Seguindo a ideia de publicar as dúvidas recebidas de estudantes do forum PUC-RIO com as soluções e dicas relevantes.

1. QUESTÕES PUC-RIO - CONJUNTOS
Claudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Seguindo a ideia de publicar as dúvidas recebidas de estudantes do forum
PUC-RIO com as soluções e dicas relevantes, vamos ao exercício de hoje.

3. DÚVIDA RECEBIDA NO Forum PUC-RIO:
Considere um conjunto A de nú meros naturais definido recursivamente da
seguinte maneira:
1) 3 ∈ A;
2) Se x ∈ A e y ∈ A entã o x + y ∈ A.
Prove que A é o conjunto dos mú ltiplos de 3.
DÚVIDAS:
1) Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
2) Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
3) Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
4) Posso fazer a demonstração por indução?

4. SOLUÇÃO:
O máximo que dá pra dizer é que A contém todos os múltiplos positivos de 3,
pois:
3 pertence a A ==> 3+3 = 6 pertence a A ==> 6+3 = 9 pertence a A ⇒ etc.
Mais formalmente, por indução, fica:
Seja K o conjunto dos n em N tais que 3n pertence a A.
3 = 3*1 pertence a A ==> 1 pertence a K

5. Hipótese de indução:
Suponhamos que n pertence a K, ou seja, 3n pertence a A. Pelo enunciado:
3n + 3 = 3*(n+1) pertence a A ==> n+1 pertence a K
Logo, K = N (estou supondo que 0 não pertence a N).

6. Mas se, por exemplo:
1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio, pelo enunciado) então:
A = N (supondo que 0 não é natural) ou então (supondo que 0 é natural) N{0}
está contido em A.
Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas que
este é <= 3.
Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que o
próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem
que
4 ou 5 pertençam a A.
Confira a discussão completa em:
https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55351.html