P.a. e p.g.

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P.a. e p.g.

  1. 1. Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométricatêm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos sãoestritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressãoaritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceirotermo das progressões é:a) 10b) 12c) 14d) 16e) 18Solução:Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos comocondições iniciais:(1) a1 = g1 = 4(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3(3) a2 = g2 + 2Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de umaPG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em(4) vem: (5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2 (4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q2 => 4 + 8q – 4 = 4q2 => 4q2 – 8q = 0 => q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q naequação (5): r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6Para concluir calculamos a3 e g3: a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16 g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16
  2. 2. Exercício 2: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …)obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem ndessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:a) 58b) 59c) 60d) 61e) 62Solução:Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeirotermo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termogeral o seguinte formato:(1) ai = a1 + (i – 1).1 = a1 + i – 1Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação dasequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma: Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2; se n é par temos n = 2i ou i = n/2.Daqui e de (1) obtemos que: an = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar an = 8 + (n/2) – 1 se n é parLogo: a30 = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22e a55 = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37E portanto: a30 + a55 = 22 + 37 = 59Exercício 3: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam,simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que:a) ac = b2b) a + c = 2c) a + c = b2
  3. 3. d) a = b = ce) ac = 2bSolução:A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG derazão q é:(1) b = a + r = aq => r = a(q – 1)(2) c = b + r = bq => r = b(q – 1)De (1) e (2) vem: a(q – 1) = b(q – 1) => (a – b)(q – 1) = 0Para que o produto seja igual a zero: ou a – b = 0 ou q – 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambasComo se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também éverdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segueque r = 0 e b = c = a.Exercício 4: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9;0,09; 0,009; …) é:a) 3,1b) 3,9c) 3,99d) 3,999e) 4Solução:Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09;0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1. Assim: S = 3 + S1Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1: S1 = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4Exercício 5: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressãoaritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:a) 3,0b) 1,0c) 1,5
  4. 4. d) -1,5e) -3,0Solução:Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA: S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos,uma vez que: 15 + 6 = 20 + 1 = 21E, portanto: a6 + a15 = a1 + a20Substituindo este valor na primeira igualdade vem: 20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15 => a6 + a15 = -15/10 = -1,5Exercício 6: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estãoinseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:a) -48b) -96c) 48d) 96e) 192Solução:Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geraltemos que: a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmulado termo geral: a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário17 do artigo sobre Potenciação.
  5. 5. Exercício 7: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6,determine n tal que Sn é igual a 1456.Solução:Sabemos que:(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através dafórmula do termo geral de uma PA:(2) an = 6 + (n – 1).4 = 6 + 4n – 4 = 4n + 2Substituindo (2) em (1): (6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n – 2912 = 0Resolvendo a equação do segundo grau obtemos: n1 = 26 e n2 = -28Como n > 0, a resposta é 26.Exercício 8: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4; x3/8; …) é igual a 1/10.Qual o valor de x?Solução:Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinitaconverge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição sejasatisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que:Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição deconvergência:Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11.
  6. 6. Para finalizar a matéria, vamos resolver o último exercício extraído do livro Matemáticapara o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra.Exercício 9: As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3.Calcule essas medidas.Solução:Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e c ooutro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que: b=a–6ec=a–3Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que: a2 = b2 + c2 => a2 = (a – 6)2 + (a – 3)2Resolvendo os produtos notáveis: a2 = a2 – 12a + 36 + a2 – 6a + 9 = 2a2 – 18a + 45 => a2 – 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradizclaramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo: a = 15 => b = 15 – 6 = 9 e c = 15 – 3 = 12E a PA é: (9; 12; 15).Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm,ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamentepositivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede osegundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:a) 10b) 12c) 14d) 16e) 18Solução:Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condiçõesiniciais:(1) a1 = g1 = 4(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3(3) a2 = g2 + 2Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1)
