Fundamentos da matemática discreta (teorema, prova e contraexemplo)

1. Matemática Discreta
Fundamentos (Parte 2)
RANILSON PAIVA
RANILSONPAIVA@IC.UFAL.BR

2. Teorema
 É uma afirmação declarativa sobre matemática para a qual existe uma
prova.
 Uma afirmação declarativa é uma sentença que expressa uma ideia
sobre a natureza ou estado de alguma coisa.
 Ex.: ao nível do mar, a água ferve a 100 graus Celsius.
 Ex.: 2 é um número inteiro.
 Teoremas: sabemos que são verdade, pois podemos provar.
 Conjecturas: acreditamos ser verdade, mas não podemos garantir.
 Erros: sabemos que são falsas.
 Absurdos: não fazem sentido no contexto matemático.
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3. Teorema
 Uma prova é uma dissertação que mostra, de forma irrefutável,
que uma afirmação é verdadeira.
 Uma afirmação é verdadeira quando está correta e merece
confiança.
 Em matemática, uma verdade deve ser considerada absoluta,
incondicional e sem exceção.
 Ex.: a² + b² = c²
 Desenho de um triângulo retângulo (imperfeito, mas tangível)
 Triângulo retângulo “real” (perfeito, mas abstrato)
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4. Teorema
 ANEDOTA
 Um engenheiro, um físico e um matemático estão fazendo um passeio
de trem pela Escócia.
 Eles observam ovelhas negras em uma colina.
 O engenheiro afirma: “as ovelhas nesta parte da Escócia são negras.”
 O físico retruca: “não sejamos precipitados, o que podemos afirmar é
que nesta parte da Escócia algumas ovelhas são negras.”
 E o matemático finaliza: “bem, a verdade é que pelo menos o lado das
ovelhas que conseguimos ver é negro.”
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5. Teorema
 SE-ENTÃO
 Reformular afirmações declarativas no formato: se A, então B
 Ex.: “A soma de dois inteiros ímpares é par.”
 “Se x e y são inteiros ímpares, então x + y é par.”
 A é a hipótese e B é a conclusão.
 Matematicamente, se A é verdadeira então B também será.
 Nada impede que B seja verdadeira ainda que A seja falsa
 Ex.: “A soma de dois inteiros pares também é par.”
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6. Teorema
 SE-ENTÃO
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Condição A (Hipótese) Condição B (Conclusão) Resultado
Verdadeira Verdadeira Possível
Verdadeira Falsa Impossível
Falsa Verdadeira Possível
Falsa Falsa Possível

7. Teorema
 SE-ENTÃO
 A implica B
 B é implicado por A
 Sempre que A, temos B
 B, sempre que A
 A é suficiente para B
 A => B
 Lemos: A implica B
 B <= A
 Lemos: B é implicado por A
 Etc.
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8. Teorema
 SE E SOMENTE SE
 Equivale a: se A, então B e se B, então A
 Ex.: se um inteiro x é par, então x + 1 é ímpar, e se x + 1 é ímpar, então x é par.
 Matematicamente, ou A e B são ambos verdadeiros ou ambos
falsos.
8MATEMÁTICA DISCRETA | FUNDAMENTOS
Condição A (Hipótese) Condição B (Conclusão) Resultado
Verdadeira Verdadeira Possível
Verdadeira Falsa Impossível
Falsa Verdadeira Impossível
Falsa Falsa Possível

9. Teorema
 SE E SOMENTE SE
 A sse B
 A é necessário e suficiente para B
 A é equivalente a B
 A <=> B
 Lemos: A implica e é implicado por B
 Etc.
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10. Teorema
 E, OU, OU EXCLUSIVO e NÃO
 A e B
 A ocorrência simultânea das condições, torna a sentença verdadeira.
10MATEMÁTICA DISCRETA | FUNDAMENTOS
Condição A Condição B Sentença
Verdadeira Verdadeira Verdadeira
Verdadeira Falsa Falsa
Falsa Verdadeira Falsa
Falsa Falsa Falsa

