Indução

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Indução

  1. 1. Indução matemáticaPublicado em Setembro 15, 2009 por Américo TavaresReuno aqui, para comodidade de leitura, algumas entradas já publicadas sobre o princípio daindução matemática.§1. Por este princípio, a demonstração da veracidade de uma determinada proposiçãomatemática para todos os inteiros , comporta dois passos:(1) Verifica-se a sua validade para um dado valor inteiro (normalmente, 0 ou 1) da variável deindução .(2) Assume-se que é válida para o inteiro e demonstra-se que é também válida para istoé, que .Vamos demonstrar de seguida o Teorema Binomial por este princípio.Teorema: Para todo o valor de natural, tem-sequalquer que seja o valor real deDemonstração:O teorema verifica-se para e logo Admitimos agora que o teorema é válido para isto é, que e demonstremos que o é igualmente para Como vemManipulamos o segundo membro (lado direito) até obter De facto,pela identidade de Pascal e porque
  2. 2. Mas, comoprovámos, como pretendíamos, que e assim acabámos ademonstração.A partir do desenvolvimento de deduz-se imediatamente o deCorolário: Quaisquer que sejam os reais e e o natural é válida a fórmulaDemonstração: Admitamos queComo, para tem-seeou seja a fórmula ainda é válida .§2. O Princípio de indução matemática é o seguinte axioma de Peano:Se o conjunto A, contido em N, for tal que 1 pertence a A e n+1 pertence igualmente a A sempreque n seja elemento de A, então A = N. [N aqui é o conjunto dos naturais 1, 2, 3, ... ].Uma propriedade P diz-se hereditária quando, sendo verdadeira para o inteiro n, é tambémverdadeira para o sucessor de n (n+1).Assim, o Princípio de Indução equivale a afirmar que uma dada proposição, verdadeira para n=1e hereditária, implica que seja verdadeira para todos os naturais 1, 2, 3, … .Por isso, a aplicação deste método comporta as duas etapas (ou passos) conhecidos 1. Demonstração de que uma dada proposição é válida para n=1. (Caso Base). 2. Demonstração de que a proposição é hereditária. (Etapa de Indução).Este princípio nada ou quase nada tem a ver com o método de indução próprio das ciênciasnaturais, que se caracteriza por se estabelecer uma lei geral observando a repetição do mesmofenómeno em inúmeros casos particulares.
  3. 3. §3. Nem todas as provas por indução têm o mesmo grau de dificuldade. Enquanto a do 1º.exemplo é extremamente simples e natural, a do 2º. obtive-a após tentativas, recorrendo a umaidentidade algébrica auxiliar — a ser usada no passo de indução — cuja demonstração mepareceu mais simples do que a identidade inicialmente apresentada, que pode ser deduzida apartir da regra de Ruffini de divisão de um polinómio em , de grau , por .Exemplo 1: prove por indução matemáticaPara a igualdade verifica-se:Admite-se que se verifica parae prova-se que nesse caso também se verifica para , ou seja, devemos chegar aVejamos: seentão, somando a ambos os membros da igualdade e simplificando o segundo membro,deduzimos sucessivamenteOra, como provamos deste modo que a igualdade se verifica para qualquer inteiro .Exemplo 2: se for um inteiro positivo, provePara , temos .
  4. 4. Antes de aplicar a hipótese de indução, a ideia fundamental consiste em mostrar a validade daidentidade auxiliarem que .De factoeMaseSubtraindo membro a membro, vempelo que fica provada a identidade da qual se tiraAssim, admitindo que
  5. 5. resulta quecomo se queria mostrar.§ 4. Exercício 1: prove que existe apenas um número natural que verifica a relaçãoSugestão: utilize o princípio de indução para provar que a relação não é satisfeita por nenhumnatural superior a seis.Esta ideia é devida a Vishal Lama (neste comentário em inglês).§ 5. Exercício 2: podemos demonstrar queDe facto substituindo em por , ficamos com, que vemos ser verdadeiro, visto que da equação funcional da função gamase obtém, para .Admitimos agora quee fazemos, na equação funcional, . Como vem sucessivamentedemonstra-se desta forma o passo de indução.

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