  7. 7. obtemos o seguinte sistema de equações:(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:(5) => r = 4q + 2 - 4 => r = 4q - 2(4) => 4 + 2(4q - 2) = 4q2 => 4 + 8q - 4 = 4q2 => 4q2 - 8q = 0=> q(4q - 8) = 0 => q = 0 ou 4q - 8 = 0 => q = 2Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):r = 4q - 2 => r = 8 - 2 = 6Para concluir calculamos a3 e g3:a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressãoaritmética pertence ao intervalo:a) [– 2, –1]b) [– 1, 0]c) [0, 1]d) [1, 2]e) [2, 3]Solução:Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçamas igualdades (aplicação da definição de PA):(1) -5n = 2 + 3n + r(2) 1 - 4n = -5n + rDeterminando o valor de r em (1) e substituindo em (2):(1) => r = -5n - 2 - 3n = -8n - 2(2) => 1 - 4n = -5n - 8n - 2 => 1 - 4n = -13n - 2=> 13n - 4n = -2 - 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem auma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência,então a30 + a55 é igual a:a) 58b) 59c) 60d) 61e) 62Solução:Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo10 - (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeirotermo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinteformato:(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i - 1Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência,que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:
  8. 8. • Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2;• se n é par temos n = 2i ou i = n/2.Daqui e de (1) obtemos que:an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímparan = 8 + (n/2) - 1 se n é parLogo:a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22ea55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37E portanto:a30 + a55 = 22 + 37 = 59Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam,simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que:a) ac = b2b) a + c = 2c) a + c = b2d) a = b = ce) ac = 2bSolução:A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG de razão q é:(1) b = a + r = aq => r = a(q - 1)(2) c = b + r = bq => r = b(q - 1)De (1) e (2) vem:a(q - 1) = b(q - 1) => (a - b)(q - 1) = 0Para que o produto seja igual a zero:ou a - b = 0 ou q - 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambasComo se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também éverdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue que r = 0e b = c = a.Exercício 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09;0,009; …) é:a) 3,1b) 3,9c) 3,99d) 3,999e) 4Solução:Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) derazão q = 10-1 = 0,1. Assim:S = 3 + S1Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4Exercício 6: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:a) 3,0
  9. 9. b) 1,0c) 1,5d) -1,5e) -3,0Solução:Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vezque:15 + 6 = 20 + 1 = 21E, portanto:a6 + a15 = a1 + a20Substituindo este valor na primeira igualdade vem:20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15=> a6 + a15 = -15/10 = -1,5Exercício 7: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridosentre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:a) -48b) -96c) 48d) 96e) 192Solução:Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamoscalcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula dotermo geral:a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário 17 doartigo sobre Potenciação.Exercício 8: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine n talque Sn é igual a 1456.Solução:Sabemos que:(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula dotermo geral de uma PA:(2) an = 6 + (n - 1).4 = 6 + 4n - 4 = 4n + 2Substituindo (2) em (1):(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n - 2912 = 0Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:n1 = 26 e n2 = -28Como n > 0, a resposta é 26.Exercício 9: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4; x3/8; …) é igual a 1/10. Qual o valor
  10. 10. de x?Solução:Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita convergesomente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição seja satisfeita. Aplicando,então, a fórmula da soma vem que:Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de convergência:Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11.Para finalizar a matéria, vamos resolver o último exercício extraído do livro Matemática para oEnsino Médio de Manoel Jairo Bezerra.Exercício 10: As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calculeessas medidas.Solução:Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e c o outrolado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que:b=a-6ec=a-3Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que:a2 = b2 + c2 => a2 = (a - 6)2 + (a - 3)2Resolvendo os produtos notáveis:a2 = a2 - 12a + 36 + a2 - 6a + 9 = 2a2 - 18a + 45=> a2 - 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente ofato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo:a = 15 => b = 15 - 6 = 9 e c = 15 - 3 = 12E a PA é:(9; 12; 15).

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