T (1/kB)(h2/3m)3/5P2/5. Para o gás mostrar comportamento quântico, é preciso que m seja o menor possível,
e P tão grande quanto possível. Faça o cálculo para o hélio à pressão atmosférica. O hidrogênio no espaço
sideral (onde o espaçamento intermolecular é de cerca de 1 cm e a temperatura é de 3 K) é quântico?
anos sólidos, os elétrons das camadas mais internas estão ligados aos núcleos; para eles, o comprimento característico é o raio atômico.
Mas os elétrons mais externos estão apenas fracamente ligados; para eles, a distância relevante é o parâmetro de rede. Tais elétrons são
chamados de elétrons de valência. Em alguns metais, são chamados também de elétrons livres.
LOM3260 (EEL-USP, 2019) A Equação de Schrödinger e a função de onda Prof. Luiz T. F. Eleno 38 / 38