11. Teorema
 E, OU, OU EXCLUSIVO e NÃO
 A ou B
 A ocorrência de qualquer uma das condições, torna a sentença verdadeira.
11MATEMÁTICA DISCRETA | FUNDAMENTOS
Condição A Condição B Sentença
Verdadeira Verdadeira Verdadeira
Verdadeira Falsa Verdadeira
Falsa Verdadeira Verdadeira
Falsa Falsa Falsa

12. Teorema
 E, OU, OU EXCLUSIVO e NÃO
 A xou B
 A ocorrência de, exclusivamente, uma das condições, torna a sentença verdadeira.
12MATEMÁTICA DISCRETA | FUNDAMENTOS
Condição A Condição B Sentença
Verdadeira Verdadeira Falsa
Verdadeira Falsa Verdadeira
Falsa Verdadeira Verdadeira
Falsa Falsa Falsa

13. Teorema
 E, OU, OU EXCLUSIVO e NÃO
 Não A (¬A)
 A ocorrência do oposto de A, torna a sentença verdadeira.
13MATEMÁTICA DISCRETA | FUNDAMENTOS
Condição A Sentença
Verdadeira Falsa
Falsa Verdadeira

14. Teorema
 DESIGNAÇÕES PARA TEOREMA (QUANTO A FORÇA)
 Resultado: importância modesta.
 Fato: importante, mas limitado.
 Proposição: importante, mas secundário.
 Lema ou Alegação: ajuda a provar um teorema mais importante.
 Corolário: é uma prova que usa um teorema provado anteriormente.
 Resultado < Fato < Proposição < Lema = Alegação < Corolário
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15. Prova
 É uma argumentação que mostra, de maneira indiscutível, que
uma afirmação é verdadeira.
 Na matemática, buscamos provar ideias que acreditamos serem
verdadeiras (conjecturas).
 Se provadas, essas conjecturas passam a ser teoremas.
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16. Contraexemplo
 Uma afirmação que torna uma afirmação falsa.
 É um método para provar um teorema, quando não conseguimos
prova-lo diretamente.
 Provar refutando o contraexemplo.
16MATEMÁTICA DISCRETA | FUNDAMENTOS

17. Exercícios
 Teorema
 SCHEINERMAN, E. R. Matemática Discreta, uma Introdução.
 Páginas 18, 19 e 20.
 Prova
 SCHEINERMAN, E. R. Matemática Discreta, uma Introdução.
 Páginas 30 e 31.
 Contraexemplo
 SCHEINERMAN, E. R. Matemática Discreta, uma Introdução.
 Página 33.
17MATEMÁTICA DISCRETA | FUNDAMENTOS

18. Recursos Online
 http://www.cengage.com.br/ls/matematica-discreta-uma-introducao/
 https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_discreta
 https://www.slideshare.net/InesTeixeiraDuarte/definies-bsicas-da-matemtica
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19. Referências (Primárias)
SCHEINERMAN, E. R. Matemática
Discreta, uma Introdução.
Editora: Cengage Learning. 2016.

20. Referências (Primárias)
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M.
Matemática Discreta: Coleção
Schaum. Bookman Editora, 2013.

21. Referências (Secundárias)
 GERSTING, J. L.. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. 5a edição.
Editora: LTC. ISBN 8521614225. 2004.
 MENEZES, P. B.. Matemática Discreta para Computação e Informática. 2a edição. Editora:
Bookman. 2008.
 ROSEN, K.. Discrete Mathematics and its Applications. 6th edition. Editora: McGraw-Hill.
2007.
 EVARISTO, Jaime. Introdução à Álgebra Abstrata. 2a edição. EDUFAL, Maceió, 2002.
 LOVÁSZ, J., PELIKÁN, J., VESZTERGOMBI, K.. Discrete Mathematics: Elementary and Beyond.
Editora: Springer. 2003.

22. Dúvidas?
SLIDES DISPONÍVEIS EM: WWW.SLIDESHARE.NET/RANILSONPAIVA